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- - (invariant ) (Cartesian coordinate) (spherical coordinate) (cylindrical coordinate) , (x,y,z) (r,?,z ) (r , ¦È , ? ) . z DEDODA university.arabsbook.com P y x -1 - 1
(Cartesian) P , (x,y,z) (r ,¦È ,? ) (spherical coordinate) -2 - ? ¦È (displacement) . (r,?,z ) ? 2
-3 - . (Coordinate) (component) r -: A = 5i + 3 j ? 4k (unit vector) (i , j , k ) -: i .i = 1 j.j = 1 k .k = 1 i ¡Á i = 0 j¡Á j = 0 k ¡Á k = 0 i .j = 0 i .k = 0 j.k = 0 i ¡Á j= k j¡Á k = i k ¡Á i = j 3
(unit vectors) (Cartesian coordinate) (in general ) : (a1 , a 2 , a3 ) a1.a1 = 1 a2 .a2 = 1 a3.a3 = 1 a1 ¡Á a1 = 0 a2 ¡Á a2 = 0 a3 ¡Á a3 = 0 a1.a2 = 0 a1.a3 = 0 a2 .a3 = 0 a1 ¡Á a2 = a3 a2 ¡Á a3 =a1 a3 ¡Á a2 = a1 (orthogonal unit curvilinear) . (Orthogonal curvilinear coordinate) (Cartesian coordinate) . -: r l = x i +y j +z k ...........1-a r d l = dx i +dy j +dz k ...........(1-b) r (distance) (dl) d l2 = dx 2 +dy 2 + dz 2 (2) 4
z y x x = F1 (q1, q2 , q3 ) (4-a) y=F2 (q1, q2 , q3 ) (4-b) z=F3 (q1, q2 , q3 ) (4-c) (q 1 , q 2 , q 3 ) x (q 1 , q 2 , q 3 ) y (q 1 , q 2 , q 3 ) z (certain value) qs (2) (1-b) (1-a) -: z y x ?x ?x ?x dx = dq1 + dq 2 + dq 3 (5-a) ?q1 ?q 2 ?q 3 ?y ?y ?y dy = dq1 + dq 2 + dq 3 (5-b) ?q1 ?q 2 ?q 3 ?z ?z ?z dz = dq1 + dq 2 + dq 3 (5-c) ?q1 ?q 2 ?q 3 -: 3 ?x dx = ¡Æi =1 ?q i dq i (6 -a ) 3 ?y dy = ¡Æi =1 ?q i dq i (6 -b ) 3 ?z dz = ¡Æ i =1 ?q i dq i (6 -c ) 5
3 ?x ?x dx 2 = ¡Æ dq i dq j (7-a) i =1 ?q i ? q j 3 ?y ?y dy 2 = ¡Æ dq i dq j (7-b) i =1 ?q i ? q j 3 ?z ?z dz 2 = ¡Æ dq i dq j (7-c) i =1 ? q i ?q j (2) (7-c) (7-b) (7-a) -: (2) 3 ? ?x ?x ?y ?y ?z ?z ? dl = ¡Æ ? 2 + + ? dqi dq j (8) ? i , j =1 ? ?qi ?q j ?qi ?q j ?qi ?q j ? ? ? ?x ? x ?y ?y ?z ? z ? ? + + ? = hij ? ?q ?q ?q i ?q j ?q i ?q j ? ? i j ? (8) (metric coefficients) (hij ) -: 3 dl = 2 ¡Æ h dq dq i , j =1 ij i j (9) Kronecker delta 6
?hii = hi2 ? ,i=j hij = hij ¦Äij = ? ?h ij = 0 ? ,i ¡Ù j (9) 3 d l2 = ¡Æhi2dqi2 (10) i d l2 = d l12 +d l22 +d l32 (metric coefficients) ?? ?x ?2 ? ?y ?2 ? ?z ?2 ? h = ?? 2 ? +? ? +? ? ? (11) ?? ?q i ? ? ?q i ? ? ?q i ? ? i ? ? (10) d l 1 = h1dq1 (12-a) d l 2 = h 2dq 2 (12-b) d l 3 = h3dq 3 (12-c) (Curvilinear coordinate) r d l = hdq1 a1+h2dq2 a2 +hdq3 a3 1 3 (13) r ? ?l ? ? ?l ? ? ?l ? dl=? ? dq1 + ? ?dq2 + ? ?dq3 (14) ? ?q1 ? ? ?q 2 ? ? ?q3 ? 7
(14) (13) 1 ? ?l ? ? ? = a1 ( 1 5 -a ) h1 ? ?q 1 ? 1 ? ?l ? ? ? = a2 (1 5 -b ) h2 ? ?q 2 ? 1 ? ?l ? ? ? =a (1 5 -c ) h3 ? ?q 3 ? 3 1 ? ?l ? ai = ? ? (16) hi ? ?q i ? (metric coefficients) (11) (spherical coordinate) x = r s in ¦È c o s ? y = r sin ¦È sin ? z = r cos¦È q = (q r , q ¦È , q ? ) (11) 8
? ?x ? ? ?y ? ?z ? 2 2 2 ? h r2 = ? ? +? ? +? ? ? ?r ? ? ?r ? ? ?r ? h r = (sin ¦È cos ? ) 2 2 + (sin ¦È sin ? ) 2 + (co s ¦È ) 2 h r2 = sin 2 ¦È co s 2 ? + sin 2 ¦È sin 2 ? + co s 2 ¦È h r2 = sin 2 ¦È (co s 2 ? + sin 2 ? ) + co s 2 ¦È = 1 ¡à hr = 1 (17 ) ? ?x ? ? ?y ? ? ?z ? 2 2 2 h =? ¦È 2 ? +? ? +? ? ? ?¦È ? ? ?¦È ? ? ?¦È ? h¦È2 = r 2 cos 2 ¦È cos 2 ? + r 2 cos 2 ¦È sin 2 ? + r 2 sin 2 ¦È h¦È2 = r 2 ¡ú¡à h¦È = r (18) 2 2 2 ? ?x ? ? ?y ? ? ?z ? h =? 2 ? ? +? ? +? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? h?2 = r 2 sin 2 ¦È sin 2 ? + r 2 sin 2 ¦È cos2 ? h?2 = r 2 sin 2 ¦È ¡ú¡à h? = r sin ¦È (19) (cylindrical coordinate) x = r cos? y = r s in ? z = z q = q r ,q ? ,q z (11) 9
? ?x ? ?y ? ? ?z ? 2 2 2 ? h r2 = ? ? + ? ? + ? ? ? ?r ? ? ?r ? ? ?r ? h r = cos2 2 ? + sin 2 ? = 1 ¡à h r =1 (2 0 ) 2 2 2 ? ?x ? ? ?y ? ? ?z ? h =? ? 2 ? +? ? +? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? h ?2 = r 2 sin 2 ? + r 2 cos 2 ? h ?2 = r 2 ¡ú ¡à h ? = r (21) ? ?x ? ? ?y ? ? ?z ? 2 2 2 h =? 2 ? +? ? +? ? ?z ? ? ?z ? ? ?z ? z ? hz2 = 1 ¡ú¡à hz = 1 (22) curvilinear Cartesian spherical cylindrical q1 x r r q y ¦È ? 2 q3 z ? z h1 1 1 1 h2 1 r r h3 1 r sin¦È 1 a1 i r0 r0 a2 j ¦È ? a3 k ? k 10
-1 - Gradient Curl Laplacian Divergence (Orthogonal curvilinear coordinate) . Gradient r ?¦Õ ?¦Õ ?¦Õ ?¦Õ = a1 + a2 + a3 (23) ?l1 ?l2 ?l3 (23) (12) ?l r ?¦Õ ?¦Õ ?¦Õ ?¦Õ = a1 + a2 + a3 (24) h1?q1 h2?q2 h3?q3 Divergence 11
(Gauss's or Divergence theorem) r r r r ? ¡Ò S F .da = ¡Ò ?.Fd¦Ó v (25) r r ? .F = constant a3 DEDODA university.arabsbook.com r F a2 (q1 , q 2 , q 3 ) a1 -4 - (25) r r r r ?. F = lim ? ¡Ò F . da (26) ¡Òd¦Ó ¡ú0 ¡Ò d¦Ó 4 r r ? ¡Ò F . da = ¦ÕR +¦ÕL + ¦ÕT + ¦ÕBo + ¦ÕF + ¦ÕBa (27) -: R: - right: - L: - left: - T:-top: - 12
Bo:-bottom: - F:-front: - Ba:- back: - ? ? ¦ÕR = F2R d l3R d l1R ? ? ?F2 dq2 ? ? ? ¦ÕR = ? F2 + ? ( h3R dq3h1R dq1 ) ? (28 ? a) ? ?q2 2 ? ? ? ? ?F2 dq2 ?? ?h3 dq2 ?? ?h1 dq2 ? ¦ÕR = ? F2 + ?? h3 + ?? h1 + ?dq1dq3 ? ? ?q2 2 ?? ?q2 2 ?? ?q2 2 ? ? ? ? ?F dq ?? ?h dq ?? ?h dq ? ¦ÕL = ? ? F2 ? 2 2 ?? h1 ? 1 2 ?? h3 + 1 2 ? dq1dq3 (28-b) ? ?q2 2 ?? ?q2 2 ?? ?q2 2 ? (28-b) (28-a) ? ?h ?h ?F ? ? ¦ÕR + ¦ÕL = ? F2h1 3 + F2h3 1 + h1h3 2 ?dq1dq2dq3 ? ? ?q2 ?q2 ?q2 ? ? ? (28 ? c ) ? ?(F2h1h3 ) ? ? ¦ÕR + ¦ÕL = ? ?dq1dq2dq3 ? ? ?q2 ? ? 13
? ?( F2 h1h2 ) ? ¦ÕT + ¦ÕBo = ? ? dq1dq 2dq 3 (28-d) ? ?q 3 ? ? ?(F1h2 h3 ) ? ¦ÕF + ¦ÕBa = ? ? dq1dq 2dq 3 (28-e) ? ?q1 ? (27) (28-e) (28-d) (28-c) r r ? ?(F h h ) ?(F h h ) ?(F h h ) ? ? ¡Ò S F . da= ? 2 2 3 + 2 1 3 + 3 1 2 ? dq1dq2dq3 (29) ? ?q1 ?q2 ?q3 ? r r ?. F (26) (29) ? ?(F2h2h3 ) ?(F2h1h3 ) ?(F3h1h2 ) ? ? + + ? dq1dq2dq3 r r ? ?q1 ?q2 ?q3 ? ?. F= lim ¡Òd¦Ó ¡ú0 ¡Ò d¦Ó but ¡Ò d¦Ó = h h h 1 2 3 dq1dq2dq3 ? ?(F2h2h3 ) ?(F2h1h3 ) ?(F3h1h2 ) ? ? + + ? dq dq dq r r ? ?q1 ?q2 ?q3 ? 1 2 3 ¡à ?. F= h1h2h3 dq1dq2dq3 r r 1 ? ?(Fh2h3 ) ?(F2h1h3 ) ?(F3h1h2 ) ? ?. F= ? 1 + + ? (30) h1h2h3 ? ?q1 ?q2 ?q3 ? Divergence (30) (Orthogonal curvilinear coordinate) Divergence . Laplacian (The Laplacian in orthogonal curvilinear coordinate) 14
r r r2 ?. ?¦Õ =? ¦Õ (24) r 1 ? ? ? h2h3 ?¦Õ ? ? ? hh3 ?¦Õ ? ? ? hh2 ?¦Õ ?? ?2¦Õ = ? ? ?+ ? 1 ?+ ? 1 ?? (31) hh2h3 ??q1 ? h1 ?q1 ? ?q2 ? h2 ?q2 ? ?q3 ? h3 ?q3 ?? 1 Laplacian The curl in orthogonal curvilinear coordinate " Stoke's Theorem" r r r r r ¡Ò?¡ÁF. da=?F. dr (32) ¡Ò r r ?¡ÁF = constant q3 DEDODA h2cdq universi ty.arabsbook.com 2 c h3dq 3 d h3b dq 3 b a q2 h2dq 2 q1 15
-5 - q2 q3 curl q2 q1 q3 q1 . (32) 5 curl r r r r (?¡ÁF )1 = lim ? F. dr ¡Ò (33) ¡Òda¡ú0 ¡Òda r r ? F . dr=F2h2dq 2 + F3b h3b dq3 ? F2c h2cdq 2 ? F3h3dq3 ¡Ò r r ? ?F ?? ?h ? ? ¡Ò F . dr=F2h2dq 2 + ? F3 + 3 dq 2 ?? h3 + 3 dq 2 ? dq3 ? ?q 2 ?? ?q 2 ? ? ?F ?? ?h ? - ? F2 + 2 dq3 ?? F2 + 2 dq3 ? dq2 ? F3h3dq3 ? ?q3 ?? ?q3 ? r r ? ?(F h ) ?(F2h2 ) ? ¡ú¡à ? F . dr = ? 3 3 ? ¡Ò ? dq2dq3 (34) ? ?q 2 ?q3 ? ¡Òda = h h dq dq 2 3 2 3 (33) (34) r r 1 ??(Fh ) ?(Fh )? (?¡ÁF)1 = ? 3 3 ? 2 2 ? (35-a) h2h3 ? ?q2 ?q3 ? q3 q1 16
r r (? ¡Á F ) 2 q2 q1 r r (? ¡Á F )3 r r 1 ??(Fh ) ?(Fh )? (?¡ÁF)2 = ? 1 1 ? 3 3 ? (35-b) hh3 ? ?q3 1 ?q1 ? r r 1 ??(Fh ) ?(Fh )? (?¡ÁF)3 = ? 2 2 ? 1 1 ? (35-c) hh2 ? ?q1 1 ?q2 ? (35) a1h1 a 2 h2 a 3h3 r r 1 ? ? ? ?¡Á F = (36) h1h2 h3 ?q1 ?q 2 ?q3 h1F1 h 2 F2 h3F3 17
? ¦È , (displacement) z DEDODA universi ty.arabsbook.com dr rd ¦È r ¦È d¦È y ? r sin ¦È d? x d? r sin ¦È -6 - ? ¦È 1 12 18
d l? d l¦È 1 12 d l¦È = h¦È dq¦È ¡ú d l¦È = rd ¦È d l? = h?dq? ¡ú d l? = r sin¦Èd ? Laplacian Divergence Gradient Curl 1 (36) (31) (30) (24) (24) r ?¦Õ ?¦Õ ?¦Õ ?¦Õ = a1 + a2 + a3 h1?q1 h2?q2 h3?q3 Gradient 1 ( Cartesian coordinate) Gradient r ?¦Õ ?¦Õ ?¦Õ ?¦Õ = i + j +k (37) ?x ?y ?z r ?¦Õ ?¦Õ ?¦Õ ?¦Õ = r0 +¦È +? (38) ?r r ?¦È r sin¦È?? 19
r ?¦Õ ?¦Õ ?¦Õ ?¦Õ = r0 +? +k (39) ?r r ?? ?z Divergence r r 1 ? ?(Fh2h3 ) ?(F2h1h3 ) ?(F3h1h2 ) ? ?. F= ? 1 + + ? h1h2h3 ? ?q1 ?q2 ?q3 ? r r ? ?F ?F ?F ? ?. F= ? x + y + z ? (40) ? ?x ?y ?z ? r r 1 ? ?(Fr r 2 sin¦È ) ?(F¦È r sin¦È ) ?(F? r ) ? ?. F= ? + + ? r 2 sin ¦È ? ?r ?¦È ?? ? r r 1 ?(r 2Fr ) 1 ?(sin¦È F¦È ) 1 ?(F? ) ¡ú ?. F= 2 + + (41) r ?r r sin ¦È ?¦È r sin¦È ?? r r 1 ? ?(F r ) ?(F ) ?(F r ) ? ?. F= ? r + ? + z ? r ? ?r ?? ?z ? r r 1 ?(rFr ) 1 ?(F? ) ?(Fz ) ¡ú ?. F= + + (42) r ?r r ?? ?z Laplacian r 1 ? ? ? h2h3 ?¦Õ ? ? ? hh3 ?¦Õ ? ? ? hh2 ?¦Õ ?? ?2¦Õ = ? ? ?+ ? 1 ?+ ? 1 ?? hh2h3 ??q1 ? h1 ?q1 ? ?q2 ? h2 ?q2 ? ?q3 ? h3 ?q3 ?? 1 20
r2 ??2¦Õ ?2¦Õ ?2¦Õ ? ?¦Õ = ? 2 + 2 + 2 ? (43) ??x ?y ?z ? r 1 ?? ? 2 ?¦Õ ? ? ? ?¦Õ ? ? ? 1 ?¦Õ ?? ?2¦Õ = 2 ? ? r sin¦È ?+ ?sin¦È ?+ ? ?? (44) r sin¦È ??r ? ?r ? ?¦È ? ?¦È ? ??? sin¦È ?? ?? r2 1 ? ? ? ?¦Õ ? ? ? 1 ?¦Õ ? ? ? ?¦Õ ?? ?¦Õ = ? ?r ?+ ? + ?r ?? (45) r ??r ? ?r ? ?? ? r ?? ? ?z ? ?z ?? ? Curl .1 . 21

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  • 1. - - (invariant ) (Cartesian coordinate) (spherical coordinate) (cylindrical coordinate) , (x,y,z) (r,?,z ) (r , ¦È , ? ) . z DEDODA university.arabsbook.com P y x -1 - 1
  • 2. (Cartesian) P , (x,y,z) (r ,¦È ,? ) (spherical coordinate) -2 - ? ¦È (displacement) . (r,?,z ) ? 2
  • 3. -3 - . (Coordinate) (component) r -: A = 5i + 3 j ? 4k (unit vector) (i , j , k ) -: i .i = 1 j.j = 1 k .k = 1 i ¡Á i = 0 j¡Á j = 0 k ¡Á k = 0 i .j = 0 i .k = 0 j.k = 0 i ¡Á j= k j¡Á k = i k ¡Á i = j 3
  • 4. (unit vectors) (Cartesian coordinate) (in general ) : (a1 , a 2 , a3 ) a1.a1 = 1 a2 .a2 = 1 a3.a3 = 1 a1 ¡Á a1 = 0 a2 ¡Á a2 = 0 a3 ¡Á a3 = 0 a1.a2 = 0 a1.a3 = 0 a2 .a3 = 0 a1 ¡Á a2 = a3 a2 ¡Á a3 =a1 a3 ¡Á a2 = a1 (orthogonal unit curvilinear) . (Orthogonal curvilinear coordinate) (Cartesian coordinate) . -: r l = x i +y j +z k ...........1-a r d l = dx i +dy j +dz k ...........(1-b) r (distance) (dl) d l2 = dx 2 +dy 2 + dz 2 (2) 4
  • 5. z y x x = F1 (q1, q2 , q3 ) (4-a) y=F2 (q1, q2 , q3 ) (4-b) z=F3 (q1, q2 , q3 ) (4-c) (q 1 , q 2 , q 3 ) x (q 1 , q 2 , q 3 ) y (q 1 , q 2 , q 3 ) z (certain value) qs (2) (1-b) (1-a) -: z y x ?x ?x ?x dx = dq1 + dq 2 + dq 3 (5-a) ?q1 ?q 2 ?q 3 ?y ?y ?y dy = dq1 + dq 2 + dq 3 (5-b) ?q1 ?q 2 ?q 3 ?z ?z ?z dz = dq1 + dq 2 + dq 3 (5-c) ?q1 ?q 2 ?q 3 -: 3 ?x dx = ¡Æi =1 ?q i dq i (6 -a ) 3 ?y dy = ¡Æi =1 ?q i dq i (6 -b ) 3 ?z dz = ¡Æ i =1 ?q i dq i (6 -c ) 5
  • 6. 3 ?x ?x dx 2 = ¡Æ dq i dq j (7-a) i =1 ?q i ? q j 3 ?y ?y dy 2 = ¡Æ dq i dq j (7-b) i =1 ?q i ? q j 3 ?z ?z dz 2 = ¡Æ dq i dq j (7-c) i =1 ? q i ?q j (2) (7-c) (7-b) (7-a) -: (2) 3 ? ?x ?x ?y ?y ?z ?z ? dl = ¡Æ ? 2 + + ? dqi dq j (8) ? i , j =1 ? ?qi ?q j ?qi ?q j ?qi ?q j ? ? ? ?x ? x ?y ?y ?z ? z ? ? + + ? = hij ? ?q ?q ?q i ?q j ?q i ?q j ? ? i j ? (8) (metric coefficients) (hij ) -: 3 dl = 2 ¡Æ h dq dq i , j =1 ij i j (9) Kronecker delta 6
  • 7. ?hii = hi2 ? ,i=j hij = hij ¦Äij = ? ?h ij = 0 ? ,i ¡Ù j (9) 3 d l2 = ¡Æhi2dqi2 (10) i d l2 = d l12 +d l22 +d l32 (metric coefficients) ?? ?x ?2 ? ?y ?2 ? ?z ?2 ? h = ?? 2 ? +? ? +? ? ? (11) ?? ?q i ? ? ?q i ? ? ?q i ? ? i ? ? (10) d l 1 = h1dq1 (12-a) d l 2 = h 2dq 2 (12-b) d l 3 = h3dq 3 (12-c) (Curvilinear coordinate) r d l = hdq1 a1+h2dq2 a2 +hdq3 a3 1 3 (13) r ? ?l ? ? ?l ? ? ?l ? dl=? ? dq1 + ? ?dq2 + ? ?dq3 (14) ? ?q1 ? ? ?q 2 ? ? ?q3 ? 7
  • 8. (14) (13) 1 ? ?l ? ? ? = a1 ( 1 5 -a ) h1 ? ?q 1 ? 1 ? ?l ? ? ? = a2 (1 5 -b ) h2 ? ?q 2 ? 1 ? ?l ? ? ? =a (1 5 -c ) h3 ? ?q 3 ? 3 1 ? ?l ? ai = ? ? (16) hi ? ?q i ? (metric coefficients) (11) (spherical coordinate) x = r s in ¦È c o s ? y = r sin ¦È sin ? z = r cos¦È q = (q r , q ¦È , q ? ) (11) 8
  • 9. ? ?x ? ? ?y ? ?z ? 2 2 2 ? h r2 = ? ? +? ? +? ? ? ?r ? ? ?r ? ? ?r ? h r = (sin ¦È cos ? ) 2 2 + (sin ¦È sin ? ) 2 + (co s ¦È ) 2 h r2 = sin 2 ¦È co s 2 ? + sin 2 ¦È sin 2 ? + co s 2 ¦È h r2 = sin 2 ¦È (co s 2 ? + sin 2 ? ) + co s 2 ¦È = 1 ¡à hr = 1 (17 ) ? ?x ? ? ?y ? ? ?z ? 2 2 2 h =? ¦È 2 ? +? ? +? ? ? ?¦È ? ? ?¦È ? ? ?¦È ? h¦È2 = r 2 cos 2 ¦È cos 2 ? + r 2 cos 2 ¦È sin 2 ? + r 2 sin 2 ¦È h¦È2 = r 2 ¡ú¡à h¦È = r (18) 2 2 2 ? ?x ? ? ?y ? ? ?z ? h =? 2 ? ? +? ? +? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? h?2 = r 2 sin 2 ¦È sin 2 ? + r 2 sin 2 ¦È cos2 ? h?2 = r 2 sin 2 ¦È ¡ú¡à h? = r sin ¦È (19) (cylindrical coordinate) x = r cos? y = r s in ? z = z q = q r ,q ? ,q z (11) 9
  • 10. ? ?x ? ?y ? ? ?z ? 2 2 2 ? h r2 = ? ? + ? ? + ? ? ? ?r ? ? ?r ? ? ?r ? h r = cos2 2 ? + sin 2 ? = 1 ¡à h r =1 (2 0 ) 2 2 2 ? ?x ? ? ?y ? ? ?z ? h =? ? 2 ? +? ? +? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? h ?2 = r 2 sin 2 ? + r 2 cos 2 ? h ?2 = r 2 ¡ú ¡à h ? = r (21) ? ?x ? ? ?y ? ? ?z ? 2 2 2 h =? 2 ? +? ? +? ? ?z ? ? ?z ? ? ?z ? z ? hz2 = 1 ¡ú¡à hz = 1 (22) curvilinear Cartesian spherical cylindrical q1 x r r q y ¦È ? 2 q3 z ? z h1 1 1 1 h2 1 r r h3 1 r sin¦È 1 a1 i r0 r0 a2 j ¦È ? a3 k ? k 10
  • 11. -1 - Gradient Curl Laplacian Divergence (Orthogonal curvilinear coordinate) . Gradient r ?¦Õ ?¦Õ ?¦Õ ?¦Õ = a1 + a2 + a3 (23) ?l1 ?l2 ?l3 (23) (12) ?l r ?¦Õ ?¦Õ ?¦Õ ?¦Õ = a1 + a2 + a3 (24) h1?q1 h2?q2 h3?q3 Divergence 11
  • 12. (Gauss's or Divergence theorem) r r r r ? ¡Ò S F .da = ¡Ò ?.Fd¦Ó v (25) r r ? .F = constant a3 DEDODA university.arabsbook.com r F a2 (q1 , q 2 , q 3 ) a1 -4 - (25) r r r r ?. F = lim ? ¡Ò F . da (26) ¡Òd¦Ó ¡ú0 ¡Ò d¦Ó 4 r r ? ¡Ò F . da = ¦ÕR +¦ÕL + ¦ÕT + ¦ÕBo + ¦ÕF + ¦ÕBa (27) -: R: - right: - L: - left: - T:-top: - 12
  • 13. Bo:-bottom: - F:-front: - Ba:- back: - ? ? ¦ÕR = F2R d l3R d l1R ? ? ?F2 dq2 ? ? ? ¦ÕR = ? F2 + ? ( h3R dq3h1R dq1 ) ? (28 ? a) ? ?q2 2 ? ? ? ? ?F2 dq2 ?? ?h3 dq2 ?? ?h1 dq2 ? ¦ÕR = ? F2 + ?? h3 + ?? h1 + ?dq1dq3 ? ? ?q2 2 ?? ?q2 2 ?? ?q2 2 ? ? ? ? ?F dq ?? ?h dq ?? ?h dq ? ¦ÕL = ? ? F2 ? 2 2 ?? h1 ? 1 2 ?? h3 + 1 2 ? dq1dq3 (28-b) ? ?q2 2 ?? ?q2 2 ?? ?q2 2 ? (28-b) (28-a) ? ?h ?h ?F ? ? ¦ÕR + ¦ÕL = ? F2h1 3 + F2h3 1 + h1h3 2 ?dq1dq2dq3 ? ? ?q2 ?q2 ?q2 ? ? ? (28 ? c ) ? ?(F2h1h3 ) ? ? ¦ÕR + ¦ÕL = ? ?dq1dq2dq3 ? ? ?q2 ? ? 13
  • 14. ? ?( F2 h1h2 ) ? ¦ÕT + ¦ÕBo = ? ? dq1dq 2dq 3 (28-d) ? ?q 3 ? ? ?(F1h2 h3 ) ? ¦ÕF + ¦ÕBa = ? ? dq1dq 2dq 3 (28-e) ? ?q1 ? (27) (28-e) (28-d) (28-c) r r ? ?(F h h ) ?(F h h ) ?(F h h ) ? ? ¡Ò S F . da= ? 2 2 3 + 2 1 3 + 3 1 2 ? dq1dq2dq3 (29) ? ?q1 ?q2 ?q3 ? r r ?. F (26) (29) ? ?(F2h2h3 ) ?(F2h1h3 ) ?(F3h1h2 ) ? ? + + ? dq1dq2dq3 r r ? ?q1 ?q2 ?q3 ? ?. F= lim ¡Òd¦Ó ¡ú0 ¡Ò d¦Ó but ¡Ò d¦Ó = h h h 1 2 3 dq1dq2dq3 ? ?(F2h2h3 ) ?(F2h1h3 ) ?(F3h1h2 ) ? ? + + ? dq dq dq r r ? ?q1 ?q2 ?q3 ? 1 2 3 ¡à ?. F= h1h2h3 dq1dq2dq3 r r 1 ? ?(Fh2h3 ) ?(F2h1h3 ) ?(F3h1h2 ) ? ?. F= ? 1 + + ? (30) h1h2h3 ? ?q1 ?q2 ?q3 ? Divergence (30) (Orthogonal curvilinear coordinate) Divergence . Laplacian (The Laplacian in orthogonal curvilinear coordinate) 14
  • 15. r r r2 ?. ?¦Õ =? ¦Õ (24) r 1 ? ? ? h2h3 ?¦Õ ? ? ? hh3 ?¦Õ ? ? ? hh2 ?¦Õ ?? ?2¦Õ = ? ? ?+ ? 1 ?+ ? 1 ?? (31) hh2h3 ??q1 ? h1 ?q1 ? ?q2 ? h2 ?q2 ? ?q3 ? h3 ?q3 ?? 1 Laplacian The curl in orthogonal curvilinear coordinate " Stoke's Theorem" r r r r r ¡Ò?¡ÁF. da=?F. dr (32) ¡Ò r r ?¡ÁF = constant q3 DEDODA h2cdq universi ty.arabsbook.com 2 c h3dq 3 d h3b dq 3 b a q2 h2dq 2 q1 15
  • 16. -5 - q2 q3 curl q2 q1 q3 q1 . (32) 5 curl r r r r (?¡ÁF )1 = lim ? F. dr ¡Ò (33) ¡Òda¡ú0 ¡Òda r r ? F . dr=F2h2dq 2 + F3b h3b dq3 ? F2c h2cdq 2 ? F3h3dq3 ¡Ò r r ? ?F ?? ?h ? ? ¡Ò F . dr=F2h2dq 2 + ? F3 + 3 dq 2 ?? h3 + 3 dq 2 ? dq3 ? ?q 2 ?? ?q 2 ? ? ?F ?? ?h ? - ? F2 + 2 dq3 ?? F2 + 2 dq3 ? dq2 ? F3h3dq3 ? ?q3 ?? ?q3 ? r r ? ?(F h ) ?(F2h2 ) ? ¡ú¡à ? F . dr = ? 3 3 ? ¡Ò ? dq2dq3 (34) ? ?q 2 ?q3 ? ¡Òda = h h dq dq 2 3 2 3 (33) (34) r r 1 ??(Fh ) ?(Fh )? (?¡ÁF)1 = ? 3 3 ? 2 2 ? (35-a) h2h3 ? ?q2 ?q3 ? q3 q1 16
  • 17. r r (? ¡Á F ) 2 q2 q1 r r (? ¡Á F )3 r r 1 ??(Fh ) ?(Fh )? (?¡ÁF)2 = ? 1 1 ? 3 3 ? (35-b) hh3 ? ?q3 1 ?q1 ? r r 1 ??(Fh ) ?(Fh )? (?¡ÁF)3 = ? 2 2 ? 1 1 ? (35-c) hh2 ? ?q1 1 ?q2 ? (35) a1h1 a 2 h2 a 3h3 r r 1 ? ? ? ?¡Á F = (36) h1h2 h3 ?q1 ?q 2 ?q3 h1F1 h 2 F2 h3F3 17
  • 18. ? ¦È , (displacement) z DEDODA universi ty.arabsbook.com dr rd ¦È r ¦È d¦È y ? r sin ¦È d? x d? r sin ¦È -6 - ? ¦È 1 12 18
  • 19. d l? d l¦È 1 12 d l¦È = h¦È dq¦È ¡ú d l¦È = rd ¦È d l? = h?dq? ¡ú d l? = r sin¦Èd ? Laplacian Divergence Gradient Curl 1 (36) (31) (30) (24) (24) r ?¦Õ ?¦Õ ?¦Õ ?¦Õ = a1 + a2 + a3 h1?q1 h2?q2 h3?q3 Gradient 1 ( Cartesian coordinate) Gradient r ?¦Õ ?¦Õ ?¦Õ ?¦Õ = i + j +k (37) ?x ?y ?z r ?¦Õ ?¦Õ ?¦Õ ?¦Õ = r0 +¦È +? (38) ?r r ?¦È r sin¦È?? 19
  • 20. r ?¦Õ ?¦Õ ?¦Õ ?¦Õ = r0 +? +k (39) ?r r ?? ?z Divergence r r 1 ? ?(Fh2h3 ) ?(F2h1h3 ) ?(F3h1h2 ) ? ?. F= ? 1 + + ? h1h2h3 ? ?q1 ?q2 ?q3 ? r r ? ?F ?F ?F ? ?. F= ? x + y + z ? (40) ? ?x ?y ?z ? r r 1 ? ?(Fr r 2 sin¦È ) ?(F¦È r sin¦È ) ?(F? r ) ? ?. F= ? + + ? r 2 sin ¦È ? ?r ?¦È ?? ? r r 1 ?(r 2Fr ) 1 ?(sin¦È F¦È ) 1 ?(F? ) ¡ú ?. F= 2 + + (41) r ?r r sin ¦È ?¦È r sin¦È ?? r r 1 ? ?(F r ) ?(F ) ?(F r ) ? ?. F= ? r + ? + z ? r ? ?r ?? ?z ? r r 1 ?(rFr ) 1 ?(F? ) ?(Fz ) ¡ú ?. F= + + (42) r ?r r ?? ?z Laplacian r 1 ? ? ? h2h3 ?¦Õ ? ? ? hh3 ?¦Õ ? ? ? hh2 ?¦Õ ?? ?2¦Õ = ? ? ?+ ? 1 ?+ ? 1 ?? hh2h3 ??q1 ? h1 ?q1 ? ?q2 ? h2 ?q2 ? ?q3 ? h3 ?q3 ?? 1 20
  • 21. r2 ??2¦Õ ?2¦Õ ?2¦Õ ? ?¦Õ = ? 2 + 2 + 2 ? (43) ??x ?y ?z ? r 1 ?? ? 2 ?¦Õ ? ? ? ?¦Õ ? ? ? 1 ?¦Õ ?? ?2¦Õ = 2 ? ? r sin¦È ?+ ?sin¦È ?+ ? ?? (44) r sin¦È ??r ? ?r ? ?¦È ? ?¦È ? ??? sin¦È ?? ?? r2 1 ? ? ? ?¦Õ ? ? ? 1 ?¦Õ ? ? ? ?¦Õ ?? ?¦Õ = ? ?r ?+ ? + ?r ?? (45) r ??r ? ?r ? ?? ? r ?? ? ?z ? ?z ?? ? Curl .1 . 21