ݺߣ

ݺߣShare a Scribd company logo

อสมการ

•
•
krusongkran
krusongkran
1 of 10
Downloaded 170 times
1 อสมการ คือ ประโยคสัญลักษณ์ที่กล่าวถึงความสัมพันธ์ของจานวน โดยมีสัญลักษณ์ น้อยกว่า( < ) มากกว่า ( > ) น้อยกว่าหรือเท่ากับ (≤) มากกว่าหรือเท่ากับ (≥) และ ไม่เท่ากับ (≠) เช่น 1<2<3 ความหมายคือ 1 < 2 และ 2 < 3 ℝ+ เป็นส่วนหนึ่งของ ℝ ดังนั้นจึงมีสมบัติที่เกี่ยวข้องคือ สมบัติจานวนจริงข้อที่ 11 , 12 ,13 นิยาม a < b คือ b − a ∈ ℝ+ a > b คือ a − b ∈ ℝ+ สมบัติไตรวิภาค ถ้า a และ b เป็นจานวนจริง ลักษณะของ a และ b จะเป็นจริงเพียงข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้ 1. a = b ก็ต่อเมื่อ a – b =0 2. a < b ก็ต่อเมื่อ b – a ∈ ℝ+ 3. a > b ก็ต่อเมื่อ a – b ∈ ℝ+ สมบัติการไม่เท่ากัน 1. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c 2. สมบัติการบวกด้วยจานวนที่เท่ากัน ถ้า a > b แล้ว a+c > b+c 3. สมบัติการคูณด้วยจานวนที่เท่ากัน ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc 4. สมบัติการตัดออกสาหรับการบวก ถ้า a+c > b+c แล้ว a > b 5. สมบัติการตัดออกสาหรับการคูณ ถ้า ac > bc และ c > 0 แล้ว a > b ถ้า ac > bc และ c < 0 แล้ว a < b
2 ตัวอย่างที่ 1. ให้ −5 ≤ x ≤ −2 และ −4 ≤ y ≤ 3 จงหา x + y2 , x−y วิธีทา จาก −5 ≤ x ≤ −2 จะได้ x ≥ −5 และ x ≤ −2 ... (1) จาก −4 ≤ y ≤ 3 จะได้ 9 ≤ y2 ≤ 16 นั่นคือ y2 ≥ 9 และ y 2 ≤ 16 ... (2) จาก −4 ≤ y ≤ 3 จะได้ −3 ≤ −y ≤ 4 นั่นคือ −y ≥ −3 และ −y ≤ 4 ... (3) (1) + (2) ; 4 ≤ x + y 2 ≤ 14 (1) + (3) ; −8 ≤ x − y ≤ 2 (a+b)2 ตัวอย่างที่ 2. ถ้า a > 0 และ b > 0 แล้วจงแสดงว่า 2 > ab (a+b)2 (a+b)2 วิธีทา [ในการตรวจสอบว่า 2 > ab หรือไม่ เราต้องตรวจสอบว่า 2 − ab > 0 ซึ่งเป็น จานวนจริงบวก] (a+b)2 a 2 +2ab +b 2 −2ab a 2 +b 2 เนื่องจาก 2 − ab = 2 = 2 a 2 +b 2 เนื่องจาก a > 0 และ b > 0 นั่นคือ a และ b เป็นจานวนจริงบวก ดังนั้น 2 >0ซึ่งเป็นจานวนจริงบวก a 2 +b 2 นั่นคือ 2 − ab>0 ซึ่งเป็นจานวนจริงบวก (a+b)2 ดังนั้น 2 > ab
3 ช่วงและเส้นจานวน (Interval and Number Line) เนื่องจากจานวนจริงเป็นเซตอนันต์ (เซตที่หาค่าสิ้นสุดไม่ได้) ดังนั้นอาจจะมีบางสับเซตของจานวน จริงเป็นเซตอนันต์ด้วย ซึ่งในบางครั้งเราไม่สามารถที่จะเขียนในรูปแจกแจงสมาชิกได้ นักคณิตศาสตร์จึงได้ กาหนดสัญลักษณ์ แทนสับเซตเหล่านั้น ซึ่งเรียกสัญลักษณ์นี้ว่า ช่วงของจานวนจริง ช่วงของจานวนจริง แบ่งออกเป็น 2 แบบ คือ ช่วงจากัด (finite interval) และ ช่วงอนันต์ (infinite interval) ดังนี้ 1. ช่วงจากัด 1.1) a, b = x a < x < b a b 1.2) a, b = x a ≤ x ≤ b a b 1.3) a, b = x a < x ≤ b a b 1.4) a, b = x a ≤ x < b a b 2. ช่วงอนันต์ 2.1) a, ∞ = x x > a a 2.2) a, ∞ = x x ≥ a a 2.3) −∞, a = x x < a a 2.4) −∞, a = x x ≤ a a 2.5) −∞, ∞ = x x ∈ R
4 ตัวอย่างที่ 3. ให้ A = x −1 < x ≤ 5 และ B = xx>2 จงหาเซตคาตอบของ A ∪ B , A ∩ B′ , A − B วิธีทา หา A ∪ B -1 2 5 ดังนั้น A ∪ B = x x ≥ −1 = [−1, ∞) หา A ∩ B′ -1 2 5 ดังนั้น A ∩ B ′ = x −1 ≤ x ≤ 2 = [−1,2] หา A − B -1 2 5 ดังนั้น A − B= x −1 ≤ x ≤ 2 = [−1,2] การแก้อสมการ(Solving Inequality) 1. การแก้อสมการเชิงเส้น(กาลังหนึ่ง) ตัวอย่างที่ 4. จงหาเซตคาตอบอสมการของ 3x − 2 ≥ 1 − 2x วิธีทา จาก 3x − 2 ≥ 1 − 2x 3x + 2x ≥ 1 + 2
5 5x ≥ 3 3 x≥5 3 3 ดังนั้น เซตคาตอบของอสมการคือ x x ≥ 5 = [5 , ∞) 2. การแก้อสมการกาลังสอง หลักเกณฑ์ในการแก้อสมการกาลังสองโดยทั่วไป มีดังนี้  ทาอสมการให้อยู่ในรูปขวามือ เท่ากับ 0  ซ้ายมือของอสมการต้องอยู่ในรูปตัวประกอบกาลังหนึ่ง โดยสัมประสิทธิ์หน้าตัวแปรต้องเป็นบวกเสมอ  จานวนที่เกี่ยวข้องกับคาตอบของอสมการ(ค่าวิกฤต) คือ ค่า x ที่ทาให้แต่ละตัวประกอบเป็น 0 นาค่า x มากาหนดจุดบนเส้นจานวน และใส่เครื่องหมายช่องขวามือสุดเป็น + ถัดมาเป็น – และใส่สลับกันเรื่อยๆ + - + - + x1 x2 x3 x4 ถ้า อสมการ เป็นเครื่องหมาย ≥, > ให้ตอบที่ช่อง บวก (+) ถ้า อสมการ เป็นเครื่องหมาย ≤, < ให้ตอบที่ช่อง ลบ ( - )  สาหรับอสมการตรรกยะ คืออสมการที่อยู่ในรูปเศษส่วนโดยมีพจน์หรือตัวแปรว่ามีค่า + , - , 0 เมื่อใด ดังนั้น เราจะไม่ใช้วิธีการคูณทแยง แต่เราจะแก้อสมการโดยใช้ 2 วิธีนี้(เลือกว่าจะใช้วิธีไหน)คือ 1. การใช้วิธีของช่วง คือต้องให้ความสาคัญของตัวส่วนที่ไม่ทราบค่า ต้องไม่เป็น 0 2. กรณีตัวส่วนเป็นตัวแปรกาลังหนึ่งจะนาตัวส่วนมายกกาลังสอง แล้วคูณทั้งอสมการ (จะทาให้เรา ตัดพจน์ที่เป็นตัวส่วนไปได้) แต่ถ้าตัวส่วนเป็นตัวแปรที่มีดีกรีมากกว่า 1 ให้นักเรียนพิจารณาว่าพจน์ของตัว ส่วนนั้นมีค่าเป็นบวกหรือไม่ ถ้ามีค่าเป็นบวกให้นักเรียนตัดพจน์นั้นได้เลย  สาหรับอสมการอตรรกยะ คือ อสมการที่อยู่ในรูปกรณ์( ) โดยที่มีพจน์ที่ไม่ทราบค่า เราสามารถ แก้อสมการอตรรกยะได้โดยขั้นแรก ต้องพิจารณาเงื่อนไขที่อยู่ภายในรูปกรณ์( ) ให้มากกว่าหรือ เท่ากับศูนย์ หลังจากนั้น ยกกาลังด้วย n เพื่อให้อสมการไม่อยู่ในรูปกรณ์( ) เมื่อ n ∈ I +
6 ตัวอย่างที่ 5. จงหาเซตคาตอบของอสมการ x2 − 2x − 3 ≤ 0 วิธีทา จาก x 2 − 2x − 3 ≤ 0 x − 3 (x + 1) ≤ 0 + - + ค่าวิกฤตคือ -1 , 3 -1 3 ดังนั้น เซตคาตอบของอสมการ คือ x −1 ≤ x ≤ 3 = [−1,3] 1 1 ตัวอย่างที่ 6. จงหาเซตคาตอบของอสมการของ < x 2 1 1 วิธีทา จาก < x 2 1 1 − <0 x 2 2−x <0 2x 2−x (2x)2 + - + < 0 ∙ (2x)2 2x 0 2 (2 – x)(2x) < 0 (x – 2)(2x) > 0 ดังนั้น เซตคาตอบของอสมการ คือ x x < 0 หรือ x > 2 = −∞, 0 ∪ (2, ∞) 1 ตัวอย่างที่ 7. จงหาเซตคาตอบของอสมการ > x+1 x−1 วิธีทา พิจารณา x−1 ; x−1≥ 0 ∴x≥1 และ x+1 ; x+1 ≥0 ∴ x ≥ −1 1 จาก x−1 > x+1 1 กาลังสองทั้งสองข้าง จะได้ x−1 >x+1 1 −x−1>0 x−1 1−x 2 −x+x+1 >0 x−1 −x 2 +2 >0 x−1
7 x 2 −2 <0 - + - + x−1 x 2 −( 2)2 − 2 1 2 <0 x−1 x− 2 (x+ 2) <0 x−1 เนื่องจากเงื่อนไข x ≥ 1 และ x ≥ −1 แต่ − 2 ไม่อยู่ในเงื่อนไข นั่นคือ − 2 ไม่ใช่คาตอบ ดังนั้น เซตคาตอบของอสมการคือ x 1 < x < 2 = (1, 2) 3. การแก้อสมการที่มีดีกรีมากกว่าสอง 2−3x x−1 ตัวอย่างที่ 8. ถ้า A เป็นเซตคาตอบของอสมการ x+1 ≥ 0 , B เป็นเซตคาตอบของ x 3 −5x 2 +x−5 ≤0 จงหา A ∩ B วิธีทา หา A 2−3x จากอสมการ x+1 ≥0 3x−2 ≤0 -1 2 x+1 3 2 2 ดังนั้น A = x −1 < x ≤ 3 = (−1, 3] หา B x−1 จากอสมการ x 3 −5x 2 +x−5 ≤0 x−1 ≤0 x−5 (x 2 +1) [ พยายามกาจัด (x2 + 1) โดยการพิจารณาว่า (x2 + 1) เป็นจานวนบวก เพื่อที่เราจะสามารถตัด (x2 + 1) ได้ ] เนื่องจาก (x 2 + 1) ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ แต่ 1 > 0 และ x 2 ≥ 0 ดังนั้น x 2 + 1 > 0 ซึ่งเป็นจานวนบวก x−1 นา (x2 + 1) คูณทั้งอสมการ x−5 (x 2 +1) (x2 + 1) ≤ 0 ∙ (x2 + 1) x−1 ≤0 + - + x−5 1 5
8 ดังนั้น 𝐵 = 𝑥 1 ≤ 𝑥 < 5 = [1,5) 2 -1 3 1 5 นั่นคือ 𝐴∩ 𝐵 = 2 −1, 3 ∩ 1,5 = ∅ 2𝑥−3 (𝑥 2 +1) ตัวอย่างที่ 9. จงหาเซตคาตอบของอสมการ (𝑥 6 +8) >0 วิธีทา เนื่องจาก 𝑥 2 + 1 > 0 และ 𝑥 6 + 8 > 0 ดังนั้น 𝑥 6 +8 นา 𝑥 2 +1 คูณตลอด จะได้ (2x – 3) > 0 3 ∴ 𝑥> 3 2 2 3 3 ดังนั้น เซตคาตอบของอสมการ คือ 𝑥 𝑥 > 2 = (2 , ∞) ตัวอย่างที่ 10. จงหาเซตคาตอบของอสมการ (4x – 3)7(3x2 + 6 ≤0 วิธีทา เนื่องจาก (4x – 3)7(3x2 + 6 ≤ 0 (4x – 3) (4x – 3)6(3x2 + 6 ≤ 0 เนื่องจาก (4x – 3)6 > 0 และ 3x2 + 6 > 0 ดังนั้น 1 นา คูณตลอด จะได้ 4x – 3 ≤ 0 4𝑥−3 6 (3𝑥 2 +6) 3 3 4 ∴ 𝑥≤ 4 3 3 ดังนั้น เซตคาตอบของอสมการ คือ 𝑥 𝑥 ≤ 4 = (−∞, 4] 𝑥−5 5 𝑥 2 −1 (𝑥 2 −4) ตัวอย่างที่ 11. จงหาคาตอบของอสมการ (𝑥+2)7 ≥0 𝑥−5 5 𝑥 2 −1 (𝑥 2 −4) วิธีทา จาก (𝑥+2)7 ≥0 (𝑥−5)4 𝑥−5 𝑥−1 𝑥+1 𝑥−2 (𝑥+2) ≥0 (𝑥+2)6 (𝑥+2)
9 จะเห็นว่าเราจะไม่ตัดทอน พจน์ เนื่องจาก (𝑥 − 5)4 > 0 และ (𝑥 + 2)6 > 0 ดังนั้น ของ(𝑥 + 2) ที่มีทั้งเศษและ (𝑥+2)6 𝑥−5 𝑥−1 𝑥+1 𝑥−2 (𝑥+2) ส่วน เนื่องจาก การที่มีพจน์เป็น นา 4 คูณตลอดอสมการ จะได้ (𝑥+2) ≥0 (𝑥−5) ตัวแปรกาลังหนึ่ง เราต้องนาค่าที่ เป็นกาลังหนึ่งมาพิจารณา - + - + - + ทั้งหมด ห้ามตัดทอนกัน  -2 -1 1 2 5 ดังนั้น เซตคาตองของอสมการ คือ 𝑥 −2 < 𝑥 ≤ −1 หรือ 1 ≤ 𝑥 ≤ 2 หรือ 𝑥 ≥ 5 = −2, −1 ∪ 1,2 ∪ [5, ∞) (𝑥−3)2 ตัวอย่างที่ 12. จงหาเซตคาตอบของอสมการ 𝑥 2 +4𝑥+5 >0 วิธีทา พิจารณา 𝑥 2 + 4𝑥 + 5 = (x + 2)2 - 4 + 5 = (x + 2)2 + 1 > 0 ดังนั้น นา 𝑥 2 + 4𝑥 + 5 คูณตลอดอสมการ จะได้ (𝑥 − 3)2 > 0 ยกเว้นที่ x = 3 [ เพราะที่ x = 3 จะทาให้ (𝑥 − 3)2 = 0 ] ดังนั้นคาตอบของอสมการคือ ℝ − 3 (3𝑥−5)2 ตัวอย่างที่ 13. จงหาเซตคาตอบของอสมการ ≤0 𝑥 2 +3 วิธีทา พิจารณา 𝑥 2 + 3 > 0 ดังนั้น นา 𝑥 2 + 3 คูณตลอดอสมการ จะได้ (3𝑥 − 5)2 ≤ 0 ... (1) แต่เมื่อพิจารณา (3𝑥 − 5)2 ≥ 0 ... (2) เสมอๆ ดังนั้นจากเงื่อนไขที่ (1) และ (2) จะได้ (3𝑥 − 5)2 = 0 (3x – 5) (3x – 5) = 0 5 x= 3 5 ดังนั้นคาตอบของอสมการคือ 3 4x 2 +7 ตัวอย่างที่ 14. จงหาเซตคาตอบของอสมการ (2x 2 +3x+5)(2x 2 +3x+5)12 < 0 4x 2 +7 วิธีทา จาก (2x 2 +3x+5)13 <0
10 4x 2 +7 <0 (2x 2 +3x+5)(2x 2 +3x+5)12 เนื่องจาก 4x2 + 7 > 0 และ (2x 2 + 3x + 5)12 > 0 ดังนั้น 1 นา (2x2 + 3x + 5)12 คูณตลอดอสมการ จะได้ (2x 2 +3x+5) <0 1 [เนื่องจาก อสมการ < 0 แสดงว่ามีค่าเป็นลบ แต่ 1 > 0 ดังนั้นเราต้องพิจารณา พจน์ของ (2x 2 +3x+5) 2x 2 + 3x + 5 ว่าต้องเป็น ลบ เท่านั้น อสมการจึงจะเป็นจริง] 1 จาก <0 (2x 2 +3x+5) 1 3 5 <0 2(x 2 + x+ ) 2 2 1 3 31 <0 2[(x+4 )2 +16 ] 3 2 31 จะเห็นว่า พจน์ของ 2 x + 4 + 16 > 0 เสมอแต่จากเงื่อนไขต้องเป็นเครื่องหมาย < ดังนั้นคาตอบของอสมการคือ ∅ สรุปหลักสาคัญๆ  การที่เราจะสามารถแก้อสมการได้ ต้องเป็นเฉพาะอสมการที่มีพจน์ตัวแปรมีดีกรีหนึ่งเท่านั้น ถ้าเป็นตัวแปรมีดีกรีสองเราต้องพิจารณาต่อไปว่าสามารถแยกตัวประกอบได้หรือไม่ เพราะถ้าแยกได้ จะ ได้ตัวแปรมีดีกรีหนึ่งที่เราสามารถหาค่าได้ แต่ถ้าไม่สามารถแยกได้ให้นักเรียนพิจารณาว่าตัวแปรดีกรีสอง นั้นเป็นบวกหรือไม่ เพราะถ้าเป็นบวก เราจะตัดพจน์นั้นทิ้งไปได้ไม่ต้องคิดค่า กรณีเป็นอสมการที่มีดีกรีมากกว่าสอง เราต้องพิจารณาก่อนว่าตัวแปรมีดีกรีเป็นจานวนคี่หรือว่าจานวนคู่ เพราะถ้าตัวแปรมีดีกรีเป็นจานวนคู่เราจะตัดออกไปได้ไม่ต้องนาพจน์ที่เป็นเลขคู่นั้นมาคิด(เพราะตัวแปรที่มี ดีกรีเป็นจานวนคู่จะมีค่าเป็นบวกเสมอ )แต่ถ้าดีกรีของตัวแปรเป็นจานวนคี่ เราต้องแยกให้ได้เป็นรูปของตัว แปรดีกรีหนึ่งคูณกับตัวแปรที่มีดีกรีเป็นจานวนคู่ แล้วตัดตัวแปรพจน์ที่มีดีกรีเป็นจานวนคู่นั้นไป แล้ว พิจารณาพจน์ตัวแปรที่เป็นกาลังหนึ่ง

More Related Content

อสมการ

  • 1. 1 อสมการ คือ ประโยคสัญลักษณ์ที่กล่าวถึงความสัมพันธ์ของจานวน โดยมีสัญลักษณ์ น้อยกว่า( < ) มากกว่า ( > ) น้อยกว่าหรือเท่ากับ (≤) มากกว่าหรือเท่ากับ (≥) และ ไม่เท่ากับ (≠) เช่น 1<2<3 ความหมายคือ 1 < 2 และ 2 < 3 ℝ+ เป็นส่วนหนึ่งของ ℝ ดังนั้นจึงมีสมบัติที่เกี่ยวข้องคือ สมบัติจานวนจริงข้อที่ 11 , 12 ,13 นิยาม a < b คือ b − a ∈ ℝ+ a > b คือ a − b ∈ ℝ+ สมบัติไตรวิภาค ถ้า a และ b เป็นจานวนจริง ลักษณะของ a และ b จะเป็นจริงเพียงข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้ 1. a = b ก็ต่อเมื่อ a – b =0 2. a < b ก็ต่อเมื่อ b – a ∈ ℝ+ 3. a > b ก็ต่อเมื่อ a – b ∈ ℝ+ สมบัติการไม่เท่ากัน 1. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c 2. สมบัติการบวกด้วยจานวนที่เท่ากัน ถ้า a > b แล้ว a+c > b+c 3. สมบัติการคูณด้วยจานวนที่เท่ากัน ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc 4. สมบัติการตัดออกสาหรับการบวก ถ้า a+c > b+c แล้ว a > b 5. สมบัติการตัดออกสาหรับการคูณ ถ้า ac > bc และ c > 0 แล้ว a > b ถ้า ac > bc และ c < 0 แล้ว a < b
  • 2. 2 ตัวอย่างที่ 1. ให้ −5 ≤ x ≤ −2 และ −4 ≤ y ≤ 3 จงหา x + y2 , x−y วิธีทา จาก −5 ≤ x ≤ −2 จะได้ x ≥ −5 และ x ≤ −2 ... (1) จาก −4 ≤ y ≤ 3 จะได้ 9 ≤ y2 ≤ 16 นั่นคือ y2 ≥ 9 และ y 2 ≤ 16 ... (2) จาก −4 ≤ y ≤ 3 จะได้ −3 ≤ −y ≤ 4 นั่นคือ −y ≥ −3 และ −y ≤ 4 ... (3) (1) + (2) ; 4 ≤ x + y 2 ≤ 14 (1) + (3) ; −8 ≤ x − y ≤ 2 (a+b)2 ตัวอย่างที่ 2. ถ้า a > 0 และ b > 0 แล้วจงแสดงว่า 2 > ab (a+b)2 (a+b)2 วิธีทา [ในการตรวจสอบว่า 2 > ab หรือไม่ เราต้องตรวจสอบว่า 2 − ab > 0 ซึ่งเป็น จานวนจริงบวก] (a+b)2 a 2 +2ab +b 2 −2ab a 2 +b 2 เนื่องจาก 2 − ab = 2 = 2 a 2 +b 2 เนื่องจาก a > 0 และ b > 0 นั่นคือ a และ b เป็นจานวนจริงบวก ดังนั้น 2 >0ซึ่งเป็นจานวนจริงบวก a 2 +b 2 นั่นคือ 2 − ab>0 ซึ่งเป็นจานวนจริงบวก (a+b)2 ดังนั้น 2 > ab
  • 3. 3 ช่วงและเส้นจานวน (Interval and Number Line) เนื่องจากจานวนจริงเป็นเซตอนันต์ (เซตที่หาค่าสิ้นสุดไม่ได้) ดังนั้นอาจจะมีบางสับเซตของจานวน จริงเป็นเซตอนันต์ด้วย ซึ่งในบางครั้งเราไม่สามารถที่จะเขียนในรูปแจกแจงสมาชิกได้ นักคณิตศาสตร์จึงได้ กาหนดสัญลักษณ์ แทนสับเซตเหล่านั้น ซึ่งเรียกสัญลักษณ์นี้ว่า ช่วงของจานวนจริง ช่วงของจานวนจริง แบ่งออกเป็น 2 แบบ คือ ช่วงจากัด (finite interval) และ ช่วงอนันต์ (infinite interval) ดังนี้ 1. ช่วงจากัด 1.1) a, b = x a < x < b a b 1.2) a, b = x a ≤ x ≤ b a b 1.3) a, b = x a < x ≤ b a b 1.4) a, b = x a ≤ x < b a b 2. ช่วงอนันต์ 2.1) a, ∞ = x x > a a 2.2) a, ∞ = x x ≥ a a 2.3) −∞, a = x x < a a 2.4) −∞, a = x x ≤ a a 2.5) −∞, ∞ = x x ∈ R
  • 4. 4 ตัวอย่างที่ 3. ให้ A = x −1 < x ≤ 5 และ B = xx>2 จงหาเซตคาตอบของ A ∪ B , A ∩ B′ , A − B วิธีทา หา A ∪ B -1 2 5 ดังนั้น A ∪ B = x x ≥ −1 = [−1, ∞) หา A ∩ B′ -1 2 5 ดังนั้น A ∩ B ′ = x −1 ≤ x ≤ 2 = [−1,2] หา A − B -1 2 5 ดังนั้น A − B= x −1 ≤ x ≤ 2 = [−1,2] การแก้อสมการ(Solving Inequality) 1. การแก้อสมการเชิงเส้น(กาลังหนึ่ง) ตัวอย่างที่ 4. จงหาเซตคาตอบอสมการของ 3x − 2 ≥ 1 − 2x วิธีทา จาก 3x − 2 ≥ 1 − 2x 3x + 2x ≥ 1 + 2
  • 5. 5 5x ≥ 3 3 x≥5 3 3 ดังนั้น เซตคาตอบของอสมการคือ x x ≥ 5 = [5 , ∞) 2. การแก้อสมการกาลังสอง หลักเกณฑ์ในการแก้อสมการกาลังสองโดยทั่วไป มีดังนี้  ทาอสมการให้อยู่ในรูปขวามือ เท่ากับ 0  ซ้ายมือของอสมการต้องอยู่ในรูปตัวประกอบกาลังหนึ่ง โดยสัมประสิทธิ์หน้าตัวแปรต้องเป็นบวกเสมอ  จานวนที่เกี่ยวข้องกับคาตอบของอสมการ(ค่าวิกฤต) คือ ค่า x ที่ทาให้แต่ละตัวประกอบเป็น 0 นาค่า x มากาหนดจุดบนเส้นจานวน และใส่เครื่องหมายช่องขวามือสุดเป็น + ถัดมาเป็น – และใส่สลับกันเรื่อยๆ + - + - + x1 x2 x3 x4 ถ้า อสมการ เป็นเครื่องหมาย ≥, > ให้ตอบที่ช่อง บวก (+) ถ้า อสมการ เป็นเครื่องหมาย ≤, < ให้ตอบที่ช่อง ลบ ( - )  สาหรับอสมการตรรกยะ คืออสมการที่อยู่ในรูปเศษส่วนโดยมีพจน์หรือตัวแปรว่ามีค่า + , - , 0 เมื่อใด ดังนั้น เราจะไม่ใช้วิธีการคูณทแยง แต่เราจะแก้อสมการโดยใช้ 2 วิธีนี้(เลือกว่าจะใช้วิธีไหน)คือ 1. การใช้วิธีของช่วง คือต้องให้ความสาคัญของตัวส่วนที่ไม่ทราบค่า ต้องไม่เป็น 0 2. กรณีตัวส่วนเป็นตัวแปรกาลังหนึ่งจะนาตัวส่วนมายกกาลังสอง แล้วคูณทั้งอสมการ (จะทาให้เรา ตัดพจน์ที่เป็นตัวส่วนไปได้) แต่ถ้าตัวส่วนเป็นตัวแปรที่มีดีกรีมากกว่า 1 ให้นักเรียนพิจารณาว่าพจน์ของตัว ส่วนนั้นมีค่าเป็นบวกหรือไม่ ถ้ามีค่าเป็นบวกให้นักเรียนตัดพจน์นั้นได้เลย  สาหรับอสมการอตรรกยะ คือ อสมการที่อยู่ในรูปกรณ์( ) โดยที่มีพจน์ที่ไม่ทราบค่า เราสามารถ แก้อสมการอตรรกยะได้โดยขั้นแรก ต้องพิจารณาเงื่อนไขที่อยู่ภายในรูปกรณ์( ) ให้มากกว่าหรือ เท่ากับศูนย์ หลังจากนั้น ยกกาลังด้วย n เพื่อให้อสมการไม่อยู่ในรูปกรณ์( ) เมื่อ n ∈ I +
  • 6. 6 ตัวอย่างที่ 5. จงหาเซตคาตอบของอสมการ x2 − 2x − 3 ≤ 0 วิธีทา จาก x 2 − 2x − 3 ≤ 0 x − 3 (x + 1) ≤ 0 + - + ค่าวิกฤตคือ -1 , 3 -1 3 ดังนั้น เซตคาตอบของอสมการ คือ x −1 ≤ x ≤ 3 = [−1,3] 1 1 ตัวอย่างที่ 6. จงหาเซตคาตอบของอสมการของ < x 2 1 1 วิธีทา จาก < x 2 1 1 − <0 x 2 2−x <0 2x 2−x (2x)2 + - + < 0 ∙ (2x)2 2x 0 2 (2 – x)(2x) < 0 (x – 2)(2x) > 0 ดังนั้น เซตคาตอบของอสมการ คือ x x < 0 หรือ x > 2 = −∞, 0 ∪ (2, ∞) 1 ตัวอย่างที่ 7. จงหาเซตคาตอบของอสมการ > x+1 x−1 วิธีทา พิจารณา x−1 ; x−1≥ 0 ∴x≥1 และ x+1 ; x+1 ≥0 ∴ x ≥ −1 1 จาก x−1 > x+1 1 กาลังสองทั้งสองข้าง จะได้ x−1 >x+1 1 −x−1>0 x−1 1−x 2 −x+x+1 >0 x−1 −x 2 +2 >0 x−1
  • 7. 7 x 2 −2 <0 - + - + x−1 x 2 −( 2)2 − 2 1 2 <0 x−1 x− 2 (x+ 2) <0 x−1 เนื่องจากเงื่อนไข x ≥ 1 และ x ≥ −1 แต่ − 2 ไม่อยู่ในเงื่อนไข นั่นคือ − 2 ไม่ใช่คาตอบ ดังนั้น เซตคาตอบของอสมการคือ x 1 < x < 2 = (1, 2) 3. การแก้อสมการที่มีดีกรีมากกว่าสอง 2−3x x−1 ตัวอย่างที่ 8. ถ้า A เป็นเซตคาตอบของอสมการ x+1 ≥ 0 , B เป็นเซตคาตอบของ x 3 −5x 2 +x−5 ≤0 จงหา A ∩ B วิธีทา หา A 2−3x จากอสมการ x+1 ≥0 3x−2 ≤0 -1 2 x+1 3 2 2 ดังนั้น A = x −1 < x ≤ 3 = (−1, 3] หา B x−1 จากอสมการ x 3 −5x 2 +x−5 ≤0 x−1 ≤0 x−5 (x 2 +1) [ พยายามกาจัด (x2 + 1) โดยการพิจารณาว่า (x2 + 1) เป็นจานวนบวก เพื่อที่เราจะสามารถตัด (x2 + 1) ได้ ] เนื่องจาก (x 2 + 1) ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ แต่ 1 > 0 และ x 2 ≥ 0 ดังนั้น x 2 + 1 > 0 ซึ่งเป็นจานวนบวก x−1 นา (x2 + 1) คูณทั้งอสมการ x−5 (x 2 +1) (x2 + 1) ≤ 0 ∙ (x2 + 1) x−1 ≤0 + - + x−5 1 5
  • 8. 8 ดังนั้น 𝐵 = 𝑥 1 ≤ 𝑥 < 5 = [1,5) 2 -1 3 1 5 นั่นคือ 𝐴∩ 𝐵 = 2 −1, 3 ∩ 1,5 = ∅ 2𝑥−3 (𝑥 2 +1) ตัวอย่างที่ 9. จงหาเซตคาตอบของอสมการ (𝑥 6 +8) >0 วิธีทา เนื่องจาก 𝑥 2 + 1 > 0 และ 𝑥 6 + 8 > 0 ดังนั้น 𝑥 6 +8 นา 𝑥 2 +1 คูณตลอด จะได้ (2x – 3) > 0 3 ∴ 𝑥> 3 2 2 3 3 ดังนั้น เซตคาตอบของอสมการ คือ 𝑥 𝑥 > 2 = (2 , ∞) ตัวอย่างที่ 10. จงหาเซตคาตอบของอสมการ (4x – 3)7(3x2 + 6 ≤0 วิธีทา เนื่องจาก (4x – 3)7(3x2 + 6 ≤ 0 (4x – 3) (4x – 3)6(3x2 + 6 ≤ 0 เนื่องจาก (4x – 3)6 > 0 และ 3x2 + 6 > 0 ดังนั้น 1 นา คูณตลอด จะได้ 4x – 3 ≤ 0 4𝑥−3 6 (3𝑥 2 +6) 3 3 4 ∴ 𝑥≤ 4 3 3 ดังนั้น เซตคาตอบของอสมการ คือ 𝑥 𝑥 ≤ 4 = (−∞, 4] 𝑥−5 5 𝑥 2 −1 (𝑥 2 −4) ตัวอย่างที่ 11. จงหาคาตอบของอสมการ (𝑥+2)7 ≥0 𝑥−5 5 𝑥 2 −1 (𝑥 2 −4) วิธีทา จาก (𝑥+2)7 ≥0 (𝑥−5)4 𝑥−5 𝑥−1 𝑥+1 𝑥−2 (𝑥+2) ≥0 (𝑥+2)6 (𝑥+2)
  • 9. 9 จะเห็นว่าเราจะไม่ตัดทอน พจน์ เนื่องจาก (𝑥 − 5)4 > 0 และ (𝑥 + 2)6 > 0 ดังนั้น ของ(𝑥 + 2) ที่มีทั้งเศษและ (𝑥+2)6 𝑥−5 𝑥−1 𝑥+1 𝑥−2 (𝑥+2) ส่วน เนื่องจาก การที่มีพจน์เป็น นา 4 คูณตลอดอสมการ จะได้ (𝑥+2) ≥0 (𝑥−5) ตัวแปรกาลังหนึ่ง เราต้องนาค่าที่ เป็นกาลังหนึ่งมาพิจารณา - + - + - + ทั้งหมด ห้ามตัดทอนกัน  -2 -1 1 2 5 ดังนั้น เซตคาตองของอสมการ คือ 𝑥 −2 < 𝑥 ≤ −1 หรือ 1 ≤ 𝑥 ≤ 2 หรือ 𝑥 ≥ 5 = −2, −1 ∪ 1,2 ∪ [5, ∞) (𝑥−3)2 ตัวอย่างที่ 12. จงหาเซตคาตอบของอสมการ 𝑥 2 +4𝑥+5 >0 วิธีทา พิจารณา 𝑥 2 + 4𝑥 + 5 = (x + 2)2 - 4 + 5 = (x + 2)2 + 1 > 0 ดังนั้น นา 𝑥 2 + 4𝑥 + 5 คูณตลอดอสมการ จะได้ (𝑥 − 3)2 > 0 ยกเว้นที่ x = 3 [ เพราะที่ x = 3 จะทาให้ (𝑥 − 3)2 = 0 ] ดังนั้นคาตอบของอสมการคือ ℝ − 3 (3𝑥−5)2 ตัวอย่างที่ 13. จงหาเซตคาตอบของอสมการ ≤0 𝑥 2 +3 วิธีทา พิจารณา 𝑥 2 + 3 > 0 ดังนั้น นา 𝑥 2 + 3 คูณตลอดอสมการ จะได้ (3𝑥 − 5)2 ≤ 0 ... (1) แต่เมื่อพิจารณา (3𝑥 − 5)2 ≥ 0 ... (2) เสมอๆ ดังนั้นจากเงื่อนไขที่ (1) และ (2) จะได้ (3𝑥 − 5)2 = 0 (3x – 5) (3x – 5) = 0 5 x= 3 5 ดังนั้นคาตอบของอสมการคือ 3 4x 2 +7 ตัวอย่างที่ 14. จงหาเซตคาตอบของอสมการ (2x 2 +3x+5)(2x 2 +3x+5)12 < 0 4x 2 +7 วิธีทา จาก (2x 2 +3x+5)13 <0
  • 10. 10 4x 2 +7 <0 (2x 2 +3x+5)(2x 2 +3x+5)12 เนื่องจาก 4x2 + 7 > 0 และ (2x 2 + 3x + 5)12 > 0 ดังนั้น 1 นา (2x2 + 3x + 5)12 คูณตลอดอสมการ จะได้ (2x 2 +3x+5) <0 1 [เนื่องจาก อสมการ < 0 แสดงว่ามีค่าเป็นลบ แต่ 1 > 0 ดังนั้นเราต้องพิจารณา พจน์ของ (2x 2 +3x+5) 2x 2 + 3x + 5 ว่าต้องเป็น ลบ เท่านั้น อสมการจึงจะเป็นจริง] 1 จาก <0 (2x 2 +3x+5) 1 3 5 <0 2(x 2 + x+ ) 2 2 1 3 31 <0 2[(x+4 )2 +16 ] 3 2 31 จะเห็นว่า พจน์ของ 2 x + 4 + 16 > 0 เสมอแต่จากเงื่อนไขต้องเป็นเครื่องหมาย < ดังนั้นคาตอบของอสมการคือ ∅ สรุปหลักสาคัญๆ  การที่เราจะสามารถแก้อสมการได้ ต้องเป็นเฉพาะอสมการที่มีพจน์ตัวแปรมีดีกรีหนึ่งเท่านั้น ถ้าเป็นตัวแปรมีดีกรีสองเราต้องพิจารณาต่อไปว่าสามารถแยกตัวประกอบได้หรือไม่ เพราะถ้าแยกได้ จะ ได้ตัวแปรมีดีกรีหนึ่งที่เราสามารถหาค่าได้ แต่ถ้าไม่สามารถแยกได้ให้นักเรียนพิจารณาว่าตัวแปรดีกรีสอง นั้นเป็นบวกหรือไม่ เพราะถ้าเป็นบวก เราจะตัดพจน์นั้นทิ้งไปได้ไม่ต้องคิดค่า กรณีเป็นอสมการที่มีดีกรีมากกว่าสอง เราต้องพิจารณาก่อนว่าตัวแปรมีดีกรีเป็นจานวนคี่หรือว่าจานวนคู่ เพราะถ้าตัวแปรมีดีกรีเป็นจานวนคู่เราจะตัดออกไปได้ไม่ต้องนาพจน์ที่เป็นเลขคู่นั้นมาคิด(เพราะตัวแปรที่มี ดีกรีเป็นจานวนคู่จะมีค่าเป็นบวกเสมอ )แต่ถ้าดีกรีของตัวแปรเป็นจานวนคี่ เราต้องแยกให้ได้เป็นรูปของตัว แปรดีกรีหนึ่งคูณกับตัวแปรที่มีดีกรีเป็นจานวนคู่ แล้วตัดตัวแปรพจน์ที่มีดีกรีเป็นจานวนคู่นั้นไป แล้ว พิจารณาพจน์ตัวแปรที่เป็นกาลังหนึ่ง