સંખ્યાઓની રસભરી દુનિયામાં પ્રાથમિક ડોકીયું - સુસ્મિતા વૈષ્ણવ
- 1. સંખ્યાઓની રસભરી દુનનયામાં પ્રાથનમક ડોકીયું સુસ્મમતા વૈષ્ણવ સંખ્યાઓની રસભરી દુનનયામાં પ્રાથનમક ડોકીયું
- 2. આસપાસની સૃષ્ષ્િ અને ઘિનાઓને સમજવાના પરરપાક રૂપે માનવ બુદ્ધિનો નવકાસ થતો યયો. જેમ જેમ સમજણ વધતી યઇ તેમ તેમ નવાં નવાં શાસ્ત્રો પણ શોધાતાં અને નવકસાવાતાં યયાં. તેમાં સૌથી પ્રાચીન શાસ્ત્ર છે યણણત. માનવ પછાત અવમથામાં હતો ત્યારે તેને પોતાની પાસેની વમતુઓના ખ્યાલ માિે પહેલાં યણત્રીની જરુર પડી. આ માિે તેણે ૧,૨,૩,૪,૫,૬,૭,૮,૯ એ મૂળભૂત આંકડાઓની શોધ કરી. એિલે જ આ સંખ્યાઓને યણણતમાં "પ્રાક્રુનતક સંખ્યાઓ' કહેવાય છે. પછી ઈ. સ. ૬૦૦માં ભારતના યણણતજ્ઞ બ્રહ્મગુપ્તે શૂન્યની શોધ કરી. આમ મૂળ દસ આંકડાઓને લઈને યણણતનું યંજાવર શાસ્ત્ર નવકમયું.
- 3. મૂળ દસ આંકડાઓ ૦ થી ૯ આપણે અનંત સંખ્યાઓના દરવાજા ખોલી આપે છે. એક વમતુ સાથે બીજી એવી જ વમતુ મુકવાથી બે વમતુનો સમુહ થાય છે. આ સમૂહમાં એક એક વમતુ વધારતા જઈએ તો નવ ના આંકડા સુધી પહોંચાય છે. આ પ્રરિયાને યણણતની ભાષામાં "સરવાળો" કહીએ છીએ અને તેને '+" ણચહ્ન વડે દશાાવીએ છીએ. ૯+૧ કરવાના પ્રશ્નમાંથી જન્મ થયો બે આંકડાની સંખ્યા ૧૦નો. િમવાર એક એક ઉમેરતાં સંખ્યાઓ ૧૧,૧૨,૧૩,૧૪,૧૫,૧૬,૧૭,૧૮,૧૯ બની. જમણા મથાને ૦ થી ૯ આંકડાઓ વપરાઇ યયા, એિલે હવે ડાબી બાજુ રહેલા ૧ ને મથાને ૨ મૂકીએ અને ફરી જમણા મથાને ૨ પછી ૦,૧,૨,....૯ મૂકીએ. આમ આપણી પાસે ૨૦ થી૨૯ સંખ્યાઓ થઈ. આમ તકાબધ્ધ રીતે આયળ વધતાં બે આકડાની મોિામાં મોિી સંખ્યા ૯૯ મળે છે. એ પછી ત્રણ આંકડાની સંખ્યા ૧૦૦ થી આ અનંત રિયા આયળ વધે છે. આમ આપણને અયણણત પ્રાકૃનત્રક સંખ્યાઓ મળે છે.
- 4. ૧૧=૧૦+૧ ૨૧૨=૨૦૦+૧૦+૨ ૪૨=૪૦+૨ ૩૨૫=૩૦૦=૨૦+૫ ૯૫=૯૦+૫ ૭૪૯=૭૦૦+૪૦+૯ કોઈ પણ સંખ્યામાં જેટલા આંકડા હોય તેમાં સૌથી જમણી બાજૂનો છેલ્લો આકડો એકમનું સ્થાન કહેવાય છે. ડાબી બાજુએ એક એક સ્થાન ખસીએ તો એકમ પછી દશક, શતક, હજાર, દસ હજાર....... નાં સ્થાન આવે. દા. ત. સંખ્યા ૫૧૭૪૮માં ૮નું સ્થાન-મૂલ્ય=૮ ૪નું ,, =૪૦ ૭નું ,, =૭૦૦ ૧નું ,, =૧૦૦૦ ૫નું ,, =૫૦,૦૦૦
- 5. સંખ્યાઓને ણચત્રાત્મક રીતે સમજવા માિે "સંખ્યારેખા"નો નવચાર નવકમયો. કાયળ પર પેંનસલની અણી મૂકી તેને ઉપર ઉઠાવ્યા નવના એક જ રદશામાં આયળ લઈ જઈએ તો રેખા મળે છે. તેને અનંત સુધી લંબાવી શકાય છે. 0 1 2 3 . . . . . આ રેખા પર કોઈ પણ ણબિંદુ પસંદ કરી તેને સંખ્યા ૦ છે એમ કહીએ. આપણી અનુકુળતાની કોઈ પણ નાની-મોિી લંબાઈ પસંદ કરી ૦ થી તેિલા અંતરે બીજુ ં ણબિંદુ લઈએ જે સંખ્યા ૧ બતાવે. આ સંખ્યા ૦ ની જમણી બાજુએ છે. આમ જ જમણી બાજુએ એક એક એકમ ખસતાં આપણે ૨,૩,૪........ સંખ્યાઓને બતાવતાં ણબિંદુઓ મળતાં જાય. આ સંખ્યારેખા જ ખ ૂબ મૂલ્યવાન નવચાર છે જે આયળ ઉપર વધારે પ્રકારની સંખ્યાઓ અને તેના પર કરવામાં આવતી સરવાળા, બાદબાકી, ગુણાકાર, ભાયાકારની રિયાઓને સમજવી સરળ બનાવે છે.
- 6. “સરવાળો” જેમ એક વસ્તુના સમૂહમા બીજો સમૂહ જોડવાથી મળતી કુલ્લ વસ્તુઓ બતાવે છે તેમ બીજી ક્રિયા "બાદબાકી" તેની ઊંધી ક્રિયા છે. એટલે કે એક વસ્તુઓના સમૂહમાંથી થોડી વસ્તુઓ લઈ લેવી. ૭ વસ્તુઓમાંથી ૨ વસ્તુઓ લઈ લઈએ તો બાકી શું રહે ? ૫ વસ્તુ. જો બાદબાકીનું ચિહ્ન "-"વાપરીએ, તો ટૂંકમાં ૭ - ૨= ૫ લખાય. િમશઃ......
- 7. હવે ઘણા આંકડાની મોિી સંખ્યાના સરવાળા, બાદબાકી કરવા આપણે જે ઝડપી અને વમતનવક રીત અપનાવીએ છીએ તે ઉપરની ચચાા પછી સમજાય છે. ૧ ૧ દા.. ત. ૨૫૦૩ + ૬૪૮ ------ ૩૧૫૧ શરુઆત એકમના આંકડાથી થાય છે. ૩+૮=૧૧ કરીએ એિલે જવાબરૂપે જે રકમ મળી તેમાં ૧ એકમ અને બીજો ૧ દશક તરીકે મળે છે, જેમાંથી દશકનાં મથાનના ૧ ને મૂળ રકમમાં દશકના મથાને લઈ જવાનો રહે. આ રિયાને યણણતની ભાષામાં 'વદ્દી ચડાવવી' તરીકે ઓળખાય છે. એક એકમને તેના મથાને જરહેવા દઈએ. તે પછી મૂળ રકમના દશકના મથાને આવેલી સંખ્યાઓનો સરવાળો કરવાનો થાય, એિલે કે (વદ્દીનો)૧ + (મૂળ રકમના)૦ + ૪ = ૫, જે જવાબના સરવાળાનો દશકનાં મથાનનો આંકડો બન્યો. એ જ રીતે તે પછી મૂળ રકમના શતકના ૫ અને ૬નો સરવાળો ૫+૬ = ૧૧ થયો. આમાં પહેલો ૧ શતકનાં મથાનનો છે જ્યારે બીજો ૧ હજારનાં મથાનનો છે, એિલે મૂળ રકમોમાં તે હજારનાં મથાને વદ્દી તરીકે ચડશે. હવે વદ્દીના મવરૂપે આવેલ હજારના મથાને આવેલા ૧ને સહુથી પહેલી રકમના હજારના મથાને રહેલા ૨ માં ઉમેરતાં (૧+૨ =)૩ મળે છે, જે જવાબમાં હજારનું સંખ્યા-મૂલ્ય ધરાવે છે. .... આગળથી િાલુ િમશઃ......
- 8. હવે બાદબાકીના બે ઉદહરણ જોઈએ. ૪૬૪૭ ૭૭૪૧ -૫૩૧ -૯૦૫ ----- --- ---------- ૪૧૧૬ ૬૮૩૬ પ્રથમ ઉદાહરણમાં ઉપરનો દરેક આંકડો નીચેના આંકડા કરતાં મોિો હોવાથી સરળતાથી સમજાય છે. બીજા ઉદાહરણમાં એકમના પહેલી રકમના એકમના મથાને આવેલ ૧ માંથી બીજી રકમનાં એકમના મથાને આવેલ ૫ ને બાદ કરવાના છે. જેને માિે પહેલી રકમના બાજુના ૪ દશક પાસેથી એક દશક લઇ ને એકમના ૧ માં જોડવો પડે તો જ આ બાદબાકી શક્ય બને. આમ કરતાં હવે એકમના મથાને ૧૧ મળે , જેમાંથી ૫ બાદ કરતાં ૬ રહે. દશકના મથાને એક દશક ઓછો થવાને કારણે જતાં હવે ૪ ને બદલે ૩ દશક રહ્યા તેમાંથી ૦ બાદ કરીએ તો ૩ જ રહે છે. હવે શતકના મથાને જઈએ તો ૭ માંથી ૯ બાદ કરવાના છે. ફરી એ જ તકા મુજબ, બાજુના હજારના મથાનેથી એક હજારને ૭માં જોડવા પડેછે. દશકને મથાને ૭ ને બદલે હવે ૧૭ મળે છે .તેમાંથી ૯ બાદ કરીએ તો ૮ રહે. આમ કરતાં હવે છેલ્લે હજારના મથાને ૭ ને બદલે ૬ રહે છે. .... આગળથી િાલુ િમશઃ......
- 9. ગુણાકાર- ગુણાકાર એ ખરેખર તો પુનરાવનતિત સરવાળો જ છે. એક સંખ્યાને તેના પોતાનામાં જ વારંવાર ઉમેરવાથી ગુણાકાર બને છે. દા. ત. ૩+૩+૩+૩=૧૨ થાય, તેને ગુણાકારની ભાષામાં ૩*૪=૧૨ કહેવાય. ૧ થી ૯ સુધીની કોઈ બે સંખ્યાનો ગુણાકાર સરળ ઘક્રડયાં રુપે આપણે રટી લઈએ છીએ. .... આગળથી િાલુ િમશઃ......
- 10. ગુણાકારની ઝડપી ગણત્રીનું એક ઉદાહરણ જોઇએ : ૨૪૨ X ૫૨૫ ------------- ૧૨૧૦ એિલે કે (૨૪૨ x ૫) ૪૮૪૦ એિલે કે (૨૪૨ x ૨૦) ૧૨૧૦૦૦ એિલે કે (૨૪૨ x ૫૦૦) --------------- ૧,૨૭,૦૫૦ ગચણતમાં સંખ્યાઓના ગુણાકારનાં આ ઉદાહરણને શબ્દોમાં આ રીતે સમજાવી શકાય. ૨૪૨ને ૫૨૫ સાથે ગુણાકાર કરવા માિે પહેલાં ૨૪૨ ની સાથે બીજી રકમના એકમ મથાન-મૂલ્યના આંકડા ૫નો ગુણાકાર કરીએ, જે ૧૨૧૦ થાય છે. બીજા પયથીયે ૨૪૨ x ૨૦ જે ૪૮૪૦ થાય છે. ત્રીજા પયથીયે ૨૪૨ x ૫૦૦ જે ૧૨૧૦૦૦ થાય છે. એિલે હવે આપણી પાસે, ૧૨૧૦ + ૪૮૪૦ +૧૨૧૦૦૦ = ૧૨૭૦૫૦ થશે. ઉપરની રિયામાં ૫૨૫= ૫૦૦+૨૦+૫ એ સત્યનો ઉપયોય થયો છે એ નોંધવાનું છે. .... આગળથી િાલુ િમશઃ......
- 11. છેલ્લી ક્રિયા ભાયાકારની છે, જે ગુણાકાર કરતાં ઊંધી ક્રિયા છે. કોઈ વસ્તુઓના એક સમુહના નાના અને એક સરખા ભાગ કરીએ તે ક્રિયા ભાગાકાર કહેવાય છે. તેને "/" ચિહ્ન વડે દશાાવાય છે. દા. ત. આપણી પાસે ૧૨ વસ્તુ હોય અને તેને ૪ વ્યક્તતઓ વચ્િે સમાન ભાગે વહેંિવી હોય તો દરેક વ્યક્તતને ત્રણ ત્રણ વસ્તુ મળે. ટુંકમા ૧૨ / ૪ = ૩. ૧૨ /૪ = ૩ અથવા ૩ * ૪ =૧૨ એ સમાનાથા નવધાન છે. .... આગળથી િાલુ િમશઃ......
- 12. મોિી રકમની સંખ્યા નો ભાયકાર કરવા ફરી આપણે ઝડપી રીત લઈએ. દા.. ત. ૮૨૦૬ / ૨ ૨ ) ૮૨૦૬ ( ૪૧૦૩ -૮ (૨ *૪ = ૮) ------- ૦૨ (૨ * ૧ = ૨) - ૨ -------- ૦૦ (૨ * ૦ = ૦) ૦૦૬ - ૬ (૨ * ૩ = ૬) ------- ૦૦૦ આમ ૮૨૦૬ / ૨ = ૪૧૦૩ અહીં ભાયાકારને અંતે ૦ રહે છે, જે બતાવે છે કે ૮૨૦૬ના બે સમાન ભાય થઈ શકે છે. .... આગળથી િાલુ િમશઃ......
- 13. બીજો એક જરા જુદો દાખલો- ૭૪૯ / ૧૩ - લઇએ. શરુઆતમાં જે રકમથી ભાયવા છે તે રકમ બે આંકડાની છે. ૭૪૯માંનો ૭ તેના કરતાં નાનો હોવાથી પહેલાં પયથીયે ૭૪ લેવા પડે. ૧૩ ) ૭૪૯ (૫૭ -૬૫ (૧૩ * ૫ = ૬૫ ) ------- ૦૯૯ ૧૩ * ૭ = ૯૧) -૯૧ -------- ૦૮ અહીં ૭૪૯ ને ૧૩ ભાગ થતાં બાકી ૮ શેષ રહે છે. આ દાખલાઓને ટૂંકમાં ૮૨૦૬ = ૨ * ૪૧૦૩ + ૦ અને ૭૪૯ = ૧૩ * ૫૭ + ૮ સ્વરુપે દશાાવાય. .... આગળથી િાલુ
- 14. આટલો મૂળભૂત પક્રરિય અહીં પૂરો કરીએ. એ મૂળભૂત એટલે છે કે આપણે ખ ૂબ નાનાં હોઈએ ત્યારથી, સવારથી રાત સુધી. . . . . . . . સવારે ઘક્રડયાળના આંકડા પ્રમાણે કામ કરીએ, ફોનના નંબર લગાવીએ, અમુક નંબરની બસમાં બેસીએ, બજારમાં અમુક પૈસા આપી કોઈ વસ્તુ ખરીદીએ......... એ દરેક સમયે આપણે સંખ્યાઓના જાળાંથી વીંટળાયેલાં રહીએ છીએ. તો જે સંખ્યાઓ જીવનભર આપણી સાથે રહે છે તેના નવશે જાણવું જ રહ્ું.