ݺߣ

ݺߣShare a Scribd company logo

ระบบพิกัึϹชิงྺั้ว

•
•
S
Siwimol Wannasing

ระบบพิกัึϹชิงྺั้ว

1 of 5
Download to read offline
ระบบพิกัึϹชิงྺั้ว ในทางคณิตศาสตร ระบบพิกัึϹชิงྺั้ว (อังกฤษ: polar coordinate system) คือระบบคาพิกัดสองมิติใน แตละจุดบนระนาบถูกกําหนดโดยระยะทางจากจุดตรึงและมุมจากทิศทางตรึง จุดตรึง (เหมือนจุดกําเนิดของระบบพิกัดคารทีเซียน) เรียกวาขั้ว, และลากรังสีจากขั้วเขากับทิศทางตรึงคือ แกนเชิงขั้ว ระยะทางจากขั้วเรียกวาพิกัดรัศมีหรือรัศมี และมุมคือพิกัดมุม, มุมเชิงขั้ว, หรือมุมทิศ ประวัติ มีการนําแนวคิดเรื่องมุมและรัศมีมาใชตั้งแตสมัยโบราณในหนึ่งสหัสวรรษกอนคริสตศักราช นักดารา ศาสตรชาวกรีกที่ชื่อฮิปปารคัส (190-120 BCE) สรางตารางฟงกชันคอรดที่ใหความยาวของคอรดสําหรับแต ละมุม และมีการอางอิงวาเขาใชระบบพิกัึϹชิงྺั้วในการพิสูจนตําแหนงของดวงดาวใน On Spirals (วาดวย เสนเกลียว) อารคิมิดีสบรรยายถึงวงกนหอยอารคิมิดีสวารัศมีของฟงกชันขึ้นกับมุม อยางไรก็ตามสิ่งที่ชาว กรีกเหลานี้ทําก็ยังไมขยายออกไปถึงระบบพิกัึϹชิงྺั้วที่สมบูรณ ในคริสตศตวรรษที่ 9 นักคณิตศาสตรชาวเปอรเซียที่ชื่อ ฮะบัซ อัล-ฮะซับ อัล-มารวะซิ (Habash al-Hasib al- Marwazi) ใชวิธีตรีโกณมิติเชิงทรงกลมและการฉายแผนที่เพื่อที่จะแปลงผันพิกัดเชิงขั้วไปเปนระบบพิกัดที่ แตกตางโดยมุงความสนใจไปยังจุดจําเพาะบนรูปทรงกลม ในที่นี้คือกิบลัตมีทิศทางสูมักกะหฺ นักภูมิศาสตร ชาวเปอรเซียที่ชื่อ อะบู รอยฮาน บิรูนี (Abū Rayhān Bīrūnī) (973-1048) พัฒนาแนวคิดซึ่งดูเหมือนจะ ใกลเคียงกับระบบพิกัึϹชิงྺั้วราวๆคริสตศตวรรษ 1025 เขาเปนคนแรกที่บรรยายถึงการฉายที่ระยะหาง เทากันของแอซมัทเทากับขั้วของทรงกลมฟา มีรายงานที่ตางกันของการเริ่มตนของพิกัดเชิงขั้วตามสวนหนึ่งของรูปนัยระบบพิกัด Origin of Polar Coordinates (กําเนิดพิกัดเชิงขั้ว) ประวัติของพิกัดนี้ถูกบรรยายโดยจูเลียน โลเวล โคลลิดจ (Julian Lowell Coolidge) ศาสตราจารยฮารวารด เกรกัวร เดอ แชง-แวงซอง (Grégoire de Saint-Vincent) และ โบนาเวนตูรา คาวาลิเอริ (Bonaventura Cavalieri) ตางเริ่มนําแนวคิดมาใชในกลางคริสตศตวรรษที่ 7 แชง-แวงซองเขียนถึง พิกัดเชิงขั้วโดยการสวนตัวในป ค.ศ. 1625 และตีพิมพงานของเขาในป ค.ศ. 1647 ขณะที่คาวาลิเอริตีพิมพใน ป ค.ศ. 1635 และฉบับที่ถูกตองในป ค.ศ. 1653 คาวาลิเอริเปนบุคคลแรกที่ใชพิกัดเชิงขั้วแกปญหาเกี่ยวกับ พื้นที่ในวงกนหอยอารคิมิดีส ตอมาแบลส ปาสกาลไดใชพิกัดเชิงขั้วคํานวณหาความยาวของสวนโคงของรูป พาราโบลา
ใน Method of Fluxions (วิธีการไหล) (เขียนขึ้นในป ค.ศ. 1671, ตีพิมพในป ค.ศ. 1736) เซอรไอแซก นิวตัน พิเคราะหการแปลงระหวางพิกัดเชิงขั้วซึ่งเขาไดอิงตาม "รูปแบบที่ 7 สําหรับวงกนหอย" และพิกัดอื่นๆอีก เกาพิกัดในวารสาร Acta Eruditorum (1691), เจคอบ เบอรโนลลี (Jacob Bernoulli) ใชระบบรวมกับจุดบน เสนที่เรียกวา ขั้ว และ แกนเชิงขั้ว ตามลําดับ พิกัดเปนระยะทางจากขั้วและมุมจากแกนเชิงขั้ว งานของเบอร โนลลีครอบคลุมไปถึงการพบรัศมีความโคงของเสนโคงที่อยูในพิกัดนี้ คําวา พิกัดเชิงขั้ว โดยแทจริงแลวนาจะมาจากเกโกรีโอ ฟอนตานา (Gregorio Fontana) นักคณิตศาสตรชาว อิตาลีในสมัยคริสตศตวรรษที่ 18 และคํานี้ปรากฏเปนภาษาอังกฤษในงานแปลของ จอรจ พีคอก (George Peacock) ที่ชื่อ แคลคูลัสเชิงอนุพันธและปริพันธ ของลากรัซ (Lacroix) ในป ค.ศ. 1816[8][9] อเล็กซิส คลา เราตเปนคนแรกที่คิดพิกัดเชิงขั้วในรูปแบบสามมิติ และเลออนฮารด ออยเลอรเปนคนแรกที่นํามาใชงานจริง สัญนิยม เสนกริดขั้วและแถบบอกมุมในแตละองศา พิกัดรัศมีมักใช r แสดงแทนและพิกัดมุมใช θ หรือ t แสดงแทน มุมในเครื่องหมายขั้ว ทั่วไปถูกแสดงอยูในรูปแบบองศาหรือเรเดียน (2π rad เทากับ 360°) องศาถูกใชใน การเดินเรือ, การสํารวจ, และมีการนําไปประยุกตใชในหลายสาขา ขณะที่เรเดียนโดยทั่วไปอยูใน คณิตศาสตรและคณิตศาสตรฟสิกส ในหลายๆบริบท พิกัดมุมบวกหมายความวามุม θ ถูกวัดในทิศทวนเข็มนาฬิกาจากแกนและมีคาพิกัดมุมลบ เมื่อวัดในทิศตามเข็มนาฬิกา ในเอกสารทางคณิตศาสตร บอยครั้งแกนเชิงขั้วถูกลากในแนวนอนและไปทาง ทางขวา ความพิเศษของพิกัดเชิงขั้ว ทุกตัวเลขของการหมุนครบรอบ (360°) พิกัดมุมจะไมเปลี่ยนทิศทาง และพิกัดรัศมีลบแสดงถึงระยะทางซึ่ง ไดจากการวัดเหมือนพิกัดรัศมีบวกแตมีทิศทางตรงขาม ดังนั้นในจุดเดียวกันสามารถแสดงดวยตัวเลขไม สิ้นสุดที่มีพิกัดเชิงขั้วตางกัน (r, θ ± n×360°) หรือ (−r, θ ± (2n + 1) 180°) เมื่อ n คือจํานวนเต็มใดๆยิ่งไป กวานั้น ขั้วเองสามารถแสดงแทนดวย (0, θ) สําหรับมุม θ ใดๆ
เมื่อตองการแสดงแทนจุดใดๆ ปกติใช r เปนจํานวนไมเปนลบ (r ≥ 0) และ θ ในชวง [0, 360°) หรือ (−180°, 180°] (ในเรเดียน, [0, 2π) หรือ (−π, π]) และตองเลือกแอซิมัทสําหรับขั้ว เชน θ = 0 ความสัมพันธระหวางพิกัดคารทีเซียนกับพิกัดเชิงขั้ว แผนภาพความสัมพันธระหวางพิกัดเชิงขั้วและพิกัดคารทีเซียน คาของพิกัดเชิงขั้ว r และ θ สามารถแปลงเปนพิกัดคารทีเซียน x and y โดยใชฟงกชันตรีโกณมิติไซนและ โคไซน: ขณะที่คาของพิกัดคารทีเซียน x และ y ก็สามารถแปลงเปนพิกัดเชิงขั้ว r โดย (ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส) และ ทุกสูตรเหลานี้สมมุติวาขั้วคือจุดกําเนิดคารทีเซียน (0,0) แกนเชิงขั้วคือแกนคารทีเซียน x และทิศทางของ แกนคารทีเซียน y มีแอซิมัท +π/2 rad = +90° (แทนที่ −π/2) ฟงกชันอารกไซนคือสวนกลับของฟงกชัน ไซนซึ่งสมมุติแทนที่ดวยมุมในพิสัย [−π/2,+π/2] = [−90°,+90°] สูตรสําหรับ θ นอกเหนือจากการแทนที่ดวยมุมในพิสัย [-π/2,+3π/2) = [−90°,+270°) θ ในชวง [0, 2π) อาจใช ฟงกชันอารกแทนเปนสวนกลับของฟงกชันแทนเจนตซึ่งสมมุติแทนที่ดวยมุมในพิสัย (−π/2,+π/2) = (−90°,+90°) θ ในชวง (−π, π] อาจใช[14] ในภาษาโปรแกรมสมัยใหมมีฟงกชันที่จะคํานวณหาพิกัดมุม θ เพียงใหคา x และ y โดยไมตองใหอะไร เพิ่มเติม เชน ฟงกชัน atan2 (y,x) ในภาษาซี และ atan (y,x) ในคอมมอน ลิซป (Common Lisp) ในทั้งสอง กรณีนั้น ผลที่ไดเปนมุมในเรเดียนในพิสัย (−π, π]
ความสัมพันธระหวางพิกัดเชิงขั้วและพิกัดฉาก เนื่องจากทั้งระบบพิกัึϹชิงྺั้วและระบบพิกัดฉากเปนระบบที่ใชอางอิงจุดตาง ๆ บนระนาบดวยกันทั้ง สองระบบ ดังนั้นถากําหนดใหขั้วของระบบพิกัึϹชิงྺั้วอยูที่จุดกําเนิดของระบบพิกัดฉาก แกนเชิงขั้วของ ระบบพิกัึϹชิงྺั้วอยูที่แกน X ดานบวกของระบบพิกัดฉาก และให P เปนจุดใด ๆ ที่มีพิกัดเชิงขั้ว เปน (r, q) และพิกัดฉากเปน (x,y) แลว จะไดความสัมพันธของพิกัดของทั้งสองระบบ ดังนี้ y (x,y) (r, q) r y = r sin q O x = r cos q x = r cos q , y = r sin q ความสัมพันธดังกลาวสะดวกที่จะหาคา x และ y เมื่อทราบคา r และ q ในทางกลับกัน ถาตองการหาคา r และ q เมื่อทราบคา x และ y สามารถใชเอกลักษณ sin2 q+ cos2 q = 1 และ tan q = ปรับเปลี่ยนความสัมพันธขางบนใหมไดเปน r2 = x2 + y2 , tan q = เมื่อ x ¹ 0
ตัวอยางที่ 2.1 จงหาพิกัดฉากของจุด ที่มีพิกัดเชิงขั้วเปน (6, ) วิธีทํา จากพิกัดเชิงขั้วของจุด (6, ) จะไดวา r = 6, q = x = r cos q = 6 cos = 6( ) = -3 y = r sin q = 6 sin = 6( ) = นั่นคือ พิกัดฉากของจุดที่ตองการ คือ (-3, ) ที่มา:https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%9A%E0%B8%9A%E0%B8% 9E%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%B1%E0%B8%94%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4 %E0%B8%87%E0%B8%82%E0%B8%B1%E0%B9%89%E0%B8%A7 https://www.youtube.com/watch?v=y5zwVNTupQ8 http://home.npru.ac.th/teerawat/Cal2_Web/unit21.htm

More Related Content

ระบบพิกัึϹชิงྺั้ว

  • 1. ระบบพิกัึϹชิงྺั้ว ในทางคณิตศาสตร ระบบพิกัึϹชิงྺั้ว (อังกฤษ: polar coordinate system) คือระบบคาพิกัดสองมิติใน แตละจุดบนระนาบถูกกําหนดโดยระยะทางจากจุดตรึงและมุมจากทิศทางตรึง จุดตรึง (เหมือนจุดกําเนิดของระบบพิกัดคารทีเซียน) เรียกวาขั้ว, และลากรังสีจากขั้วเขากับทิศทางตรึงคือ แกนเชิงขั้ว ระยะทางจากขั้วเรียกวาพิกัดรัศมีหรือรัศมี และมุมคือพิกัดมุม, มุมเชิงขั้ว, หรือมุมทิศ ประวัติ มีการนําแนวคิดเรื่องมุมและรัศมีมาใชตั้งแตสมัยโบราณในหนึ่งสหัสวรรษกอนคริสตศักราช นักดารา ศาสตรชาวกรีกที่ชื่อฮิปปารคัส (190-120 BCE) สรางตารางฟงกชันคอรดที่ใหความยาวของคอรดสําหรับแต ละมุม และมีการอางอิงวาเขาใชระบบพิกัึϹชิงྺั้วในการพิสูจนตําแหนงของดวงดาวใน On Spirals (วาดวย เสนเกลียว) อารคิมิดีสบรรยายถึงวงกนหอยอารคิมิดีสวารัศมีของฟงกชันขึ้นกับมุม อยางไรก็ตามสิ่งที่ชาว กรีกเหลานี้ทําก็ยังไมขยายออกไปถึงระบบพิกัึϹชิงྺั้วที่สมบูรณ ในคริสตศตวรรษที่ 9 นักคณิตศาสตรชาวเปอรเซียที่ชื่อ ฮะบัซ อัล-ฮะซับ อัล-มารวะซิ (Habash al-Hasib al- Marwazi) ใชวิธีตรีโกณมิติเชิงทรงกลมและการฉายแผนที่เพื่อที่จะแปลงผันพิกัดเชิงขั้วไปเปนระบบพิกัดที่ แตกตางโดยมุงความสนใจไปยังจุดจําเพาะบนรูปทรงกลม ในที่นี้คือกิบลัตมีทิศทางสูมักกะหฺ นักภูมิศาสตร ชาวเปอรเซียที่ชื่อ อะบู รอยฮาน บิรูนี (Abū Rayhān Bīrūnī) (973-1048) พัฒนาแนวคิดซึ่งดูเหมือนจะ ใกลเคียงกับระบบพิกัึϹชิงྺั้วราวๆคริสตศตวรรษ 1025 เขาเปนคนแรกที่บรรยายถึงการฉายที่ระยะหาง เทากันของแอซมัทเทากับขั้วของทรงกลมฟา มีรายงานที่ตางกันของการเริ่มตนของพิกัดเชิงขั้วตามสวนหนึ่งของรูปนัยระบบพิกัด Origin of Polar Coordinates (กําเนิดพิกัดเชิงขั้ว) ประวัติของพิกัดนี้ถูกบรรยายโดยจูเลียน โลเวล โคลลิดจ (Julian Lowell Coolidge) ศาสตราจารยฮารวารด เกรกัวร เดอ แชง-แวงซอง (Grégoire de Saint-Vincent) และ โบนาเวนตูรา คาวาลิเอริ (Bonaventura Cavalieri) ตางเริ่มนําแนวคิดมาใชในกลางคริสตศตวรรษที่ 7 แชง-แวงซองเขียนถึง พิกัดเชิงขั้วโดยการสวนตัวในป ค.ศ. 1625 และตีพิมพงานของเขาในป ค.ศ. 1647 ขณะที่คาวาลิเอริตีพิมพใน ป ค.ศ. 1635 และฉบับที่ถูกตองในป ค.ศ. 1653 คาวาลิเอริเปนบุคคลแรกที่ใชพิกัดเชิงขั้วแกปญหาเกี่ยวกับ พื้นที่ในวงกนหอยอารคิมิดีส ตอมาแบลส ปาสกาลไดใชพิกัดเชิงขั้วคํานวณหาความยาวของสวนโคงของรูป พาราโบลา
  • 2. ใน Method of Fluxions (วิธีการไหล) (เขียนขึ้นในป ค.ศ. 1671, ตีพิมพในป ค.ศ. 1736) เซอรไอแซก นิวตัน พิเคราะหการแปลงระหวางพิกัดเชิงขั้วซึ่งเขาไดอิงตาม "รูปแบบที่ 7 สําหรับวงกนหอย" และพิกัดอื่นๆอีก เกาพิกัดในวารสาร Acta Eruditorum (1691), เจคอบ เบอรโนลลี (Jacob Bernoulli) ใชระบบรวมกับจุดบน เสนที่เรียกวา ขั้ว และ แกนเชิงขั้ว ตามลําดับ พิกัดเปนระยะทางจากขั้วและมุมจากแกนเชิงขั้ว งานของเบอร โนลลีครอบคลุมไปถึงการพบรัศมีความโคงของเสนโคงที่อยูในพิกัดนี้ คําวา พิกัดเชิงขั้ว โดยแทจริงแลวนาจะมาจากเกโกรีโอ ฟอนตานา (Gregorio Fontana) นักคณิตศาสตรชาว อิตาลีในสมัยคริสตศตวรรษที่ 18 และคํานี้ปรากฏเปนภาษาอังกฤษในงานแปลของ จอรจ พีคอก (George Peacock) ที่ชื่อ แคลคูลัสเชิงอนุพันธและปริพันธ ของลากรัซ (Lacroix) ในป ค.ศ. 1816[8][9] อเล็กซิส คลา เราตเปนคนแรกที่คิดพิกัดเชิงขั้วในรูปแบบสามมิติ และเลออนฮารด ออยเลอรเปนคนแรกที่นํามาใชงานจริง สัญนิยม เสนกริดขั้วและแถบบอกมุมในแตละองศา พิกัดรัศมีมักใช r แสดงแทนและพิกัดมุมใช θ หรือ t แสดงแทน มุมในเครื่องหมายขั้ว ทั่วไปถูกแสดงอยูในรูปแบบองศาหรือเรเดียน (2π rad เทากับ 360°) องศาถูกใชใน การเดินเรือ, การสํารวจ, และมีการนําไปประยุกตใชในหลายสาขา ขณะที่เรเดียนโดยทั่วไปอยูใน คณิตศาสตรและคณิตศาสตรฟสิกส ในหลายๆบริบท พิกัดมุมบวกหมายความวามุม θ ถูกวัดในทิศทวนเข็มนาฬิกาจากแกนและมีคาพิกัดมุมลบ เมื่อวัดในทิศตามเข็มนาฬิกา ในเอกสารทางคณิตศาสตร บอยครั้งแกนเชิงขั้วถูกลากในแนวนอนและไปทาง ทางขวา ความพิเศษของพิกัดเชิงขั้ว ทุกตัวเลขของการหมุนครบรอบ (360°) พิกัดมุมจะไมเปลี่ยนทิศทาง และพิกัดรัศมีลบแสดงถึงระยะทางซึ่ง ไดจากการวัดเหมือนพิกัดรัศมีบวกแตมีทิศทางตรงขาม ดังนั้นในจุดเดียวกันสามารถแสดงดวยตัวเลขไม สิ้นสุดที่มีพิกัดเชิงขั้วตางกัน (r, θ ± n×360°) หรือ (−r, θ ± (2n + 1) 180°) เมื่อ n คือจํานวนเต็มใดๆยิ่งไป กวานั้น ขั้วเองสามารถแสดงแทนดวย (0, θ) สําหรับมุม θ ใดๆ
  • 3. เมื่อตองการแสดงแทนจุดใดๆ ปกติใช r เปนจํานวนไมเปนลบ (r ≥ 0) และ θ ในชวง [0, 360°) หรือ (−180°, 180°] (ในเรเดียน, [0, 2π) หรือ (−π, π]) และตองเลือกแอซิมัทสําหรับขั้ว เชน θ = 0 ความสัมพันธระหวางพิกัดคารทีเซียนกับพิกัดเชิงขั้ว แผนภาพความสัมพันธระหวางพิกัดเชิงขั้วและพิกัดคารทีเซียน คาของพิกัดเชิงขั้ว r และ θ สามารถแปลงเปนพิกัดคารทีเซียน x and y โดยใชฟงกชันตรีโกณมิติไซนและ โคไซน: ขณะที่คาของพิกัดคารทีเซียน x และ y ก็สามารถแปลงเปนพิกัดเชิงขั้ว r โดย (ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส) และ ทุกสูตรเหลานี้สมมุติวาขั้วคือจุดกําเนิดคารทีเซียน (0,0) แกนเชิงขั้วคือแกนคารทีเซียน x และทิศทางของ แกนคารทีเซียน y มีแอซิมัท +π/2 rad = +90° (แทนที่ −π/2) ฟงกชันอารกไซนคือสวนกลับของฟงกชัน ไซนซึ่งสมมุติแทนที่ดวยมุมในพิสัย [−π/2,+π/2] = [−90°,+90°] สูตรสําหรับ θ นอกเหนือจากการแทนที่ดวยมุมในพิสัย [-π/2,+3π/2) = [−90°,+270°) θ ในชวง [0, 2π) อาจใช ฟงกชันอารกแทนเปนสวนกลับของฟงกชันแทนเจนตซึ่งสมมุติแทนที่ดวยมุมในพิสัย (−π/2,+π/2) = (−90°,+90°) θ ในชวง (−π, π] อาจใช[14] ในภาษาโปรแกรมสมัยใหมมีฟงกชันที่จะคํานวณหาพิกัดมุม θ เพียงใหคา x และ y โดยไมตองใหอะไร เพิ่มเติม เชน ฟงกชัน atan2 (y,x) ในภาษาซี และ atan (y,x) ในคอมมอน ลิซป (Common Lisp) ในทั้งสอง กรณีนั้น ผลที่ไดเปนมุมในเรเดียนในพิสัย (−π, π]
  • 4. ความสัมพันธระหวางพิกัดเชิงขั้วและพิกัดฉาก เนื่องจากทั้งระบบพิกัึϹชิงྺั้วและระบบพิกัดฉากเปนระบบที่ใชอางอิงจุดตาง ๆ บนระนาบดวยกันทั้ง สองระบบ ดังนั้นถากําหนดใหขั้วของระบบพิกัึϹชิงྺั้วอยูที่จุดกําเนิดของระบบพิกัดฉาก แกนเชิงขั้วของ ระบบพิกัึϹชิงྺั้วอยูที่แกน X ดานบวกของระบบพิกัดฉาก และให P เปนจุดใด ๆ ที่มีพิกัดเชิงขั้ว เปน (r, q) และพิกัดฉากเปน (x,y) แลว จะไดความสัมพันธของพิกัดของทั้งสองระบบ ดังนี้ y (x,y) (r, q) r y = r sin q O x = r cos q x = r cos q , y = r sin q ความสัมพันธดังกลาวสะดวกที่จะหาคา x และ y เมื่อทราบคา r และ q ในทางกลับกัน ถาตองการหาคา r และ q เมื่อทราบคา x และ y สามารถใชเอกลักษณ sin2 q+ cos2 q = 1 และ tan q = ปรับเปลี่ยนความสัมพันธขางบนใหมไดเปน r2 = x2 + y2 , tan q = เมื่อ x ¹ 0
  • 5. ตัวอยางที่ 2.1 จงหาพิกัดฉากของจุด ที่มีพิกัดเชิงขั้วเปน (6, ) วิธีทํา จากพิกัดเชิงขั้วของจุด (6, ) จะไดวา r = 6, q = x = r cos q = 6 cos = 6( ) = -3 y = r sin q = 6 sin = 6( ) = นั่นคือ พิกัดฉากของจุดที่ตองการ คือ (-3, ) ที่มา:https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%9A%E0%B8%9A%E0%B8% 9E%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%B1%E0%B8%94%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4 %E0%B8%87%E0%B8%82%E0%B8%B1%E0%B9%89%E0%B8%A7 https://www.youtube.com/watch?v=y5zwVNTupQ8 http://home.npru.ac.th/teerawat/Cal2_Web/unit21.htm