두 집단 평균 차이 검정에서 분산의 동질성에 관한 소고
- 1. 한 국 통 계 학 회 논 문 집 2010, 17권, 1호, 79–88 두 집단 평균 차이 검정에서 분산의 동질성에 관한 소고 김상철1,a , 임요한b a 연세대학교 응용통계학과, b 서울대학교 통계학과 요 약 기초통계학의 수업에서 두 집단간 평균의 차이를 검정함에 있어 두 집단의 분산의 동질성 여부에 따라 다른 통계 절차를 사용할 것을 제안하고 있다. 이러한 이유로 통계 분석에 사용되는 SAS나 SPSS 등의 패키 지에서는 두 집단의 평균 차이의 검정에 앞서 분산의 동질성 검정을 선행할 것을 제안한다. 하지만, 이전의 몇몇 연구에서 알려진 바와 같이 이러한 이 단계 검정 절차는 검정의 유의수준(제 1종의 오류)을 제어하기가 어렵다. 본 글에서는 이 단계검정을 행함에 있어 1 단계와 2 단계의 유의수준 α1과 α2를 조절하여 전체 검정 의 유의수준을 주어진 α 이하로 제어하는 절차를 소개한다. 주요용어: 분산의 동질성, 유의수준, t-검정. 1. 서론 두 집단간 평균의 차이에 대한 검정 방법은 두 집단 분산이 같을 경우와 두 집단 분산이 다를 경우 로 나눠진다. 두 집단 분산이 같을 경우, 두 집단의 표본평균의 차이를 공통 분산 추정량을 이용하여 표 준화한 검정통계량을 사용하고 자유도가 각 집단의 자료수의 합 − 2인 t-분포가 검정통계량의 귀무 분 포(null distribution)가 된다. 두 집단 분산이 다른 경우는 두 집단 평균의 차이를 각 집단의 분산 추정량 을 이용해 표준화한 검정통계량을 사용하게 되나 이의 귀무 분포가 알려져 있지 않아 “근사 t-분포”를 귀무 분포로 사용하게 된다. 이 경우 “근사 t-분포”의 자유도는 관측된 자료로부터 계산하게 된다. 이 러한 이유로 몇몇 통계학 입문 책은 두 집단간 평균 차이 검정을 하는 경우 사전에 분산에 대한 검정을 시행할 것을 제안하고 또한 일반 연구자들이 자주 사용하는 SPSS나 SAS 등의 통계 패키지에서도 분산 의 동질성 검정 결과를 분산이 동일한 경우와 동일하지 않은 경우 각각의 t-검정의 결과와 함께 출력한 다. 본 논문에서는 이를 “분산-평균-결합검정”이라 부르기로 한다. 그림 1은 SPSS의 출력 결과이다. 통계적 가설 검정의 절차에는 알려진 대로 제 1종과 제 2종 두 종류의 오류 가능성을 안고 있고 이들은 역 방향의 관계를 즉 제 1종의 (또는 제 2종의) 오류의 확률을 줄이기 위해서는 제 2종의 (제 1종의) 오류의 확률이 늘어나는 관계를 지니고 있다. 따라서 제 1종과 2종의 오류를 동시에 줄이는 것 은 불가능하고 제 1종의 오류를 미리 정해진 수준(유의수준) 이하로 제어하고 제 2종의 오류를 줄이 는 노력을 하게 된다. 가설 검정에서 제 1종의 오류를 정해진 유의수준 이하로 제어하는 것은 가설 검 정의 오류의 가능성을 이해하는데 매우 중요한 부분이고 이러한 성질을 만족시키는 검정 절차를 불편 성(unbiasedness)을 지니고 있다고 한다. 본 논문의 앞에서 언급한 통계학 개론이나 패키지에서의 “분산-평균-결합검정”에 있어 분산 동질 성 검정과 평균 차이의 검정 각각이 불편성을 지니고 있음은 오래 전부터 알려져 있는 내용이고 따라서 이들의 제 1종의 오류는 통계학 입문에 소개된 검정 절차에 따라 쉽게 정해진 유의수준 이하로 제어된 1 교신저자: (120-749) 서울시 서대문구 성산로 262, 연세대학교 응용통계학과, 박사수료. E-mail: kimsc77@yonsei.ac.kr
- 2. 80 김상철, 임요한 그림 1: SPSS의 t-검정 출력 결과 다. 하지만 각각이 불편성을 지니고 있다하여 두 검정을 연속적으로 시행하는 “분산-평균-결합검정” 의 제 1종의 오류가 목적으로 하는 유의수준 이하로 제어된다는 것을 의미하지는 않는다. “분산-평균-결합검정”의 제 1종의 오류에 대한 이전 연구는 Gurland와 McCullouch (1962)로 거슬 러 올라간다. Gurland와 McCullouch는 몇 가지 상황과 절차를 통하여 사전 분산에 대한 검정의 결과 가 바르게 판명되는지 확인하였다. 사전 분산에 대한 검정수준의 최적화를 위한 선택은 초기에 정해진 유의 수준을 유지하는 것으로 즉, 검정의 크기를 조절하는 것이라 하였고, 이를 여러 상황에서 검정력 과 크기로 확인하였다. Moser 등 (1989)는 모의실험을 통하여 사전 분산에 대한 검정을 수행한 결과에 따라 사용되는 t-검정과 Satterthwaite’s 검정의 크기와 검정력을 계산하였다. 또한, 몇 가지 1종 오류의 수준을 정하여 어느 수준에서 사전 분산에 대한 검정을 수행하는 것이 적당한지를 확인하였다. 그리고 Moser와 Stevens (1992)의 경우 두 집단 평균 차이 검정 시, 사전 분산에 대한 검정의 필요성과 등분산 가정의 특별한 강조는 문제가 될 수 있다하였다. 추가적으로 기초 통계 수업시간에 두 집단 평균 차이 검정을 쉽게 가르치는 방법에 대하여 논의하였다. 이와 같이 기존에 연구된 논문에서는 두 집단간 평균의 차이를 검정함에 있어서 사전 분산에 대한 검정을 여러 상황에서 비교 분석을 주로 하였다. 그러나, 이는 분산 검정과 평균 검정 각각의 유의수준 에 따라 “분산-평균-결합검정”의 제 1종의 오류가 어떻게 변하는가를 연구 하였으나 “분산-평균-결합 검정”의 제 1종의 오류를 정해진 유의수준 이하로 만들기 위해서 각 검정의 유의수준을 어떻게 제어할 지에 대한 논의는 이루어 지지 않았다. 본 논문에서는 “분산-평균-결합검정”의 제 1종의 오류를 분산 동질성 검정의 유의 수준 α1과 평균 차이 검정의 유의 수준 α2로 표현하고 이를 통하여 “분산-평균-결합검정”의 유의 수준을 정해진 α 이 하로 하는 절차에 대하여 논의한다. 본 논문은 다음과 같이 구성되어 있다. 제 2절에서는 “분산-평균-결합검정”을 소개한다. 제 3절에 서는 “분산-평균-결합검정”의 제 1종 오류를 계산하고 이를 정해진 유의수준 이하로 제어하는 절차를 소개한다. 제 4절에서는 실험 연구를 통하여 제안된 절차가 잘 작동됨을 보인다. 제 5절에서는 논문을 마무리 한다. 2. 분산-평균-결합검정 본 장에서는 두 집단의 평균검정에 있어서 “분산-평균-결합검정”에 대하여 살펴보려 한다. 두 집 단 평균의 검정을 유도함에 있어 우리는 자료의 정규분포를 가정하게 되고 가설 검정을 시행함에 있어 모수 공간은 (µ, σ2 )의 공간이 되고 분산 σ2 은 불필요한 모수(nuisance parameter)가 된다. 따라서 검정 에 있어서의 모수공간은 표 1과 같이 구성된다.
- 3. 두 집단 평균 차이 검정에서 분산의 동질성에 관한 소고 81 표 1: 가설 검정 공간 µ1 = µ2 µ1 , µ2 σ1 2 = σ2 2 H01 H11 σ1 2 , σ2 2 H02 H12 따라서 분산을 모른다는 가정하에서 우리가 검정하고자 하는 가설은 H0 : H01 ∪ H02 vs. H1 : not H0 이 된다. 일반적으로 두 집단 평균 차이 검정을 수행할 때 두 그룹간 분산의 동질성의 여부가 알려져 있지 않 으나 이 정보가 주어져 있다는 가정하에서 H01 대 H11을 검정하거나 H02 대 H12를 검정하게 된다. 첫 째, 두 집단의 분산이 같을 경우 H01 대 H11의 검정을 위해서 다음의 검정 통계량을 사용한다: Teq = X1 − X2 √ S p 2 (1/n1 + 1/n2) , 여기서 n1과 n2는 집단 1과 집단 2에서 관찰된 개수이고, X1과 X2는 집단 1과 집단 2의 표본 평균이다. S p 2 는 두 집단의 공통 표본 분산이며 다음과 같이 정의한다. S p 2 = 1 n1 + n2 − 2 n1 ∑ j=1 ( X1 j − X1 )2 + n2 ∑ j=1 ( X2 j − X2 )2 = (n1 − 1)S1 2 + (n2 − 1)S2 2 n1 + n2 − 2 , S1 2 과 S 2 2 는 집단 1과 집단 2의 표본 분산이다. 정규분포 가정하에 Teq의 귀무 분포(null distribu- tion)는 자유도가 n1 + n2 − 2인 t-분포가 된다. 다음으로 두 집단의 분산이 다를 경우는 H02 대 H12의 검정을 다음의 검정 통계량을 이용하여 시행 한다: Tueq = X1 − X2 √ S 1 2 /n1 + S2 2 /n2 , 여기서, n1, n2, X1, X2, S1 2 , S2 2 는 위에서 정의하였다. 이 경우 검정통계량 Tueq의 정확한 귀무 분포는 구체적으로 표현되지 않고 정규분포의 가정하에서 “근사적”으로 자유도가 아래의 ν로 표현되는 t-분포 를 가지게 된다. ν = ( S 1 2 /n1 + S2 2 /n2 )2 ( S 1 2 /n1 )2 / (n1 − 1) + ( S2 2 /n2 )2 / (n2 − 1) . (2.1) 실제 문제에 있어서 모집단의 분산이 알려져 있는 경우는 극히 드물다. 따라서 위의 각 경우에 대 한 검정 절차는 두 집단의 분산이 같은지에 대한 추가적인 검정절차를 요구하게 된다. 이러한 이유로 여러 기존의 연구나 일반적으로 사용되는 통계 패키지에 있어서 두 집단 평균 차이 검정을 수행하기 전 에 분산에 대한 검정을 제안하고 있다. 사전 등분산 검정과 두 집단간 평균의 차이 검정을 결합한 “분 산-평균-결합검정”은 다음과 같다.
- 4. 82 김상철, 임요한 1. 유의 수준 α1에서 H0 σ : σ1 2 = σ2 2 의 가설 검정을 수행한다. 2. H0 σ 이 기각될 경우, 유의 수준 α2에서 Tueq 검정 통계량을 이용하여 가설 H0를 검정한다. 3. H0 σ 이 채택된 경우, 유의 수준 α2에서 Teq 검정 통계량을 이용하여 가설 H0를 검정한다. 3. 제 1종의 오류 이 장에서는 “분산-평균-결합검정”의 제 1종의 오류를 계산하고 제 1종의 오류를 원하는 유의수준 인 α 이하로 제어하기 위한 α1과 α2의 선택에 대하여 논의한다. 먼저 가설 H01와 H02의 검정 각각의 제 1종의 오류는 다음과 같이 구해진다. 먼저 두 집단의 분산이 같은 경우 가설 H01의 검정에서 제 1종의 오류, Pr1을 살펴본다. 사건 Fia와 Fir을 각각 첫 번째 단계의 분산검정에서 H0 σ : σ1 2 = σ2 2 를 채택하거나 기각하는 사건이라 할 때 제 1종의 오류 Pr1은 Pr1 = P(reject H0) = P(reject H0; H01|Fia; H01)P(Fia; H01) + P(reject H0; H01|Fir; H01)P(Fir; H01) = α2(1 − α1) + P(reject H0; H01|Fir; H01)α1 = α2(1 − α1) + α2α1 = α2 으로 계산된다. 따라서 이 경우 제 1종의 오류는 “분산-평균-결합검정”에서 제 2단계 검정의 유의수준 이 됨을 알 수 있다. 다음으로 두 집단간 분산이 다른 경우인 H02의 검정에서 제 1종의 오류 Pr2를 계산하면 Pr2 = P(reject H0) (3.1) = P(reject H0; H02|Fia; H02)P(Fia; H02) + P(reject H0; H02|Fir; H02)P(Fir; H02) = P(reject H0; H02|Fia; H02)(1 − β1) + α2β1 이다. 위의 식에서 β1은 Fir의 사건에 대한 확률을 나타낸다. 식 (3.1)에서 P(reject H0; H02|Fia; H02)P(Fia; H02)는 가설 H02하에서 다음 사건 |Teq| =
- 13. X1 − X2 √ S p 2 (1/n1 + 1/n2)
- 22. ≥ tα2 2 (n1 + n2 − 2) 에 대한 확률이다. H02의 가정하에서 Teq = Tueq √ n1 + n2 − 2 S 2 1/n1 + S 2 2/n2 (1/n1 + 1/n2) { (n1 − 1)S 2 1 + (n2 − 1)S 2 2 } 1 2 로 표현되고 Tueq는 근사적으로 자유도가 식 (2.1)인 t-분포가 된다.
- 23. 두 집단 평균 차이 검정에서 분산의 동질성에 관한 소고 83 만약 n1, n2가 크고, n2/n1 ≈ R, σ2 2 /σ1 2 ≈ Q라 가정하면, 자유도는 ν = ( S1 2 /n1 + S 2 2 /n2 )2 ( S1 2 /n1 )2 / (n1 − 1) + ( S2 2 /n2 )2 / (n2 − 1) ≈ n2 R2 + Q2 + 2RQ R3 + Q2 로 근사되고 검정 통계량은 표준 정규 확률 변수 Z에 대하여 Teq = X1 − X2 S p √ 1/n1 + 1/n2 ≈ Z √ R + Q 1 + RQ 으로 표현된다. 이제 위의 결과들을 사용하여 “분산-평균-결합검정”의 제 1종의 오류를 정해진 유의수준인 α∗ 이 하로 하는 α1과 α2를 결정하는 방법을 생각하여 보자. 이를 위해서는 Pr1과 Pr2 각각을 α∗ 이하로, 즉, max(Pr1, Pr2) ≤ α∗ 로 하면 된다. 표본 분산의 비를 b Q이라 하고 n1, n2이 충분히 클 경우 Pr2 ≈ 2 1 − Φ zα2 2 √ 1 + Rb Q R + b Q (1 − β1) + α2β1 이다. 먼저, 만약 R + b Q > 1 + Rb Q이면 2 1 − Φ zα2 2 √ 1 + Rb Q R + b Q < α2 이고, 따라서 Pr2 ≤ α2이면 max(Pr1, Pr2) ≤ α2 가 성립되다. 따라서 이 경우 α2 ≤ α∗ 로 정하면 된다. 다음으로, 만약 R + b Q < 1 + Rb Q이면 2 1 − Φ zα2 2 √ 1 + Rb Q R + b Q > α2 이고 Pr2 ≤ 2 1 − Φ zα2 2 √ 1 + Rb Q R + b Q < α∗ 이어야 한다. 그러므로, max(Pr1, Pr2) ≤ α∗ 로 하는 α2는 다음 방정식 zα2 2 √ 1 + Rb Q R + b Q = zα∗ 2
- 24. 84 김상철, 임요한 표 2: 모의 실험 결과 비교 (n1 = 6) n1 n2 R Q P-0.05 SS-0.05 P-0.25 SS-0.25 6 6 1 1 0.0496 0.0492 0.0478 0.0473 6 6 1 2 0.0480 0.0509 0.0458 0.0486 6 6 1 3 0.0524 0.0529 0.0498 0.0501 6 6 1 4 0.0562 0.0544 0.0534 0.0511 6 6 1 5 0.0539 0.0554 0.0505 0.0518 6 6 1 6 0.0538 0.0561 0.0496 0.0522 6 6 1 7 0.0547 0.0565 0.0506 0.0525 6 6 1 8 0.0562 0.0567 0.0525 0.0527 6 6 1 9 0.0569 0.0567 0.0534 0.0528 6 6 1 10 0.0583 0.0567 0.0542 0.0529 6 11 1.833 1 0.0498 0.0500 0.0511 0.0507 6 11 1.833 2 0.0237 0.0370 0.0288 0.0448 6 11 1.833 3 0.0140 0.0337 0.0193 0.0438 6 11 1.833 4 0.0105 0.0332 0.0152 0.0443 6 11 1.833 5 0.0090 0.0339 0.0142 0.0452 6 11 1.833 6 0.0088 0.0350 0.0133 0.0460 6 11 1.833 7 0.0094 0.0362 0.0145 0.0468 6 11 1.833 8 0.0085 0.0375 0.0121 0.0474 6 11 1.833 9 0.0085 0.0387 0.0116 0.0479 6 11 1.833 10 0.0090 0.0398 0.0120 0.0483 6 51 8.5 1 0.0529 0.0557 0.0635 0.0557 6 51 8.5 2 0.0049 0.0308 0.0111 0.0516 6 51 8.5 3 0.0011 0.0333 0.0032 0.0520 6 51 8.5 4 0.0005 0.0380 0.0012 0.0524 6 51 8.5 5 0.0003 0.0417 0.0005 0.0523 6 51 8.5 6 0.0002 0.0443 0.0003 0.0520 6 51 8.5 7 0.0001 0.0460 0.0002 0.0516 6 51 8.5 8 0.0000 0.0472 0.0001 0.0513 6 51 8.5 9 0.0000 0.0480 0.0000 0.0510 6 51 8.5 10 0.0000 0.0485 0.0000 0.0508 의 해가 된다. 이를 정리하면 “분산-평균-결합검정”의 제 1종의 오류를 α∗ 로 제어하는 절차는 다음과 같다. • 만약 R + b Q > 1 + Rb Q이면 α2 = α∗ 로 한다. • 만약 R + b Q < 1 + Rb Q이면 α2는 zα2 2 √ 1 + Rb Q R + b Q = zα∗ 2 의 해로 정한다. 마지막으로, 제안된 절차는 조건식 R + b Q < 1 + Rb Q (또는 R + b Q ≥ 1 + Rb Q)이 분산 검정의 역활을 함으 로서 분산검정의 절차가 필요하지 않은 장점이 있다. 4. 실험연구 3장에서 제안된 절차를 이용한 경우 “분산-평균-결합검정”의 제 1종의 오류를 컴퓨터 가상실험을 통하여 계산하여 보았다. 본 절의 가상 실험은 Moser 등 (1989)와 동일한 조건하에서 진행하였다. 첫
- 25. 두 집단 평균 차이 검정에서 분산의 동질성에 관한 소고 85 표 3: 모의 실험 결과 비교 (n1 = 11) n1 n2 R Q P-0.05 SS-0.05 P-0.25 SS-0.25 11 6 0.545 1 0.0438 0.0500 0.0463 0.0507 11 6 0.545 2 0.0567 0.0703 0.0504 0.0607 11 6 0.545 3 0.0704 0.0792 0.0591 0.0630 11 6 0.545 4 0.0749 0.0818 0.0602 0.0626 11 6 0.545 5 0.0742 0.0813 0.0576 0.0615 11 6 0.545 6 0.0721 0.0793 0.0567 0.0601 11 6 0.545 7 0.0714 0.0769 0.0567 0.0589 11 6 0.545 8 0.0683 0.0743 0.0550 0.0579 11 6 0.545 9 0.0635 0.0719 0.0516 0.0570 11 6 0.545 10 0.0632 0.0697 0.0514 0.0563 11 11 1 1 0.0456 0.0488 0.0459 0.0488 11 11 1 2 0.0456 0.0504 0.0459 0.0496 11 11 1 3 0.0486 0.0510 0.0491 0.0501 11 11 1 4 0.0507 0.0514 0.0511 0.0503 11 11 1 5 0.0468 0.0514 0.0473 0.0505 11 11 1 6 0.0509 0.0514 0.0512 0.0506 11 11 1 7 0.0494 0.0513 0.0496 0.0507 11 11 1 8 0.0521 0.0512 0.0523 0.0507 11 11 1 9 0.0509 0.0511 0.0511 0.0507 11 11 1 10 0.0507 0.0511 0.0508 0.0507 11 51 4.636 1 0.0509 0.0513 0.0538 0.0513 11 51 4.636 2 0.0077 0.3360 0.0127 0.0476 11 51 4.636 3 0.0035 0.0388 0.0052 0.0492 11 51 4.636 4 0.0023 0.0441 0.0030 0.0499 11 51 4.636 5 0.0017 0.0470 0.0019 0.0499 11 51 4.636 6 0.0011 0.0485 0.0012 0.0499 11 51 4.636 7 0.0010 0.0492 0.0010 0.0499 11 51 4.636 8 0.0006 0.0495 0.0007 0.0498 11 51 4.636 9 0.0005 0.0496 0.0005 0.0498 11 51 4.636 10 0.0005 0.0497 0.0005 0.0498 단계의 분산 검정의 유의수준은 Moser 등 (1989)의 논문에서와 같이 0.05와 0.25 두 경우로 선택되었 고 각 경우에 50,000개의 주어진 형태의 자료를 생성하여 제안된 절차를 따라가며 검정을 시행하였다. 제 1종의 오류는 50,000번의 반복(50,000개의 자료) 중 H0의 가설을 최종적으로 기각한 비율로 계산하 였다. 각 경우 구해진 제 1종의 오류는 아래의 표 2∼4에 정리되었다. 표 2∼4에서 “P-α”는 분산검정의 유의수준을 α로 한 제안된 검정 절차를 의미하고 “SS-α”는 분산검정의 유의수준을 α로 한 Moser 등 (1989)의 방법을 의미한다. 표 2∼4를 보면 Moser 등 (1989)의 결과와 비교하여 다음의 두 가지 사실을 확인 할 수 있다. 먼저 본 실험의 경우 일반성을 잃지 않은 상태에서 σ2 2이 σ2 1 보다 큼을 가정하고 있음을 기억하기 바란다. 첫 째, n1이 n2보다 큰 경우 Moser 등 (1989)의 제 1종의 오류의 확률이 지정된 유의수준 0.05 보다 상 당히 큰 값을 가짐을 확인 하였다. 이에 반하여 본 연구에서 제안된 절차는 Moser 등 (1989)에 비하여 0.05에 가까운 확률값을 제공하고 있다. 둘 째, n1이 n2에 비하여 작은 경우에는 Moser 등 (1989)의 절 차가 비교적 0.05에 가까운 제 1종의 오류의 확률을 제공하였고 본 연구에서 제안 된 절차는 0.05 보다 작은 값을 제공하고 있음을 확인 하였다. 위의 두 경우를 종합하여 보면 우선 n1이 n2 보다 큰 경우는 (즉, 분산이 작은 모집단의 표본 크기가 분산이 큰 모집단의 표본 크기보다 큰 경우) 본 연구에서 제안된 절차가 보다 바람직 하여 보인다. 다
- 26. 86 김상철, 임요한 표 4: 모의 실험 결과 비교 (n1 = 51) n1 n2 R Q P-0.05 SS-0.05 P-0.25 SS-0.25 51 6 0.117 1 0.0368 0.0557 0.0494 0.0557 51 6 0.117 2 0.0750 0.1081 0.0610 0.0830 51 6 0.117 3 0.0931 0.1182 0.0668 0.0797 51 6 0.117 4 0.0939 0.1118 0.0642 0.0728 51 6 0.117 5 0.0859 0.1000 0.0604 0.0672 51 6 0.117 6 0.0792 0.0900 0.0575 0.0630 51 6 0.117 7 0.0747 0.0823 0.0573 0.0601 51 6 0.117 8 0.0692 0.0761 0.0543 0.0579 51 6 0.117 9 0.0672 0.0713 0.0555 0.0564 51 6 0.117 10 0.0676 0.0676 0.0578 0.0552 51 11 0.215 1 0.0410 0.0513 0.0460 0.0513 51 11 0.215 2 0.0682 0.0848 0.0539 0.0640 51 11 0.215 3 0.0704 0.0795 0.0549 0.0588 51 11 0.215 4 0.0659 0.0688 0.0546 0.0548 51 11 0.215 5 0.0588 0.0614 0.0515 0.0528 51 11 0.215 6 0.0568 0.0570 0.0527 0.0517 51 11 0.215 7 0.0530 0.0545 0.0503 0.0511 51 11 0.215 8 0.0562 0.0530 0.0544 0.0509 51 11 0.215 9 0.0498 0.0521 0.0481 0.0507 51 11 0.215 10 0.0516 0.0515 0.0508 0.0504 51 51 1 1 0.0468 0.0499 0.0473 0.0499 51 51 1 2 0.0498 0.0500 0.0503 0.0500 51 51 1 3 0.0518 0.0500 0.0518 0.0500 51 51 1 4 0.0474 0.0500 0.0474 0.0500 51 51 1 5 0.0512 0.0500 0.0512 0.0500 51 51 1 6 0.0508 0.0500 0.0508 0.0500 51 51 1 7 0.0501 0.0500 0.0501 0.0500 51 51 1 8 0.0488 0.0500 0.0488 0.0500 51 51 1 9 0.0497 0.0500 0.0497 0.0500 51 51 1 10 0.0521 0.0500 0.0521 0.0500 른 한 편으로 n1이 n2 보다 작은 경우는 제안된 절차가 너무 보수적인 검정 결과를 제공하고 Moser 등 (1989)의 절차를 따름이 보다 타당하여 보인다. 5. 결론 우리가 가장 흔하게 접하는 이 표본 t-검정은 분산의 동질성 여부를 알고 있음을 전제로 하고 있 다. 하지만 실제 문제에 있어서 두 집단의 분산이 같은지의 여부는 알려져 있지 않고 이러한 이유로 기 초 통계학이나 여러 패키지에서 평균에 대한 검정에 앞서 분산의 동질성 검정을 시행 할 것을 제안한 다. 이러한 절차를 “분산-평균-결합검정”이라 명명한다. 하지만 이 경우 “분산-평균-결합검정”의 제 1종의 오류가 잘 알려져 있지 않은 어려움이 있다. 본 논문에서는 표본의 수가 충분하다는 전제하에 표본수의 비와 표본 분산비의 조합에 따라 제 1종 오류의 근사적인 상한을 계산하고 이를 목적하는 유 의수준 이하로 제어하는 절차를 제안 하였다. 또 실험연구를 통하여 제안된 절차가 기존의 Moser 등 (1989)의 절차의 적용에 있어 제 1종의 오류가 잘 제어 되지 않는 경우에 대한 대안을 제시함을 확인 하 였다.
- 27. 두 집단 평균 차이 검정에서 분산의 동질성에 관한 소고 87 참고 문헌 Gurland, J. and McCullouch, R. S. (1962). Testing equality of means after a preliminary test of equality of variances, Biometrika, 49, 403–416. Moser, B. K. and Stevens, G. R. (1992). Homogeneity of variance in the two-sample means test, The American Statistician, 46, 19–21. Moser, B. K., Stevens, G. R. and Watts, C. L. (1989). The two-sample T test versus satterthwaite’s approx- imate F test, Communication in Statistics - Theory and Method, 18, 3963–3975. 2009년 9월 접수; 2009년 12월 채택
- 28. 88 Note on the Equality of Variances in Two Sample t t t-Test Sang-Cheol Kim1,a , Johan Limb a Department of Applied Statistics, Yonsei University b Department of Statistics, Seoul National University Abstract Introductory statistic class proposes two tests for the equality of two population means according to the homogeneity of their variances. However, in practice, the variances are also unknown and practitioners often test their homogeneity before they do two sample t-test. This is also true in many popular statistical packages such as SAS and SPSS. In this paper, we study the type I error of this two stage procedure and propose a procedure to control it at a given significance level. Keywords: Homogeneity of variances, significance level, two sample t-test. 1 Correspondence author: Candidate of Ph.D, Department of Applied Statistics, Yonsei University, 262 Seongsanno, Seodaemun-gu, Seoul 120-749, Korea. E-mail: kimsc77@yonsei.ac.kr