ݺߣ

ݺߣShare a Scribd company logo

відомості стереометрії

•Download as PPT, PDF•
•
А
Александра Гвоздецкая-Гоцур
1 of 18
Download to read offline
Початкові відомості зі стереометрії.
При вивченні теми ми: Розглянемо взаємне розміщення у просторі прямих і площин; Познайомимось з просторовими фігурами, їх елементами, поняттями поверхні та об’єму; Навчимося зображати та знаходити на малюнках многогранники і тіла обертання та їх елементи.
План 1. Взаємне розміщення прямих у просторі. 2. Взаємне розміщення прямої та площини і площин у просторі. Перпендикуляр до площини. 3. Пряма призма. Площа поверхні та об’єм призми. 4. Піраміда. Площа поверхні та об’єм піраміди. 5. Тіла обертання. Циліндр. Площа поверхні та об’єм циліндра. 6. Конус. Площа поверхні та об’єм конуса. 7. Куля. Площа поверхні та об’єм кулі. 8. Історична довідка.
Основні геометричні фігури Рисунок Фігури Позначення точки А, В, С... а, в, с... прямі АВ, ВС... площини α , β, γ...
Аксіоми стереометрії Якщо дві площини Через дві Яка б не була мають спільну точку, прямі, що площина, то вони перетинаю- існують точки, перетинаються по ться, можна що належать їй, і прямій, яка провести, точки, що їй не проходить через цю площину і точку дотого ж належать тільки одну
Взаємне розміщення двох прямих у просторі
Взаємне розміщення двох площин
Взаємне розміщення прямої і площини Паралельні а║α перетинаються пряма лежить у площині
Пряма, перпендикулярна до площини Означення: Пряма перпендикулярна до до площини α, якщо с┴а, с┴b. Теорема: Якщо с┴а, с┴b то с┴α. Перпендикуляр і похила АО – перпендикуляр; АВ – похила; ВО – проекція похилої АВ на площину α.
 Многогранником називається геометричне тіло (частина простору), обмежена скінченною кількістю плоских многокутників. Многокутники які обмежують многогранник називають його гранями, їх сторони – ребрами, а вершини – вершинами многогранника. Гранями є многокутники ABC, A1B1C1, ABB1A1, BB1C1C, AACC; ребрами – сторони AC, BC, AB, AA1, BB1, CC1, A1B1, A1C1, B1C1; вершинами – точки A, B, C, A1, B1, C1.
Призма  n-кутна призма – многогранник, дві грані якого – рівні n-кутники з відповідно паралельними сторонами, а всі інші грані – паралелограми. ABCD і A1B1C1D1 – основи; AA1, BB1, CC1, DD1 – бічні ребра; AB, BC, CD, AD, A1B1, B1C1, C1D1, A1D1 – ребра основи.
Пряма призма – якщо бічні ребра перпендикулярні до основи. AA1=h. Правильна призма – це пряма призма, в основі якої лежить правильний многокутник. Площа бічної поверхні прямої призми: Sбічне=P*h, де P – периметр основи. Sповне=Sбічне+2Sосн Об`єм призми прямої: V=Sосн*h
Піраміда n- кутна піраміда – це многогранник, одна грань якого – довільний n- кутник, а всі інші – n граней трикутники, що мають спільну вершину. P – вершина піраміди; ABCD – основа піраміди; ∆PAB, ∆PBC, ∆PCD, ∆PDA – бічні грані; PA, PB, PC, PD – бічні ребра; AB, BC, CD, AD – ребра основи; PO – висота, PO┴ABCD.
Основа правильної піраміди – правильний многокутник, а основа висоти – центр многокутника. PF – апофема (висота бічної грані проведена з її вершини, наз. апофемою), PF┴DC. Sпір=Sосн+Sбіч Площа бічної поверхні правильної піраміди Sбіч=m*p, де m – апофема, p – півпериметр основи. Об`єм піраміди: V=⅓Sосн*H
Циліндр Прямим круговим циліндром називається тіло, утворене обертанням прямокутника навколо його сторони. O1A і OB – радіуси, AB – твірна AB=ОО1 – висота, ОО1 – вісь. Площа поверхні циліндра: Sцил=Sбіч+2Sосн, де Sбіч=2πRH, Sосн=πR² Об`єм циліндра: V=SоснH; V=πR²H. Осьовий переріз циліндра – прямокутник зі сторонами, що дорівнюють висоті циліндра й діаметру його основи. ABA1B1 – осьовий переріз циліндра.
Конус Прямим круговим конусом називається тіло, утворене обертанням плоского прямокутного трикутника навколо одного із його катетів. КО- вісь, КО- висота, КА- твірна, АО- радіус. Осьовий переріз конуса - переріз конуса площиною, яка проходить через його вісь. Усі осьові перерізи конуса – рівні між собою рівнобедрені трикутники. ∆АКА1- осьовий переріз конуса. Площа поверхні конуса Sкон= Sбічн+Sосн. Sбіч=πRL, Sосн= πR² , L-твірна. Об’єм конуса V= 1/3πR²H
Куля (сфера) Куля (сфера) – фігура, утворення обертанням круга (кола) навколо його діаметра. Площина, яка проходить через центр кулі (сфери) називається діаметральною площиною. Переріз кулі (сфери) діаметральною площиною називається великим кругом (великим колом). О – центр кулі (сфери); ОА, ОВ – радіуси; АВ – діаметр. Площа поверхні кулі (площа сфери): S=4πR² Об’єм кулі: V=4/3πR³
Історична довідка Властивості многогранників і тіл обертання першими систематично виклали давньогрецькі математики. Окрім Евкліда, слід особливо виділити Архімеда, який у двох своїх працях дослідив властивості тіл обертання. Одним із засновників теорії конічних поверхонь вважається давньогрецький геометр Аполлоній Пергський (бл. 262 – бл. 190 р.р. до н.е.). Робота Аполлонія «Канонічні перерізи» розглядає перерізи поверхонь, утворених обертанням однієї з двох прямих, що перетинаються, навколо іншої. Ця праця справила вплив на розвиток механіки, оптики і астрономії. Важливі дослідження в галузі геометрії многогранників належать всесвітньо відомому українському математикові Георгію Феодосійовичу Вороному (1868 – 1908 р.р.). Зокрема, він дослідив проблему заповнення простору опуклими многогранниками. Об`єми деяких многогранників уміли обчислювати ще в стародавньому Єгипті. Італійський математик Бонавентура Кавильєрі (1598 – 1647 р.р.) встановив ознаку тіл, що мають рівні об`єми. Але строга сучасна теорія об`ємів, заснована на методах математичного аналізу, з`явилася значно пізніше.

More Related Content

відомості стереометрії

  • 1. Початкові відомості зі стереометрії.
  • 2. При вивченні теми ми: Розглянемо взаємне розміщення у просторі прямих і площин; Познайомимось з просторовими фігурами, їх елементами, поняттями поверхні та об’єму; Навчимося зображати та знаходити на малюнках многогранники і тіла обертання та їх елементи.
  • 3. План 1. Взаємне розміщення прямих у просторі. 2. Взаємне розміщення прямої та площини і площин у просторі. Перпендикуляр до площини. 3. Пряма призма. Площа поверхні та об’єм призми. 4. Піраміда. Площа поверхні та об’єм піраміди. 5. Тіла обертання. Циліндр. Площа поверхні та об’єм циліндра. 6. Конус. Площа поверхні та об’єм конуса. 7. Куля. Площа поверхні та об’єм кулі. 8. Історична довідка.
  • 4. Основні геометричні фігури Рисунок Фігури Позначення точки А, В, С... а, в, с... прямі АВ, ВС... площини α , β, γ...
  • 5. Аксіоми стереометрії Якщо дві площини Через дві Яка б не була мають спільну точку, прямі, що площина, то вони перетинаю- існують точки, перетинаються по ться, можна що належать їй, і прямій, яка провести, точки, що їй не проходить через цю площину і точку дотого ж належать тільки одну
  • 6. Взаємне розміщення двох прямих у просторі
  • 8. Взаємне розміщення прямої і площини Паралельні а║α перетинаються пряма лежить у площині
  • 9. Пряма, перпендикулярна до площини Означення: Пряма перпендикулярна до до площини α, якщо с┴а, с┴b. Теорема: Якщо с┴а, с┴b то с┴α. Перпендикуляр і похила АО – перпендикуляр; АВ – похила; ВО – проекція похилої АВ на площину α.
  • 10.  Многогранником називається геометричне тіло (частина простору), обмежена скінченною кількістю плоских многокутників. Многокутники які обмежують многогранник називають його гранями, їх сторони – ребрами, а вершини – вершинами многогранника. Гранями є многокутники ABC, A1B1C1, ABB1A1, BB1C1C, AACC; ребрами – сторони AC, BC, AB, AA1, BB1, CC1, A1B1, A1C1, B1C1; вершинами – точки A, B, C, A1, B1, C1.
  • 11. Призма  n-кутна призма – многогранник, дві грані якого – рівні n-кутники з відповідно паралельними сторонами, а всі інші грані – паралелограми. ABCD і A1B1C1D1 – основи; AA1, BB1, CC1, DD1 – бічні ребра; AB, BC, CD, AD, A1B1, B1C1, C1D1, A1D1 – ребра основи.
  • 12. Пряма призма – якщо бічні ребра перпендикулярні до основи. AA1=h. Правильна призма – це пряма призма, в основі якої лежить правильний многокутник. Площа бічної поверхні прямої призми: Sбічне=P*h, де P – периметр основи. Sповне=Sбічне+2Sосн Об`єм призми прямої: V=Sосн*h
  • 13. Піраміда n- кутна піраміда – це многогранник, одна грань якого – довільний n- кутник, а всі інші – n граней трикутники, що мають спільну вершину. P – вершина піраміди; ABCD – основа піраміди; ∆PAB, ∆PBC, ∆PCD, ∆PDA – бічні грані; PA, PB, PC, PD – бічні ребра; AB, BC, CD, AD – ребра основи; PO – висота, PO┴ABCD.
  • 14. Основа правильної піраміди – правильний многокутник, а основа висоти – центр многокутника. PF – апофема (висота бічної грані проведена з її вершини, наз. апофемою), PF┴DC. Sпір=Sосн+Sбіч Площа бічної поверхні правильної піраміди Sбіч=m*p, де m – апофема, p – півпериметр основи. Об`єм піраміди: V=⅓Sосн*H
  • 15. Циліндр Прямим круговим циліндром називається тіло, утворене обертанням прямокутника навколо його сторони. O1A і OB – радіуси, AB – твірна AB=ОО1 – висота, ОО1 – вісь. Площа поверхні циліндра: Sцил=Sбіч+2Sосн, де Sбіч=2πRH, Sосн=πR² Об`єм циліндра: V=SоснH; V=πR²H. Осьовий переріз циліндра – прямокутник зі сторонами, що дорівнюють висоті циліндра й діаметру його основи. ABA1B1 – осьовий переріз циліндра.
  • 16. Конус Прямим круговим конусом називається тіло, утворене обертанням плоского прямокутного трикутника навколо одного із його катетів. КО- вісь, КО- висота, КА- твірна, АО- радіус. Осьовий переріз конуса - переріз конуса площиною, яка проходить через його вісь. Усі осьові перерізи конуса – рівні між собою рівнобедрені трикутники. ∆АКА1- осьовий переріз конуса. Площа поверхні конуса Sкон= Sбічн+Sосн. Sбіч=πRL, Sосн= πR² , L-твірна. Об’єм конуса V= 1/3πR²H
  • 17. Куля (сфера) Куля (сфера) – фігура, утворення обертанням круга (кола) навколо його діаметра. Площина, яка проходить через центр кулі (сфери) називається діаметральною площиною. Переріз кулі (сфери) діаметральною площиною називається великим кругом (великим колом). О – центр кулі (сфери); ОА, ОВ – радіуси; АВ – діаметр. Площа поверхні кулі (площа сфери): S=4πR² Об’єм кулі: V=4/3πR³
  • 18. Історична довідка Властивості многогранників і тіл обертання першими систематично виклали давньогрецькі математики. Окрім Евкліда, слід особливо виділити Архімеда, який у двох своїх працях дослідив властивості тіл обертання. Одним із засновників теорії конічних поверхонь вважається давньогрецький геометр Аполлоній Пергський (бл. 262 – бл. 190 р.р. до н.е.). Робота Аполлонія «Канонічні перерізи» розглядає перерізи поверхонь, утворених обертанням однієї з двох прямих, що перетинаються, навколо іншої. Ця праця справила вплив на розвиток механіки, оптики і астрономії. Важливі дослідження в галузі геометрії многогранників належать всесвітньо відомому українському математикові Георгію Феодосійовичу Вороному (1868 – 1908 р.р.). Зокрема, він дослідив проблему заповнення простору опуклими многогранниками. Об`єми деяких многогранників уміли обчислювати ще в стародавньому Єгипті. Італійський математик Бонавентура Кавильєрі (1598 – 1647 р.р.) встановив ознаку тіл, що мають рівні об`єми. Але строга сучасна теорія об`ємів, заснована на методах математичного аналізу, з`явилася значно пізніше.