ݺߣ

ݺߣShare a Scribd company logo

Ο Σέρλοκ Χόλμς, και η εις άτοπον απαγωγή

•
•
J
jpapoglou
1 of 29
Λέσχη Ανάγνωσης Γυμνασίου Σούδας Σχολικό έτος 2012-2013
Το σμαραγδένιο στέμμα Reductio ad Σύμφωνα με ένα παλιό μου ρητό, absurdum οτιδήποτε απομένει, οσοδήποτε απίθανο, πρέπει να είναι η αλήθεια.
Ο Σέρλοκ Χόλμς, και η εις άτοπον απαγωγή
Ένας απλός, αλλά αργός αλγόριθμος εύρεσης πρώτων αριθμών Κόσκινο του Ερατοσθένη Μέχρι τον Μάιο του 2009, ο μεγαλύτερος γνωστός πρώτος αριθμός είναι ο: 2 43.112.609 − 1
Διάγραμμα πιθανότητας εύρεσης πρώτων αριθμών Πιθανότητα Διαστήματα εύρεσης πρώτων 0-100 1/4 0-1000 1/6 0-10000 1/8 0-100000 1/10 0-1000000 1/12 Μήπως είναι πεπερασμένοι;
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί 325 π.χ. - 265 π.χ.
ΑΠΟΔΕΙөΗ <<Θέλεις απόδειξη; Πάρε την απόδειξη!>>
ΑΠΟΔΕΙөΗ Υπόθεση: Έστω ότι οι ΠΡΩΤΟΙ αριθμοί είναι πεπερασμένοι, τότε θεωρούμε p τον μεγαλύτερο πρώτο. 2,3,5,7,11,…,p
ΑΠΟΔΕΙөΗ Θεωρ ώ N = 2×3×5×...× p +1 έναν σ ύνθετο αριθµ ό Αφού είναι σύνθετος μπορεί να αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.
ΑΠΟΔΕΙөΗ Ποιος όμως πρώτος διαιρεί τον Ν; Ν 2 Ν 3 u =1 3 × 5 × 7 × ... × p u =1 2 × 5 × 7 × ... × p Ν u =1 5 2 × 3 × 7 × ... × p Ν u=1 7 2 × 3 × 5 × 11× ... × p …
ΑΠΟΔΕΙөΗ Κανένας, αφού με όποιον πρώτο και αν τον διαιρέσουμε πάντα θα δίνει υπόλοιπο 1. Άρα ο αριθμός Ν δεν είναι σύνθετος (ΑΤΟΠΟ), οπότε θα είναι πρώτος. Τελικά οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι.
Ο Σέρλοκ Χόλμς, και η εις άτοπον απαγωγή
Το Κένιγκσμπεργκ την εποχή του Leonard Euler Το Κένιγκσμπεργκ (Καλίνινγκραντ) σήμερα
Μπορεί κανείς να περπατήσει στο Κενιγκσμπεργκ με τέτοιον τρόπο, ώστε να διασχίσει και τις επτά γέφυρες μια και μόνο μια φορά;
Απόδειξη Υποθέτουμε ότι είναι δυνατόν να διασχίσουμε και τις επτά γέφυρες μόνο μια φορά. Ξεκινάμε από μια από τις περιοχές Α, Β, Γ, Δ και καταλήγουμε σε μια από αυτές (πιθανότατα και στην ίδια από την οποία ξεκινήσαμε), έχοντας διασχίσει κάθε μια από τις επτά γέφυρες ακριβώς μια φορά.
Απόδειξη Υποθέτουμε ότι είναι δυνατόν να διασχίσουμε και τις επτά γέφυρες μόνο μια φορά. Έπεται αμέσως πως θα υπάρχουν τουλάχιστον δυο περιοχές οι οποίες δεν θα είναι ούτε η αφετηρία ούτε ο τερματισμός του περιπάτου.
Απόδειξη Υποθέτουμε ότι είναι δυνατόν να διασχίσουμε και τις επτά γέφυρες μόνο μια φορά. Εξετάστε μια από τις δύο περιοχές: όσες φορές την επισκεπτόμαστε τόσες φορές την αφήνουμε πίσω μας και,
Απόδειξη Υποθέτουμε ότι είναι δυνατόν να διασχίσουμε και τις επτά γέφυρες μόνο μια φορά. καθώς διασχίζουμε κάθε γέφυρα ακριβώς μια φορά, προκύπτει ότι ο αριθμός γεφυρών που καταλήγουν στην εν λόγω περιοχή θα πρέπει να είναι ζυγός.
Απόδειξη Υποθέτουμε ότι είναι δυνατόν να διασχίσουμε και τις επτά γέφυρες μόνο μια φορά. Όμως, όπως βλέπουμε και στο σχήμα, καμία περιοχή του Κενιγκσμπεργκ δεν έχει αυτή την ιδιότητα
Απόδειξη Υποθέτουμε ότι είναι δυνατόν να διασχίσουμε και τις επτά γέφυρες μόνο μια φορά. Το νησί Α έχει πέντε γέφυρες ενώ οι περιοχές Β, Γ και Δ έχουν από τρεις γέφυρες η κάθε μία.
Από το σχολικό παιχνίδι στην παρατήρηση και στην δημιουργία κανόνα.
Σωστές απαντήσεις Λάθος απαντήσεις 2 2 3 3 4 4 3 2 2 3 3 3 3 3 2 5 3 4 5 5 4 4 4 4 5 5 4 3 4 4 5
Leonard Euler 1707-1783 Το γράφημα μπορεί να γράφει «μονοκονδυλιά» αν και μόνο αν έχει κανέναν ή δύο κόμβους περιττού βαθμού.
Σχεδιαγράμματα Δικτύων Διάγραμμα δικτύου internet της Διάγραμμα δικτύου του OTE Νέας Υόρκης
Ο Σέρλοκ Χόλμς, και η εις άτοπον απαγωγή
Το τελευταίο θεώρημα του Fermat Είναι αδύνατο να βρεθούν ακέραιοι, x, y, z, τέτοιοι ώστε x +y =z n n n Για n ακέραιο, μεγαλύτερο του 2. Pierre de Fermat 1601-1665
Andrew Wiles Καθηγητής στο Princeton Πρώτη είδηση στους GUARDIAN τον Ιούνιο του 1993
… Επομένως η ιδέα της απόδειξης με την εις άτοπον απαγωγή είναι ζωντανή και ακμαιότατη ακόμα και σήμερα, περίπου δυο χιλιάδες χρόνια μετά τον Ευκλείδη, που τόσο αποτελεσματικά τη χρησιμοποίησε στους πρώτους αριθμούς.
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ  ‘’1.089ένα μαγικό ταξίδι στον κόσμο των μαθηματικών’’ David Acheson Εκδ: Οκτώ. Σημειώσεις για το βιβλίο Πυθαγόρεια εγκλήματα της ΠΑΤΣΙΑ ΜΑΡΙΑ Λέσχη βιβλίου Νάουσας. Η εικόνα του Σέρλοκ Χόλμς είναι από το κόμικ «Το σκυλί των Μπάσκερβιλ>> Εκδ: Μεταίχμιο.

More Related Content

Ο Σέρλοκ Χόλμς, και η εις άτοπον απαγωγή

  • 1. Λέσχη Ανάγνωσης Γυμνασίου Σούδας Σχολικό έτος 2012-2013
  • 2. Το σμαραγδένιο στέμμα Reductio ad Σύμφωνα με ένα παλιό μου ρητό, absurdum οτιδήποτε απομένει, οσοδήποτε απίθανο, πρέπει να είναι η αλήθεια.
  • 4. Ένας απλός, αλλά αργός αλγόριθμος εύρεσης πρώτων αριθμών Κόσκινο του Ερατοσθένη Μέχρι τον Μάιο του 2009, ο μεγαλύτερος γνωστός πρώτος αριθμός είναι ο: 2 43.112.609 − 1
  • 5. Διάγραμμα πιθανότητας εύρεσης πρώτων αριθμών Πιθανότητα Διαστήματα εύρεσης πρώτων 0-100 1/4 0-1000 1/6 0-10000 1/8 0-100000 1/10 0-1000000 1/12 Μήπως είναι πεπερασμένοι;
  • 6. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί 325 π.χ. - 265 π.χ.
  • 8. ΑΠΟΔΕΙөΗ Υπόθεση: Έστω ότι οι ΠΡΩΤΟΙ αριθμοί είναι πεπερασμένοι, τότε θεωρούμε p τον μεγαλύτερο πρώτο. 2,3,5,7,11,…,p
  • 9. ΑΠΟΔΕΙөΗ Θεωρ ώ N = 2×3×5×...× p +1 έναν σ ύνθετο αριθµ ό Αφού είναι σύνθετος μπορεί να αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.
  • 10. ΑΠΟΔΕΙөΗ Ποιος όμως πρώτος διαιρεί τον Ν; Ν 2 Ν 3 u =1 3 × 5 × 7 × ... × p u =1 2 × 5 × 7 × ... × p Ν u =1 5 2 × 3 × 7 × ... × p Ν u=1 7 2 × 3 × 5 × 11× ... × p …
  • 11. ΑΠΟΔΕΙөΗ Κανένας, αφού με όποιον πρώτο και αν τον διαιρέσουμε πάντα θα δίνει υπόλοιπο 1. Άρα ο αριθμός Ν δεν είναι σύνθετος (ΑΤΟΠΟ), οπότε θα είναι πρώτος. Τελικά οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι.
  • 13. Το Κένιγκσμπεργκ την εποχή του Leonard Euler Το Κένιγκσμπεργκ (Καλίνινγκραντ) σήμερα
  • 14. Μπορεί κανείς να περπατήσει στο Κενιγκσμπεργκ με τέτοιον τρόπο, ώστε να διασχίσει και τις επτά γέφυρες μια και μόνο μια φορά;
  • 15. Απόδειξη Υποθέτουμε ότι είναι δυνατόν να διασχίσουμε και τις επτά γέφυρες μόνο μια φορά. Ξεκινάμε από μια από τις περιοχές Α, Β, Γ, Δ και καταλήγουμε σε μια από αυτές (πιθανότατα και στην ίδια από την οποία ξεκινήσαμε), έχοντας διασχίσει κάθε μια από τις επτά γέφυρες ακριβώς μια φορά.
  • 16. Απόδειξη Υποθέτουμε ότι είναι δυνατόν να διασχίσουμε και τις επτά γέφυρες μόνο μια φορά. Έπεται αμέσως πως θα υπάρχουν τουλάχιστον δυο περιοχές οι οποίες δεν θα είναι ούτε η αφετηρία ούτε ο τερματισμός του περιπάτου.
  • 17. Απόδειξη Υποθέτουμε ότι είναι δυνατόν να διασχίσουμε και τις επτά γέφυρες μόνο μια φορά. Εξετάστε μια από τις δύο περιοχές: όσες φορές την επισκεπτόμαστε τόσες φορές την αφήνουμε πίσω μας και,
  • 18. Απόδειξη Υποθέτουμε ότι είναι δυνατόν να διασχίσουμε και τις επτά γέφυρες μόνο μια φορά. καθώς διασχίζουμε κάθε γέφυρα ακριβώς μια φορά, προκύπτει ότι ο αριθμός γεφυρών που καταλήγουν στην εν λόγω περιοχή θα πρέπει να είναι ζυγός.
  • 19. Απόδειξη Υποθέτουμε ότι είναι δυνατόν να διασχίσουμε και τις επτά γέφυρες μόνο μια φορά. Όμως, όπως βλέπουμε και στο σχήμα, καμία περιοχή του Κενιγκσμπεργκ δεν έχει αυτή την ιδιότητα
  • 20. Απόδειξη Υποθέτουμε ότι είναι δυνατόν να διασχίσουμε και τις επτά γέφυρες μόνο μια φορά. Το νησί Α έχει πέντε γέφυρες ενώ οι περιοχές Β, Γ και Δ έχουν από τρεις γέφυρες η κάθε μία.
  • 21. Από το σχολικό παιχνίδι στην παρατήρηση και στην δημιουργία κανόνα.
  • 22. Σωστές απαντήσεις Λάθος απαντήσεις 2 2 3 3 4 4 3 2 2 3 3 3 3 3 2 5 3 4 5 5 4 4 4 4 5 5 4 3 4 4 5
  • 23. Leonard Euler 1707-1783 Το γράφημα μπορεί να γράφει «μονοκονδυλιά» αν και μόνο αν έχει κανέναν ή δύο κόμβους περιττού βαθμού.
  • 24. Σχεδιαγράμματα Δικτύων Διάγραμμα δικτύου internet της Διάγραμμα δικτύου του OTE Νέας Υόρκης
  • 26. Το τελευταίο θεώρημα του Fermat Είναι αδύνατο να βρεθούν ακέραιοι, x, y, z, τέτοιοι ώστε x +y =z n n n Για n ακέραιο, μεγαλύτερο του 2. Pierre de Fermat 1601-1665
  • 27. Andrew Wiles Καθηγητής στο Princeton Πρώτη είδηση στους GUARDIAN τον Ιούνιο του 1993
  • 28. … Επομένως η ιδέα της απόδειξης με την εις άτοπον απαγωγή είναι ζωντανή και ακμαιότατη ακόμα και σήμερα, περίπου δυο χιλιάδες χρόνια μετά τον Ευκλείδη, που τόσο αποτελεσματικά τη χρησιμοποίησε στους πρώτους αριθμούς.
  • 29. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ  ‘’1.089ένα μαγικό ταξίδι στον κόσμο των μαθηματικών’’ David Acheson Εκδ: Οκτώ. Σημειώσεις για το βιβλίο Πυθαγόρεια εγκλήματα της ΠΑΤΣΙΑ ΜΑΡΙΑ Λέσχη βιβλίου Νάουσας. Η εικόνα του Σέρλοκ Χόλμς είναι από το κόμικ «Το σκυλί των Μπάσκερβιλ>> Εκδ: Μεταίχμιο.