狠狠撸

図と式をサイドバイサイドで見て理解する
ピンホールカメラモデル
2016年8月15日
森尚平

2次元空間
撮像素子や
フィルム等
被写体
f
Z
-Y
y
Z
原点
Y

撮像素子や
フィルム等
被写体
f
Z
-Y
y
Z
原点
Y
2次元空間

撮像素子や
フィルム等
被写体
f
Z
-Y
y
Z
原点
Y
2次元空間
緑と青の三角形の相似関係から ?
Z
Y
f
y ?
?
? Z
Y
fy ?
同様に．尚，f は焦点距離．
Z
X
fx ?

2次元空間
図のように原点を中心に反転させても
同様の関係が成り立つので，便宜上こちらを用いる．
被写体
f
Z
-Y-y
Z
原点
Y ?
?
?
?
?
?
?
Z
Y
fy
Z
X
fx

2次元空間
これを行列で表すと
被写体
f
Z
-Y-y
Z
原点
Y
?
?
?
?
?
?
?
Z
Y
fy
Z
X
fx
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
Z
Y
X
f
f
y
x
100
00
00
1
? ただし，λ=Z

2次元空間
被写体
f
Z
-Y-y
Z
原点
Y
さらに，．
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
Z
Y
X
f
f
y
x
?
3次元空間
Z
Y
X
原点
-Y
-y
被写体
これを行列で表すと
?
?
?
?
?
?
?
Z
Y
fy
Z
X
fx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
Z
Y
X
f
f
y
x
100
00
00
1
? ただし，λ=Z

画像座標系
Z
Y
X
原点
-Y
-y
被写体3次元空間
u
v
画像中心
光学中心

?
?
?
?
?
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?
?
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?
?
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?
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?
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
Z
Y
X
f
f
y
x
?
ここから，画像座標系の原点から光学中心までの
オフセットcx，cyを考慮して，
画像座標系
Z
Y
X
原点
-Y
-y
u
v
画像中心
光学中心cx
cy
?
?
?
?
?
?
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?
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?
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?
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?
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?
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?
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?
1
0
0
0
10
0
0
0
1
Z
Y
X
c
c
f
f
y
x
y
x
?

?
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?
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?
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?
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1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
Z
Y
X
f
f
y
x
?
（原点を画像平面の中央から画像座標系の原点へ移動）
画像座標系
Z
Y
X
原点
-Y
-y
u
v
画像中心
光学中心cx
cy
?
?
?
?
?
?
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?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
1
0
0
0
10
0
0
0
1
Z
Y
X
c
c
f
f
y
x
y
x
?

?
?
?
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?
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?
?
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?
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?
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?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
Z
Y
X
f
f
y
x
?
画像座標系
Z
Y
X
原点
-Y
-y
u
v
画像中心
光学中心cx
cy
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
0
0
0
10
0
0
0
1
Z
Y
X
c
c
f
f
y
x
y
x
?
さらに，内部変数を考慮して，
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
0
0
0
100
0
1
Z
Y
X
c
c
f
f
y
x
y
x
?
??
?
※内部変数の詳細は
http://goo.gl/4vRYWX
参照

?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
Z
Y
X
f
f
y
x
?
画像座標系
Z
Y
X
原点
-Y
-y
u
v
画像中心
光学中心cx
cy
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
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?
?
?
?
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?
?
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?
1
0
0
0
10
0
0
0
1
Z
Y
X
c
c
f
f
y
x
y
x
?
さらに，内部変数を考慮して，
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
0
0
0
100
0
1
Z
Y
X
c
c
f
f
y
x
y
x
?
??
?
※内部変数の詳細は
http://goo.gl/4vRYWX
参照
実際，このくらいの
近似で十分な場合も多い

画像座標系
Z
Y
X
原点
-Y
-y
u
v
画像中心
光学中心cx
cy ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
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?
?
?
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?
?
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?
?
?
1
0
0
0
100
0
1
Z
Y
X
c
c
f
f
y
x
y
x
?
??
?
．ただし，XKAx
~~ ?λ
T
]1[~ yx?x T
]1[
~
ZYX?X
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100
0 y
x
cf
cf
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K
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?
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0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
A
これを行列で表すと，

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