ݺߣ

ݺߣShare a Scribd company logo

Теорія визначників

•Download as PPT, PDF•
•
O
Oksana Bryk

Математика

1 of 19
Download to read offline
Теорія визначників
Теореми множення ймовірностей:  Умовна ймовірність.  Теорема множення для залежних подій.  Теорема множення для незалежних подій.  Ймовірність появи хоча б однієї з подій. Теорема додавання ймовірностей:  Теорема додавання для сумісних подій.  Теорема додавання для несумісних подій. Список використаної літератури.
Теорія визначників
Умовна ймовірність Озн. Умовною ймовірністю називається ймовірність появи події B за умови, що відбулася подія A . Умовна ймовірність позначається РA(B) . Умовна імовірність появи події В за умови, що подія А відбулася, визначається за формулою: РА(В) = р(АВ) : р(А)
ПРИКЛАД 1. На столі у викладача знаходяться три дипломні роботи магістрів і дві дипломні роботи спеціалістів. Він навмання бере одну роботу (перше випробування), а потім другу (друге випробування). Першою дістали дипломну роботу магістра (подія A ). Знайти ймовірність появи дипломної роботи магістра (подія B) у другому випробуванні, якщо першу дипломну перед другим випробуванням : а) повернули назад; б) не повернули назад.
Розв’язання: а) При поверненні дипломної роботи магістра на стіл робіт знову буде три, що в загальній кількості становить п’ять. Умова не змінилась, тому подія B не залежить від події A : Р(B)= 3/5 . б) Взяту дипломну роботу зі столу не повертають, тому там буде чотири роботи, з яких дві належать магістрам. Умова змінилась, тому поява події B залежить від появи події A. Маємо умовну ймовірність: РA(B) = 2/4=1/2. ЗМІСТ
Теорема множення для залежних подій. Озн. Випадкові події А і В називаються залежними, якщо поява однієї з них (А або В) впливає на імовірність появи іншої. Теорема 1. Ймовірність сумісної появи двох випадкових подій А і В дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність другої за умови, що перша подія відбулася: Р(АВ) = Р(А). РА(В)=Р(В). РВ(А)
ПРИКЛАД 2 Біля деканату знаходяться 15 студентів. Із них 9 відмінників, а решта двієчники. Заступник декана викликає до себе по- одному студенту. Через деякий час у кабінеті опинилося 3 студенти. Обчислити ймовірність появи таких випадкових подій: а) три студенти виявилися відмінниками (подія А); б) усі три виявилися двієчниками (подія В);
Розв’язання: Подія А – у кабінеті відмінник, подія В –двієчник. Р(А1) = 9/15; Р(А2) = 8/14; Р(А3) = 7/13. Р(В1) = 6/15; Р(В2) = 5/14; Р(В3) = 4/13. а) за умовою всі 3 студенти, що знаходяться в кабінеті є відмінниками, тому: Р(А) = Р(А1 . А2 . А3) = (9/15). (8/14). (7/13) = 12/65. б) за умовою всі 3 студенти, що знаходяться в кабінеті є двієчниками, тому: Р(В) = Р(В1 . В2 . В3) = (6/15). (5/14). (4/13) = 6/91. ЗМІСТ
Теорема множення для незалежних подій. Озн. Випадкові події А і В називаються незалежними, якщо поява однієї з них (А або В) не впливає на імовірність появи іншої. Теорема 2. Ймовірність добутку незалежних подій (одночасної появи) дорівнює добутку ймовірностей цих подій: Р(AB) = Р(A). Р(B) .
ПРИКЛАД 3 У Районну Державну Адміністрацію одночасно здано два звіта, щодо роботи підприємств. Ймовірність наявності помилки в звіті дорівнює 0,1. Знайти ймовірність того, що помилки не було допущено ні в одному з двох звітів.
Розв’язання: Якщо ймовірність поломки дорівнює Р(А)=0,1, то ймовірність безпомилкового звіту Р(Ā)=1 - 0,1 = 0,9. Помилка в звіті може бути допущена незалежно одна від одної, тому за теоремою множення маємо: Р(AB)=Р(A). Р(B)=0,9. 0,9=0,81.
Ймовірність появи хоча б однієї з подій. Ймовірність появи хоча б однієї з незалежних у сукупності подій А1, А2,..., Аn дорівнює: Р(А)=1–Р(Ā1). Р(Ā2). ... . р(Ān), де Р(Āi) – ймовірність протилежних подій, Р(А) = Р(А1+А2+ ... +Аn ).
ПРИКЛАД 4 Вася та Коля завжди тікають з пар. Їх попередили, що з наступної тікати не бажано. Ймовірність того що Вася (А1) втече дорівнює 0,9, а Коля (А2) - 0,7. Яка ймовірність того, що хоча б один із них втече.
Розв’язання: Ймовірність того що Вася втече: Р(А1)=0,1, а не втече: Р(Ā1)=1-0,1=0,9. Ймовірність того що Коля втече : Р(А2)=0,1, а не втече: Р(Ā2)=1-0,1=0,9. Ймовірність того, що хоча б один із них втече дорівнює: Р(Ā1Ā2)=1–0,9. 0,7=0,37.
Теорія визначників
Теорема додавання для сумісних подій. Озн. Подіі А і В називаються сумісними, якщо поява однієї із них не виключає можливість появи іншої. Теорема: Якщо випадкові події A і B сумісні, то: Р(A+B) = Р(A)+Р(B)-Р(AB).
ПРИКЛАД 5 Щоб здати іспит Гапка підготувала 80% білетів, а Параска – 90% білетів. Знайти ймовірність складання іспиту однієї із студенток.
Розв’язання: Згідно умови: Р(А)=0,8, а Р(В)=0,9. Так як події є сумісними, то ймовірність складання іспиту: Р(А+В)=0,8+0,9-0,8. 0,9=0,98.

More Related Content

Теорія визначників

  • 2. Теореми множення ймовірностей:  Умовна ймовірність.  Теорема множення для залежних подій.  Теорема множення для незалежних подій.  Ймовірність появи хоча б однієї з подій. Теорема додавання ймовірностей:  Теорема додавання для сумісних подій.  Теорема додавання для несумісних подій. Список використаної літератури.
  • 4. Умовна ймовірність Озн. Умовною ймовірністю називається ймовірність появи події B за умови, що відбулася подія A . Умовна ймовірність позначається РA(B) . Умовна імовірність появи події В за умови, що подія А відбулася, визначається за формулою: РА(В) = р(АВ) : р(А)
  • 5. ПРИКЛАД 1. На столі у викладача знаходяться три дипломні роботи магістрів і дві дипломні роботи спеціалістів. Він навмання бере одну роботу (перше випробування), а потім другу (друге випробування). Першою дістали дипломну роботу магістра (подія A ). Знайти ймовірність появи дипломної роботи магістра (подія B) у другому випробуванні, якщо першу дипломну перед другим випробуванням : а) повернули назад; б) не повернули назад.
  • 6. Розв’язання: а) При поверненні дипломної роботи магістра на стіл робіт знову буде три, що в загальній кількості становить п’ять. Умова не змінилась, тому подія B не залежить від події A : Р(B)= 3/5 . б) Взяту дипломну роботу зі столу не повертають, тому там буде чотири роботи, з яких дві належать магістрам. Умова змінилась, тому поява події B залежить від появи події A. Маємо умовну ймовірність: РA(B) = 2/4=1/2. ЗМІСТ
  • 7. Теорема множення для залежних подій. Озн. Випадкові події А і В називаються залежними, якщо поява однієї з них (А або В) впливає на імовірність появи іншої. Теорема 1. Ймовірність сумісної появи двох випадкових подій А і В дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність другої за умови, що перша подія відбулася: Р(АВ) = Р(А). РА(В)=Р(В). РВ(А)
  • 8. ПРИКЛАД 2 Біля деканату знаходяться 15 студентів. Із них 9 відмінників, а решта двієчники. Заступник декана викликає до себе по- одному студенту. Через деякий час у кабінеті опинилося 3 студенти. Обчислити ймовірність появи таких випадкових подій: а) три студенти виявилися відмінниками (подія А); б) усі три виявилися двієчниками (подія В);
  • 9. Розв’язання: Подія А – у кабінеті відмінник, подія В –двієчник. Р(А1) = 9/15; Р(А2) = 8/14; Р(А3) = 7/13. Р(В1) = 6/15; Р(В2) = 5/14; Р(В3) = 4/13. а) за умовою всі 3 студенти, що знаходяться в кабінеті є відмінниками, тому: Р(А) = Р(А1 . А2 . А3) = (9/15). (8/14). (7/13) = 12/65. б) за умовою всі 3 студенти, що знаходяться в кабінеті є двієчниками, тому: Р(В) = Р(В1 . В2 . В3) = (6/15). (5/14). (4/13) = 6/91. ЗМІСТ
  • 10. Теорема множення для незалежних подій. Озн. Випадкові події А і В називаються незалежними, якщо поява однієї з них (А або В) не впливає на імовірність появи іншої. Теорема 2. Ймовірність добутку незалежних подій (одночасної появи) дорівнює добутку ймовірностей цих подій: Р(AB) = Р(A). Р(B) .
  • 11. ПРИКЛАД 3 У Районну Державну Адміністрацію одночасно здано два звіта, щодо роботи підприємств. Ймовірність наявності помилки в звіті дорівнює 0,1. Знайти ймовірність того, що помилки не було допущено ні в одному з двох звітів.
  • 12. Розв’язання: Якщо ймовірність поломки дорівнює Р(А)=0,1, то ймовірність безпомилкового звіту Р(Ā)=1 - 0,1 = 0,9. Помилка в звіті може бути допущена незалежно одна від одної, тому за теоремою множення маємо: Р(AB)=Р(A). Р(B)=0,9. 0,9=0,81.
  • 13. Ймовірність появи хоча б однієї з подій. Ймовірність появи хоча б однієї з незалежних у сукупності подій А1, А2,..., Аn дорівнює: Р(А)=1–Р(Ā1). Р(Ā2). ... . р(Ān), де Р(Āi) – ймовірність протилежних подій, Р(А) = Р(А1+А2+ ... +Аn ).
  • 14. ПРИКЛАД 4 Вася та Коля завжди тікають з пар. Їх попередили, що з наступної тікати не бажано. Ймовірність того що Вася (А1) втече дорівнює 0,9, а Коля (А2) - 0,7. Яка ймовірність того, що хоча б один із них втече.
  • 15. Розв’язання: Ймовірність того що Вася втече: Р(А1)=0,1, а не втече: Р(Ā1)=1-0,1=0,9. Ймовірність того що Коля втече : Р(А2)=0,1, а не втече: Р(Ā2)=1-0,1=0,9. Ймовірність того, що хоча б один із них втече дорівнює: Р(Ā1Ā2)=1–0,9. 0,7=0,37.
  • 17. Теорема додавання для сумісних подій. Озн. Подіі А і В називаються сумісними, якщо поява однієї із них не виключає можливість появи іншої. Теорема: Якщо випадкові події A і B сумісні, то: Р(A+B) = Р(A)+Р(B)-Р(AB).
  • 18. ПРИКЛАД 5 Щоб здати іспит Гапка підготувала 80% білетів, а Параска – 90% білетів. Знайти ймовірність складання іспиту однієї із студенток.
  • 19. Розв’язання: Згідно умови: Р(А)=0,8, а Р(В)=0,9. Так як події є сумісними, то ймовірність складання іспиту: Р(А+В)=0,8+0,9-0,8. 0,9=0,98.
  • 20. Теорема додавання для несумісних подій Озн. Подія А і В називаються несумісними, якщо поява однієї із них виключає можливість появи іншої. Теорема. Якщо випадкові події А і В несумісні (А∩В=Ø), то імовірність появи однієї із них дорівнює сумі ймовірностей цих подій: Р(А+В)=Р(А)+Р(В). Сума ймовірностей попарно несумісних подій, що утворюють повну групу дорівнює 1.
  • 21. ПРИКЛАД 6 Є 9 пронумерованих звітів, відповідно від 1 до 9. Навмання вибирають один звіт. Подія А – що номер звіту кратний 2, подія В – кратний 5. Яка ймовірність, що номер вибраного звіту кратний або 2 або 5?
  • 22. Розв’язання: Нехай подія А – вибраний звіт за номером кратним 2: А= {2, 4, 6, 8}; Р(А)=4/9. Подія В – вибраний звіт за номером кратним 5: В = {5}; Р(В)=1/9. Так як А∩В=Ø, то Р(А+В) = 4/9 + 1/9 = 5/9.