1. Тема. Формула коренів квадратного рівняння
Мета: домогтися засвоєння учнями змісту поняття «дискримінант
квадратного рівняння з парним другим коефіцієнтом», формули дис-
кримінанта квадратного рівняння з парним другим коефіцієнтом та
формул коренів такого квадратного рівняння; сформувати первинні
вміння знаходити дискримінант квадратного рівняння за новими фор-
мулами та за його значенням визначати кількість розв'язків квадрат-
ного рівняння, а також обчислювати корені квадратного рівняння;
відпрацювати вміння розв'язувати квадратні рівняння за формулами,
вивченими на попередньому уроці.
Тип уроку: застосування знань та вмінь.
Наочність та обладнання: Опорний конспект «Квадратні рів¬няння».
Хід уроку
I. Організаційний етан
II. Перевірка домашнього завдання
Математичний диктант
Варіант 1 Варіант 2
1. Розв'яжіть рівняння
х2 – 8х – 9 = 0 х2 – 8х + 7 = 0
виділенням квадрата двочлена
2. Обчисліть дискримінант рівняння
3х2 – 8х – 3 = 0 2х2 – 3х – 2 = 0
3. Знайдіть корені рівняння:
3х2 – 8х – 3 = 0 2х2 – 3х – 2 = 0
4. За якої умови деяке повне квадратне рівняння
має один корінь (два рівних дійсних корені)? не має дійсних коренів?
5. Скільки коренів має рівняння:
х2 – 10х + 25 = 0? х2 + 6х + 9 = 0?
III. Формулювання мети і завдань уроку
Усвідомленому вивченню питання уроку (формула коренів квадрат¬ного
рівняння з парним другим коефіцієнтом) сприятиме поставлене вчителем
завдання: за вивченими на попередньому уроці формулами, виконуючи
усні обчислення, розв'язати квадратне рівняння з досить ве¬ликими
коефіцієнтами (рівняння має бути підібране так щоб дискри¬мінант був
більшим за 10000, тобто не було можливості скористатися таблицею
квадратів, наведеною в підручнику). Аналізуючи проблему, доходимо
висновку про необхідність «вдосконалення», вивчених на
по¬передньому уроці формул. Вивчення окремих випадків застосування
формул коренів квадратного рівняння та оволодіння вміннями їх
вико¬ристовувати визначаємо як провідну мету уроку.
2. IV. Актуалізація опорних знань та вмінь
Для успішного сприйняття учнями навчального матеріалу уро¬ку слід
активізувати такі знання і вміння: виконання тотожних перетворень
ірраціональних виразів; визначення коефіцієнтів квадратного рівняння;
визначення дискримінанта квадратного рівняння та знаходження
кількості та значень коренів квадрат¬ного рівняння за визначеним
значенням дискримінанта.
Виконання усних вправ
1. Укажіть у квадратному рівнянні його коефіцієнти:
а) 3у2 – 5у + 1 = 0; б) -х2 + х – 3 = 0; в) 12t – 7t2 + 4 = 0; г) 9t – 6 +
t2 = 0;
д) 5т – т2 = 0; є) п2 – 7 = 0.
2. Спростіть вирази: ; (2k)2 – 4ат.
3. Скільки коренів має квадратне рівняння:
x2 – 64 = 0; у2 + 49 = 0; 2р2 – 7р = 0; k2 = 0; 2х2 + 4х – 1 = 0;
х2 + 3х + 4 = 0; у2 + 3у + 2 = 0.
V. Застосування знань
План вивчення нового матеріалу
1. Формули коренів квадратного рівняння для випадку, якщо другий
коефіцієнт рівняння парний.
2. Алгоритм застосування нових формул.
3. Приклад застосування складеного алгоритму.
У виведенні «нових» формул коренів квадратного рівняння для
спрощення виду формул можна відразу ввести додаткові позна¬чення:
, і під час розв'язування опорних прикладів уже починати закріплення
нових позначень. Так само як і на попередньому уроці, після виведення
формул слід дати учням орієнтовну схему розв'язання квадратного
рівняння цим спосо¬бом і в розв'язуванні опорного завдання вимагати
строгого її дотримання.
VI. Формування вмінь
Виконання усних вправ
1. Серед даних квадратних рівнянь виберіть ті, в яких парний другий
коефіцієнт:
a) 3у2 – 5у + 1 = 0; б) 12х – 7х2 + 4 = 0; в) х2 + 2х – 3 = 0; г) 10х2 +
3х – 7 = 0.
2. Знайдіть значення виразу якщо:
а) b = -2; а = 3; с = -2; б) b = 6; а = 1; с = 2.
Виконання письмових вправ
Для реалізації дидактичної мети уроку слід розв'язати завдання та¬кого
змісту:
1. Розв'язування квадратного рівняння за формулами.
1) Розв'яжіть рівняння:
а) х2 – 2х – 1 = 0; б) 7х2 – 18х + 8 = 0; в) 3х2 + 22х – 16 = 0;
г) х2 + 21х + 90 = 0; Д) 3х2 + 53х – 18 = 0; є) -25х2 + 50х + 75 = 0;
ж) х2 + 0,5х – 1,5 = 0; з) 2х2 – х + = 0; и) х2 – х – = 0.
3. 2) Розв'яжіть рівняння:
а) 3х2 – 14х + 16 = 0; б) 5х2 – 16х + 3 = 0; в) х2 + 2х – 80 = 0;
г) х2 – 22х – 23 = 0; д) 4х2 – 36х + 77 = 0; є) 15у2 – 22у – 37 = 0;
ж) 7z2 – 20z + 14 = 0; з) у2 – 10у – 25 = 0.
2. Розв'язування квадратного рівняння найбільш зручним способом.
Розв'яжіть рівняння:
а) 2х2 – 5х – 3 = 0; б) 3х2 – 8х + 5 = 0; в) 5х2 + 9х + 4 = 0;
г) 36у2 – 12y + 1 = 0; д) 3t2 – 3t + 1 = 0; є) х2 + 9х – 22 = 0;
ж) у2 – 12у + 32 = 0; з) 100х2 – 160х + 63 = 0.
3. Розв'язування рівнянь з попереднім виконанням рівносильних пе-
ретворень та обранням найбільш зручного способу розв'язання.
1) Розв'яжіть рівняння:
а) t2 + 3t = - 4t – 6 – t2; б) 5(y2 + 3) = -24у + 20; в) 4х(х – 2) + х2 = 6х
+ 3;
г) 6х2 + 3х = 5(2х + 1); д) (х – 1)2 + 4х2 = 0; е) (3х – 2)(3х + 2) = 6х +
3;
ж) 5х2 – х = 0,1 – х + 4х2; з) .
2) Знайдіть корені рівняння:
а) 3(х + 4)2 = 10х + 32; б) 15х2 + 17 = 15(х + 1)2; в) (x + 1)2 = (2х –
1)2;
г) (х – 2)2 + 48 = (2 – 3х)2.
3) Розв'яжіть рівняння:
а) ; б) ; в) ;
г) .
4) Розв'яжіть рівняння:
а) 0,7х2 = 1,3х + 2; б) 7 = 0,4у + 0,2у2; в) х2 – 1,6х – 0,36 = 0;
г) z2 – 2z + 2,91 = 0; д) 0,2у2 – 10y + 125 = 0; є) х2 + 2х – 9 = 0.
4. Логічні вправи та завдання підвищеного рівня складності для учнів,
які мають достатній та високий рівні знань. Вставте пропущений вираз.
х ≥ 3 х – 3
х ≤ 2 ?
Письмові вправи мають на меті закріплення нових формул ко¬ренів
квадратного рівняння (для рівняння з парним другим коефіцієнтом) та
формування вмінь застосовувати ці формули (нові знання) в поєднані з
вивченими раніше способами розв'язання квадратних рівнянь. На уроці
продовжується за¬своєння формул коренів квадратного рівняння, тому,
як і на попередньому уроці, з метою попередження помилок та кра¬щого
запам'ятовування формул, слід вимагати від учнів дотри¬мання
алгоритму (див. конспект) та усного й письмового відтворення виведених
формул.
На цьому уроці можна запропонувати учням завдання, що передба¬чає
виконання рівносильних перетворень рівнянь перед застосуванням
вивчених формул, при цьому слід виділити рівняння, в яких виникає
необхідність перетворення рівняння з дробовими коефіцієнтами в
рів¬няння з цілими коефіцієнтами (множенням обох частин рівняння на
НСК знаменників дробових коефіцієнтів) та на рівняння з цілими
4. коефіцієнтами, що мають спільний дільник, відмінний від нуля. Також
звертаємо увагу учнів на зручність оволодіння ще й таким прийомом:
старший коефіцієнт квадратного рівняння краще мати додатним (в ідеалі
- дорівнює одиниці).
VII. Підсумки уроку
В якому випадку правильно знайдено корені?
а) х2 – 2х – 8 = 0, D1 = 1 + 8 = 9, , х1 = , х2 = ;
б) х2 + 2х – 8 = 0, D1 = 2 + 8 = 10, ;
в) x2 – 4х – 12 = 0, D1 = 4 + 12 = 16, х1,2 = 2 ± 4, х1 = 6, х2 = -2.
VIII. Домашнє завдання
1. Вивчити всі формули коренів квадратного рівняння.
2. Розв'язати приклади на застосування цих формул.
3. На повторення: тотожні перетворення раціональних виразів та
ви¬разів, що містять квадратні корені.
