Smoothed Particle Hydrodinamics
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Smoothed Particle Hydrodinamics
Smoothed Particle Hydrodinamics
- 1. プロジェクト3B 中間発表 法政大学 情報科学部 ディジタルメディア学科 14K1020 髙尾航大
- 3. SPH法とは？ ? Smoothed Particle Hydrodynamics Method ? 連続体に関する方程式を粒子単位で近似し、ラグランジュ的に解く 手法の一種。 ? 今回は流体の方程式に適用する。
- 5. SPH法における物理量 ? SPH法を用いてNavier-Stokes方程式を解いていく。 ? SPH法における物理量の離散表現 ? ? = ? ∈ ? ?? ?? ?? ?(?? ? ?, ?)
- 6. 物理量の勾配?ラプラシアン ?? ? = ? ∈ ? ?? ?? ?? ??(?? ? ?, ?) ?2 ? ? = ? ∈ ? ?? ?? ?? ?2 ?(?? ? ?, ?)
- 7. カーネル重み関数 ? 粒子間の距離で重みを決定する。 ?????6 ?, ? = 315 64??9 (?2 ? ?2 )3 , 0 ≤ ? ≤ ? 0, ????????? ??????6 ?, ? = ? 945 32??9 (?2 ? ?2 )2 ?, 0 ≤ ? ≤ ? 0, ????????? ?2 ?????6 ?, ? = ? 945 32??9 3(?2 ? ?2 )3 ? 4?2 (?2 ? ?2 ), 0 ≤ ? ≤ ? 0, ?????????
- 8. 物理量の例 - 密度ρ ? 物理量の式のρをφと入れ替えてみると… ? ? = ? ∈ ? ?? ?? ?? ? ?? ? ?, ? = ? ∈ ? ?? ? ?? ? ?, ? ? 密度は周辺粒子の質量と距離にだけ依存することがわかる
- 9. Navier-Stokes方程式 ? 流体の世界の運動方程式的なもの ? ? ? = 0 ?? ?? + ? ? ? ? = ? ? ?2 ? ? 1 ? ?? + ???? 質量保存則 運動量保存則
- 10. Navier-Stokes方程式をSPH風に(1) 粒子自体が液体であることから、粒子の重さが変化しない限り 質量保存性は考慮しなくて良い。(質量一定より常に保持される) また、移流を表す ? ? ? ? も考慮しなくて良い。 (ラグランジュ的解法だから移流はそもそも起こらない)
- 11. Navier-Stokes方程式をSPH風に(2) ?? ?? + ? ? ? ? = ? ? ?2 ? ? 1 ? ?? + ???? ?? ?? = ? ? ?2 ? ? 1 ? ?? + ???? 考慮しないものはさよなら
- 12. Navier-Stokes方程式をSPH風に(3) ?? ?? = ? ? ?2 ? ? 1 ? ?? + ???? ? ?? ?? = ??2 ? ? ?? + ????? 両辺 ? 倍
- 13. Navier-Stokes方程式をSPH風に(4) ? ?? ?? = ??2 ? ? ?? + ????? ?? ? ? ? = ?? ?? = ??2 ? ? ??? + ?? ???? 粘性拡散項 圧力項 この際??は決め打ちで計算する
- 14. 粘性拡散項の離散化 物理量離散化式ラプラシアンのφを?に置き換えるが、 ?? ???? = ??2 ? = ? ? ?? ?? ? ?? ?? ?2 ?????(?? ? ??) Symmetricではない為、少し工夫して変形 「iからjに与える力」と「jからiに与える力」が異なり、
- 15. 圧力項の離散化 ?? ???? = ?? = ? ? ?? ?? + ?? 2?? ???????(?? ? ??) 同様にSymmetricではない為、少し工夫して変形 粒子間の圧力の平均。
- 16. 圧力?密度解法のソース
- 17. 狈厂方程式解法のソース
- 18. GPU実装 ? UnityComputeShaderを用いてSPH計算 C# Script Struct Compute Shader (SPH) Struct Compute Buffer Shader Output Dispatch GPULoop CPU
- 19. 粒子のレンダリング ? ComputeShader出力されたバッファをもとに粒子を描画。 ? GeometryShaderを用いて常に視点を向くビルボードを作成。 -> Sphereで出力しないことにより軽量化 Position(Buffer) Billboard GeometryShader
- 20. Weekly CG Challenge ! ? Ray Marching ? Iridescent Shader ? Marching Cubes ? Newton Method ? Fitting Line Algorithm ? Tornado