�ݺ�ߣ

Bab5: Root Locus EL303: Sistem Kendali

ROOT LOCUS

 Pendahuluan

 Dasar Root Locus

 Plot Root Locus

 Aturan-Aturan Penggambaran Root Locus

 Root Locus Melalui MATLAB

 Kasus Khusus

 Analisis Sistem Kendali Melalui Root Locus

 Root Locus untuk Sistem dengan

Transport Lag

__________________________________________________________________________
Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 1 dari 31


 PENDAHULUAN
 Karakteristik tanggapan transient sistem loop
tertutup dapat ditentukan dari lokasi pole-pole (loop
tertutupnya).

 Bila K berubah, maka letak pole-pole nya juga
berubah.
 Perlu pemahaman pola perpindahan letak pole-pole
dalam bidang s.
 Desain sistem kendali melalui gain adjusment: pilih
K sehingga pole-pole terletak ditempat yang
diinginkan.
 Desain sistem kendali melalui kompensasi:
memindahkan letak pole yang tak diinginkan melalui
pole-zero cancellation.
 Mencari akar-akar persamaan karakteristik untuk
orde tinggi sulit, terlebih dengan K sebagai variabel.
(Alternatif: gunakan MATLAB ?!)
 W.R. Evan mengembangkan metoda untuk mencari
akar-akar persamaan orde tinggi : metoda Root
Locus.
 Root Locus: tempat kedudukan akar-akar persamaan
karakterstik dengan K = 0 sampai K = tak hingga.
 Melalui Root Locus dapat diduga pergeseran letak
pole-pole terhadap perubahan K, terhadap
penambahan pole-pole atau zero-zero loop terbuka.
__________________________________________________________________________


 DASAR ROOT LOCUS

Persamaan Karakteristik: s2 + 2s + K =0

Akar-akar Persamaan Karakteristik :

 2  4  4K
s  1  1  K
2

K s1 s2
0 0 -2
1 -1 -1
2 -1+j1 -1+j1
10 -1+j3 -1+j3
101 -1+j10 -1+j10

__________________________________________________________________________


 Root Locus mempunyai sifat simetri terhadap sumbu
nyata.

 Root Locus bermula dari pole-pole G(s)H(s) (untuk
K=0) dan berakhir di zero-zero G(s)H(s) (untuk
K) termasuk zero-zero pada titik takhingga.

 Root Locus cukup bermanfaat dalam desain sistem
kendali linear karena Root Locus dapat menunjukkan
pole-pole dan zero-zero loop terbuka mana yang
harus diubah sehingga spesifikasi unjuk kerja sistem
dapat dipenuhi.

 Pendekatan desain melalui Root Locus sangat cocok
diterapkan untuk memperoleh hasil secara cepat.

 Sistem kendali yang membutuhkan lebih dari 1
parameter untuk diatur masih dapat menggunakan
pendekatan Root Locus dengan mengubah hanya 1
parameter pada satu saat.

 Root Locus sangat memudahkan pengamatan
pengaruh variasi suatu parameter (K) terhadap letak
pole-pole.

 Sketsa Root Locus secara manual tetap dibutuhkan
untuk dapat memahaminya dan untuk memperoleh
idea dasar secara cepat, meskipun MATLAB dapat
melakukannya secara cepat dan akurat.

 Spesifikasi transient (koefisien redaman) dapat
ditentukan dengan mengatur nilai K melalui Root
Locus.

__________________________________________________________________________


 PLOT ROOT LOCUS

Persamaan Karakteristik: 1 + G(s)H(s) = 0
Atau:
G(s)H(s) = -1,
Sehingga:
G(s)H(s) =  1800(2k+1); (syarat
sudut)
k = 0, 1, 2, ….

| G(s)H(s)| = 1 (syarat magnitude)

__________________________________________________________________________


 PROSEDUR PENGGAMBARAN
ROOT LOCUS

1. Letakkan pole-pole dan zero-zero loop terbuka pada
bidang s.

2. Tentukan Root Locus pada sumbu nyata.

 Syarat Sudut:
G(s)H(s) =  1800(2k+1); k = 0, 1, 2, ….
 Ambil titik test : bila jumlah total pole dan zero
dikanan titik ini ganjil, maka titik tsb terletak di Root
Locus.

3. Tentukan asimtot Root Locus:

 Banyaknya asimtot = n – m
n = banyaknya pole loop terbuka
m= banyaknya zero loop terbuka

 1800 (2k  1)
 Sudut-sudut asimtot =
nm
k=0, 1, 2, …

 Titik Potong asimtot-asimtot pada sumbu nyata:

a 
 letak pole berhingga   letak zero berhingga 
nm

__________________________________________________________________________


4. Tentukan titik-titik break-away dan titik-titik break-in:

Untuk Persamaan Karakteristik:

B(s) + KA(s) = 0,

Maka titik-titik tsb harus berada di Root Locus dan
memenuhi persamaan:
dK B ' ( s) A( s)  B( s) A' ( s)
  0
ds A2 ( s)

5. Tentukan sudut-sudut datang / sudut-sudut berangkat
untuk pole-pole / zero-zero kompleks sekawan.

__________________________________________________________________________


6. Tentukan batas kestabilan mutlak sistem (K):

 Melalui Kriteria Routh Hurwitz.
 Secara analitis: memotong sumbu imajiner: s = j

7. Sketsa Root Locus secara lebih teliti pada daerah-
daerah selain sumbu nyata dan asimtot.

8. Tentukan letak pole-pole melalui nilai K yang
memenuhi syarat magnitude. Sebalikya, bila letak pole-
pole ditentukan (pada Root Locus), maka nilai K yang
memenuhi dapat dihitung secara grafis atau secara
analitis:

Secara grafis:

__________________________________________________________________________


CONTOH 1:

__________________________________________________________________________


CONTOH 2:

__________________________________________________________________________


 BEBERAPA CATATAN
 Konfigurasi pole-zero yang sedikit bergeser dapat
mengubah total bentuk Root Locus.

 Orde sistem dapat berkurang akibat pole-pole G(s) di
‘hilang’kan (cancelled) oleh zero-zero H(s)

__________________________________________________________________________


__________________________________________________________________________


 ROOT LOCUS MELALUI MATLAB
Root Locus = persamaan karakteristiknya, dalam MATLAB:

num
1 K 0
den

num  (s  z1 )(s  z 2 )  (s  z m )
 s m  (z1  z 2    z m )s m 1   z1 z 2  z m
den  (s  p1 )(s  p 2 )  (s  p n )
 s n  (p1  p 2    p n )s n 1    p1 p 2  p n

Perintah MATLAB untuk menggambar Root Locus (Konsep
Fungsi Alih):

rlocus(num, den)

Untuk konsep ruang waktu:

rlocus (A, B, C, D)

Pada kedua perintah tersebut, penguatan lup terbuka sistem K
secara otomatis ditentukan.

Apabila pole-pole lup tertutup untuk beberapa nilai K ingin
dihitung, maka perintah berikut ini dapat digunakan :

rlocus(num,den,K), atau

rlocus(A,B,C,D,K)

K = vektor yang berisi semua nilai penguatan dimana pole-pole
lup tertutup ingin dihitung.
__________________________________________________________________________


Cara lain penggambaran Root Locus adalah dengan
menggunakan arguman berikut ini :

[r,K] = rlocus(num,den)

[r,K] = rlocus(num,den,K)

[r,K] = rlocus(A,B,C,D)

[r,K] = rlocus(A,B,C,D,K)

Pada layar akan tampil matriks r dan vektor penguatan K.

Perintah :

r=rlocus(num,den)

plot(r,'o') atau, plot(r,'x')

dapat digunakan untuk menggambar Root Locus dengan tanda
`o atau `x ,

Mengingat vektor penguatan ditentukan secara otomatis,
maka plot Root Locus berikut ini :
K (s  1)
G (s)H(s) 
s(s  2)(s  3)
10K (s  1)
G (s)H(s) 
s(s  2)(s  3)
200K (s  1)
G (s)H(s) 
s(s  2)(s  3)

adalah sama, dengan :

num = [ 0 0 1 1 ]

den = [ 1 5 6 0 ]

__________________________________________________________________________


Contoh :
Plot Root Locus menggunakan MATLAB suatu sistem kendali
balikan satuan:

K(s 2  2s  4)
G(s) 
s(s  4)(s  6)(s 2  1,4s  1)

Solusi :

Perintah konvolusi dapat digunakan untuk memperoleh bentuk
polinomial.

Definisikan :

a  s(s  4)  s 2  4s : a  [1 4 0]
b s6 : b  [1 6]
c  s 2  1.4s  1 : c  [1 1.4 1]

Selanjutnya gunakan perintah :

d = conv(a,b);

e = conv(c,d)

Hasil yang diperoleh e = [1 11.4 39 43.6 24 0]

__________________________________________________________________________


Program MATLAB nya:

%------Root-Locus -------

num = [0 0 0 1 2 4];
den = [1 11.4 39 43.6 24 0];
rlocus(num,den)

Warning:Divide by zero
v = [-10 10 -10 10]; axis(v)
grid
title(‘Root-Locus Plot of G(s) = K(s^2 + 2s +4)/[s(s + 4)(s +
6)(s^2 + 1.4s + 1)]’)

__________________________________________________________________________


 KASUS KHUSUS
 Parameter K bukan penguatan loop terbuka.
 Umpanbalik positif.

 Parameter K bukan Penguatan Loop Terbuka.

__________________________________________________________________________


__________________________________________________________________________


 Umpanbalik Positif.

 Modifikasi Aturan

2. Bila jumlah total pole dan zero dikanan titik test,
maka
titik tsb berada di Root Locus.
 k 360 0
3. Sudut-sudut asimtot =
n  m ; k=0, 1, 2, …

5. Sudut datang dan sudut pergi : 1800 diganti dengan
00.

__________________________________________________________________________


Contoh:

__________________________________________________________________________


__________________________________________________________________________


 ANALISIS SISTEM KENDALI
 Ortogonalitas dan locus dengan penguatan konstan
 Sistem stabil kondisional
 Sistem fasa non-minimum

 Ortogonalitas dan Locus dengan Penguatan
Konstan

Root locus dan lokus dengan penguatan konstan
merupakan pemetaan konformal lokus G(s)H(s)=
1800(2k+1) dan |G(s)H(s)| = konstan dalam bidang

G(s)H(s)
__________________________________________________________________________


 Sistem Stabil Kondisional

 Sistem stabil untuk 0 < K < 14 dan
64<K <195

 Prakteknya stabil kondisional tak diinginkan, karena
sistem mudah menjadi tak stabil.
 Stabil kondisional dapat etrjadi pada sisetm dengan
lintasan maju tak stabil (karena ada minor loop).
 Stabil kondisional dapat dihindari melalui
kompensasi yang sesuai (penambahan zero).

__________________________________________________________________________


 Sistem Fasa Non-Minimum
(Pergeseran fasa bila diberi input sinus)

 Sistem fasa minimum: bila semua pole dan zero
sistem loop terbuka terletak disebelah kiri bidang-
s.
 Sistem fasa non-minimum: bila sedikitnya ada
satu pole atau zero sistem loop terbuka terletak
disebelah kanan bidang-s.

= 1800 (2k+1); k= 0, 1, 2, …
Sehingga:
K (Ta s  1) 0
 0
s(Ts  1)

__________________________________________________________________________


 ROOT LOCUS DENGAN
TRANSPORT LAG
 Transport lag / Dead Time: keterlambatan pengukuran
akibat sifat kelembaman sistem fisis.

 Elapse time: T = L/v detik,
 Sehingga : y(t) = x(t-T)
 Fungsi Alih:

__________________________________________________________________________


Contoh:

__________________________________________________________________________


__________________________________________________________________________


Dead Time menyebabkan ketidakstabilan sistem, sekalipun
untuk sistem orde-1

__________________________________________________________________________


Pendekatan Transport Lag

 Bila T kecil sekali dan fungsi f(t) pada elemen tsb
kontinyu dan smooth:

 Pendekatan Lain:

__________________________________________________________________________

�ݺ�ߣ

root locus

More Related Content

root locus