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केंद्रीय प्रवृत्ति के माप

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Dr Rajesh Verma
Dr Rajesh Verma

केंद्रीय प्रवृत्ति’ शब्द 1920 के दशक के उत्तरार्ध की देन है (wikipedia)। सांख्यिकी, विशेष रूप से सामाजिक अनुसंधान में केंद्रीय प्रवृत्ति एक प्रकार का औसत (Average) होता है। आमतौर पर औसत तीन प्रकार के होते हैं अर्थात मध्यमान, माध्य एवं बहुलक (Mean, Median, Mode)। औसत ऐसी संख्या होती है जो स्कोर या व्यक्तियों के एक समूह के केंद्रीय मूल्य को दर्शाती है (Guilford & Fruchter, 1978)।

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कें द्रीय प्रवृत्ति के माप डॉ राजेश वमाा अत्तिस्टेंट प्रोफे िर (मनोत्तवज्ञान) राजकीय महात्तवद्यालय आदमपुर, त्तहिार, हररयाणा
पररभाषा डेटा की मध्यत्तविंदु की ओर बढ़ने की प्रवृत्ति। ऐिा एकल ििंख्यात्मक मान जो डेटा को त्तवतरण के पररकत्तलत (Calculated) कें द्रीय मान की तरफ उन्मुखीकरण को दशााता है। इि मूल्य को कभी-कभी डेटा का नात्तभकीय मूल्य (Nuclear Value) भी कहा जाता है।
पररचय ‘कें द्रीय प्रवृत्ति’ शब्द 1920 के दशक के उिरार्ध की देन है (wikipedia)। साांत्तययकी, त्तवशेष रूप से सामात्तिक अनुसांर्ान में कें द्रीय प्रवृत्ति एक प्रकार का औसत (Average) होता है। आमतौर पर औसत तीन प्रकार के होते हैं अर्ाधत मध्यमान, माध्य एवां बहुलक (Mean, Median, Mode)। औसत ऐसी सांयया होती है िो स्कोर या व्यत्तियों के एक समूह के कें द्रीय मूल्य को दशाधती है (Guilford & Fruchter, 1978)। दूसरे शब्दों में, कें द्रीय प्रवृत्ति वो एकल मूल्य होता है िो आमतौर पर त्तवतरण के मध्य या कें द्र में त्तस्र्त होता है िहाां अत्तर्काांश डेटा सांके त्तरद्रत होता है (Levin & Fox, 2006)।
औित त्तनकालने के उद्देश्य 1. यह मात्रात्मक डेटा का सटीक त्तववरण देती है। 2. औसत, डेटा को सार्धक बनाने के सार्-सार् उसका प्रत्ततत्तनत्तर्त्व भी करती है। 3. उस िनसांयया का वणधन करती है त्तिससे नमूना (Sample) त्तलया िाता है। 4. त्तवत्तशष्ट त्तनष्पादन को ध्यान में रखते हुए दो या दो से अत्तर्क समूहों की तुलना करने में सहायक होती है ।
तात्तलका 1.1: काल्पत्तनक डेटा
कें द्रीय प्रवृत्ति के माप कें द्रीय प्रवृत्ति त्तनम्नत्तलत्तखत द्वारा मापी िाती है: - 1. मध्यमान, 2. माध्य, एवां 3. बहुलक।
1. मध्यमान – कें द्रीय प्रवृत्ति का यह माप सबसे अत्तर्क उपयोग त्तकया त्तकया िाने वाला माप होता है त्तिसे आमतौर पर एक्स-बार ( 𝑿) के द्वारा दशाधया िाता है। यह स्कोर के योग को स्कोर की कु ल सांयया से त्तवभात्तित करने के उपराांत प्राप्त त्तकया िाता है। मध्यमान = 𝑿= (∑𝑿)/𝑵 (असमूहबद्ध डेटा के त्तलए) िहााँ, = मध्यमान ∑ = का योग x = स्कोर N = स्कोर की कु ल सांयया उदाहरण के त्तलए, हमारे पास कु छ काल्पत्तनक डेटा हैं िैसे, 21, 33, 29, 31, 20, 18, 32, 23, 27, 36. ∑X = 21+33+29+31+20+18+32+23+27+36=270 N = 10 अतः, 𝑿 =𝟐𝟕𝟎/𝟏𝟎 = 27
मध्यमान 𝑿 = (∑𝒇𝑿)/N (समूहबद्ध डेटा के त्तलए) िहााँ, 𝑿 = मध्यमान ∑ = का योग f = आवृत्ति x = वगध अांतराल का मध्य त्तबांदु fx = आवृत्ति और मध्यत्तबांदु का गुणनफल N = स्कोर या अांकों की कु ल सांयया तात्तलका 1.1 के अनुसार ∑fx = 1480 N = 50 अतः 𝑿 =𝟏𝟒𝟖𝟎/𝟓𝟎 = 29.60 नोट: मध्यमान त्तवतरण पर एक त्तबिंदु होता है, कोई स्कोर नहीं।
मध्यमान के अन्य प्रकार 1. भाररत मध्यमान (Weighted mean)। 2. हामोत्तनक मध्यमान (Harmonic mean)। 3. ज्यात्तमत्ततक मध्यमान (Geometric mean)। 4. अांकगत्तणत-ज्यात्तमतीय मध्यमान (Arithmetic-Geometric mean)। 5. िड़-माध्य-वगध मध्यमान (Root-Mean Square mean)। 6. हेरोत्तनयन मध्यमान (Heronian mean)।
2. माध्य (Median) – माध्य, त्तकसी माप पर वह त्तबांदु होता है त्तिसके ऊपर आर्ा और नीचे आर्ा स्कोर होता है (Guilford & Fruchter, 1978)। दूसरे शब्दों में, माध्य त्तकसी त्तवतरण का कें द्रीय त्तबांदु होता है (Levin & Fox, 2006)। यह त्तवतरण को दो भागों में त्तवभात्तित करता है िैसे एक सफे द पट्टी (मात्तध्यका पट्टी) त्तकसी सड़क या रािमागध को दो भागों में त्तवभात्तित करती है। (i) अिमूहबद्ध डेटा के माध्य की गणना: - प्रथम चरण –स्कोर को आरोही क्रम में व्यवत्तस्थत करें। त्तितीय चरण – त्तफर स्कोर को त्तगनें (a) यत्तद स्कोर त्तवषम हैं तो त्तवतरण का बीच का स्कोर ‘माध्य’ होगा। उदाहरण के त्तलए: 18, 20, 21, 23, 27, 29, 31, 32, 33
(b) यत्तद स्कोर सम हैं तो त्तनम्न त्तनयम के अनुसार माध्य त्तनकालें। माध्य = (𝑵+𝟏)/𝟐वाां स्कोर उदाहरण के त्तलए: 18, 20, 21, 23, 27, 29, 31, 32, 33, 36 माध्य = (𝟏𝟎+𝟏)/𝟐वाां स्कोर = 11/2 = 5.5वाां स्कोर (श्ृांखला के त्तकसी भी छोर से त्तगनती करने पर)। तो, माध्य 27 से ऊपर (5 वें स्कोर) और 29 से नीचे (6 वें स्कोर) यानी 28 होगा।
(ii) िमूहबद्ध डेटा के माध्य की गणना: - चरण I – N/2 (50/2 = 25) ज्ञात करें। चरण II – िबिे छोटे वगा अिंतराल के स्कोर या आवती िे शुरू करके ऊपर की और बढ़ते हुए आवृत्तियों को तब तात्तलका 1.2 तक जोड़ते जाएँ (त्तजिे F कहा जाता है) जब तक N/2 की ििंख्या के बराबर या उििे कम ििंख्या न पहुिंच जाएँ। तत्पश्चात, माध्य (N/2 की ििंख्या) त्तजि वगा अिंतराल के अिंतगात आता है उिकी िटीक त्तनचली िीमा (l, अिंग्रेजी भाषा का छोटा एल) को नोट करें। या उि वगा अिंतराल त्तजिमें माध्य होता है िे पहले के वगा अिंतराल की ििंचयी आवृत्ति (CF) को नोट कर लें, अतः F या CF = 16 (तात्तलका 1.2 देखें)। Class Interval Frequency (f) cf 55-59 1 50 50-54 1 49 45-49 3 48 40-44 4 45 35-39 6 41 30-34 7 35 25-29 12 28 20-24 6 16 15-19 8 10 10-14 2 2
चरण III – N/2 को को पूरा करने के त्तलए आवश्यक अांकों की गणना करें, यानी N/2- F त्तनकालें। इस प्रकार प्राप्त हुई सांयया को माध्य वाले वगध-अांतराल की आवती (fm) से भाग करें, और पररणाम को वगध अांतराल के आकार (i) से तात्तलका 1.3 गुणा करें। N/2-F = 25-16 = 9 = 𝟗 𝟏𝟐 𝑿𝟓 = 3.75 चरण IV – चरण 3 में प्राप्त सांयया को माध्य वाले वगध अांतराल की सटीक त्तनचली सीमा (l) (Exact Lower Limit) में िोड़ें। यानी 25.5 + 3.75 = 29.25 नोट: माध्य त्तकिी भी त्तवतरण पर एक त्तबिंदु होता है कोई अिंक नहीं। Class Interval Frequency (f) cf 55-59 1 50 50-54 1 49 45-49 3 48 40-44 4 45 35-39 6 41 30-34 7 35 25-29 12 28 20-24 6 16 15-19 8 10 10-14 2 2
समूहबद्ध डेटा के माध्य की गणना करने का सूत्र माध्य = 𝒍 + 𝑵 𝟐 −𝑪𝑭 𝒇𝒎 𝒊 िहाां, l = उस वगध अांतराल की त्तनचली सीमा, त्तिसमें माध्य त्तनत्तहत है। N = अांकों की कु ल सांयया। CF = माध्य वाले वगध अांतराल के पहले वाले वगध अांतराल की सांचयी आवृत्ति। fm = माध्य वाले वगध अांतराल की आवृत्ति। i = वगध अांतराल का आकार। l = 25.5, N/2 = 50/2 = 25, F or CF = 16, fm = 12, i = 5 सूत्र में मूल्यों को रखने पर = 25.5+ 𝟐𝟓−𝟏𝟔 𝟏𝟐 5 = 25.5 + (9/12) 5 = 25.5 +(.75) 5 = 25.5 + 3.75 = 29.25
3. बहुलक – त्तवतरण में सबसे अत्तर्क बार आने वाली सांयया को बहुलक कहा िाता है िो कें द्रीय प्रवृत्ति का एक महत्वपूणध माप होता है। त्तिन चरों को के वल नॉत्तमनल स्तर (Nominal Level) पर मापा िाता है उनके त्तलए बहुलक कें द्रीय प्रवृत्ति मापन का एकमात्र उपाय होता है (Levin & Fox, 2006)। असमूहबद्ध (Ungrouped) डेटा में िो स्कोर सबसे अत्तर्क बार आता है वह बहुलक कहलाता है।
(a) असमूहबद्ध डेटा के त्तलए उदाहरण के त्तलए इस त्तवतरण में 11, 23, 25, 25, 30, 32, 36, 36, 36, 45, 48, 51 सबसे अत्तर्क होने वाला स्कोर 36 है अर्ाधत इस डाटा का बहुलक 36 होगा। (b) समूहबद्ध डेटा के त्तलए तात्तलका 1.4 बहुलक आमतौर पर उस अांतराल का मध्यत्तबांदु त्तलया िाता है त्तिसकी आवृत्ति सबसे ज्यादा होती है। तात्तलका 1.4 में 25-29 वगध अांतराल का मध्य त्तबांदु 27 है िो इस डाटा का बहुलक होगा। बहुलक का सूत्र = 3 माध्य – 2 मध्यमान Class Interval Mid point of Class interval Frequency (f) 55-59 57 1 50-54 52 1 45-49 47 3 40-44 42 4 35-39 37 6 30-34 32 7 25-29 27 12 20-24 22 6 15-19 17 8 10-14 12 2
िन्दभा: 1. Guilford, J. P. & Fruchter, B. (1978). Fundamental Statistics in Psychology and Education. Tokyo: McGraw Hill. 2. Garrett, H. E. (2014). Statistics in Psychology and Education. New Delhi: Pragon International. 3. Levin, J. & Fox, J. A. (2006). Elementary Statistics. New Delhi: Pearson. 4. Upton, G. & Cook, I. (2008). Oxford Dictionary of Statistics, OUP ISBN 978-0-19-954145-4.
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केंद्रीय प्रवृत्ति के माप

  • 1. कें द्रीय प्रवृत्ति के माप डॉ राजेश वमाा अत्तिस्टेंट प्रोफे िर (मनोत्तवज्ञान) राजकीय महात्तवद्यालय आदमपुर, त्तहिार, हररयाणा
  • 2. पररभाषा डेटा की मध्यत्तविंदु की ओर बढ़ने की प्रवृत्ति। ऐिा एकल ििंख्यात्मक मान जो डेटा को त्तवतरण के पररकत्तलत (Calculated) कें द्रीय मान की तरफ उन्मुखीकरण को दशााता है। इि मूल्य को कभी-कभी डेटा का नात्तभकीय मूल्य (Nuclear Value) भी कहा जाता है।
  • 3. पररचय ‘कें द्रीय प्रवृत्ति’ शब्द 1920 के दशक के उिरार्ध की देन है (wikipedia)। साांत्तययकी, त्तवशेष रूप से सामात्तिक अनुसांर्ान में कें द्रीय प्रवृत्ति एक प्रकार का औसत (Average) होता है। आमतौर पर औसत तीन प्रकार के होते हैं अर्ाधत मध्यमान, माध्य एवां बहुलक (Mean, Median, Mode)। औसत ऐसी सांयया होती है िो स्कोर या व्यत्तियों के एक समूह के कें द्रीय मूल्य को दशाधती है (Guilford & Fruchter, 1978)। दूसरे शब्दों में, कें द्रीय प्रवृत्ति वो एकल मूल्य होता है िो आमतौर पर त्तवतरण के मध्य या कें द्र में त्तस्र्त होता है िहाां अत्तर्काांश डेटा सांके त्तरद्रत होता है (Levin & Fox, 2006)।
  • 4. औित त्तनकालने के उद्देश्य 1. यह मात्रात्मक डेटा का सटीक त्तववरण देती है। 2. औसत, डेटा को सार्धक बनाने के सार्-सार् उसका प्रत्ततत्तनत्तर्त्व भी करती है। 3. उस िनसांयया का वणधन करती है त्तिससे नमूना (Sample) त्तलया िाता है। 4. त्तवत्तशष्ट त्तनष्पादन को ध्यान में रखते हुए दो या दो से अत्तर्क समूहों की तुलना करने में सहायक होती है ।
  • 6. कें द्रीय प्रवृत्ति के माप कें द्रीय प्रवृत्ति त्तनम्नत्तलत्तखत द्वारा मापी िाती है: - 1. मध्यमान, 2. माध्य, एवां 3. बहुलक।
  • 7. 1. मध्यमान – कें द्रीय प्रवृत्ति का यह माप सबसे अत्तर्क उपयोग त्तकया त्तकया िाने वाला माप होता है त्तिसे आमतौर पर एक्स-बार ( 𝑿) के द्वारा दशाधया िाता है। यह स्कोर के योग को स्कोर की कु ल सांयया से त्तवभात्तित करने के उपराांत प्राप्त त्तकया िाता है। मध्यमान = 𝑿= (∑𝑿)/𝑵 (असमूहबद्ध डेटा के त्तलए) िहााँ, = मध्यमान ∑ = का योग x = स्कोर N = स्कोर की कु ल सांयया उदाहरण के त्तलए, हमारे पास कु छ काल्पत्तनक डेटा हैं िैसे, 21, 33, 29, 31, 20, 18, 32, 23, 27, 36. ∑X = 21+33+29+31+20+18+32+23+27+36=270 N = 10 अतः, 𝑿 =𝟐𝟕𝟎/𝟏𝟎 = 27
  • 8. मध्यमान 𝑿 = (∑𝒇𝑿)/N (समूहबद्ध डेटा के त्तलए) िहााँ, 𝑿 = मध्यमान ∑ = का योग f = आवृत्ति x = वगध अांतराल का मध्य त्तबांदु fx = आवृत्ति और मध्यत्तबांदु का गुणनफल N = स्कोर या अांकों की कु ल सांयया तात्तलका 1.1 के अनुसार ∑fx = 1480 N = 50 अतः 𝑿 =𝟏𝟒𝟖𝟎/𝟓𝟎 = 29.60 नोट: मध्यमान त्तवतरण पर एक त्तबिंदु होता है, कोई स्कोर नहीं।
  • 9. मध्यमान के अन्य प्रकार 1. भाररत मध्यमान (Weighted mean)। 2. हामोत्तनक मध्यमान (Harmonic mean)। 3. ज्यात्तमत्ततक मध्यमान (Geometric mean)। 4. अांकगत्तणत-ज्यात्तमतीय मध्यमान (Arithmetic-Geometric mean)। 5. िड़-माध्य-वगध मध्यमान (Root-Mean Square mean)। 6. हेरोत्तनयन मध्यमान (Heronian mean)।
  • 10. 2. माध्य (Median) – माध्य, त्तकसी माप पर वह त्तबांदु होता है त्तिसके ऊपर आर्ा और नीचे आर्ा स्कोर होता है (Guilford & Fruchter, 1978)। दूसरे शब्दों में, माध्य त्तकसी त्तवतरण का कें द्रीय त्तबांदु होता है (Levin & Fox, 2006)। यह त्तवतरण को दो भागों में त्तवभात्तित करता है िैसे एक सफे द पट्टी (मात्तध्यका पट्टी) त्तकसी सड़क या रािमागध को दो भागों में त्तवभात्तित करती है। (i) अिमूहबद्ध डेटा के माध्य की गणना: - प्रथम चरण –स्कोर को आरोही क्रम में व्यवत्तस्थत करें। त्तितीय चरण – त्तफर स्कोर को त्तगनें (a) यत्तद स्कोर त्तवषम हैं तो त्तवतरण का बीच का स्कोर ‘माध्य’ होगा। उदाहरण के त्तलए: 18, 20, 21, 23, 27, 29, 31, 32, 33
  • 11. (b) यत्तद स्कोर सम हैं तो त्तनम्न त्तनयम के अनुसार माध्य त्तनकालें। माध्य = (𝑵+𝟏)/𝟐वाां स्कोर उदाहरण के त्तलए: 18, 20, 21, 23, 27, 29, 31, 32, 33, 36 माध्य = (𝟏𝟎+𝟏)/𝟐वाां स्कोर = 11/2 = 5.5वाां स्कोर (श्ृांखला के त्तकसी भी छोर से त्तगनती करने पर)। तो, माध्य 27 से ऊपर (5 वें स्कोर) और 29 से नीचे (6 वें स्कोर) यानी 28 होगा।
  • 12. (ii) िमूहबद्ध डेटा के माध्य की गणना: - चरण I – N/2 (50/2 = 25) ज्ञात करें। चरण II – िबिे छोटे वगा अिंतराल के स्कोर या आवती िे शुरू करके ऊपर की और बढ़ते हुए आवृत्तियों को तब तात्तलका 1.2 तक जोड़ते जाएँ (त्तजिे F कहा जाता है) जब तक N/2 की ििंख्या के बराबर या उििे कम ििंख्या न पहुिंच जाएँ। तत्पश्चात, माध्य (N/2 की ििंख्या) त्तजि वगा अिंतराल के अिंतगात आता है उिकी िटीक त्तनचली िीमा (l, अिंग्रेजी भाषा का छोटा एल) को नोट करें। या उि वगा अिंतराल त्तजिमें माध्य होता है िे पहले के वगा अिंतराल की ििंचयी आवृत्ति (CF) को नोट कर लें, अतः F या CF = 16 (तात्तलका 1.2 देखें)। Class Interval Frequency (f) cf 55-59 1 50 50-54 1 49 45-49 3 48 40-44 4 45 35-39 6 41 30-34 7 35 25-29 12 28 20-24 6 16 15-19 8 10 10-14 2 2
  • 13. चरण III – N/2 को को पूरा करने के त्तलए आवश्यक अांकों की गणना करें, यानी N/2- F त्तनकालें। इस प्रकार प्राप्त हुई सांयया को माध्य वाले वगध-अांतराल की आवती (fm) से भाग करें, और पररणाम को वगध अांतराल के आकार (i) से तात्तलका 1.3 गुणा करें। N/2-F = 25-16 = 9 = 𝟗 𝟏𝟐 𝑿𝟓 = 3.75 चरण IV – चरण 3 में प्राप्त सांयया को माध्य वाले वगध अांतराल की सटीक त्तनचली सीमा (l) (Exact Lower Limit) में िोड़ें। यानी 25.5 + 3.75 = 29.25 नोट: माध्य त्तकिी भी त्तवतरण पर एक त्तबिंदु होता है कोई अिंक नहीं। Class Interval Frequency (f) cf 55-59 1 50 50-54 1 49 45-49 3 48 40-44 4 45 35-39 6 41 30-34 7 35 25-29 12 28 20-24 6 16 15-19 8 10 10-14 2 2
  • 14. समूहबद्ध डेटा के माध्य की गणना करने का सूत्र माध्य = 𝒍 + 𝑵 𝟐 −𝑪𝑭 𝒇𝒎 𝒊 िहाां, l = उस वगध अांतराल की त्तनचली सीमा, त्तिसमें माध्य त्तनत्तहत है। N = अांकों की कु ल सांयया। CF = माध्य वाले वगध अांतराल के पहले वाले वगध अांतराल की सांचयी आवृत्ति। fm = माध्य वाले वगध अांतराल की आवृत्ति। i = वगध अांतराल का आकार। l = 25.5, N/2 = 50/2 = 25, F or CF = 16, fm = 12, i = 5 सूत्र में मूल्यों को रखने पर = 25.5+ 𝟐𝟓−𝟏𝟔 𝟏𝟐 5 = 25.5 + (9/12) 5 = 25.5 +(.75) 5 = 25.5 + 3.75 = 29.25
  • 15. 3. बहुलक – त्तवतरण में सबसे अत्तर्क बार आने वाली सांयया को बहुलक कहा िाता है िो कें द्रीय प्रवृत्ति का एक महत्वपूणध माप होता है। त्तिन चरों को के वल नॉत्तमनल स्तर (Nominal Level) पर मापा िाता है उनके त्तलए बहुलक कें द्रीय प्रवृत्ति मापन का एकमात्र उपाय होता है (Levin & Fox, 2006)। असमूहबद्ध (Ungrouped) डेटा में िो स्कोर सबसे अत्तर्क बार आता है वह बहुलक कहलाता है।
  • 16. (a) असमूहबद्ध डेटा के त्तलए उदाहरण के त्तलए इस त्तवतरण में 11, 23, 25, 25, 30, 32, 36, 36, 36, 45, 48, 51 सबसे अत्तर्क होने वाला स्कोर 36 है अर्ाधत इस डाटा का बहुलक 36 होगा। (b) समूहबद्ध डेटा के त्तलए तात्तलका 1.4 बहुलक आमतौर पर उस अांतराल का मध्यत्तबांदु त्तलया िाता है त्तिसकी आवृत्ति सबसे ज्यादा होती है। तात्तलका 1.4 में 25-29 वगध अांतराल का मध्य त्तबांदु 27 है िो इस डाटा का बहुलक होगा। बहुलक का सूत्र = 3 माध्य – 2 मध्यमान Class Interval Mid point of Class interval Frequency (f) 55-59 57 1 50-54 52 1 45-49 47 3 40-44 42 4 35-39 37 6 30-34 32 7 25-29 27 12 20-24 22 6 15-19 17 8 10-14 12 2
  • 17. िन्दभा: 1. Guilford, J. P. & Fruchter, B. (1978). Fundamental Statistics in Psychology and Education. Tokyo: McGraw Hill. 2. Garrett, H. E. (2014). Statistics in Psychology and Education. New Delhi: Pragon International. 3. Levin, J. & Fox, J. A. (2006). Elementary Statistics. New Delhi: Pearson. 4. Upton, G. & Cook, I. (2008). Oxford Dictionary of Statistics, OUP ISBN 978-0-19-954145-4.
  • 18. vermasujit@yahoo.com अगली चचाा बीए द्वितीय िर्ष सेम-I सामाजिक मनोविज्ञान: पररचय, प्रकृ तत, एिं विर्य