ݺߣ

ݺߣShare a Scribd company logo

інтеграл та його застосування

•
•
Ю
Юра Марчук

111

1 of 5
Downloaded 20 times
Ю.Марчук Курс лекцій з математики ПЕРВІСНА ТА ЇЇ ВЛАСТИВОСТІ При вільному падінні тіла пройдений за час t шлях s у фізиці визначають за формулою: 2 2 qt s = Таку задачу можна розв'язати методом диференціювання. Продиференціюємо дану формулу: s'(t) = v(t) = q·t (похідною шляху s по часу t є швидкість v по часу t). s(t) ⇒ s'(t) ⇒ v(t)=qt Продиференціюємо отриману формулу: v'(t) = a(t) = q, q = const (похідною швидкості v по часу t є прискорення q по часу t). v(t) ⇒ v'(t) ⇒ q Але частіше у фізиці зустрічається інша задача: за відомим прискоренням q визначити швидкість v і шлях s. q ⇒ v'(t) ⇒ v(t) v(t) ⇒ s'(t) ⇒ s(t) Розв'язування задач такого типу здійснюється методом інтегрування. Інтегрування обернене до диференціювання. д и ф е р е н ц і ю в а н н я → → s(t) ← v(t) ← q і н т е г р у в а н н я Функція F називається первісною для функції f на заданому інтервалі, якщо для всіх х з цього інтервалу виконується рівність: F'(x) = f(x). Інше визначення первісної: первісною функції f називається функція F, похідна якої дорівнює даній функції f. Функція f може мати безліч первісних F. Усі первісні функції f записують так: F(x) + C Основна властивість первісної Будь-яку первісну для функції f на заданому інтервалі можна записати у вигляді F(x) + C, де F(x) – одна із первісних для функції f(х) на заданому інтервалі, а С – довільна стала. Геометричний зміст основної властивості первісних функції f полягає в тому, що графіки первісних для функції f паралельні вздовж осі OY. Т а б л и ц я п е р в і с н и х Функція f Загальний вигляд первісних функції f k = const kx + C xn , n ϵ Z, n ≠ 1 C n xn + + + 1 1 x 1 Cx +2 ах C a ах + ln ех ех +С sin x – cos x + C
Ю.Марчук Курс лекцій з математики cos x sin x + C x2 cos 1 tg x + C x2 sin 1 – ctg x + C ІНТЕГРАЛ, ЙОГО ФІЗИЧНИЙ І ГЕОМЕТРИЧНИЙ ЗМІСТ Множина всіх первісних функції f(x) на деякому інтервалі називається невизначеним інтегралом цієї функції. Запис: ∫ dxxf )( ∫ – знак інтеграла f(x) – підінтегральна функція f(x)dx – підінтегральний вираз х – змінна інтегрування ∫ += CxFdxxf )()( Множина всіх первісних функції f(х) на інтервалі [a; b] називається визначеним інтегралом цієї функції. Запис: ∫ b a dxxf )( ∫ – знак інтеграла a, b – межі інтегрування (a – нижня межа, b – верхня межа) f(x) – підінтегральна функція f(x)dx – підінтегральний вираз х – змінна інтегрування В математиці існує формула Ньютона-Лейбніца, яка показує, що значення інтеграла на проміжку [a; b] дорівнює різниці значень первісної підінтегральної функції, коли x = b і x = a : )()()()( aFbFxFdxxf b a b a −==∫ Фізичний зміст інтеграла розкриває задача на знаходження маси неоднорідного стержня. Формула обчислення маси неоднорідного стержня: ∫== ∞→ l n n dxxmm 0 )(lim ρ Геометричний зміст інтеграла розкриває задача на знаходження площі криволінійної трапеції. Формула обчислення площі криволінійної трапеції: ∫== ∞→ b a n n dxxfSS )(lim
Ю.Марчук Курс лекцій з математики Криволінійна трапеція: Криволінійна трапеція – це плоска фігура, обмежена графіком функції y = f(x) і віссю ОХ на заданому інтервалі [a; b]. ABCD – криволінійна трапеція. ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ ІНТЕГРАЛА Властивості невизначеного інтеграла: 1. ∫ += CxFdxxF )()(' 2. ∫ ∫ ∫+=+ dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( 3. ∫ ∫= dxxfkdxxkf )()( 4. Якщо F(x) – первісна для f(x), k і b – деякі числа, k ≠ 0, то ∫ ++=+ CbkxF k dxbkxf )( 1 )( Властивості визначеного інтеграла: 1. ∫ ∫∫ ±=± b a b a b a dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( 2. Rkdxxfkdxxkf b a b a ∈= ∫∫ ,)()( 3. ∫ ∫∫ += c a b c b a dxxfdxxfdxxf )()()( 4. RkRpdttf k dxpkxf b a pkb pka ∈∈=+∫ ∫ + + ,;)( 1 )( 5. ∫∫ <−= a b b a badxxfdxxf )(,)()( 6. ∫ = a a dxxf .0)( ОБЧИСЛЕННЯ ІНТЕГРАЛА Таблиця основних інтегралів: 1. )0,1(, 1 1 >−≠+ + =∫ + xnC n x dxx n n 2. ∫ ∈≠>+= ),1,0(, ln RxaaC a a dxa x x 3. ∫ += ;Cedxe xx 4. ∫ ∈+−= )(,cossin RxCxxdx 5. ∫ ∈+= )(,sincos RxCxxdx 6. ∫ +≠+= ) 2 (, cos2 nxCxtg x dx π π
Ю.Марчук Курс лекцій з математики 7. ∫ ≠+−= )(, sin2 nxCxctg x dx π 8. ∫ −∈+= − ))1;1((,arcsin 1 2 xCx x dx 9. ∫ ∈+= + )(, 1 2 RxCxarctg x dx 10. )0(,ln ≠+=∫ xCx x dx 11. ∫ = ;0 Cdx 12. ∫ += ;Caxadx 13. ∫ += .Cxdx Способи інтегрування: 1. Табличне інтегрування. Для обчислення інтегралів використовуються табличні значення. 2 .Заміна змінної. Використовується метод підстановки, який виражається формулою: ∫ ∫ == ).(,)('))(()( xtдеdxxxfdttf ϕϕϕ 3. Інтегрування частинами. ОБЧИСЛЕННЯ ПЛОЩ ПЛОСКИХ ФІГУР Розглянемо визначення площі S плоскої фігури ВСЕ. Дана фігура обмежена графіками функцій y = f(x) і y = q(x) та прямою x = b. Нехай, S – шукана площа. Введемо позначення: S1 – площа криволінійної трапеції ABCD (утворена графіком функції y = f(x)) S2 – площа криволінійної трапеції ABED (утворена графіком функції y = q(x)) Тоді шукану площу можна визначити через різницю площ криволінійних трапецій: S = S1 – S2. Оскільки площу криволінійної трапеції можна обчислити за формулою ∫= b a dxxfS )( , тоді: ∫= b a dxxfS )(1 і ∫= b a dxxqS )(2 . Звідси: ∫∫∫ −=−= b a b a b a dxxqxfdxxqdxxfS ))()(()()(
Ю.Марчук Курс лекцій з математики Інші застосування інтеграла: • у математиці: Обчислення об'єму тіла: ∫= b a dxxSV )( Обчислення об'єму кулі радіуса R: dxxRdxxSV R R R R ∫ ∫− − −== )()( 22 π Обчислення об'єму кругового циліндра: ∫ == H RSSdxV 0 2 , π Обчислення об'єму піраміди: 2 2 2 0 0 2 )(,)( x H S xSdxx H S dxxSV H H === ∫ ∫ S – площа основи піраміди, H – висота піраміди Обчислення об'єму тіла обертання: ∫ === b a xSRxfdxxfV )()(,)( 222 πππ Обчислення об'єму прямого кругового конуса: dxx H R V H 2 0 2 2 ∫= Обчислення об'єму тіла, утвореного обертанням параболічного сегмента з висотою Н і основою 2R навколо осі симетрії: ∫= H xdx H R V 0 2 π • у фізиці: Обчислення шляху за відомим законом зміни швидкості: ∫= 2 1 )( t t dttvs Обчислення роботи змінної сили: ∫ −= b a силазміннаxFdxxFA )(,)( Обчислення маси неоднорідного стержня та координати центра мас стержня: ∫= 2 1 )( l l dllm ρ та ∫= 2 1 )( 1 ' l l dlll m x ρ Обчислення кількості електрики: ∫= 2 1 )( t t dttIQ

More Related Content

інтеграл та його застосування

  • 1. Ю.Марчук Курс лекцій з математики ПЕРВІСНА ТА ЇЇ ВЛАСТИВОСТІ При вільному падінні тіла пройдений за час t шлях s у фізиці визначають за формулою: 2 2 qt s = Таку задачу можна розв'язати методом диференціювання. Продиференціюємо дану формулу: s'(t) = v(t) = q·t (похідною шляху s по часу t є швидкість v по часу t). s(t) ⇒ s'(t) ⇒ v(t)=qt Продиференціюємо отриману формулу: v'(t) = a(t) = q, q = const (похідною швидкості v по часу t є прискорення q по часу t). v(t) ⇒ v'(t) ⇒ q Але частіше у фізиці зустрічається інша задача: за відомим прискоренням q визначити швидкість v і шлях s. q ⇒ v'(t) ⇒ v(t) v(t) ⇒ s'(t) ⇒ s(t) Розв'язування задач такого типу здійснюється методом інтегрування. Інтегрування обернене до диференціювання. д и ф е р е н ц і ю в а н н я → → s(t) ← v(t) ← q і н т е г р у в а н н я Функція F називається первісною для функції f на заданому інтервалі, якщо для всіх х з цього інтервалу виконується рівність: F'(x) = f(x). Інше визначення первісної: первісною функції f називається функція F, похідна якої дорівнює даній функції f. Функція f може мати безліч первісних F. Усі первісні функції f записують так: F(x) + C Основна властивість первісної Будь-яку первісну для функції f на заданому інтервалі можна записати у вигляді F(x) + C, де F(x) – одна із первісних для функції f(х) на заданому інтервалі, а С – довільна стала. Геометричний зміст основної властивості первісних функції f полягає в тому, що графіки первісних для функції f паралельні вздовж осі OY. Т а б л и ц я п е р в і с н и х Функція f Загальний вигляд первісних функції f k = const kx + C xn , n ϵ Z, n ≠ 1 C n xn + + + 1 1 x 1 Cx +2 ах C a ах + ln ех ех +С sin x – cos x + C
  • 2. Ю.Марчук Курс лекцій з математики cos x sin x + C x2 cos 1 tg x + C x2 sin 1 – ctg x + C ІНТЕГРАЛ, ЙОГО ФІЗИЧНИЙ І ГЕОМЕТРИЧНИЙ ЗМІСТ Множина всіх первісних функції f(x) на деякому інтервалі називається невизначеним інтегралом цієї функції. Запис: ∫ dxxf )( ∫ – знак інтеграла f(x) – підінтегральна функція f(x)dx – підінтегральний вираз х – змінна інтегрування ∫ += CxFdxxf )()( Множина всіх первісних функції f(х) на інтервалі [a; b] називається визначеним інтегралом цієї функції. Запис: ∫ b a dxxf )( ∫ – знак інтеграла a, b – межі інтегрування (a – нижня межа, b – верхня межа) f(x) – підінтегральна функція f(x)dx – підінтегральний вираз х – змінна інтегрування В математиці існує формула Ньютона-Лейбніца, яка показує, що значення інтеграла на проміжку [a; b] дорівнює різниці значень первісної підінтегральної функції, коли x = b і x = a : )()()()( aFbFxFdxxf b a b a −==∫ Фізичний зміст інтеграла розкриває задача на знаходження маси неоднорідного стержня. Формула обчислення маси неоднорідного стержня: ∫== ∞→ l n n dxxmm 0 )(lim ρ Геометричний зміст інтеграла розкриває задача на знаходження площі криволінійної трапеції. Формула обчислення площі криволінійної трапеції: ∫== ∞→ b a n n dxxfSS )(lim
  • 3. Ю.Марчук Курс лекцій з математики Криволінійна трапеція: Криволінійна трапеція – це плоска фігура, обмежена графіком функції y = f(x) і віссю ОХ на заданому інтервалі [a; b]. ABCD – криволінійна трапеція. ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ ІНТЕГРАЛА Властивості невизначеного інтеграла: 1. ∫ += CxFdxxF )()(' 2. ∫ ∫ ∫+=+ dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( 3. ∫ ∫= dxxfkdxxkf )()( 4. Якщо F(x) – первісна для f(x), k і b – деякі числа, k ≠ 0, то ∫ ++=+ CbkxF k dxbkxf )( 1 )( Властивості визначеного інтеграла: 1. ∫ ∫∫ ±=± b a b a b a dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( 2. Rkdxxfkdxxkf b a b a ∈= ∫∫ ,)()( 3. ∫ ∫∫ += c a b c b a dxxfdxxfdxxf )()()( 4. RkRpdttf k dxpkxf b a pkb pka ∈∈=+∫ ∫ + + ,;)( 1 )( 5. ∫∫ <−= a b b a badxxfdxxf )(,)()( 6. ∫ = a a dxxf .0)( ОБЧИСЛЕННЯ ІНТЕГРАЛА Таблиця основних інтегралів: 1. )0,1(, 1 1 >−≠+ + =∫ + xnC n x dxx n n 2. ∫ ∈≠>+= ),1,0(, ln RxaaC a a dxa x x 3. ∫ += ;Cedxe xx 4. ∫ ∈+−= )(,cossin RxCxxdx 5. ∫ ∈+= )(,sincos RxCxxdx 6. ∫ +≠+= ) 2 (, cos2 nxCxtg x dx π π
  • 4. Ю.Марчук Курс лекцій з математики 7. ∫ ≠+−= )(, sin2 nxCxctg x dx π 8. ∫ −∈+= − ))1;1((,arcsin 1 2 xCx x dx 9. ∫ ∈+= + )(, 1 2 RxCxarctg x dx 10. )0(,ln ≠+=∫ xCx x dx 11. ∫ = ;0 Cdx 12. ∫ += ;Caxadx 13. ∫ += .Cxdx Способи інтегрування: 1. Табличне інтегрування. Для обчислення інтегралів використовуються табличні значення. 2 .Заміна змінної. Використовується метод підстановки, який виражається формулою: ∫ ∫ == ).(,)('))(()( xtдеdxxxfdttf ϕϕϕ 3. Інтегрування частинами. ОБЧИСЛЕННЯ ПЛОЩ ПЛОСКИХ ФІГУР Розглянемо визначення площі S плоскої фігури ВСЕ. Дана фігура обмежена графіками функцій y = f(x) і y = q(x) та прямою x = b. Нехай, S – шукана площа. Введемо позначення: S1 – площа криволінійної трапеції ABCD (утворена графіком функції y = f(x)) S2 – площа криволінійної трапеції ABED (утворена графіком функції y = q(x)) Тоді шукану площу можна визначити через різницю площ криволінійних трапецій: S = S1 – S2. Оскільки площу криволінійної трапеції можна обчислити за формулою ∫= b a dxxfS )( , тоді: ∫= b a dxxfS )(1 і ∫= b a dxxqS )(2 . Звідси: ∫∫∫ −=−= b a b a b a dxxqxfdxxqdxxfS ))()(()()(
  • 5. Ю.Марчук Курс лекцій з математики Інші застосування інтеграла: • у математиці: Обчислення об'єму тіла: ∫= b a dxxSV )( Обчислення об'єму кулі радіуса R: dxxRdxxSV R R R R ∫ ∫− − −== )()( 22 π Обчислення об'єму кругового циліндра: ∫ == H RSSdxV 0 2 , π Обчислення об'єму піраміди: 2 2 2 0 0 2 )(,)( x H S xSdxx H S dxxSV H H === ∫ ∫ S – площа основи піраміди, H – висота піраміди Обчислення об'єму тіла обертання: ∫ === b a xSRxfdxxfV )()(,)( 222 πππ Обчислення об'єму прямого кругового конуса: dxx H R V H 2 0 2 2 ∫= Обчислення об'єму тіла, утвореного обертанням параболічного сегмента з висотою Н і основою 2R навколо осі симетрії: ∫= H xdx H R V 0 2 π • у фізиці: Обчислення шляху за відомим законом зміни швидкості: ∫= 2 1 )( t t dttvs Обчислення роботи змінної сили: ∫ −= b a силазміннаxFdxxFA )(,)( Обчислення маси неоднорідного стержня та координати центра мас стержня: ∫= 2 1 )( l l dllm ρ та ∫= 2 1 )( 1 ' l l dlll m x ρ Обчислення кількості електрики: ∫= 2 1 )( t t dttIQ