ݺߣ

ݺߣShare a Scribd company logo

๶อกลักษณ์ตรีโกณฯ

•
•
K
krupatcharin
1 of 6
Downloaded 151 times
ใบความรู้ เรือง การแก้สมการตรีโกณมิติ กลุ่มสาระการเรียนรู้ คณิตศาสตร์ รายวิชาความรู้ พนฐานสํ าหรับแคลคูลส 3 ื" ั รหัสวิชา ค 30104 หน่ วยการเรียนรู้ ที 1 ชื อหน่ วย ตรีโกณมิติ ชั" นมัธยมศึกษาปี ที 4 ภาคเรียนที 2 ปี การศึกษา 2555 ่ สมการตรีโกณมิติ หมายถึง สมการทีประกอบด้วยพจน์ทีอยูในรู ปฟังก์ชนตรี โกณมิติของตัวแปร ั แบ่งออกได้ ดังนี' 1. สมการเอกลักษณ์ หรื อ เอกลักษณ์ หมายถึง สมการทีเป็ นจริ ง เมือแทนตัวแปรด้วยจํานวนจริ ง ใด ๆ เช่น sin2x + cos2 x = 1, 1 + tan2x = sec2x, 1 + cot2x = cos2x 2. สมการมีเงือนไข หรื อ สมการทีมีสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์เพียงบางตัว หรื อไม่มีจานวนจริ ง ํ ใด ๆ ซึ งเมือแทนตัวแปรในสมการนั'นและทําให้เป็ นจริ ง เช่น sin x = 1, cos x = 1 หลักการแก้ สมการตรีโกณมิติ 1. หาคําตอบทั'งหมดของสมการในช่วง [0, 2π] หรื อช่วงทีโจทย์กาหนด ํ ่ 2. หาคําตอบทัวไปของ x คือคําตอบของสมการทีอยูในรู ปทัวไปภายใต้เอกภพสัมพัทธ์ R ค่าของฟังก์ชนตรี โกณมิติของจํานวนจริ งหรื อมุมใด ๆ อาจจะซํ'ากันได้ ดังนั'นในการหาคําตอบของ ั ํ ่ ่ สมการถ้าโจทย์ไม่ได้กาหนดให้คาตอบอยูในช่วงใดช่วงหนึงแล้วคําตอบควรจะอยูในรู ปของค่าทัวไป ํ ตัวอย่ างที 1 จงแก้สมการ sin x + √2 = -sin x วิธีทา ํ sin x + √2 = -sin x sin x + sin x + √2 = 0 sin x + sin x = - √2 2 sin x = - √2 √ sin x = - √ เนืองจาก sin x มีความยาวคาบเท่ากับ 2π และมุมทีทําให้ sin x = - π π ในช่วง [0, 2π) คือ x = และ x = ดังนั'น คําตอบของสมการในรู ปทัวไป คือ π π x = + 2nπ และ x = + 2nπ เมือ n เป็ นจํานวนเต็ม
ตัวอย่ างที 2 จงแก้สมการ 3 tan2 x – 1 = 0 วิธีทา ํ 3 tan2 x – 1 = 0 3 tan2 x =1 tan2 x = tan x = ± √ √ เนืองจาก tan x มีความยาวคาบเท่ากับ π และมุมทีทําให้ sin x =- π π ในช่วง [0, π) คือ x = และ x = ดังนั'น คําตอบของสมการในรู ปทัวไป คือ π π x = + nπ และ x = + nπ เมือ n เป็ นจํานวนเต็ม ตัวอย่ างที 3 จงแก้สมการ cot x cos2x = 2 cot x วิธีทา ํ cot x cos2x = 2 cot x cot x cos2x - 2 cot x = 0 cot x (cos2x - 2) = 0 cot x = 0 และ cos2x - 2 = 0 π x= cos2x = 2 cos x = ±√2 π ในช่วง (0, π) ค่าของ cot x = 0 ที x = แต่ cos x = ±√2 ไม่ได้ ่ เนืองจาก ± √2 ไม่ได้อยูในช่วง [-1, 1] ดังนั'น คําตอบของสมการในรู ปทัวไป คือ π x = + nπ เมือ n เป็ นจํานวนเต็ม
ตัวอย่ างที 4 จงแก้สมการ 2 sin2 x + 3 cos x – 3 = 0 วิธีทา ํ 2 sin2 x + 3 cos x – 3 = 0 2 (1 - cos2 x) + 3 cos x – 3 = 0 2 – 2 cos2 x + 3 cos x – 3 = 0 -2 cos2 x + 3 cos x – 1 = 0 2 cos2 x - 3 cos x + 1 = 0 (2 cos x - 1)(cos x - 1) = 0 หาเซตคําตอบของสมการในช่วง [0, 2π) ดังนี' 2 cos x – 1 =0 และ cos x – 1 =0 cos x = cos x = 1 x = , π π x=0 เพราะว่า cos x มีความยาวคาบเท่ากับ 2π ดังนั'น คําตอบของสมการในรู ปทัวไป คือ π π x = 2nπ, x = + 2nπ, x = + 2nπ เมือ n เป็ นจํานวนเต็ม ตัวอย่ างที 5 จงแก้สมการ 2 cos 3x - 1 = 0 วิธีทา ํ 2 cos 3x - 1 = 0 2 cos 3x = 1 cos 3x = π π ในช่วง [0, 2π) ค่าของ cos 3x = ที 3x = และ 3x = ดังนั'น คําตอบของสมการในรู ปทัวไป คือ π π 3x = + 2nπ, 3x = + 2nπ นํา 3 หารตลอดสมการทีเป็ นคําตอบ จะได้ π π π π x= + , x= + เมือ n เป็ นจํานวนเต็ม
ตัวอย่ างที 6 จงแก้สมการ 3 tan + 3 = 0 วิธีทา ํ 3 tan + 3 = 0 3 tan = -3 tan = -1 π ในช่วง [0, π) ค่าของ tan = -1 ที = ดังนั'น คําตอบของสมการในรู ปทัวไป คือ π = + nπ นํา 2 คูณตลอดสมการทีเป็ นคําตอบ จะได้ π x = + 2nπ เมือ n เป็ นจํานวนเต็ม ตัวอย่ างที 7 จงแก้สมการ sec2x – 2 tan x = 4 วิธีทา ํ sec2x – 2 tan x =4 1 + tan2x – 2 tan x – 4 =0 2 tan x – 2 tan x – 3 =0 (tan x - 3)(tan x + 1) = 0 หาคําตอบของสมการ โดยพิจารณาจากเรนจ์ของฟังก์ชนผกผันของ tan x ั คือ − , ดังนี' tan x – 3 = 0 และ tan x + 1 = 0 tan x = 3 tan x = -1 π x = arc tan 3 x=- เพราะว่า tan x มีความยาวคาบเท่ากับ π ดังนั'น คําตอบของสมการในรู ปทัวไป คือ π x = arc tan 3 + nπ, x = - + nπ เมือ n เป็ นจํานวนเต็ม
ตัวอย่ างที 8 จงแก้สมการ 2 sin2x – sin x – 1 = 0 ในช่วง [0, 2π) วิธีทา ํ 2 sin2x – sin x – 1 = 0 (2 sin x + 1)(sin x - 1) = 0 หาคําตอบของสมการในช่วง [0, 2π) จะได้ 2 sin x + 1 = 0 และ sin x – 1 = 0 sin x = − sin x = 1 π π π x= , x= ตัวอย่ างที 9 จงแก้สมการ cos x + 1 = sin x ในช่วง [0, 2π) วิธีทา ํ cos x + 1 = sin x (cos x + 1)2 = (sin x)2 cos2x + 2 cos x + 1 = 1 – cos2x cos2x + cos2x + 2 cos x + 1 – 1 = 0 2 cos2x + 2 cos x = 0 2 cos x (cos x + 1) = 0 2 cos x = 0 และ cos x + 1 = 0 cos x = 0 cos x = -1 π π x= , x =π เนืองจากเป็ นการแก้สมการโดยการยกกําลังสอง ต้องตรวจสอบคําตอบ π π π ที x = จะได้ cos + 1 = sin 0+1 = 1 1=1 π π π ที x = จะได้ cos + 1 = sin 0 + 1 ≠ -1 1 ≠ -1 ที x = π จะได้ cos π + 1 = sin π -1 + 1 = 0 0=0 π ดังนั'นคําตอบของสมการในช่วง [0, 2π) คือ x = และ x = π
แบบฝึ กหัด เรือง การแก้สมการตรีโกณมิติ กลุ่มสาระการเรียนรู้ คณิตศาสตร์ รายวิชาความรู้ พนฐานสํ าหรับแคลคูลส 3 ื" ั รหัสวิชา ค 30104 หน่ วยการเรียนรู้ ที 1 ชื อหน่ วย ตรีโกณมิติ ชั" นมัธยมศึกษาปี ที 4 ภาคเรียนที 2 ปี การศึกษา 2555 ชือ – สกุล ………………………………………………………………….. ชั'น ............... เลขที ............ ตอนที 1 จงแสดงวิธีแก้สมการ และหาคําตอบในรู ปทัวไป 1. 2 cos x + 1 = 0 2. √3 cosec x – 2 = 0 3. 3 sec2 x – 4 = 0 4. 4 cos2x – 1 = 0 5. tan 3x (tan x - 1) = 0 6. 2 sin2x = 2 + cos x 7. 2 sec2x + tan2x – 3 = 0 8. csc x + cot x = 1 9. sec 4x = 2 √ 10. cos = ตอนที 2 จงแสดงวิธีแก้สมการ และหาคําตอบของสมการในช่วง [0, 2π) 1. + =4 2. =3 3. tan2x – 6 tanx + 5 = 0 4. sec2x + tan x – 3 = 0 5. cos x – sin x = 0

More Related Content

๶อกลักษณ์ตรีโกณฯ

  • 1. ใบความรู้ เรือง การแก้สมการตรีโกณมิติ กลุ่มสาระการเรียนรู้ คณิตศาสตร์ รายวิชาความรู้ พนฐานสํ าหรับแคลคูลส 3 ื" ั รหัสวิชา ค 30104 หน่ วยการเรียนรู้ ที 1 ชื อหน่ วย ตรีโกณมิติ ชั" นมัธยมศึกษาปี ที 4 ภาคเรียนที 2 ปี การศึกษา 2555 ่ สมการตรีโกณมิติ หมายถึง สมการทีประกอบด้วยพจน์ทีอยูในรู ปฟังก์ชนตรี โกณมิติของตัวแปร ั แบ่งออกได้ ดังนี' 1. สมการเอกลักษณ์ หรื อ เอกลักษณ์ หมายถึง สมการทีเป็ นจริ ง เมือแทนตัวแปรด้วยจํานวนจริ ง ใด ๆ เช่น sin2x + cos2 x = 1, 1 + tan2x = sec2x, 1 + cot2x = cos2x 2. สมการมีเงือนไข หรื อ สมการทีมีสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์เพียงบางตัว หรื อไม่มีจานวนจริ ง ํ ใด ๆ ซึ งเมือแทนตัวแปรในสมการนั'นและทําให้เป็ นจริ ง เช่น sin x = 1, cos x = 1 หลักการแก้ สมการตรีโกณมิติ 1. หาคําตอบทั'งหมดของสมการในช่วง [0, 2π] หรื อช่วงทีโจทย์กาหนด ํ ่ 2. หาคําตอบทัวไปของ x คือคําตอบของสมการทีอยูในรู ปทัวไปภายใต้เอกภพสัมพัทธ์ R ค่าของฟังก์ชนตรี โกณมิติของจํานวนจริ งหรื อมุมใด ๆ อาจจะซํ'ากันได้ ดังนั'นในการหาคําตอบของ ั ํ ่ ่ สมการถ้าโจทย์ไม่ได้กาหนดให้คาตอบอยูในช่วงใดช่วงหนึงแล้วคําตอบควรจะอยูในรู ปของค่าทัวไป ํ ตัวอย่ างที 1 จงแก้สมการ sin x + √2 = -sin x วิธีทา ํ sin x + √2 = -sin x sin x + sin x + √2 = 0 sin x + sin x = - √2 2 sin x = - √2 √ sin x = - √ เนืองจาก sin x มีความยาวคาบเท่ากับ 2π และมุมทีทําให้ sin x = - π π ในช่วง [0, 2π) คือ x = และ x = ดังนั'น คําตอบของสมการในรู ปทัวไป คือ π π x = + 2nπ และ x = + 2nπ เมือ n เป็ นจํานวนเต็ม
  • 2. ตัวอย่ างที 2 จงแก้สมการ 3 tan2 x – 1 = 0 วิธีทา ํ 3 tan2 x – 1 = 0 3 tan2 x =1 tan2 x = tan x = ± √ √ เนืองจาก tan x มีความยาวคาบเท่ากับ π และมุมทีทําให้ sin x =- π π ในช่วง [0, π) คือ x = และ x = ดังนั'น คําตอบของสมการในรู ปทัวไป คือ π π x = + nπ และ x = + nπ เมือ n เป็ นจํานวนเต็ม ตัวอย่ างที 3 จงแก้สมการ cot x cos2x = 2 cot x วิธีทา ํ cot x cos2x = 2 cot x cot x cos2x - 2 cot x = 0 cot x (cos2x - 2) = 0 cot x = 0 และ cos2x - 2 = 0 π x= cos2x = 2 cos x = ±√2 π ในช่วง (0, π) ค่าของ cot x = 0 ที x = แต่ cos x = ±√2 ไม่ได้ ่ เนืองจาก ± √2 ไม่ได้อยูในช่วง [-1, 1] ดังนั'น คําตอบของสมการในรู ปทัวไป คือ π x = + nπ เมือ n เป็ นจํานวนเต็ม
  • 3. ตัวอย่ างที 4 จงแก้สมการ 2 sin2 x + 3 cos x – 3 = 0 วิธีทา ํ 2 sin2 x + 3 cos x – 3 = 0 2 (1 - cos2 x) + 3 cos x – 3 = 0 2 – 2 cos2 x + 3 cos x – 3 = 0 -2 cos2 x + 3 cos x – 1 = 0 2 cos2 x - 3 cos x + 1 = 0 (2 cos x - 1)(cos x - 1) = 0 หาเซตคําตอบของสมการในช่วง [0, 2π) ดังนี' 2 cos x – 1 =0 และ cos x – 1 =0 cos x = cos x = 1 x = , π π x=0 เพราะว่า cos x มีความยาวคาบเท่ากับ 2π ดังนั'น คําตอบของสมการในรู ปทัวไป คือ π π x = 2nπ, x = + 2nπ, x = + 2nπ เมือ n เป็ นจํานวนเต็ม ตัวอย่ างที 5 จงแก้สมการ 2 cos 3x - 1 = 0 วิธีทา ํ 2 cos 3x - 1 = 0 2 cos 3x = 1 cos 3x = π π ในช่วง [0, 2π) ค่าของ cos 3x = ที 3x = และ 3x = ดังนั'น คําตอบของสมการในรู ปทัวไป คือ π π 3x = + 2nπ, 3x = + 2nπ นํา 3 หารตลอดสมการทีเป็ นคําตอบ จะได้ π π π π x= + , x= + เมือ n เป็ นจํานวนเต็ม
  • 4. ตัวอย่ างที 6 จงแก้สมการ 3 tan + 3 = 0 วิธีทา ํ 3 tan + 3 = 0 3 tan = -3 tan = -1 π ในช่วง [0, π) ค่าของ tan = -1 ที = ดังนั'น คําตอบของสมการในรู ปทัวไป คือ π = + nπ นํา 2 คูณตลอดสมการทีเป็ นคําตอบ จะได้ π x = + 2nπ เมือ n เป็ นจํานวนเต็ม ตัวอย่ างที 7 จงแก้สมการ sec2x – 2 tan x = 4 วิธีทา ํ sec2x – 2 tan x =4 1 + tan2x – 2 tan x – 4 =0 2 tan x – 2 tan x – 3 =0 (tan x - 3)(tan x + 1) = 0 หาคําตอบของสมการ โดยพิจารณาจากเรนจ์ของฟังก์ชนผกผันของ tan x ั คือ − , ดังนี' tan x – 3 = 0 และ tan x + 1 = 0 tan x = 3 tan x = -1 π x = arc tan 3 x=- เพราะว่า tan x มีความยาวคาบเท่ากับ π ดังนั'น คําตอบของสมการในรู ปทัวไป คือ π x = arc tan 3 + nπ, x = - + nπ เมือ n เป็ นจํานวนเต็ม
  • 5. ตัวอย่ างที 8 จงแก้สมการ 2 sin2x – sin x – 1 = 0 ในช่วง [0, 2π) วิธีทา ํ 2 sin2x – sin x – 1 = 0 (2 sin x + 1)(sin x - 1) = 0 หาคําตอบของสมการในช่วง [0, 2π) จะได้ 2 sin x + 1 = 0 และ sin x – 1 = 0 sin x = − sin x = 1 π π π x= , x= ตัวอย่ างที 9 จงแก้สมการ cos x + 1 = sin x ในช่วง [0, 2π) วิธีทา ํ cos x + 1 = sin x (cos x + 1)2 = (sin x)2 cos2x + 2 cos x + 1 = 1 – cos2x cos2x + cos2x + 2 cos x + 1 – 1 = 0 2 cos2x + 2 cos x = 0 2 cos x (cos x + 1) = 0 2 cos x = 0 และ cos x + 1 = 0 cos x = 0 cos x = -1 π π x= , x =π เนืองจากเป็ นการแก้สมการโดยการยกกําลังสอง ต้องตรวจสอบคําตอบ π π π ที x = จะได้ cos + 1 = sin 0+1 = 1 1=1 π π π ที x = จะได้ cos + 1 = sin 0 + 1 ≠ -1 1 ≠ -1 ที x = π จะได้ cos π + 1 = sin π -1 + 1 = 0 0=0 π ดังนั'นคําตอบของสมการในช่วง [0, 2π) คือ x = และ x = π
  • 6. แบบฝึ กหัด เรือง การแก้สมการตรีโกณมิติ กลุ่มสาระการเรียนรู้ คณิตศาสตร์ รายวิชาความรู้ พนฐานสํ าหรับแคลคูลส 3 ื" ั รหัสวิชา ค 30104 หน่ วยการเรียนรู้ ที 1 ชื อหน่ วย ตรีโกณมิติ ชั" นมัธยมศึกษาปี ที 4 ภาคเรียนที 2 ปี การศึกษา 2555 ชือ – สกุล ………………………………………………………………….. ชั'น ............... เลขที ............ ตอนที 1 จงแสดงวิธีแก้สมการ และหาคําตอบในรู ปทัวไป 1. 2 cos x + 1 = 0 2. √3 cosec x – 2 = 0 3. 3 sec2 x – 4 = 0 4. 4 cos2x – 1 = 0 5. tan 3x (tan x - 1) = 0 6. 2 sin2x = 2 + cos x 7. 2 sec2x + tan2x – 3 = 0 8. csc x + cot x = 1 9. sec 4x = 2 √ 10. cos = ตอนที 2 จงแสดงวิธีแก้สมการ และหาคําตอบของสมการในช่วง [0, 2π) 1. + =4 2. =3 3. tan2x – 6 tanx + 5 = 0 4. sec2x + tan x – 3 = 0 5. cos x – sin x = 0