1. Gambar di bawah ini merepresentasikan plat logam yang diberi suhu konstan pada setiap pinggirnya,
Dimensi plat ini adalah 10 x 10 cm. Dan pada kondisi steady, distribusi suhu dalam plat ini memenuhi
persamaan,
Tentukan distribusi suhu dalam plat!
Langkah pertama yang harus kita buat adalah dengan membagi plat tersebut kepada
beberapa bagian atau partisi sehingga nantinya kita mendapatkan grid dalam koordinat x dan y.
Nantinya distribusi temperatur akan diukur dan diprediksi persebarannya berdasarkan nilai
temperatur tiap-tiap grid yang kita punya. Misalkan saja kita membagi plat tersebut kedalam bentuk
grid seperti ini,
Persamaan distribusi panas di atas merupakan persamaan turunan parsial orde kedua. Pada
bagian kanan persamaan hanya terdapat angka nol saja dan persamaan jenis ini ini disebut Laplace.
Langkah pertama penyelesaian permasalahan ini adalah ubahlah persamaan Laplace kontinu ini
kedalam bentuk diskrit.
Jika lebar grid yang digunakan homogen dan sama pada baik pada arah x maupun y, maka
persamaan di atas menjadi,
Bagilah domain plat ini kedalam model grid. Jika dipilih lebar grid 2.5 x 2.5 cm. Maka jumlah
grid adalah 4. Titik nodal merupakan perpotongan antar grid. Titik nodal ini ada yang terdapat di
dalam plat dan ada juga yang terletak pada pinggiran plat. Titik nodal pada pinggiran pelat sudah
memiliki nilai suhu yang biasanya merupakan nilai syarat batas. Untuk permasalahan ini nilai syarat
batasnya adalah konstan, sehingga disebut permasalahan Dirichlet. Nilai panas yang akan dihitung
itu adalah nilai panas pada titik-titik nodal yang terletak dalam plat yang jumlahnya ada 9, jika
jumlah grid yang digunakan adalah 4 baik pada arah x maupun y.
2. Untuk itu didalam script MATLAB kita definisikan kondisi awal yang kita punya terlebih
dahulu,
Kemudian kita buat fungsi untuk menghitung array syarat batas yang kita punya, jika dilihat
dari gambar fisiknya maka syarat batas kasus ini adalah temperatur di setiap 4 sisi pinggiran plat
yang bernilai konstan. Fungsi untuk membuat syarat batas tersebut adalah seperti yang ditunjukan
oleh gambar dibawah ini,
Ingatlah bahwa dalam melihat syarat batas ini, sumbu kartesian yang kita pakai adalah
sumbu kartesian yang ditunjukan oleh gambar pembagian grid plat diatas (sumbu-x positif ke kanan
dan sumbu-y positif ke bawah). Sehingga batas yang kita punya adalah,
Kemudian tugas kita selanjutnya adalah membuat persamaan matriks untuk mengetahui
persebaran temperatur di tiap titik-titik grid yang kita punya. Matriks yang akan kita buat adalah
matriks 9x9 yang merupakan titik-titik nodal persegi tengah. Kode program pada script MATLAB
untuk membuat itu adalah sebagai berikut,
4. sistem
Jika kesembilan titik nodal ini dibuat persamaan beda hingganya, maka akan didapatkan
persamaan
matriks
sebagai
berikut:
Dalam bentuk keluaran dari script sebelumnya adalah seperti gambar dibawah ini,
Elemen dari matriks stiffness didominasi oleh angka nol sehingga disebut matriks
jarang/sparse. Metode Gauss-Seidel dapat digunakan untuk memecahkan persamaan matriks yang
elemennya sparse. Solusi yang kita dapat nantinya adalah besarnya temperatur dati titik-titik nodal
yang ada. Berikut script untuk Gauss-Seidel tersebut,
5. Dengan nilai input epsilon yang bernilai 0.00001 maka dari script diatas kita akan
mendapatkan keluaran/output solusi sebagai berikut,
Seperti yang kita sudah bahas tadi, bahwa G merupakan array yang memuat nilai-nilai
temperatur titik-titik nodal yang kita punya atau temperatur dari titik-titik grid pada distribusi
temperatur di plat. G seperti yang diharapkan dapat dibuat atau dibentuk menjadi matriks 9x9 agar
ia dapat mengisi bentuk persegi dalam dari persegi batas H yang telah kita bentuk pada langkah
sebelumnya.
Kita masukan saja nilai-nilai array yang ada pada array G kedalam matriks H, sesuai dengan
posisi koordinatnya pada x dan y. Berbeda dari sumbu kartesian sebelumnya..sumbu kartesian yang
kita pakai sekarang adalah sumbu kartesian normal yaitu (sumbu-x positif ke kanan dan sumbu-y
6. positif ke atas). Sehingga kita nantinya akan mendapatkan bentuk matriks H yang baru sebagaimana
yang ditunjukan oleh gambar dibawah ini,
Kode program untuk membuat atau menyusun matriks seperti pada gambar diatas adalah
sebagai berikut,
Selanjutnya matriks H yang baru ini akan berfungsi sebagai matriks yang memberikan nilai
ketinggian pada plot - D atau pada kasus kita ia memberikan nilai persebaran suhu pada titik-titik
nodal pada plat yang sudah kita bagi kedalam grid-grid tertentu. Pada kode program MATLAB,
matriks H ini akan menjadi variabel Z. Selain mempunyai varibale Z (temperatur) , kita juga harus
mendefinisikan koordinat grid dalam plat, karena nilai Z yang ada kan sangat bergantung pada nilai
koordinat dan pososi pada sumbu x dan y.
Script program untuk mebuat plot kontur degradasi warna pada data koordinat X, Y dan Z
yang kita punya adalah sebagai berikut,
7. Syarat untuk program mem-plot diatas yang terpenting adalah mengenai interval pada arah
x dan y. Besarnya arah x dan y harus bisa sama dengan ukuran dari matriks kontur H. Beberapa
variasai plot kontur warna kita sediakan untuk lebih memperjelas hasil plot yang kita punya, dan
seperti yang telihat pada script hal-hal yang ditambahkan adalah kolom keterangan warna, batas
nilai dari tiap warna dan jenis degradasi warna yang kita pakai. Sebalum kami menunjjukan hasil plot
kontur ada baiknya untuk lebih memperjelas kode program untuk menyelesaikan kasus distribusi
temperatur pada sebuah plat dengan metoda PDE eliptik, mari kitasimak lagi gabungan script
dibawah ini,
Dari script diatas maka output yang kita dapatkan adalah berupa gambar dibawah ini,
8. Agar tampilan lebih enak untuk dilihat mari kita coba untuk merubah banyaknya garis kontur
yang ada. Sebelumnya kita memakai garis kontur 10 buah sekarang kita coba memakai garis kontur
30 buah, maka gambarnya menjadi lebih menarik seperti dibawah ini,
Penyelesaian persamaan diatas dilakukan dengan besar grid yang kita tentukan adalah
sebesar h=2.5 dimana memberikan plat dibagi menjadi 16 grid. Mari kita coba melakukan
penyelesaian kasus diatas dengan menggunakan jumlah grid yang lebih banyak lagi atau dapat
dibilang juga menggunakan lebar grid yang lebih kecil lagi.
Parameter yang diubah
9. Mari kita lihat plot kontur warna dari permasalahan distribusi panas dari sebuah plat yang kita punya
dengan lebar grid, h=1.25 dan h=0.5
h=1.25 64 grid
h=0.5 400 grid
Dapat terlihat jelas bahwa, semakin kecil lebar grid yang kita ggunakan atau semakin
banyak partisi-partisi yang kita gunakan dalam perhitungan persamaan differensial parsial ini maka
hasilnya akan semakin baik dan akurat mendekati kondisi aslinya. Dlam kasus ini semakin kecil lebar
grid yang kita gunakan ditambah dengan tepatnya penggunaan jumlah garis degradasi warna pada
hasil plot kita maka kita akan semakin mudah untuk melihat persebaran/distribusi temperatur dari
sebuah plat yang diketahui batas-batas temperatur di tiap-tiap sisinya.
