2. Теореми множення ймовірностей:
Умовна ймовірність.
Теорема множення для залежних подій.
Теорема множення для незалежних подій.
Ймовірність появи хоча б однієї з подій.
Теорема додавання ймовірностей:
Теорема додавання для сумісних подій.
Теорема додавання для несумісних подій.
Список використаної літератури.
4. Умовна ймовірність
Озн. Умовною ймовірністю називається
ймовірність появи події B за умови, що
відбулася подія A . Умовна ймовірність
позначається РA(B) .
Умовна імовірність появи події В за умови,
що подія А відбулася, визначається за
формулою:
РА(В) = р(АВ) : р(А)
5. ПРИКЛАД 1.
На столі у викладача знаходяться три
дипломні роботи магістрів і дві дипломні
роботи спеціалістів. Він навмання бере
одну роботу (перше випробування), а
потім другу (друге випробування).
Першою дістали дипломну роботу магістра
(подія A ). Знайти ймовірність появи
дипломної роботи магістра (подія B) у
другому випробуванні, якщо першу
дипломну перед другим випробуванням :
а) повернули назад;
б) не повернули назад.
6. Розв’язання:
а) При поверненні дипломної роботи магістра на
стіл робіт знову буде три, що в загальній
кількості становить п’ять. Умова не змінилась,
тому подія B не залежить від події A :
Р(B)= 3/5 .
б) Взяту дипломну роботу зі столу не повертають,
тому там буде чотири роботи, з яких дві
належать магістрам. Умова змінилась, тому
поява події B залежить від появи події A.
Маємо умовну ймовірність:
РA(B) = 2/4=1/2.
ЗМІСТ
7. Теорема множення для
залежних подій.
Озн. Випадкові події А і В називаються
залежними, якщо поява однієї з них (А або
В) впливає на імовірність появи іншої.
Теорема 1. Ймовірність сумісної появи двох
випадкових подій А і В дорівнює добутку
ймовірності однієї з них на умовну
ймовірність другої за умови, що перша
подія відбулася:
Р(АВ) = Р(А).РА(В)=Р(В).РВ(А)
8. ПРИКЛАД 2
Біля деканату знаходяться 15 студентів.
Із них 9 відмінників, а решта двієчники.
Заступник декана викликає до себе по-
одному студенту. Через деякий час у
кабінеті опинилося 3 студенти. Обчислити
ймовірність появи таких випадкових подій:
а) три студенти виявилися відмінниками
(подія А);
б) усі три виявилися двієчниками
(подія В);
9. Розв’язання:
Подія А – у кабінеті відмінник, подія В –двієчник.
Р(А1) = 9/15; Р(А2) = 8/14; Р(А3) = 7/13.
Р(В1) = 6/15; Р(В2) = 5/14; Р(В3) = 4/13.
а) за умовою всі 3 студенти, що знаходяться в
кабінеті є відмінниками, тому:
Р(А) = Р(А1
.А2
.А3) = (9/15). (8/14). (7/13) = 12/65.
б) за умовою всі 3 студенти, що знаходяться в
кабінеті є двієчниками, тому:
Р(В) = Р(В1
.В2
.В3) = (6/15).(5/14).(4/13) = 6/91.
ЗМІСТ
10. Теорема множення для
незалежних подій.
Озн. Випадкові події А і В називаються
незалежними, якщо поява однієї з них (А
або В) не впливає на імовірність появи
іншої.
Теорема 2. Ймовірність добутку незалежних
подій (одночасної появи) дорівнює добутку
ймовірностей цих подій:
Р(AB) = Р(A).Р(B) .
11. ПРИКЛАД 3
У Районну Державну Адміністрацію
одночасно здано два звіта, щодо роботи
підприємств. Ймовірність наявності
помилки в звіті дорівнює 0,1.
Знайти ймовірність того, що помилки не
було допущено ні в одному з двох звітів.
12. Розв’язання:
Якщо ймовірність поломки дорівнює
Р(А)=0,1, то ймовірність безпомилкового
звіту Р(Ā)=1 - 0,1 = 0,9.
Помилка в звіті може бути допущена
незалежно одна від одної, тому за
теоремою множення маємо:
Р(AB)=Р(A).Р(B)=0,9.0,9=0,81.
13. Ймовірність появи хоча
б однієї з подій.
Ймовірність появи хоча б однієї з
незалежних у сукупності подій А1, А2,..., Аn
дорівнює:
Р(А)=1–Р(Ā1).Р(Ā2). ... .р(Ān),
де Р(Āi) – ймовірність протилежних подій,
Р(А) = Р(А1+А2+ ... +Аn ).
14. ПРИКЛАД 4
Вася та Коля завжди тікають з пар. Їх
попередили, що з наступної тікати не
бажано. Ймовірність того що Вася (А1)
втече дорівнює 0,9, а Коля (А2) - 0,7. Яка
ймовірність того, що хоча б один із них
втече.
15. Розв’язання:
Ймовірність того що Вася втече:
Р(А1)=0,1, а не втече: Р(Ā1)=1-0,1=0,9.
Ймовірність того що Коля втече :
Р(А2)=0,1, а не втече: Р(Ā2)=1-0,1=0,9.
Ймовірність того, що хоча б один із
них втече дорівнює:
Р(Ā1Ā2)=1–0,9.0,7=0,37.
17. Теорема додавання для
сумісних подій.
Озн. Подіі А і В називаються сумісними,
якщо поява однієї із них не виключає
можливість появи іншої.
Теорема: Якщо випадкові події A і B
сумісні, то:
Р(A+B) = Р(A)+Р(B)-Р(AB).
18. ПРИКЛАД 5
Щоб здати іспит Гапка підготувала 80%
білетів, а Параска – 90% білетів. Знайти
ймовірність складання іспиту однієї із
студенток.
20. Теорема додавання для
несумісних подій
Озн. Подія А і В називаються несумісними,
якщо поява однієї із них виключає
можливість появи іншої.
Теорема. Якщо випадкові події А і В
несумісні (А∩В=Ø), то імовірність появи
однієї із них дорівнює сумі ймовірностей цих
подій:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
Сума ймовірностей попарно несумісних
подій, що утворюють повну групу дорівнює 1.
21. ПРИКЛАД 6
Є 9 пронумерованих звітів, відповідно
від 1 до 9. Навмання вибирають один
звіт. Подія А – що номер звіту кратний 2,
подія В – кратний 5. Яка ймовірність, що
номер вибраного звіту кратний або 2 або
5?
22. Розв’язання:
Нехай подія А – вибраний звіт за номером
кратним 2: А= {2, 4, 6, 8}; Р(А)=4/9.
Подія В – вибраний звіт за номером кратним
5: В = {5}; Р(В)=1/9.
Так як А∩В=Ø, то
Р(А+В) = 4/9 + 1/9 = 5/9.
