![2
4.
(Power Series)
8.4.1
x 0
ax n a0
n
n
ax ax 2 ... axn ...
2
1
n 0
x h
a(x h) n a
n
0
1
a(x h) a(x h) 2 ... a(x nh)n ...
2
n 0
h
(Center)
a0,a1,a2,...,an,...
x 0
nx n
an n
n 0
n 0
xn
n 1 n
x 2n
n 0(2n)!
1
n
an
n 1
1
(2n)!
an
n 0
x h
(x 2) n
an 1
n 0
h 2
n 1
h
n 0
(x 2)n
n!
n 1
an
1
n
2
8.4.2
(Interval of Converge)
(a,b),[a,b], (a,b]
[a,b)
8.4.3
R
x
x a R
a R
R
(Radius of Converge)
x
(R
)
x a
0
8
193](https://image.slidesharecdn.com/random-140203055419-phpapp01/85/-29-320.jpg)
![2
1
5. 1)
n
n 1
n2
1
n
n 13
5)
n
n 1
2
6. 1)
2)
6)
9)
10)
13)
n
1
n 1n
n 1
6)
3)
5)
1
3)
n 1
1
4)
1
2)
4)
7)
8)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
7. 1)
11)
12)
2)
6)
3)
7)
11)
8)
12)
16)
4)
9)
13)
10)
14)
17)
15)
18)
8. 1)
5)
2)
19)
3)
4)
20)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
8.4
1.
3.
5.
0
0
0
[ 1,1)
( 1,1]
[ 1,1]
1
1
1
7.
0
2.
4.
6.
R
0
0
0
8.
0
10.
0
1
0
9.
11.
13.
0
0
0
1
R
1
[ 1,1]
12.
( 1,1)
15.
0
2
( 2,2]
17.
19.
0
0
1
3
[ 1,1)
[ 3,3)
18.
20.
0
0
21.
-1
1
( 2,0]
22.
-5
23.
-1
1
[ 2,0]
24.
4
10
( 6,14)
27.
-4
8
( 12,4)
1
5
R
[ 1,1]
R
1
3
0
1
4
1
25.
2
1
1
29.
8
-6
0
{-6}
0
14.
16.
26.
28.
30.
0
R
1
9
2
e
1
2
e
( 2,2)
[ 1,1)
[ 1,1)
11
,
55
11
,
33
{0}
( 1,1]
19 11
,
3 3
3
17 19
,
9 9
(0,2e)
1[0,1]
2
204](https://image.slidesharecdn.com/random-140203055419-phpapp01/85/-40-320.jpg)
ลำึϸบและอนุกรม
- 1. O-net 2 8 1. (Sequence) 1.1 8.1.1 (Sequence) {1, 2, 3, …, n} {1, 2, 3, …} f n f(n) f 1 f f(1),f(2),f(3),...,f(n),... 2 f a1,a2,a3,...,an,... 3 f 8.1.1 {an} an f(1),a2 f(2),...,an n f(n) {an} n 1. 1, 4, 9, 16 1. a1 2. 3, 5, 7, 9, … 3. 1111 , , , ,... 3456 1, 4, 9, 16, … 12,2 2,33,42,... n 2. n2 3, 5, 7, 9, … 2(1) 1, 2(2) 1, 2(3) 1, 2(4) 1,... 3. 8 n 2n 1 1111 , , , ,... 3456 1 1 1 1 , , , ,... 1 2 2 2 3 2 4 2 1 n n 2 165
- 2. O-net 8.1.2 4 1. 2 n 2 1. 2 2 n 2. 1 n n 1 3. 1 n n n 1 2 1 = 3 = 2 2 1 2 3 = 3 2 2 = 2 2 = 11 4 = 2 4 2 n2 4 2 2 = 6 = 18 3, 6, 11, 18 1 n n 1 2. 1 1 2 = 2 1 3 1 4 3 4 = = 4 1 5 1 1 3 0, , , 3 2 5 1 1 = 0 1 1 1 3 1 3 = = 3 1 2 1 = 1 n n 1 4 3. 2 = 1 n n n 1 1 2 3 3 3 3 = 1 = 4 3 1 1 1 1 1 1 1 = = 1 4 2 = 4 = n n n 1 2 = 23 1 4 4 4 1 = 45 1 1 2 3 4 , , , 23 45 1 2 2 1.2 8.1.2 (Arithmetic Sequence) (common different) a1,a2,a3,...,an,an 1,... d d an 1 an n an an 8 1 an d a1 (n 1)d 166
- 3. O-net 8.1.3 19, 50 2 12, 5, 2, 9,... 9 2 7 a1 19 an = a1 (n 1)d a50 = a1 49d =324 = 19 49(7) 50 324 15, 12, 9, 6, … 8.1.4 12 15 3 a1 15 an = a1 (n 1)d = 18 3n an = 15 (n 1)( 3) = 3(6 n) 3 6 n 18 3n 1.3 8.1.3 (Geometric Sequence) (common ratio) a1,a2,a3,...,an,an 1,... r r an 1 an n an 1 8.1.5 anr an arn1 1 1 2 4 , , ,... 3 9 27 2 r= 7 an = ar 1 a7 8.1.6 a 1 3 1 3 n 1 1 2 = a1r = 3 3 27, 9, 3,1,... 6 6 = r= 64 2187 1 3 a1 27 an = arn 1 1 an = ( 27) 1 3 n 1 = 81 1 81 8 n 1 3 n 3 167
- 4. O-net 2 1.4 n n n n n 8.1.7 a n 1 1 n a n n (n,an) 3 4 5 1 1,2 , 2, , 3, , 4, ,..., n,1 3 2 , ... 4 n n an 1 liman 1 n 8.1.8 an 22n 1 an n (n,an) 1,2 , 2,8 , 3,32 , 4,128 ,..., n,2 2n 1 ,... n an 8 liman n 168
- 5. O-net 8.1.9 2 an cos(n ) an n (n,an) 1, 1 , 2,1 , 3, 1 , 4,1 ,..., n,cos(n ) ,... n an -1 8.1.7 1 liman n 1 1 n 8.1.9 22n 1 cos n 8.1.4 an (convergent sequence) L 0 liman L n N an a n N (divergentsequence) 8.1.5 an (divergeto ) liman N M 0 n n M an M an (divergeto ) liman M 0 an N f(x) x limf(n) limf(x) n x 8.1.7 8 n M M L cos n n 8.1.9 x n 1 1 n 2 2n 1 169
- 6. O-net 8.1.1 an 2 bn 1. limk an kliman n n 2. lim an bn liman limbn n n 3. lim an bn liman limbn n n 4. lim n n n liman an bn n limbn 0 n limbn n 3 9 12 ,2, , ,... 2 4 5 3 9 12 ,2, , ,... 2 4 5 3n 3 lim lim n n 1 n 1 1 n 3 8.1.10 a n 3n n 1 3 3 1 0 a,ar,ar2,...,arn,... 8.1.2 1. r 1 2. r 1 3. r 1 4. r 0 ( ) 1 8.1.11 1 n2 1. n 5 12 3 4 3. , , , ,... 2345 5 8 11 14 5. , , , ,... 23 4 5 7. 2n 1 n 1 n2 1. a n 8 lnn n 11 1 1 4. 1, , , , ,... 2 4 8 16 52 74 9 8 11 16 6. , , , ,... 1 2 3 4 3n 2 8. n 3 1 1 1 n2 n2 lima lim lim 15 2. n 5 n n n n 5 n n n2 170
- 7. O-net 2. a n lnn n 2 lima n lim n n lnn n 1 lnn 1 0 lim lim n n n n 1 n 12 3 4 , , , ,... 2345 n 1 1 lima n lim lim 1 n n n 1 n 1 1 1 0 n 1 lim 0 n 3. an 11 1 1 1, , , , ,... 2 4 8 16 4. r n a n 2 1 1 2 2 0 1 3n 1 n 1 a n 52 74 , , 1 2 lima n n 9 8 11 16 , ,... 3 4 (4n 2 6n) lim( 1)n lim n n n an ( 1)n an 2n 1 1lim1ln(2n) n n n limn 0 n n n n liman lim 2n n (4n 2 6n) lim( 1) n 1 7. n 1 1 3 0 3n 1 3 lim lim n 3 n n 1 1 0 n 1 1 n 3 lima n 6. n 1 1 5 8 11 14 , , , ,... 23 4 5 5. n n 1 lim 2n e en e0 1 1 n 1 8. 8 a n 3n 2 n 3 lima n n lim n 3n 2 n 3 lim 3 n n n 1 2 3 n 171
- 8. O-net 2 8.1 1. 1 a7,a11,a17 3 3 2. 9 3. 500 u1 a, 800 n u2 a b, 2 un 2un 1 un 2 2 n u au2n 1 4. 1 5. 3 2 8 n 5 729 8 1,024 20 6. 5 1, 3 2 4 256 5 ( 5 8. 1,000 4 a1,a2,a3,a4 a2 a3 6 9. a, b, c a b c 10. x, y, z a3 a4 11. a1 5 12 n 27 a,b 3,c 2 12 xyz an ) 1 2, 6, 18, … 7. 273 an 1 1, 4, 11 1 1 an 2 5 an 12. 2 1) n 2n 1 5) 9) 3n 2) 2n 1 n2 1 n2 1 1)n 2 6) ( 1) n 1 10) n n en n 3) 3n 1 n2 1 n2 1 7) ( 1) n 11) 1 ln 4) n2 1 n3 1 8) 1 ( 1) n 12) n 3n 1 n2 n 2n n n 13) 14) sin cos 2n 15) 16) 4n 2 n 17) cos n 18) n 2e n 19) n 2 3n n 20) n 2 n 2 3 ( 1)n 21) 2 22) n 8 ln(n2) 2 n 23) 2n tan 1 2n 1 24) 1 2 3 n n n ... n n 172
- 9. O-net 2. 2 (Series) 8.2.1 n a1,a2,a3,...,an a1 a2 a3 ... an n ai Sn i 1 a1,a2,a3,...,an,... a1 a2 a3 ... an ... ai i 1 2.1 (capital sigma) n 1. c c cn i 1 n 2. n cai c ai i 1 n 3. c i 1 n ai bi ai i 1 n bi i 1 i 1 n 4. i 1 2 3 ... n n(n 1) 2 i 1 n i 2 12 2 2 32 ... n 2 5. i 1 n 6. i 3 3 3 3 1 2 3 ... n i 1 8.2.1 (n 1)(2n 1) 6 2 n(n 1) 3 2 1 3 3 5 5 7 ... 21 23 11 11 = 1 3 3 5 5 7 ... 21 23 (2i 1)(2i 1) (4i 2 1) = i 1 i 1 11 11 i2 =4 i 1 i 1 8.2.2 1= 4 (11 1)(22 1) 1(11) 6 = 2013 1 2 2 3 3 4 ... 19 20 2 2 2 2 19 1 2 2 2 32 3 4 2 ... 19 20 2 19 i(i 1) 2 = i 1 19 = i 1 = i 1 19 19 i3 2 (i 3 2i 2 i) i2 i 1 i i 1 2 19(19 1) (2 1)(2 2 1) 19(19 1) = 2 2 6 2 = 36,100 + 4,940 + 190 = 41,230 8 173
- 10. O-net 2 2.2 a1,a2,a3,...,an 8.2.2 d S n Sn 8.2.3 n a a 2 1 n n 2a1 n 1 d 2 1 6 11 16 ... 101 a1 1, d 5 1 6 11 16 ... 101 an 101 an a1 (n 1)d 101 = 1 + (n – 1)(5) n = 21 21 n n a a 2 1 n Sn 21 1 101 2 1 6 11 16 ... 101 = = 1071 2.3 a1,a2,a3,...,an 8.2.3 r 1 a1 anr , 1 r a(1 rn) Sn 1 , 1 r S n 8.2.4 r 1 r 1 2 4 8 16 ... 2048 a1 2, 2 4 8 16 ... 2048 an 2048 r 2 an arn1 1 2048 =(2)(2) n 1 2048= 2 n n = 11 11 n 2 4 8 16 ... 2048 S n = a1 anr ; 1 r r 1 2 (2048)(2) = 4094 1 2 8.2 - 8 174
- 11. O-net 2 3. 3.1 a1,a2,a3,... 8.3.1 S n a1 a2 a3 ... an (partial sum) n 8.3.1 S1,S2,S3,... Sn limS n S n (convergent series) S S Sn limSn n (divergentseries) 1. : an a1 (n 1)d a1 d 0 2. : ar1n 1 an - r 1 S r 1 an 1. liman 0 liman 0 n n 1 a1 1 r n an n 1 2. liman 0 an n n 1 an 3. n 1 bn n 1 an 4. bn n 1 n 1 a bn n n 1 n 1 an 5. 8 an bn n 1 bn n 1 an bn n 1 175
- 12. O-net 2 8.3.1 1 1. n 1n 4. 3 n 2. n 1n 1 n 1 5 2 2 2 2 ... 1 3 9 27 1 Sn n 1 n 1n 1. n 2. n 1 6. 1 5 25 125 ... 5. 4 n 1 3. S n 1n 1 n n 1 2 3 limS n n n n 1 1 lim 0 n 0 n limS n n lim n n 1 lim 1 n 1 n 1 1 n 1 2 3. 2 3 a 1 31 n 1 r n 1 2 1 3 S a1 1 1 3 21 1 r 1 3 3 3 5 3 4. n 1 r 5. n 1 a1 3 4 5 5 1 4 4 2 2 2 2 ... 1 3 9 27 2 n 1 a1 2 S r n 1 1 3 1 1 1 3 3 a1 2 2 3 12 1 r 1 3 3 3 6. 5n 1 1 5 25 125 ... n 1 a1 1 8 r 5 5 1 176
- 13. O-net 3.2 2 (P-series) 8.3.2 1 1 1 1 ... p p 1 2p 3p n 1 n (P-series) (harmonic series) p 1 1 1 1 ... ... 2 3 4 n 1 1 1 1 1 ... ... 2 3 4 n 1 1 1 1 12 2 2 ... ... 2 3 4 n2 1 2 2 32 4 2 ... n 2 ... 1 p 1 p 1 2 p 1 p 2 p 2 1 8.3.2 n 1 p n 1 p n 1n 1 p n 1 n p 1 p 1 8.3.2 1 1 ... 2 3 4 1 1 1 2. 12 2 2 ... 2 3 4 1 1 1 3. 1 ... 22 33 44 1. 1 1 1. 2. 3. 8 1 1 1 ... 2 3 4 1 1 1 1 1 2 32 4 2 2 1 ... 1 1 1 ... 22 33 44 p 1 1 2 p 2 1 p 3 1 2 177
- 14. 2 3.3 (ComparisonTest) an 8.3.3 n 1 an 0 bn bn 0 n 1 n 1,2, 3,... bn 1. an n an bn n 1 n 1 bn 2. an bn n a n n 1 n 1 8.3.3 1. 1 n 1 2. n 1 5 2 1 1 1 1 4. ... 13 25 37 49 1 1 1 6. 1 ... 2! 3! 4! n 1 n3 n 1 n 5. n 1lnn 1 1 3. 1. sin2n 2 n 1n 1 n 1 1 n 2,3,... n p n 1 n 1 n 1 1 sinn 1 1 2 n 1 2. n 1,2, 3,... 0 sin2n 1 n2 1 1 1 2 n 1 n2 (1) 1 n 2 n 1 sin n2 1 …(1) n2 1 n 2 1 …(2) n 1,2, 3,... sin2n n2 1 (2) 0 1 1 n 1 n2 2 n 1, 2,3,... p 2 sin2n 2 n 1n 1 8 178
- 15. 2 5 3. 5 n2 1 n3 3 3 n n 1 n n 1 1 3 n 1 1 1 3 n n n n 1, 2,3,... p 1 2 5 n 1 4. 5. 6. 8 n2 1 n3 1 1 1 1 ... 13 25 37 49 1 1 1 1 2 2 n(2n 1) 2n n 2 n 1 2 n 1n 1 1 1 1 ... 13 25 37 49 lnn n n 1, 2,3,... 1 1 lnn n n n 1 lnn n n 1 n 1n n n 1lnn 1 1 1 1 ... 2! 3! 4! 1 1 1 1 n! 1 2 3 ... n 1 2 2 ... 2 2 n 1 1 n 1 n 12 1 1 1 1 ... 2! 3! 4! 1 n 1 n(2n 1) n 1,2, 3,... p 2 p 1 1 n 1 n! n 1, 2,3,... r 1 2 179
- 16. 2 3.4 (LimitcomparisonTest) an 8.3.4 an 0 bn n 1 bn 0 n 1 n 1,2, 3,... a 1. lim n L 0 n bn a 2. lim n 0 n bn a 3. lim n n bn bn an n 1 n 1 bn an n 1 n 1 8.3.4 1. 5. sin n 1 1. a 2n 2 1 2n3 5 n 8 2. 5 2. n 2 4n 5 3 n 2 n 1 n n 3 4. n n 11 e 1 6. 2 n 1 n lnn 2n 3 5 5 n 1 4n 1 en 3. 2n n 11 e bn 1 n2 2n3 5 a 2n 5 5n 21 n5 lim n lim 4 1 lim 0 n n 1 bn n 2 4n5 1 n2 1 p 2 1 2 n 1n 2n 3 5 5 n 1 4n 1 n 2 4n 5 1 an bn 3 n n 2 n 2 n 4n 5 3 2 n n a 3 2 lim n 4n 5n lim n 1 0 lim n 1 n n3 n 2 bn n n 1 n 1n n 2 4n 5 3 n 2 n 1 n 4n 1 180
- 17. 2 3. an en 1 e 2n lim n en 2n lim 1 e 1 an b n 1 e bn lim n n n e e 2n 1 e2 1 0 n n 1 n n 1e r n an n 5. 3 1 en b n 3n en 3n n n a e lim n lim 1 ne lim 1 n0 n n 1 e bn n 3 n e n 3 n 1e 3n n n 11 e an sin n bn 2n 2 1 bn 3 1 e 1 0 n 2n 2 1 2 1 1 2 n 1 r 2n 2 1 sin a 22 1 lim n n lim 1 e en 2n 11 e n 4. 1 2n 1 2 n 1 n n 1 n (p 2 1) 2 n 1 2n 1 sin 2n2 1 1 1 bn 2 an 2 n n lnn 1 2 a 1 lim n lim n lnn lim n n n 1 bn 2 n 1 2 n 1 n 1 2 n 1 n lnn n 1 6. 8 0 lnn p 2 1 181
- 18. 2 3.5 (IntegralTest) an 0 an 8.3.5 n f n 1 a, n f(n) an 1. ∫ f(x)dx an n 1 2. x a f(x) 0 a ∫ f(x)dx an n 1 a 8.3.5 1. n 1 2 1n 1 2. n n 1 1 an 2 n 1. ∫ 1 x2 f(x) b ∫ 1 f(x)dx lim lim ( )dx b x2 1 b 1 ∫ f(x)dx f(x) ∫ ∫ 1 sech2 n2 b 1 b 1 n b ∫ 1 1 lim ( sech2 )dx 2 x x 1 b ∫ f(x)dx 8 lim tanh b 1 1 f(x) 1 1 b x lim 2 n 1 ∫ f(x)dx 1 x b 1 n 1 1 1 b 1 ∫ a b n 1 f(x)dx lim ( )dx lim 2 b b x1 1 1 f(x)dx 3. lim 2 n 1 1 n an b 1 x 1 1 2. 1 1 sech2 2 n n 1n 3. n sech2 x2 1 x ∫ 1 1 lim (sech2 )d( ) b x x 1 b 1 x1 b 2 lim tanh b b tanh1 tanh1 1 1 sech2 2 n n 1n 182
- 19. 2 3.6 (RatioTest) an 0 an 8.3.6 lim n n 1 1. an 1 an an 1 n 1 2. an 1 n 1 3. 1 8.3.6 n (n 1) 2 (n 3)! 2. n n! n 1 3 n! n 1 3 5 7 1 13 135 1357 ... 3. 1 4. ... 2 3 5 5 5 5 56 567 5678 3 35 357 3579 5. ... 2 2 7 2 7 12 2 7 12 17 (n 1) n (n 1) 2 n (n 1 1) 2 (n 2) 2 2 (n 1)! an an 1 n! (n 1) n! 1. 1. an 1 (n 2) 2 2 n! n 2n 4 an (n 1) n! (n 1) 2n 2 an 1 2n 4 lim lim n n n n n 2 2n 1 n an lim 2. (n 1) 2 n! n 1 (n 3)! a n 3n n! n (n 1 3)! (n 4)! (n 4)(n 3)! 3(n 1) (n 1)! 3 3n (n 1)! 3 3n (n 1) n! an 1 (n 4)(n 3)! an 1 an 3 3n (n 1)n! an 1 n an lim 2 n 2n 1 2 4 0 0 0 1 2 1 1 0 0 1 2 n n lim n n 4 3n 3 3n n! (n 3)! n 4 n 4 3(n 1) 3n 3 1 n lim 4 1 0 1 1 n 3 3 0 3 3 n (n 3)! n n 1 3 n! 8 183
- 20. 2 3. 4. 5. a 2n 1 2n 1 2(n 1) 1 2n 2 1 2n 1 an1 (n 1) 1 n 1 n 1 1 5 5 5 5 5 5 n 1 an 1 2n 1 5 5 1 2n 1 an 2n 1 5 2n 1 5n 1 an 1 1 2n 1 1 1 22 0 1 lim lim lim n 1 n an 5n 2n 1 5n 2 1 5 2 0 5 n 3 5 7 ... 1 5 52 5 3 1 3 5 ... (2n 1) 1 3 5 ... (2n 1)(2n 1) an an 1 5 6 7 ... (n 4) 5 6 7 ... (n 4)(n 5) (n 4) (2n 1)(2n 1) 2n 1 an 1 n 5 an (n 4)(n 5) (2n 1) n n 1 n 1 2 a 2n 1 2 0 lim n 1 lim lim n 2 1 n n n 5 1 0 n 5 an 1 n 1 13 135 1357 ... 5 56 567 5678 3 5 7 ... (2n 1)(2n 3) 3 5 7 ... (2n 1) a an 1 n 2 7 12 ... (5n 3) 2 7 12 ... (5n 3)(5n 2) (5n 3) (2n 1)(2n 3) 2n 3 an 1 5n 3 an (2n 1) (5n 3)(5n 3) 3 2 an 1 2n 3 2 0 2 lim lim lim n 1 n n n 3 5 0 5 5n 3 an 5 n 3 35 357 3579 ... 2 2 7 2 7 12 2 7 12 17 8 184
- 21. 2 n(nth-RootTest) 3.7 limn an R an 0 an 8.3.7 n n 1 1. an R 1 n 1 2. an R 1 n 1 3. R 1 8.3.7 2 n n 6n 3 1. 1 2. n 1 1. n R limn a n n lim n 2 0 1 n n lim n 6n 3 n 1 3n 5 an an 22 n n n n R limnna 3. ln(n 2) n 2 n 6n 3 3n 5 a n n n 1 n n 2 n n 1 5 3n n 1 an 2. 3. n n an n 6n 3 3n 5 n 1 ln(n 2) n n R limn a n 6n 3 3n 5 6n 3 6 2 1 3n 5 3 1 ln(n 2) n n lim n an n 1 ln(n 2) n 1 0 1 ln(n 2) 1 n n 1 8 ln(n 2) 185
- 22. 2 3.8 (AlternatingSeriesTest) 8.3.3 (AlternatingSeries) ( 1)n 1a a a n 1 a a 2 3 ... a 0, i 1,2,3,... i 4 n 1 ( 1)n 1a n a 1 a 8.3.8 a a4 3 2 ... n a 0 n 1 2 n 1. an 1 an 2. liman 0 n 8.3.8 1. 1. 1 2 3 4 ... 3 7 11 15 n an 4n 1 ( 1)n 2. 1 n 1 n 2 n2 4 n 1 n an n 4n 3 4n 1 n 1 1 1 (2) lima n lim lim 0 n n 1 4 0 4 4n 1 n 4 n 1 2 3 4 ... 3 7 11 15 n 2 2 n 4 n 3 n 2 (1) an 1 n an 2 n 2n 5 n2 4 1 2 2 n 2 0 0 lim n n 0 (2) liman lim 4 n 4 1 0 (1) an 1 2. an n ( 1)n 1 n 1 8 n 2 n 1 n2 n 2 n2 4 186
- 23. 2 3.9 (AbsolutelyConvergent&ConditionallyConvergent) an 8.3.4 an n 1 n 1 an an n 1 n 1 an n 1 8.3.9 1 1. 1 5 n2 n 1 n 1 n 1 1. ( 1) n 2. ( 1)n 1 a (2n 1) 1 (2n 1)3 n 3 1 3 (1)a 1 n a n 1 n 1 (2n 1) n 1 n (2n 3) (2n 1) 1 lim 0 n (2n 1)3 (2)liman an 3 1 an 3 1 3 (2n 3) 1 3 (2n) 1 8n (2n 1) n 3 1 3 1(2n) n 3 n 1 n 1 p 3 an n 1 ( 1)n 1 an n 1 n 1 2. an 1 5 (1)a n2 n (2n 3)3 5 n 1 n 2 3n 2 5 lim 0 n n2 n (2)liman n an n 1 5 a 5 n n n 1 5 an 2 n 1 5 5 5 n2 n n2 5 n 1n n n n2 n n 1 2 n n n p 1 an n 1 an n 1 8 5 ( 1)n 1 2 n 1 n n 187
- 24. 2 1 n liman 0 n a1 1 r r 1 an 2 n 1 r 1 3 an p 1 n 1 p 1 ( an 4 ( n 1 , , / , an ) n 1 an ) n n 1 5 an 1 an an n 1 Sn 8 an 0 an 0 188
- 25. 2 8.3 1. S1,S2,S3 S4 n 1 5 1) 5 n 1 2) n 1 n 1 n 4) n 1 5 3) n 1 2 n 1 n 1 4 n 1 1 5) 2 6) (n 1)(n 2) n 1 2 3 n 1 2. 1 2) 1) 5 4 n 1 3 n 1 e 2 5) 4 5 n 1 n 1 7 6n 1 8) n 1 1 6) n 1 3 3 n 8n 1 3 2 n 1 n 1 1 13) n 1 (n 2)(n 3) 2 4 n 1 n 17 n n 12) n 4 n 1 n 3 1 1 15) 1 2 3n 1 1 14) en 9) ( 1)n 11) 2n n 1 2n 10) 3 n 1 n 3 n 1 ( 1) n 1 7) n 2 2 3) n n 1 4) n 1 3 3n 2 9n 2 2 n 2n 1 n 1 n 1 2 2 n 16) n 1 19) 17) n 2 20) sin(n ) n 1 22) n n 12n 1 18) n 1 21) cos(n ) n 1 tan(n ) n 1 1 ln 23) ln(n) n n 1 2n 2 1 en ln 24) n 1 n n 1 en 25) 28) n 31) n en 26) n 1 n 1 1 1 27) n 5 30) n 1 4n 10 33) n 1 3n(n 1) n 1 n 1 1 1n 4 1 110n e n n 1 n 1 2n 10 1 32) n 1 2n(n 1) 29) 3. 1) ne n 2) n 1 5) 8 1 6) n 2 n 1n 1 1 sin 3) 7) 1 n 1 nlnn n4 5 1 4) 2n 1 n 1 2 8) n 3 3 189
- 26. 2 n 1 9) 8 lnn n 1 n 2n 1 3 n 1n 10) n n 1 (n n 2 n 1n 9 n 1n 10 1)3 190
- 27. 2 4. ( ) 1 n 1n 4 1) n 2) 1 n2 n 1e nn 1 9) 3 n 1n 1 1 2 n 1n 1 1 3 2 n 1n n 3 sinn 10) 3n n 1 5) n 11) 14) 1 3 15) 4 n 1 n 1 n 1 n n 1 n3 n n 2n 1 2 12) n 11 3 8) n5 1 n sin2n 16) 1 n n 1 n 1 nn ) 1 2) n 1 n 1 4) 1 ( 1) 1 5 n 1 4 n n 1 n2 1 n n 1 5. 1 n 1 n(n 2) 7) 6) 1 2n 13) 3) n n2 1 4 1n 1 3) 4n3 3n2 4 2 n 1n n 1 2 n 1 n2 4) 5) n n 1 2n 7n 3(3n 4n) n 6) 2 n 1 2 n 1 5n 2n 5 6. n n 1) 5) 9) 3n 1 n 1 2n 100 n n 1 n! 2) (1 e n 1 n n 3) ) 2 6) n n n 15 n 7) n 5n n 1 1n(3 ) n! n n 1e 10) n n n 3 1 n n 50e n 15 11) n 1 2 n n 1 4n 2 1 n n 2 7n 1 n! 8) n n 2 3 en n 1 n 4) 4 12) n 1 2 nlnn 3 13) n n! 3 1 n n 4 14) n n 1 7n 15) 16) (n!)2 n 1 (2n)! 20) (n 1)! n n 1 4!n!4 1 n 3n 2 lnn 18) n n 1 2n 1 n 1 e 1 21 2 3 1 2 3 4 1 ... 13 135 1357 17) 21) 19) 2! 3! 4! 5! 22) ... 1 1 4 1 4 7 1 4 7 10 7. ( 1)n 1) n 1 2 n 3 2) ( 1) n 1 n n 1 n 1 1 en ( 1)n 3) n 1 ( 1) n 1 4) n 1 1 n 2 n 5) n 9) n 8 ( 1) 6) n 3 1 2 nn ( 1) 2 10) n 1 1 1 ( 1)n 1 8) 5n 1 nlnn n 1 n 1 n n ( 1) n n ( 1) n 11) 12) 2 lnn n 1 n 1 ( 1) n 1 n ( 1)n 7) n 1 n 2 n 1 lnn n 1 ( 1) n 1 n 191
- 28. 2 13) n 1 ( 1)n 1 3n 1 n 1 ( 1) n 1 cosn 14) n 1 e n ( 16)sin 1) n 15) 3 1 4 ( 1)n 2 lnn n ( 1)n 20) 5 2 n 1 n n 19) n n 2 ( 1) cos n 1 n 3 18) n n n 3 17) n e n 1 n 1 8. 1) ( 1)n 1 1 nn n 4) ( 1)n 1 2 n 1 n 1 2) n 1 2n 3n 4 n 1 1 10) ( 1)n (2n 1)! n 1 7) ( 1)n ( 1)nen 13) 3 ( 1) n 3) n 8) 1 1 n 1 ( 1)n n 1 (2n)! 1 2 (n 1)3 ( 1)ne 14) n lnn n ( 1) n 17) n 1 20) n 1 2n n 1 2n n 1 3n 4 ( 3)n 9) 3 n 1 n 6) ( 1) n 11) ( 1)n n 1 n 5) 3 n 1n 1 n 1 n lnn n 1 1 cos n 6 19) n2 n 1 8 1 n 1 n 1 16) ( 1)n 1 ( 1) n 12) 1 3 n 1 (n 1)2 1 15) ( 1)n 1 n n! n 1 sin2n 18) 3 n n 1 cosn n 192
- 29. 2 4. (Power Series) 8.4.1 x 0 ax n a0 n n ax ax 2 ... axn ... 2 1 n 0 x h a(x h) n a n 0 1 a(x h) a(x h) 2 ... a(x nh)n ... 2 n 0 h (Center) a0,a1,a2,...,an,... x 0 nx n an n n 0 n 0 xn n 1 n x 2n n 0(2n)! 1 n an n 1 1 (2n)! an n 0 x h (x 2) n an 1 n 0 h 2 n 1 h n 0 (x 2)n n! n 1 an 1 n 2 8.4.2 (Interval of Converge) (a,b),[a,b], (a,b] [a,b) 8.4.3 R x x a R a R R (Radius of Converge) x (R ) x a 0 8 193
- 30. 2 ax n a n 8.4.1 0 2 ax ax2 ...ax n n ... 1 n 0 x c (c 0) x c ax n a n 8.4.2 0 2 ax ax2 ...ax n n ... 1 n 0 x d x d 1 n x a R a R x a R 2 x2 x3 x4 x ... 2 3 4 8.4.1 an an 1 xn n xn 1 n 1 x xn n 1 an 1 n an lim x 1 x 1 lim n xx n n n 1 xn 1 x 1 ( n x x 1 1 n 1 x 1 x 1 n x lim ( 1) 1 1 n n 1 n 1 1 1 1 1 2 3 n 1n p 1) 1 1 ... 2 3 4 ... 4 1 x 1 8 194
- 31. 2 x3 x5 x7 x ... 3 5 7 8.4.2 x 2n 1 x 1 x 2n 2n 1 2n 1 2n 1 x x x 2n an 1 2n 1 2n 1 a x x 2n2n 1 lim n 1 lim n n an 2n 1 x 1 x 2n an x2 1 n 2n 1 2 x 2n 1 x2 1 x 1 x2 1 x limx 2 x 1 ( 2n 1 1) 1 1 1 1 ... 3 5 7 n 1 2n 1 1 2n 1 1 1 1 1 ... 3 5 7 n 12n 1 p 1) 1 x 1 ( 1 x 1 8.4.3 n n n ( 1) n n 2) 3 (x n 1 n n ( 1) 3 (x 2) n n 1 n 1 ( 1) 3 (x 2) n 1 ( 1) n ( 1) n 1 1 an 1 n 1 1 a 3 n(x 2) nn1 n lim n 1 lim 3x 2 n 3lim(x 2) n n n n an n 1 3 (x 2) n 1 5 7 3x 2 1 x 3 3 5 7 3x 2 1 x , x 3 3 n 1 ( 1) n3n 5 ( 1) 1 1 2n 1 3 x 1 ... n 3 n 2 3 4 n 1 n 1 an n x 7 3 n 1 5 8 1 ( 1) n3n ( 1)(1) 3 n x 3 n 1 1n 1 ... n n 1 1 2 3 4 7 3 195
- 32. 2 8.4 1. xn 2. n 0 n 4 x nn 2 n n ( 1) n 3. 1 n x n n 1 n x lnn n3 n 2 ( 1) xn n 7. n! n 0 xn 9. 10. n 1n(n 1) n n 3x 11. n 0 n! 5. x 2n 1 n ( 1) n 0 n 12. n nx n 13. 2 nx 4. 2 n 2n 1 n x 6. n 0n 1 n n 5x 8. 2 n 1 n n 0 14. n n 0 n n 15. n 17. n 19. n ( 1) x n 1 n 2 xn 18. 2lnn xn 20. n n3 1 16. n x 2 01 n n x 0 n! n n 3x 0(n 1) 23. 25. 27. n 0 n 29. (x 1) ( 1) n 1 n n 1 (x 1) 2n ( 1)n n2 4 n 1 n 1 (x 4) n n n 0 10 n n2 (x 4) 3n n 02 n ( 1)nx n 1 2n 1 0 n 22. n 0 1 n n 0 8 (x 5) n (x 1) 2n (2n 1)! 3 2n (x 2)n n 0n 1 lnn (x e) n 28. n n 1e 26. 30. n n 1 3 4 n 24. n (x 6) 2 n!x n n 21. (2n 1)! (2x 1)n 3 n 1 2 196
- 33. 2 5. (Taylor and Maclaurin Series) Brook Taylor (1685-1731) 8.5.1 f (n)(n) n 0 8.5.2 f (0) n x n! f (0) f (0) 2 f (0) n x x ... x ... 1! 2! n! (Maclaurin Series) f(0) f x a (n)(n) n ColinMaclaurin(1698-1746) x 0 f (a) (x a)n n! 0 f(a) f (a) f (a) f (a) (x a) (x a)2 ... (x a)n ... 1! 2! n! (Taylor Series) f(x) e 8.5.1 2x (n) f (0) f (0) 2 f (0) n f(0) x x ... x ... 1! 2! n! f(x) e x f(0) e0 1 f (x) e x f (0) e0 1 f (x) e x f (0) e0 1 f (n)(x) e x f(n)(0) e0 1 1 x xn an n! an an 1 n an lim 1 lim n xn n! x x2 3 x ... 2! 3! n n 0 n! xn 1 (n 1)! x n 1n! (n 1)! x n limx n 1 n 1 0 1 x 8 197
- 34. 2 8.5.2 f(x) sinx (n) f (0) f (0) 2 f (0) n f(0) x x ... x ... 1! 2! n! f(0) sin0 0 f(x) sinx f (x) cos f (0) cos0 1 f (x) sinx f (0) sin0 0 f (x) cosx f (0) f (2n)(x) ( 1)nsinx cos0 1 f (2n)(0) ( 1)nsin0 0 f (2n 1)(x) ( 1) ncosx f (2n 1)(0) ( 1)ncos0 ( 1) n ( 1)nx 2n x3 x5 x 7 x ... ... 3! 5! 7! (2n 1)! 1 x 8.5.3 f(x) e2 f(a) x f(2) e2 e 1 22 1 f (2) e e 2 2 2 1 21 f (2) e e 4 4 f(x) e f (x) (n) f (a) f (a) f (a) (x a) (x a)2 ... (x a)n ... 1! 2! n! 2 2 x 2 1 e 2 f (x) a 2 x 1 e2 4 f (n)(x) 1 n x 1 f(n)(2) e2 2 n e 2 1 1 1 e(x 2) e(x 2) 2 ... e(x 2) n ... 2 4 2! 2n n! a 2 f(x) lnx e 8.5.4 (n) f(x) ln x 1 f (x) x 1 f (x) x2 f (a) f (a) f (a) f(a) (x a) (x a)2 ... (x a)n ... 1! 2! n! f(2) ln2 1 f (2) 2 1 f (2) 4 f (n)(x) n 1 ( 1) xn f (n)(2) ln2 8 ( 1) n 1 2n 1 (x 2) 2 1 (x 2)2 ... 4 2! ( 1) n 1 (x n2)n ... 2 n! 198
- 35. 2 8.5 1. 1) f(x) e x 2) f(x) sin3x 4) f(x) coshx 3) f(x) cos( x) 5) f(x) 7) f(x) 9) f(x) 11) f(x) 13) f(x) 2. x2 1 cosx 2 ln(3 2x) 1 cos2x sin2 x 2 3 8 x 1 coshx 1 x x a 1) f(x) ln x, 3) f(x) sinx, a 4 5) f(x) e, a 1 2 7) f(x) 4x 2x 1, a 1 a e 9) f (x) ln x, x 2x 6) f(x) e 8) f(x) exsinx 10) f(x) 2 x 12) f(x) cosxln(1 x) 14) f(x) xsec x 2 sinx 2) f(x) a 1 8 ex e 2 1 , 4) f(x) x, x a 2 a 4 6) f(x) tan 1 x,a 1 8) f(x) lnx, a 2 10) f (x) tanx, a 199
- 36. 2 8 1. n 2 1 3 n ln ln ... ln ... 2 3 4 n 1 2 2 2 2 3) 2 ... ... n 1 3 9 27 3 1) ln 1 1 1 1 ... ( 1)n 1 ... n 1 2 4 8 2 5 5 5 5 4) ... ... 12 23 34 n(n 1) 2) 1 2. 1 1 1) 1 1 ... 3 9 n 111( 1) n 1 ... ... 2 4 8 3) 1 2 5) ... 3 n 1 2) 2 1 1 7 7 5 2n 1 4) 6 3 3 4 4 4 4 6) 1 3 7 n 1 n 1 3 1 ... 7 3 n ... 7 ... 3 n ... n 3. 1 3 1n 1) n 1 2) n n 1 2 3) 1 n n3 4) n 1 n 1 4 1 n3 5) 6) n 1 4 n 1 1 7) n5 1 1 1 9) 1 ... 22 33 44 1 8) 3 n 1 n n 1 10) n 1 1 1 1 ... 4 2 9 3 16 4 4. 1) 3) lnn n 1 n 1 n 1 5) n n2 1 1 n 1 n lnn 1 2 n 1n 1 1 4) 2n 1 n 1 n 6) 2 n 1n 1 2) 5. 1) 2 n 1 2n 1 2) 2 n n 13 1 n 1 3) n n 1 5) 9 n 1 8 3 5 n 1 2 1 n 2n n 13 2 sinn 6) n n 1 2 4) 200
- 37. 2 6. 2n 3 n3 1) n 1 2n3 3n2 4 4 2n 3 1 1 5n 2) n 1 n 1 (n 1)(n 2) 3n 4 5) n n 1 n 2 3) 3n 2 2 n 1 2n 5 n 5 6) n 1 n 1 n 4) 7. n 1) n 1 3) 5) n 2 3 2) n3 4) n 1 n! ne n n (n 1)2n 2 3n n!(2n 1)! 9) n 1 (2n 3)! n 1 8. n nn 1 2 n 1 7) n n 1 (2n 2)! 23n 6) 2n n 13 n n 8) 2 n n 12 1 4 7 ... (3n 2) 10) n 1 3 5 7 ... (2n 1) n n n n2 1 1) 2) n 1 5 3n n 1 n 1 n 3) 4) n 1 lnn 5 (n!) n 2 1 (n ) n n 5) n n 1 n 1 (lnn) 6) n n 9. 1 n2 n 1 n 1 3) ( 1) n 1 n n 1 1 5) ( 1) n 1 2n 1 n 1 ( 1) n 1) 1 ( 1) n 2) n 1 1 nlnn n 2 ( 1) 4) 5n 2 2 n 1 n 1 6) ( 1)n 1 3n 1 n 1 n 1 10. 1) ( 1)n 1(0.1) n 2) n 1 n 1 8 n 1 ( 1)n 1 3) ( 1)n 1 n n3 1 4) 1 n n! n n 12 201
- 38. 2 5) ( 1)n 1 sinn 2 n n 1 1 8) ( 1)n 1 lnn 3 n 1 ( 1) n 6) n 3 3 n 7) ( 1)n 1 5 n n 1 n 1 n 1 1 nn ( 1) n 1 9) 2 n 1 n 11) n 1 n 2 3 2 ( 1)n 13) n 1 15) ( 2) 10) n n 1 n 5 ( 1)n 1(n10) 12) n 1 tan 1n ( 1) n 1 14) 2 n 1 n 1 11 2n n 1 n ( 1) n 16) 1 n 1 1 nlnn (0.1) n n 11. 1) (x 5)n 2) n n 0 3) (2x) n 4) n n 0 n 5) (x 2) n n 0 n n (x 1) n n 0 6) n ( 1)n(x 2) n 0 n 3x 0 n! 12. 1) f(x) e x 2) f(x) cosx m 3) f(x) (1 x) 5) f(x) coshx 7) f(x) esinx 4) f(x) sinhx 6) f(x) tanx 8) f(x) ln(cosx) 13. 1) f(x) x3 x 2 2) f(x) x 4 x 2 3 3) f(x) lnx 4) f(x) e 8 x x 1 x 1 x 3 202
- 39. 2 8.1 1. 19 2. 33 5. 5120 6. 341 205 9. 13 10. 60 -420 12. 1) 7) 13) 19) 1. 1) 1 : 2) 2 :0 3 ::0 2 8.3 : 3 8) 14) 20) 24 ,S 53 1 3 S ,S ,S 2 4 4 3 1 1 S ,S ,S 2 6 4 3 1 : 2) 4 3) 1 5) 1 2. 1) 7) 13) 19) 25) 31) 3. 1) 6) 4. 1) :6 1 : 3 :1 0 9) 15) 21) 1 : 6 :0 14) 20) 26) 21) 27) 2) 7)1 4 2 2 n 1n 5 7) n 1 10) n 1 5) n n 1 16) 8 8) 3 1 n 1n n 12) 18) 18) 23) 29) 3 3) 8) 4) 1 9) 2 n 1 n n 1e 1 n 2 11) 3n 1 2 2 13) 17) :0 :0 :0 24) 30) 5) 10) 3) n 1 4 2 6) 10 n 1 4) :1 1 22) 28) 2) n 5) :0 11) : 0 23)17) : 24) 4 16) : 7 5 15 35 75 ,S 2 ,S ,S 3 4 4 8 16 32 1 7 23 163 4)S 1 ,S 2 ,S 3 4 ,S 2 6 12 60 1 7 13 6)S 1 1,S 2 ,S3 ,S 4 3 9 27 5e 1 4) : 8 5) : 6) : 2 3 e e 1 1 10) 11) 12) : 4 2)S 15) 1 : 33) 2 32) :0 :0 10) 16) : :00 22) 3 4. 8. 48 5 4) 124 624 ,S 4 25 125 7 15 ,S 4 4 4 3 1 ,S 4 10 3 4 8 : 3) : 7 9 448 9) : 8) (n 1) 2b 2 7. 1458 2 11. 3) 2 S 4,S 2 1 3. n n 6) n 1 3/2 1n 2 2 14) n 1n 9) 1 2 n 1n 1 3 n 2n 1 2 n 1n 12) n 15) n 2 1 3 1 n 1 2n 203
- 40. 2 1 5. 1) n n 1 n2 1 n n 13 5) n n 1 2 6. 1) 2) 6) 9) 10) 13) n 1 n 1n n 1 6) 3) 5) 1 3) n 1 1 4) 1 2) 4) 7) 8) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 7. 1) 11) 12) 2) 6) 3) 7) 11) 8) 12) 16) 4) 9) 13) 10) 14) 17) 15) 18) 8. 1) 5) 2) 19) 3) 4) 20) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 8.4 1. 3. 5. 0 0 0 [ 1,1) ( 1,1] [ 1,1] 1 1 1 7. 0 2. 4. 6. R 0 0 0 8. 0 10. 0 1 0 9. 11. 13. 0 0 0 1 R 1 [ 1,1] 12. ( 1,1) 15. 0 2 ( 2,2] 17. 19. 0 0 1 3 [ 1,1) [ 3,3) 18. 20. 0 0 21. -1 1 ( 2,0] 22. -5 23. -1 1 [ 2,0] 24. 4 10 ( 6,14) 27. -4 8 ( 12,4) 1 5 R [ 1,1] R 1 3 0 1 4 1 25. 2 1 1 29. 8 -6 0 {-6} 0 14. 16. 26. 28. 30. 0 R 1 9 2 e 1 2 e ( 2,2) [ 1,1) [ 1,1) 11 , 55 11 , 33 {0} ( 1,1] 19 11 , 3 3 3 17 19 , 9 9 (0,2e) 1[0,1] 2 204
- 41. 2 8.5 1.1)1 x ... 2)3x ...3)1 ... 3! 5! 7! 4 6 8 10 x x x x 5) ... 4! 6! 8! 10! 2! 3! 2 x x4 x6 ... 2! 4! 6! 4)1 3 7)ln3 2 2 2 8 3 x x x ... 3 9 81 1 n n 10) n x x 8)x x 2 (ln2) x n! 0 11) n 3x2 3x3 37x4 ... 14)2x 2 3 24 1 1 2.1)(x 1) (x 1)2 (x 1)3 ... 2 3 2 2 2 3) (x ) (x ) 2 ... 2 2 4 4 4 e e 5)e e(x 1) (x 1) 2 (x 1)3 ... 2! 3! 7)43 26(x 3) 4(x 3)2 ... x e ... e 9)1 (x e)2 2e2 (x e)3 3e3 8 ln(n 1), 1. 1) Sn 5 ... 3 30 2! 9) 4! n 2 x ( 1)n 3 2 0 n 13)1 x 2! 4! 6! 2 2 4 6)1 2x 2x x 3 4 x ... 3 3 2 3 4 5 6 2x 2 x 2 x 27x8 12) x 3n 1 x 6! 3 x 2 ... 8! 5 3x ... 6 40 x3 61x5 ... 6 120 1 1 1 1 2) (x 2) (x 2)2 (x 2)3 ... 2 4 8 16 1 1 1 4)2 (x 4) (x 4) 2 (x 4)3 ... 4 64 512 1 1 1 6) (x 1) (x 1)2 (x 1)3 ... 4 2 4 12 n 1 n ( 1) (x 2) n 8)ln2 n 1 n2 1 10)(x ) (x ) 3 ... 3 2)S n 3 1 n 2 2 1 2 ,limSn 3 n 1 3) S 4) ,limS 3 31 n 2. 1) n 3 : n n n 3 2 2) :4 5 4)S 1 : 42 5 ,limS 5 n 1 n n 3) 6) 5) 3. 1) 2) 3) 4) 7) 8) 9) 2) 3) 5. 1) 2) 6. 1) : 4 3 7 2 10) 4. 1) : 5) 6) 4) 5) 6) 3) 4) 5) 6) 2) 3) 4) 5) 6) 7. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 8. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 8 205
- 42. 2 9. 1) 2) 3) 4) 5) 10. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 2)1 x 3 3) 6) 16) 11.1) 6 x 4) 3 x 4 1 12.1)1 x 6) 5)0 x 2 2 3 x x x ... 2! 3! 4! 2 2)1 3)(x 1) 8 ... 2 (x 1)3 3 1 2 4 3 (x 1)2 x 2 x x6 x x ... 2! 4! 6! 4 m(m 1) 2 m(m 1)(m 2) 3 3)1 mx x x ... 2! 3! x 2 x 4 x6 5)1 ... 2! 4! 6! x2 7)1 x ... 2 13.1)8 12(x 2) 6(x 2)2 (x 2)3 1 5 7 x x x 4)x ... 3! 5! 7! x3 2x5 6)x ... 3 15 2 x x4 x6 8) ... 2 12 45 2) 1 6(x 1) 7(x 1)2 4(x 1)3 ... x 2 4)e3 1 (x 3) x ( 3) ( 3) 2! 3 ... 3! 206