1. Tôn Nữ Bích Vân
Với kiến thức lớp 6, ta chứng minh được một số tính chất sau:
Thật vậy:
Tính chất 2: Giả sử N = k2
và k = ax
by
cz
...(a, b, c... là số nguyên tố) thì
N = (ax
by
cz
...)2
= a2x
b2y
c2z
...
Suy ra:
Số chính phương a 2 ⇒ a 4
Số chính phương a 3 ⇒ a 9
Số chính phương a 5 ⇒ a 25 ; ...
Tính chất 3: N = ax
by
cz
... thì số ước số của nó bằng (x+1)(y+1)(z+1)...
- Nếu N là số chính phương thì x, y, z... chẵn nên x+1, y+1, z+1... lẻ, do đó số
ước số của N là số lẻ.
- Nếu số ước số của N là số lẻ thì (x+1) (y+1) (z+1)... lẻ nên các thừa số x+1,
y+1, z+1... đều lẻ, suy ra x, y, z,... chẵn.
Đặt x = 2m, y = 2n, z = 2p (m, n, p ∈ N) thì N = a2m
b2n
c2p
= (am
bn
cp
)2
nên N là
số chính phương.
Bài tập 1: Cho 4 chữ số 0, 2, 3, 4. Tìm số chính phương có 4 chữ số gồm cả
4 chữ số trên
1
• Số chính phương chỉ có thể tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9, không thể
tận cùng bằng 2, 3, 7, 8
• Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các
thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa các thừa số nguyên tố
với số mũ lẻ.
• Số ước số của một số chính phương là số lẻ. Đảo lại, một số có số ước
số lẻ thì số đó là số chính phương
Số chính phương là bình phương của một số nguyên
2. Giải:
Gọi số chính phương cần tìm là n2
Số chính phương không tận cùng bằng 2, bằng 3.
Nếu số chính phương tận cùng bằng 0 thì phải tận cùng bằng một số chẵn chữ số
0.
Do đó : n2
lập bởi 4 chữ số 0, 2, 3, 4 phải tận cùng bằng 4, suy ra: n2 2
Số chính phương chia hết cho 2 thì phải chia hết cho 4, do đó n2
tận cùng bằng
04 hoặc 24.
Xét các số 2304; 3204; 3024 ta có : 2304 = 482
Vậy: Số phải tìm là 2304.
Bài tập 2: Tìm số tự nhiên có 2 chữ số biết rằng khi nhân nó với 135 ta được
một số chính phương
Giải:
Gọi số phải tìm là A, ta có 135A = a2
(a ∈ N) hay 33
.5.A = a2
. Số chính phương
chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn nên A = 3 . 5 . k2
(k ∈ N)
• Với k = 1 thì A = 15
• k = 2 thì A = 60
• k ≥ 3 thì A ≥ 135, có nhiều hơn 2 chữ số nên loại.
Vậy: Số phải tìm là 15 hoặc 60
Bài tập 3: Các số sau có chính phương không ?
a) A = 3 + 32
+ 33
+ ... + 32008
b) M = 112001
+ 112002
+ 112003
+ 112004
+ 112005
+ 112006
+ 112007
Giải:
a) Ta biết rằng số chính phương chia hết cho 3 thì phải chia hết cho 9.
A chia hết cho 3 nhưng chia cho 9 dư 3
(vì A = 3 + 32
(1 + 3+ 32
+ ... + 32006
) )
Do đó A không là số chính phương.
b) Ta coï n
(X1) có tận cùng là 1 nên mỗi số hạng của tổng đều tận cùng bằng 1
Do đóï M = A1 + B1 + C1 + D1 + E1 + F1 + G1 có tận cùng bằng 7 nên
không là số chính phương.
Bài tập 4: Tìm số nguyên tố ab (a > b > 0) sao cho ab - ba là số chính phương
2
3. Giải:
ab - ba = (10a + b) - (10b + a) = 9a - 9b = 9 (a - b) = 32
(a - b)
Do ab - ba là số chính phương nên a-b là số chính phương.
Mặt khác 1 ≤ a - b ≤ 8 nên a - b ∈ {1; 4}
- Với a - b = 1 thì ab ∈ {21; 32; 43; 54; 65; 76; 87; 98}
Loại các hợp số 21 3, 32 2; 54 2; 65 5; 76 2; 87 3; 98 2 còn 43 là số
nguyên tố.
- Với a - b = 4 thì ab ∈ {51; 62; 73; 84; 95}
Loại các hợp số 51 3; 62 2; 84 2; 95 5, còn 73 là số nguyên tố.
Vậy ab = 43 hoặc 73. Khi đó ab - ba = 43 - 34 = 9 = 32
hoặc ab - ba = 73 - 37 = 36 = 62
Bài tập 5: Tìm tất cả các số có 4 chữ số sao cho mỗi số vừa là số chính phương vừa
là một lập phương.
Giải:
Gọi số chính phương phải tìm là abcd
(a, b, c, d ∈ N, 0 ≤ b, c, d ≤ 9, 0 < a ≤ 9)
Ta có: abcd = x2
= y3
(1)
Với x, y ∈N và 31< x < 100; 10≤ y ≤ 21 (2)
Từ (1) ta suy ra y cũng là một số chính phương và từ (2) ta suy ra y = 16
Do đó : abcd = 163
= 4096 = 642
Vậy số phải tìm là 4096
Xin mời thử sức với các bài toán sau:
1. Tìm số chính phương có 4 chữ số gồm cả 4 chữ số 2, 0, 3, 5
2. Các tổng sau có là số chính phương không ?
a) 1010
+ 8 c) 1010
+ 5
3. Chứng tỏ các số sau không là số chính phương
a) abab b) abcabc c) ababab
4. Tìm số nguyên tố ab sao cho ab + ba là số chính phương.
5. Viết dãy số tự nhiên từ 1 đến 101 làm thành số A
3
4. a) A có là hợp số không?
b) A có là số chính phương không?
c) A có thể có 35 ước số không?
Còn nhiều bài tập về số chính phương rất thú vị dành cho học sinh lớp 7; 8; 9.
Hẹn gặp ở kỳ sau. Chúc các em học tốt!
4
