วงรี
- 1. นิยามสมการวงรี วงรี (Ellipse) คือเซตของจุดทั้งหมดในระนาบซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดใดๆจุดหนึ่งในเซตไปยังจุด คงที่ 2 จุดมีค่าคงตัว จากบทนิยามนี้ มีวิธีง่ายๆ ในการวาดรูปวงรี (ดูรูปที่ 2) วางกระดาษบนกระดานวาดรูปปักหมุด 2 ตัวที่ จุดต่างกัน ใช้เป็นโฟกัสของวงรี ตัดเชือกเส้นหนึ่งยาวกว่าระยะทางระหว่างหมุดทั้งสอง ผูกปลายเชือกแต่ละ ข้างกับหมุด โดยใช้ดินสอรั้งเชื่อให้ตึงตลอดเวลา ขณะที่ค่อยๆ เคลื่อนดินสอรอบโฟกัส รอยดินสอที่เกิดขึ้น จะเป็นรูปวงรีเพราะผลบวกของระยะทางจากจุดปลายดินสอถึงโฟกัสทั้งสองเท่ากับความยาวของเชือกที่มี ความยาวคงตัวเสมอ ถ้าเชือกยาวกว่าระยะห่างระหว่างโฟกัสเพียงเล็กน้อย วงรีที่วาดได้จะมีรูปร่างเรียวยาว ดังเช่นในรูปที่ 3ก แต่ถ้าโฟกัสอยู่ใกล้กันเมื่อเปรียบเทียบกับความยาวของเชือกวงรีที่วาดได้จะเกือบกลม ดังเช่นในรูปทางขวา ยิ่งถ้าจุดโฟกัสใกล้กันเท่าไหร่ ก็จะยิ่งกลมขึ้นๆ
- 2. ส่วนประกอบของวงรี F, F’ เป็นจุดคงที่ เรียกว่าจุดโฟกัส (Focus) V, V’ เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดโฟกัส และมีจุดปลายทั้งสองเป็นจุดยอด เรียกว่า แกนนอก B, B’ เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดศูนย์กลางและตั้งฉากกับแกนเอก โดยมีจุดปลายทั้งสองอยู่บนวงรี เรียกว่า แกนโท m1m2, m1‘m2‘ เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดโฟกัส และตั้งฉากกันแกนของรูป เรียกว่าเส้นลาตัสเรกตัม วงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (0,0)
- 3. สรุปสมการวงรี เราอาจแบ่งวงรีออกเป็น 2 แบบ ตามลักษณะการวางตัวตามแนวแกน x และแกน y ดังนี้ 1) วงรีที่วางตัวในแนวแกน x (แนวนอน) สมการวงรี: ระยะโฟกัส (F): แกนที่แบ่งครึ่งรูปวงรี ได้แก่ แกนเอก (ยาว=2a) ซึ่งแสดงความยาวของวงรี ส่วนอีกแกนเรียกว่า แกนโท (ยาว=2b) แสดงถึงความกว้างของวงรี ซึ่ง a>b เสมอ
- 4. จากรูปข้างบน ถ้าจุดกาเนิดอยู่ที่ C(h, k) จะได้พิกัดของจุดปลายแกนทั้ง 4 จุด ดังนี้ พิกัดของจุดปลายแกนเอก A1 คือ (h-a, k) พิกัดของจุดปลายแกนเอก A2 คือ (h+a, k) พิกัดของจุดปลายแกนโท B1 คือ (h, k+b) พิกัดของจุดปลายแกนโท B2 คือ (h, k-b) ข้อสังเกตวงรี: 1. สมการวงรีจะคล้ายกับวงกลม วิธีสังเกตว่าสมการนี้ใช่วงรีหรือไม่ ให้สังเกตโดย - จัดรูปให้เป็น x2 และ y2 สัมประสิทธิ์หน้าทั้งสองเทอมนี้เป็นค่าบวกแต่มีค่าไม่เท่ากัน (ตัวส่วนไม่เท่ากัน ซึ่งเป็นการขยายระยะแกนเอกและแกนโท) - ด้านขวาของสมการเป็น 1 2. วงรีวางตัวแบบไหน ให้ดูจากแกนเอก แกนโท เพราะแกนเอกยาวกว่าแกนโทเสมอ นั่นคือ a>b เสมอ สาหรับตัวส่วน a, b จะเป็นความยาวครึ่งหนึ่งของแกนเอก และแกนโทตามลาดับ - ถ้า a อยู่กับ x และ b อยู่กับ y แสดงว่าแกนเอกของวงรีวางนอนขนานไปกับแกน x เหมือนในรูปตัวอย่าง ข้างบน - ถ้า a อยู่กับ y และ b อยู่กับ x แสดงว่าแกนเอกของวงรีวางตั้งขึ้นขนานไปกับแกน y ดังรูปในตัวอย่าง ข้างล่างนี้ 2) วงรีที่วางตัวในแนวแกน y (แนวตั้ง) สมการวงรี:
- 5. ระยะโฟกัส (F): จากรูป ถ้าจุดกาเนิดอยู่ที่ C(h, k) จะได้พิกัดของจุดปลายแกนทั้ง 4 จุด ดังนี้ พิกัดของจุดปลายแกนเอก B1 คือ (h, k+a) พิกัดของจุดปลายแกนเอก B2 คือ (h, k-a) พิกัดของจุดปลายแกนโท A1 คือ (h-b, k) พิกัดของจุดปลายแกนโท A2 คือ (h+b, k) โจทย์ แกนเอกของวงรีเป็นส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดตัดของวงกลม x2+y2=169x2+y2=169 กับ วงกลม x2+y2+4y=149x2+y2+4y=149และโฟกัสจุดหนึ่งของวงรีอยู่บนเส้นตรง x+45√=0x+45=0 สมการ วงรีตรงกับข้อใดต่อไปนี้ 1. 4x2 +9y2 −160x=0 2.4x2 +9y2 +90y−351=0 3.9x2 +4y2 +10x−17=0 4.9x2 +4y2 −80y+48=0 เฉลยละเอียด 1. หาจุดตัดของวงกลมทั้งสอง แทนค่า x2 =169−y2x2=169 − y2 ลงในอีกสมการวงกลม (169−y2 )+y2 +4y−1494y = 0−20−5(169−y2)+y2 +4y−149 = 04y=−20y=−5 แทนค่า y=−5y=−5 ลงในสมการวงกลม x2+y2=169x2+y2=169 เพื่อหาจุดตัดจะได้ x=±12x=±12 ดังนั้นจุดตัดทั้งสอง คือ (−12,−5)(−12,−5) และ (12,−5)(12,−5) 2. วาดรูปประกอบ พบว่าเป็นวงรีแนวนอนมีศูนย์กลางที่ (0,−5)(0,−5) มี a=12a=12 และ c=45√c=45 3. ใช้ความสัมพันธ์ a2−b2=c2a2−b2=c2 หาค่า bb ของวงรี a2−b2122−b2b2b====c2(45√)2648a2−b2=c2122−b2=(45)2b2=64b=8
- 6. 4. เขียนสมการวงรีและจัดให้อยู่ในรูปทั่วไป x2122+(y+5)2824x2+9(y+5)24x2+9y2+90y−351===15760x2122+(y+5)282=14x2+9(y+5)2=5764x2+9y 2+90y−351=0 ตอบข้อ B ถูก ที่มา : http://www.tewfree.com/%E0%B8%A7%E0%B8%87%E0%B8%A3%E0%B8%B5-ellipse- %E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA% E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C-%E0%B8%A1-4/ http://www.scimath.org/socialnetwork/groups/viewbulletin/188- 4+%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%84%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B8%94%E0%B8%81 %E0%B8%A3%E0%B8%A7%E0%B8%A2+%E0%B8%A7%E0%B8%87%E0%B8%A3%E0%B8%B5? groupid=80