ºÝºÝߣ

ºÝºÝߣShare a Scribd company logo

Solusi Kuis 1

•
•
Iwan Pranoto
Iwan Pranoto

1. Menggunakan uji rasio mutlak dan uji perbandingan limit untuk menentukan kekonvergenan deret dan integral tak terhingga; 2. Mengidentifikasi himpunan kekonvergenan deret dan integral berdasarkan hasil uji; 3. Menyelesaikan soal-soal integral dan deret tak terhingga dengan tepat.

1 of 2
Solusi Kuis 1 – Kalkulus 2A Kelas 16 – 2012/2013 1. Hitunglah ∫ ð‘‘ð‘‘ð‘‘ð‘‘ ð‘¥ð‘¥ 2 √ ð‘¥ð‘¥+6 Misalkan ð‘¥ð‘¥ + 6 = ð‘¢ð‘¢ Maka, ð‘¥ð‘¥ = ð‘¢ð‘¢ − 6 dan ð‘‘ð‘‘ð‘‘ð‘‘ = ð‘‘ð‘‘ð‘‘ð‘‘. Juga, ð‘¥ð‘¥ 2 = (ð‘¢ð‘¢ − 6)2 = ð‘¢ð‘¢2 − 12ð‘¢ð‘¢ + 36 Jadi, ∫ ð‘‘ð‘‘ð‘‘ð‘‘ = ∫ ð‘‘ð‘‘ð‘‘ð‘‘ = ∫(ð‘¢ð‘¢ − 12√ ð‘¢ð‘¢ + 36ð‘¢ð‘¢ 2 )ð‘‘ð‘‘ð‘‘ð‘‘ = ð‘¢ð‘¢ − 12( ð‘¢ð‘¢ 2) + 36(2ð‘¢ð‘¢ 2) + ð¶ð¶ ð‘¥ð‘¥ 2 ð‘¢ð‘¢ 2 −12ð‘¢ð‘¢+36 3� −1� 2 5� 2 3� 1� 2 2 √ ð‘¥ð‘¥+6 √ ð‘¢ð‘¢ 5 3 2 = (ð‘¥ð‘¥ + 6) �2 − 8(ð‘¥ð‘¥ + 6) �2 + 72(ð‘¥ð‘¥ + 6) �2 + ð¶ð¶ 5 3 1 5 2. Cek kekonvergenan dari ∫−2 ∞ ð‘‘ð‘‘ð‘‘ð‘‘ ð‘ ð‘ (ð‘ ð‘ +2) ∞ 1 0 1 ∞ 1 ð¼ð¼ = � ð‘‘ð‘‘ð‘‘ð‘‘ = � ð‘‘ð‘‘ð‘‘ð‘‘ + � ð‘‘ð‘‘ð‘‘𑑠−2 ð‘ ð‘ (ð‘ ð‘  + 2) −2 ð‘ ð‘ (ð‘ ð‘  + 2) 0 ð‘ ð‘ (ð‘ ð‘  + 2) −1 1 ð‘ð‘ 1 1 1 ð‘‘ð‘‘ 1 = lim + � ð‘‘ð‘‘ð‘‘ð‘‘ + lim � ð‘‘ð‘‘ð‘‘ð‘‘ + lim � ð‘‘ð‘‘ð‘‘ð‘‘ + lim � ð‘‘ð‘‘ð‘‘ð‘‘ ð‘Žð‘Žâ†’−2 ð‘Žð‘Ž ð‘ ð‘ (ð‘ ð‘  + 2) ð‘ð‘→0− −1 ð‘ ð‘ (ð‘ ð‘  + 2) ð‘ð‘→0+ ð‘ð‘ ð‘ ð‘ (ð‘ ð‘  + 2) ð‘‘ð‘‘→∞ 1 ð‘ ð‘ (ð‘ ð‘  + 2) Integral lim ð‘ð‘→0+ ∫ð‘ð‘ ð‘‘ð‘‘ð‘‘ð‘‘ divergen, karena suku pertama dari lim ð‘ð‘→0+ ∫ð‘ð‘ ð‘‘ð‘‘ð‘‘ð‘‘=ð¥ð¥ ð¥ð¥ ð¥ð¥ ð’„ð’„→ðŸŽðŸŽ+ ∫ð’„ð’„ ð’…ð’…ð’…ð’… + 1 1 1 1 ðŸðŸ ðŸðŸ ðŸðŸ ð‘ ð‘ (ð‘ ð‘ +2) ð‘ ð‘ (ð‘ ð‘ +2) ðŸðŸ ð’”ð’” lim ð‘ð‘→0+ ∫ð‘ð‘ ð‘‘ð‘‘ð‘‘ð‘‘ divergen. Jadi, ð¼ð¼ divergen. −1 1 1 2 ð‘ ð‘ +2 3. Cek kekonvergenan dari ∑∞ , sebutkan uji yang digunakan dan jelaskan. 4 ð‘›ð‘›=1 3 ð‘›ð‘› 4 1 ∞ ∞ ð‘†ð‘† = � ð‘›ð‘› = 4 � ð‘›ð‘› 3 3 ð‘›ð‘›=0 ð‘›ð‘›=0 1 1 1 1 1 1 ∞ � = + 2+ 3+ 4+ 5+⋯ 3 ð‘›ð‘› 3 3 3 3 3 ð‘›ð‘›=0 adalah deret geometri dengan pengali 1�3 < 1. Jadi, deret ini konvergen. Maka, S juga konvergen. 4. Cek kekonvergenan dari ∑∞ , sebutkan uji yang digunakan dan jelaskan. ð‘›ð‘› ð‘›ð‘›=1 3 ð‘›ð‘› ð‘›ð‘› ∞ ð‘†ð‘† = � ð‘›ð‘›2 +2 ð‘›ð‘›=0 Misalkan ð‘Žð‘Ž ð‘›ð‘› = dan ð‘ð‘ ð‘›ð‘› = ð‘›ð‘› 1 ð‘›ð‘› 2 +2 ð‘›ð‘› Dengan uji perbandingan limit, ditemukan
ð‘Žð‘Ž ð‘›ð‘› ð‘›ð‘› ð‘›ð‘› ð‘›ð‘›2 ðœŒðœŒ = lim = lim � 2 ∙ � = lim 2 =1 ð‘›ð‘›â†’∞ ð‘ð‘ ð‘›ð‘› ð‘›ð‘›â†’∞ ð‘›ð‘› + 2 1 ð‘›ð‘›â†’∞ ð‘›ð‘› + 2 Jadi, karena ∑ ð‘ð‘ ð‘›ð‘› divergen (deret harmonik), maka ∑ ð‘Žð‘Ž ð‘›ð‘› juga divergen. 5. Tentukan himpunan kekonvergenan dari ∑∞ , nyatakan uji yang (2ð‘¥ð‘¥+3) ð‘›ð‘› ð‘›ð‘›=1 ð‘›ð‘›! digunakan dan jelaskan. ð‘Žð‘Ž ð‘›ð‘›+1 (2ð‘¥ð‘¥ + 3) ð‘›ð‘›+1 ð‘›ð‘›! 2ð‘¥ð‘¥ + 3 Dengan uji rasio mutlak diperoleh ðœŒðœŒ = lim � � = lim � ∗ � = lim � �=0 ð‘›ð‘›â†’∞ ð‘Žð‘Ž ð‘›ð‘› ð‘›ð‘›â†’∞ ( ð‘›ð‘› + 1)! (2ð‘¥ð‘¥ + 3) ð‘›ð‘› ð‘›ð‘›â†’∞ ð‘›ð‘› + 1 Jadi, deret ini konvergen untuk semua ð‘¥ð‘¥. Artinya, himpunan kekonvergenannya adalah â„. 6. Diketahui deret sebagai berikut: ð‘¥ð‘¥ ð‘¥ð‘¥ 2 ð‘¥ð‘¥ 3 ð‘¥ð‘¥ 4 ð‘¥ð‘¥ 5 1− + − + − ±⋯ 1 2 3 4 5 Tentukan himpunan kekonvergenannya, nyatakan uji yang digunakan, dan jelaskan. ð‘¥ð‘¥ ð‘¥ð‘¥ 2 ð‘¥ð‘¥ 3 ð‘¥ð‘¥ 4 ð‘¥ð‘¥ 5 ð‘¥ð‘¥ ð‘›ð‘› ∞ 1 − + − + − ± ⋯ = 1 + � (−1) ð‘›ð‘› 1 2 3 4 5 ð‘›ð‘› ð‘›ð‘›=1 ð‘Žð‘Ž ð‘›ð‘›+1 ð‘¥ð‘¥ ð‘›ð‘›+1 ð‘›ð‘› ð‘›ð‘› Dengan uji rasio mutlak, diperoleh ðœŒðœŒ = lim � � = lim � ∗ ð‘›ð‘› � = lim �ð‘¥ð‘¥ � = | ð‘¥ð‘¥ | ð‘›ð‘›â†’∞ ð‘Žð‘Ž ð‘›ð‘› ð‘›ð‘›â†’∞ ð‘›ð‘› + 1 ð‘¥ð‘¥ ð‘›ð‘›â†’∞ ð‘›ð‘› + 1 Agar konvergen, |ð‘¥ð‘¥| < 1 atau −1 < ð‘¥ð‘¥ < 1. Selanjutnya, untuk ð‘¥ð‘¥ = −1, deret menjadi1 + 1 + + + + + ⋯ (divergen: deret harmonik) 1 1 1 1 2 3 4 5 Untuk ð‘¥ð‘¥ = 1, deret menjadi 1 − 1 + − + − ± ⋯ (konvergen: deret berganti tanda) 1 1 1 1 2 3 4 5 Jadi, himpunan kekonvergenan deret tersebut adalah (−1, 1].

More Related Content

Solusi Kuis 1

  • 1. Solusi Kuis 1 – Kalkulus 2A Kelas 16 – 2012/2013 1. Hitunglah ∫ ð‘‘ð‘‘ð‘‘ð‘‘ ð‘¥ð‘¥ 2 √ ð‘¥ð‘¥+6 Misalkan ð‘¥ð‘¥ + 6 = ð‘¢ð‘¢ Maka, ð‘¥ð‘¥ = ð‘¢ð‘¢ − 6 dan ð‘‘ð‘‘ð‘‘ð‘‘ = ð‘‘ð‘‘ð‘‘ð‘‘. Juga, ð‘¥ð‘¥ 2 = (ð‘¢ð‘¢ − 6)2 = ð‘¢ð‘¢2 − 12ð‘¢ð‘¢ + 36 Jadi, ∫ ð‘‘ð‘‘ð‘‘ð‘‘ = ∫ ð‘‘ð‘‘ð‘‘ð‘‘ = ∫(ð‘¢ð‘¢ − 12√ ð‘¢ð‘¢ + 36ð‘¢ð‘¢ 2 )ð‘‘ð‘‘ð‘‘ð‘‘ = ð‘¢ð‘¢ − 12( ð‘¢ð‘¢ 2) + 36(2ð‘¢ð‘¢ 2) + ð¶ð¶ ð‘¥ð‘¥ 2 ð‘¢ð‘¢ 2 −12ð‘¢ð‘¢+36 3� −1� 2 5� 2 3� 1� 2 2 √ ð‘¥ð‘¥+6 √ ð‘¢ð‘¢ 5 3 2 = (ð‘¥ð‘¥ + 6) �2 − 8(ð‘¥ð‘¥ + 6) �2 + 72(ð‘¥ð‘¥ + 6) �2 + ð¶ð¶ 5 3 1 5 2. Cek kekonvergenan dari ∫−2 ∞ ð‘‘ð‘‘ð‘‘ð‘‘ ð‘ ð‘ (ð‘ ð‘ +2) ∞ 1 0 1 ∞ 1 ð¼ð¼ = � ð‘‘ð‘‘ð‘‘ð‘‘ = � ð‘‘ð‘‘ð‘‘ð‘‘ + � ð‘‘ð‘‘ð‘‘𑑠−2 ð‘ ð‘ (ð‘ ð‘  + 2) −2 ð‘ ð‘ (ð‘ ð‘  + 2) 0 ð‘ ð‘ (ð‘ ð‘  + 2) −1 1 ð‘ð‘ 1 1 1 ð‘‘ð‘‘ 1 = lim + � ð‘‘ð‘‘ð‘‘ð‘‘ + lim � ð‘‘ð‘‘ð‘‘ð‘‘ + lim � ð‘‘ð‘‘ð‘‘ð‘‘ + lim � ð‘‘ð‘‘ð‘‘ð‘‘ ð‘Žð‘Žâ†’−2 ð‘Žð‘Ž ð‘ ð‘ (ð‘ ð‘  + 2) ð‘ð‘→0− −1 ð‘ ð‘ (ð‘ ð‘  + 2) ð‘ð‘→0+ ð‘ð‘ ð‘ ð‘ (ð‘ ð‘  + 2) ð‘‘ð‘‘→∞ 1 ð‘ ð‘ (ð‘ ð‘  + 2) Integral lim ð‘ð‘→0+ ∫ð‘ð‘ ð‘‘ð‘‘ð‘‘ð‘‘ divergen, karena suku pertama dari lim ð‘ð‘→0+ ∫ð‘ð‘ ð‘‘ð‘‘ð‘‘ð‘‘=ð¥ð¥ ð¥ð¥ ð¥ð¥ ð’„ð’„→ðŸŽðŸŽ+ ∫ð’„ð’„ ð’…ð’…ð’…ð’… + 1 1 1 1 ðŸðŸ ðŸðŸ ðŸðŸ ð‘ ð‘ (ð‘ ð‘ +2) ð‘ ð‘ (ð‘ ð‘ +2) ðŸðŸ ð’”ð’” lim ð‘ð‘→0+ ∫ð‘ð‘ ð‘‘ð‘‘ð‘‘ð‘‘ divergen. Jadi, ð¼ð¼ divergen. −1 1 1 2 ð‘ ð‘ +2 3. Cek kekonvergenan dari ∑∞ , sebutkan uji yang digunakan dan jelaskan. 4 ð‘›ð‘›=1 3 ð‘›ð‘› 4 1 ∞ ∞ ð‘†ð‘† = � ð‘›ð‘› = 4 � ð‘›ð‘› 3 3 ð‘›ð‘›=0 ð‘›ð‘›=0 1 1 1 1 1 1 ∞ � = + 2+ 3+ 4+ 5+⋯ 3 ð‘›ð‘› 3 3 3 3 3 ð‘›ð‘›=0 adalah deret geometri dengan pengali 1�3 < 1. Jadi, deret ini konvergen. Maka, S juga konvergen. 4. Cek kekonvergenan dari ∑∞ , sebutkan uji yang digunakan dan jelaskan. ð‘›ð‘› ð‘›ð‘›=1 3 ð‘›ð‘› ð‘›ð‘› ∞ ð‘†ð‘† = � ð‘›ð‘›2 +2 ð‘›ð‘›=0 Misalkan ð‘Žð‘Ž ð‘›ð‘› = dan ð‘ð‘ ð‘›ð‘› = ð‘›ð‘› 1 ð‘›ð‘› 2 +2 ð‘›ð‘› Dengan uji perbandingan limit, ditemukan
  • 2. ð‘Žð‘Ž ð‘›ð‘› ð‘›ð‘› ð‘›ð‘› ð‘›ð‘›2 ðœŒðœŒ = lim = lim � 2 ∙ � = lim 2 =1 ð‘›ð‘›â†’∞ ð‘ð‘ ð‘›ð‘› ð‘›ð‘›â†’∞ ð‘›ð‘› + 2 1 ð‘›ð‘›â†’∞ ð‘›ð‘› + 2 Jadi, karena ∑ ð‘ð‘ ð‘›ð‘› divergen (deret harmonik), maka ∑ ð‘Žð‘Ž ð‘›ð‘› juga divergen. 5. Tentukan himpunan kekonvergenan dari ∑∞ , nyatakan uji yang (2ð‘¥ð‘¥+3) ð‘›ð‘› ð‘›ð‘›=1 ð‘›ð‘›! digunakan dan jelaskan. ð‘Žð‘Ž ð‘›ð‘›+1 (2ð‘¥ð‘¥ + 3) ð‘›ð‘›+1 ð‘›ð‘›! 2ð‘¥ð‘¥ + 3 Dengan uji rasio mutlak diperoleh ðœŒðœŒ = lim � � = lim � ∗ � = lim � �=0 ð‘›ð‘›â†’∞ ð‘Žð‘Ž ð‘›ð‘› ð‘›ð‘›â†’∞ ( ð‘›ð‘› + 1)! (2ð‘¥ð‘¥ + 3) ð‘›ð‘› ð‘›ð‘›â†’∞ ð‘›ð‘› + 1 Jadi, deret ini konvergen untuk semua ð‘¥ð‘¥. Artinya, himpunan kekonvergenannya adalah â„. 6. Diketahui deret sebagai berikut: ð‘¥ð‘¥ ð‘¥ð‘¥ 2 ð‘¥ð‘¥ 3 ð‘¥ð‘¥ 4 ð‘¥ð‘¥ 5 1− + − + − ±⋯ 1 2 3 4 5 Tentukan himpunan kekonvergenannya, nyatakan uji yang digunakan, dan jelaskan. ð‘¥ð‘¥ ð‘¥ð‘¥ 2 ð‘¥ð‘¥ 3 ð‘¥ð‘¥ 4 ð‘¥ð‘¥ 5 ð‘¥ð‘¥ ð‘›ð‘› ∞ 1 − + − + − ± ⋯ = 1 + � (−1) ð‘›ð‘› 1 2 3 4 5 ð‘›ð‘› ð‘›ð‘›=1 ð‘Žð‘Ž ð‘›ð‘›+1 ð‘¥ð‘¥ ð‘›ð‘›+1 ð‘›ð‘› ð‘›ð‘› Dengan uji rasio mutlak, diperoleh ðœŒðœŒ = lim � � = lim � ∗ ð‘›ð‘› � = lim �ð‘¥ð‘¥ � = | ð‘¥ð‘¥ | ð‘›ð‘›â†’∞ ð‘Žð‘Ž ð‘›ð‘› ð‘›ð‘›â†’∞ ð‘›ð‘› + 1 ð‘¥ð‘¥ ð‘›ð‘›â†’∞ ð‘›ð‘› + 1 Agar konvergen, |ð‘¥ð‘¥| < 1 atau −1 < ð‘¥ð‘¥ < 1. Selanjutnya, untuk ð‘¥ð‘¥ = −1, deret menjadi1 + 1 + + + + + ⋯ (divergen: deret harmonik) 1 1 1 1 2 3 4 5 Untuk ð‘¥ð‘¥ = 1, deret menjadi 1 − 1 + − + − ± ⋯ (konvergen: deret berganti tanda) 1 1 1 1 2 3 4 5 Jadi, himpunan kekonvergenan deret tersebut adalah (−1, 1].