التحليل الاتجاهي-
- 1. المحاضرة اللولى التحليل الجتجاهي)1( مقدمة عامة General introduction جترجتبببط الكهرببباء لوالمغناطيسببية ارجتباطببا لوثيقببا لوقببد دفببع ذلببك العلمبباء الببى التفكيببر بطريقببة لوصببف الظببواهر الكهربيببة لوالمغناطيسببية بنظريببة موحببدة جتعببرف باسببم النظريببة الكهرلومغناطيسببية , لوقببد كببان للعببالم جيمببس ماكسببويل James Clerk Maxwellدلور بببارز فببي صببياغة هببذه النظريببة لوجتشببكيلها مببن كببم خل ل أربببع علقات هامة جتسمى علقات ماكسويل لومن هذه العلقات جتم اشتقاق معادلة الموجببة الكهرلومغناطيسية لوكانت جتشتمل على الرمز cلوالبذي لوجببد فيمببا بعببد أن قيمتببه فببي جتتفق بدرجة كبيرة مع سرعة انتشار موجات الضببوء فببي 2.9979 ×10 8 m / s الفراغ الفراغ لوالتي أدت فيما بعد لتعببرف العلمبباء علبى طبيعببة موجببات الضببوء للو ل مببرة على أنها موجات كهرلومغناطيسية مثببل موجببات الراديببو لولشببعة السببينية لوغيرهببا لوالبتي جتختلبف عبن بعضبها فبي الطبو ل المبوجي لوجتجمعهبا جميعبا العلقبة الشبهيرة حيث vسبرعة الموجبة لو λالطبو ل المبوجي لهبا لو νهبو البتردد لوهبذا v = λυ يعني أن الموجات الكهرلومغناطيسببية جتمثببل طيفببا مببن الموجببات المختلفببة )طيببف كهرلومغناطيسي ( 1(التحليل الجتجاهي Vector Analysis يمكن جتقسيم الكميات الفيزيائية إلى قسمين : 1( كميات قياسية scalars 1
- 2. 2( كميات متجهة vectors 1( الكميببات القياسببية لوجتتميببز بببأن لهبا مقببدار Magnitudeلوليببس لهببا اجتجاه directionمثل الطاقة لودرجة الحرارة لوالكتلة لوالطو ل الكميات المتجهة لوهي كميات فيزيائيببة جتتميببز بببأن لهببا مقببدار لواجتجبباه 2( مثل الزاحة displacementلوالسرعة velocityلوالعجلة accelerat A, A ionلوالقببوة forceلوغيرهببا لويرمببز للكميببات المتجهببة بببالرمز لوهندسيا بسهم طوله يسالوي ألو يتناسب مع مقدار الكمية المتجهة لوالتي لوهببو مقيبباس المتجببه A يرمببز لهببا ب Aبببدلون سببهم ألو بببالرمز modulusلوفد جتكتب modAلويتألف المتجه من مركبببات فببي اجتجبباه محالور الحداثيات المستخدمة ففي الحداثيات الكارجتيزية يكون للمتجببه ثل ث مركببببببببببببببببات لويكتبببببببببببببببب علبببببببببببببببى الصبببببببببببببببورة ألو يعببببببوض عنهببببببا ب A = A 1 i + A 2 j + A 3k or A = A 1 e x + A 2 e y + A 3 ez كمبببا يمكبببن التعببببير عبببن مقبببدار المتجبببه بالعلقبببة } 3 A = {A 1 , A 2 , A A ,لوفببي = eA A كما جتعرف لوحدة المتجه = A = mod A 2 A1 + A 2 + A 2 2 3 الحداثيات الكارجتيزية نرمز لوحدة المتجه في اجتجبباه المحببالور ب i,j,k 3 or e1,e2,eلوإذا كانت القيمببة العدديببة للمتجببه جتسببالوي صببفر سببمي المتجببه بببالمتجه الصببفري لويكببون ليببس لببه اجتجبباه , Null Vector لوعندما يتم جتحديد موضع المتجببه بالنسبببة لنظببام إحببداثيات معيببن جتكببون النقطة (P(x,y,zنقطة إحداثياجتها ) (x,y,zلويكون المتجببه لهببذه لنقطببة هو r = xi + y j + z k = r 2 x2 + y 2 +z 2
- 3. بعض أساسيات جبر المتجهات : 1. يقا ل أن المتجهين متسالويان إذا كان لهما نفس المقببدار لوالجتجبباه بصببرف النظر عن لوضع نقطة البداية لكل منهما . 2. المتجببه Aهببو متجببه قيمتببه العدديببة جتسببالوي القيمببة العدديببة للمتجببه , A لواجتجاهه عكس اجتجاه المتجه . A 3. مجموع متجهين هو متجه رأسه بداية المتجه اللو ل لوذيلببه نهايببة المتجببه الثاني. متجه صفري . A−A المتجه 4. 5. عند ضرب قيمة عددية pفي متجه Aنحصل علببى متجببه لببه قيمببة عدديببة pAلوجتعطي متجه له قيمة عدديببة pمببن المببرات مببن المتجببه الصببلي لولببه نفس الجتجاه لوإذا ضربنا في – pيكون بعكس الجتجاه لوإذا ضببربنا فببي صببفر نحصل على المتجه الصفري . بعض قوانين جبر المتجهات : A+B = B+A قانون التباد ل commutation law 1. القانون التجميعي ( A + B ) + C = A + ( B + C ) Associative law 2. p (qA ) = ( pq ) A = ( qp ) A جتجميع الضرب 3. ( p + q ) A = pA + qA التوزيع الجمعي distribution law 4. 3
- 4. p ( A + B ) = pA + p B جتوزيع الضرب 5. المجالت : إذا كببان لبديك منطقببة جتحيببط بمركببز دراسببة سببواء كببان شببحنة ألو مغنبباطيس ألو جسما آخر ألو ثقبا ...بحيث يظهر جتأثير مركز الدراسببة خللببه فبإن هببذه المنطقببة جتدعى مجال لوجتنقسم المجالت إلى نوعين قياسية لومتجهة : 1. المجا ل القياسي : scalar fieldلويمثل عادة بدالة جتتحدد عند كل نقطة في الفراغ بقيمتها فقط دلون اجتجاه مثل دالببة الجهببد الكهربببي لشببحنة استاجتيكية المجا ل الجتجاهي : vector fieldلويمثل عادة بدالبة جتتحبدد عنبد 2. كل نقطة في الفراغ بقيمتها العدديببة لواجتجاههببا مثببل السببرعة لوجتسببمى الدالة في هذه الحالة بالدالة المتجهة ألو جتسمى بمجا ل اجتجبباهي معببرف عهلببببى منطقببببة Rمثببببا ل ذلببببك سببببرعة جسببببيم علببببى الصببببورة F( x, y , z ) = x 2 y i + 3xyzj + 4zk ضرب المتجهات Multiplication of Vectors لوهناك نوعان من ضرب المتجهات : النببوع اللو ل : الضببرب القياسببي Dot of Scalar Productلويمكببن جتعريفببه أي ن الضببرب القياسببي يسببالوي حاصببل ضببرب A •B = A B cos θ بالعلقببة التاليببة القيمة العددية للمتجه اللو ل في القيمة العددية للمتجه الثاني في جيب جتمببام الزالويببة بينهما , لومن خصائص هذا النوع من الضرب : 4
- 5. 1. إن ناجتج الضرب يكون كمية قياسية لها مقدار فقط . 2. ناجتج الضرب يسالوي صفرا إذا كان أحدهما عموديا على الخر . 3. إذا كان ناجتج الضرب يسالوي صفرا فهذا يعني إمببا أن أحببدهما عمببودي علببى الخر ألو أن أحدهما يسالوي صفرا . 4. هناك عدة قواعد للضرب القياسي أهمها : A •B = B •A A • (B + C) = A • B + A • C p ( A • B ) = ( p A ) • B = A • ( p B ) = ( A • B )p 1 = i • i = j • j = k •k 0 = i • j = j •k = i •k 2B2 = B2 + B2 + B x y z A • B = A xBx + A yBy + A zBz النوع الثبباني :الضببرب الجتجبباهي Cross Product of Vector Product لوهندسببيا جتعنببي أنهبا A ∧ B = AB sin θ n ,0 < θ < π لويمكن جتعريفببه بالعلقببة التاليبة مساحة متوازي الضلع الذي فيببه المتجهيببن A,Bضببلعان متجببالوران , لويسببالوي الضرب القياسي حاصل ضرب القيمة العددية لكل مببن المتجهيببن فببي جيببب الزالويببة بينهما في متجه الوحدة العمودي على المستوى البذي يوجبد فيببه المتجهبان . لومبن خصائص الضرب الجتجاهي : A ∧ B = −B ∧ A A ∧(B + C) = A ∧ B + A ∧ C p( A ∧ B ) = (pA ) ∧ B = A ∧ (p B ) = ( A ∧ B )p 0 = i ∧ i = j ∧ j = k ∧k ,i ∧ j = k j ∧k = i ,k ∧i = j i j k A ∧B = Ax Ay Az Bx By Bz 5
- 6. لويمكببن إضببافة أخببرى لعمليببات الضببرب علببى المتجهببات لوهببي الضببرب الثلثببي للمتجهات Multiple Products of Vectorsلويمكن جتقسيمه أيضا إلى نوعين لوهما : الضرب الثلثي الجتجاهي :لويعطى بالشكل التالي ( A • B )C = m C where m = A•B لويمكبببببن أن يأخبببببذ حاصبببببل الضبببببرب الجتجببببباهي الثلثبببببي الشبببببكل التبببببالي ( A ∧ B ) ∧ C = ( C • A)B − ( C • B )A الضرب الثلثي القياسي لويعطى بالصورة Ax Ay Az A • ( B ∧ C) = Bx By Bz Cx Cy Cz لويعنببي ذلببك هندسببيا حجببم متببوازي اللوجببه الببذي فيببه Aلو Bلو Cثل ث أضببلع متجالورة لويجب أن نلحظ فيه ضببرلورة ضببرب crossألول ثببم dotلويكببون حاصببل الضرب في هذه الحالة قياسيا أيضا لويسمى . Triple scalar product مفاهيم هامة : متجه المساحة vector of area جتمثل المساحة بمتجه يكون في اجتجبباه عمببودي علببى المسبباحة لوطببوله يتناسببب مببع , dsy=dxdzلويمكن كتابته على مقدارها حيث dsz=dxdy , dsx=dzdy حيث nهي متجه الوحدة العمودي على المساحة . ds =dsn الصورة التالية : 6
- 7. فيض المتجه flux of vectors الفيض العمودي normal fluxمن متجه ما خل ل عنصر مساحة dsيعرف بأنه حاصل الضرب القياسي بين المتجه لوعنصر متجه المساحة . فمثل إذا كببان المتجببه Aيمثببل شببدة المجبا ل الكهربببي Eفبإن الفيببض العمببودي الكهربببي للخبارج خل ل dE n = E • ds = E • n ds =E n ds عنصر المساحة dsنحصل عليه كالتالي : حيث Enمركبة شدة المجبا ل الكهرببي فببي الجتجباه العمببودي علبى السببطح للخبارج لويعطى الفيض الكلي بالعلقة التالية ∫ A • ds = ∫∫ Ax dydz + ∫∫ Ay dxdz + ∫∫ Az dydx لوفي حالة التكامل علببى أسببطح مغلقببة فببإن اجتجبباه متجببه الزاحببة يشببير إلببى خببارج السطح اصطلحا , أي أن الفيببض الكلببي يمثببل معببد ل التغيببر الصببافي للمتجببه الببذي يغادر السطح المقيد للحجم المحصور . أمثلة : المثا ل اللو ل : أثبتي أن المتجهين A = cos α +sin α i j B = cos β +sin β i j هما متجها لوحدة في المستوى xyحيث αلو βهمببا الزالويتببان اللتببان جتحببددان علببى محور xللمتجهين A,B A B = eA A , = eB B الحل :يمكن إيجاد متجه الوحدة من العلقة التالية 7
- 8. 1 = A = cos 2 α + sin 2 α 1 = B = cos 2 β + sin 2 β ∴e A = cos αi + sin αj ∴e B = cos βi + sin βj المثا ل الثاني : ألوجدي الزالوية بين المتجهين A =i −3 j +2k B = − i +4 j −k 2 الحل A • B = AB cos θ =A 2 ) 2 ( + 3 )3 − ( + 2 )1( 41 = =B )3 − ( 2 62 = )1− ( + ) 4 ( + 3 2 A • B = −3 −12 − 2 = −17 = AB cos θ A •B 71− = cos θ = 98.0− = AB 463 00.351 = θ المثا ل الثالث : ألوجدي متجه الوحدة العمودي على المستوى الذي يحوي المتجهين A,Bحيث A = 2a r + πaφ + a z 3 + B = −a r πaφ − 2a z 2 الحل : A ∧B = en A ∧B 8
- 9. ĪaĬ aφ az −π 7 2 = ∧ A B π 1 = a r + aφ + π z 3 4 a 3π 2 −1 −2 2 ∧ A569. = B = 12.25π + + π 2 9 2 61 61 ∴n = 0.65a r + .18aφ + .7 a z a − 0 0 الواجب : 1. ألوجدي متجه الوحببدة العمببودي علببى المسببتوى الببذي يحببوي كل المتجهيببن التاليين : π − A = 2ar + πaφ az 2 1 B = ar − πaφ 3 2. ألوجدي الزالوية بين المتجهين A =2i −7 j +4k B =5i +4 j −3k 9