ݺߣ

ݺߣShare a Scribd company logo

σημειωσεισ μιγαδικων

•
•
Aggelos Stavropoulos
Aggelos Stavropoulos

σδσηγκηδτιυτκδ

1 of 15
Download to read offline
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Σελίδα 1 από 15 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ Αξιοσημείωτες ταυτότητες :   babia abi 222 2    babia abi 222 2    iabi bbaabia 32233 33    iabi bbaabia 32233 33    babiabia 22 )(  ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΤΟΥ i                         3, 2,1 1, ,1 4      i i iii uuk Σχόλιο: Όταν η τιμή μιας παράστασης εξαρτάται από την δύναμη iν , τότε γράφουμε τον ν με την μορφή ν=4κ+υ (υ=0,1,2,3) και εξετάζουμε τις περιπτώσεις: ν=4κ , ν=4κ+1, ν=4κ+2, ν=4κ+3. Σχόλιο: Για οποιοδήποτε μιγαδικό αριθμό z έχουμε: i)   0Im  ZRz ii)   0Re  ZIz
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Σελίδα 2 από 15 Σχόλιο: Για να λύσουμε στο C μια ανίσωση της μορφής 0)( zP ή 0)( zP , όπου P(z) πολυώνυμο του z, θέτουμε z=x+yi με x,yR και καταλήγουμε σε ανίσωση της μορφής α+βi0 ή α+βi0 με α,βR. Τότε έχουμε: i) α+βi0 0  και 0 ii) α+βi0 0  και 0 Σχόλια πάνω στις συζυγείς παραστάσεις: i) azz 2 =2Re(z) ii) bizz 2 =2Im(z) iii) Αν γνωρίζω ότι ο z είναι πραγματικός τότε ισχύει zz  iv) Αν γνωρίζω ότι ο z είναι φανταστικός τότε ισχύει zz  v) Για να δείξω ότι ο μιγαδικός w είναι πραγματικός πρέπει να δείξω ότι ww  vi) Για να δείξω ότι ο μιγαδικός w είναι φανταστικός πρέπει να δείξω ότι ww  ή ww  Μέτρο μιγαδικού: 4. ΔΕΝ ΙΣΧΥΕΙ γενικά η σχέση 22 zz  . Η σχέση αυτή ισχύει ΜΟΝΟ στην περίπτωση που ο z είναι ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΣ ενώ στην περίπτωση που ο z είναι ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟΣ ισχύει 22 zz  5. Αν μας δίνεται ότι kz  όπου k>0 τότε ισχύει z k zkzzkz 2 222  ή z k z 2 
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Σελίδα 3 από 15 6. Σε θέματα εύρεσης μέτρου μιγαδικού εφαρμόζουμε τις ιδιότητες του μέτρου ως προς τις αντίστοιχες πράξεις. 7. Όταν ζητείται να δειχτεί κάποια ισότητα ή ανισότητα που περιέχει μέτρα, κάνουμε ότι κάναμε και με τις απόλυτες τιμές (υψώνω στο τετράγωνο ) χρησιμοποιώντας την ισότητα zzz  2 .Αποφεύγουμε γενικά την αντικατάσταση των μιγαδικών στην μορφή a+bi. Αυτό το κάνουμε στο τέλος των πράξεων όταν δεν επιδέχεται τίποτα άλλο. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4.1.Να αποδείξετε ότι για κάθε N ισχύει: iiii iii 321 321 1111       4.2.Να λύσετε στο C την εξίσωση: 3iz-(1-i)(z+1)=(3-i)2 4.3.Να βρείτε τις τιμές του Ra για τις οποίες η εικόνα του i i ai i z       3 32 2 1 στο μιγαδικό επίπεδο ανήκει στην ευθεία y=x 4.4.Για τις διάφορες θετικές ακέραιες τιμές του ν, να βρείτε την τιμή της παράστασης : Α=(1+iν )(1+i2ν ) 4.5.Να βρείτε όλες τις τιμές της παράστασης: Α=1- i+i2 -i3 +…+(-1)ν iν , N 4.6.Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ(z) στο μιγαδικό επίπεδο για τα οποία ο z3 είναι πραγματικός και μάλιστα 1 3 z
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Σελίδα 4 από 15 4.7.Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός x για τον οποίο ισχύει )221( 3 1 1 1 i xi xi    4.8.Να βρείτε τις τιμές της παράστασης Α=(1+iν )(1+i2ν )(1+i3ν ), N 4.9.Αν ix i i yix z       42 1 , ( Ryx , ), να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του σημείου (x,y) έτσι ώστε η εικόνα του z στο μιγαδικό επίπεδο να ανήκει στηνευθεία y=-x. 4.10. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ(z) για τον οποίο είναι Re(z3 )=Re(z). 4.11. Να βρείτε τους μη πραγματικούς μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους z2 -4z<0 και Re(z2 )=3 4.12. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων M(z) στο μιγαδικό επίπεδο για τα οποία είναι: a) Re(z2 )=0 b) Im(z2 )=2 c) Re(z-iz)=2 4.13. Αν Cz και ο αριθμός )( iz iz iz w     είναι φανταστικός : a) Να αποδείξετε ότι το σημείο M(z) γράφει κύκλο στο μιγαδικό επίπεδο. b) Να βρείτε την οξεία γωνία των εφαπτομένων του παραπάνω κύκλου , οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α(-2,0). 4.14. Αν z=x+yi (x,y  R) και 1 2   z z w (z≠1), να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων (x,y) για τα οποία ο αριθμός w είναι πραγματικός.
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Σελίδα 5 από 15 4.15. Για κάθε μιγαδικό z ≠0, να αποδείξετε ότι ο αριθμός z z z z w 11     είναι πραγματικός. 4.16. Έστω μιγαδικός z≠-i.αν ο αριθμός iz iz w    είναι φανταστικός, να αποδείξετε ότι το σημείο M(z) κινείται πάνω σε κύκλο. 4.17. Για κάθε μιγαδικό z, να αποδείξετε ότι 12121212 )()( zizziz  4.18. Να βρείτε τους μιγαδικούς z για τους οποίους οι αριθμοί z και z3 είναι συζυγείς μιγαδικοί. 4.19. Αν ο αριθμός 12 z z είναι φανταστικός (zC), να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του σημείου M(z). 4.20. Να βρείτε όλους τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ο αριθμός zzw 22  είναι μη αρνητικός πραγματικός αριθμός. Στη συνέχεια, να παραστήσετε αυτούς τους αριθμούς στο μιγαδικό επίπεδο. 4.21. Αν z=(2x-1)+(3y+2)i με x,yR και η εικόνα του 1 1    z z w στο μιγαδικό επίπεδο κινείται επάνω στον άξονα y΄y, να αποδείξετε ότι: a) Το σημείο (x,y) γράφει έλλειψη, b) Το σημείο M(z) γράφει κύκλο. 4.22. Αν είναι 3 1 9    z z (z≠1), να αποδείξετε ότι η εικόνα του z στο μιγαδικό επίπεδο γράφει κύκλο. 4.23. Αν είναι 3311  zz , να αποδείξετε ότι 32 z και να βρείτε το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών z.
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Σελίδα 6 από 15 4.24. Αν z1,z2 είναι διαφορετικοί μιγαδικοί και ο αριθμός 21 21 )( zz zzi w    είναι πραγματικός, να αποδείξετε ότι 21 zz  και αντιστρόφως. 4.25. Αν οι εικόνες των μιγαδικών z1,z2 μιγαδικό επίπεδο είναι εσωτερικά σημεία του κύκλου C:x2 +y2 =1, να αποδείξετε ότι: ∣z1−z2∣∣1− z1 z2∣ 4.26. Να αποδείξετε ότι τα άθροισμα και η διαφορά δυο μη μηδενικών μιγαδικών έχουν το ίδιο μέτρο, αν και μόνο αν το πηλίκο τους είναι φανταστικός αριθμός. 4.27. Για κάθε μιγαδικό z, να αποδείξετε ότι: zzzz  211 4.28. Αν νΝ* και zC με (1+iz)ν =(1-iz)ν , να αποδείξετε ότι ο z είναι πραγματικός αριθμός. 4.29. Αν 3 2 12    z z και z≠-2, να αποδείξετε: a) Ότι εικόνα του z στο μιγαδικό επίπεδο διαγράφει κύκλο. b) Να βρεθεί ο αR ώστε η εικόνα του z=(2α+5)+(α-2)I να ανήκει στον παραπάνω κύκλο. 4.30. Αν είναι 12 z και 11 z , να αποδείξετε ότι 31  z 4.31. Αν 0321  azzz , να αποδείξετε ότι: 321133221 zzzazzzzzz  4.32. Αν 0321  azzz και z1+z2+z3=0, να αποδείξετε ότι 133221 zzzzzz 
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Σελίδα 7 από 15 4.33. Αν η εικόνα του μιγαδικού z διαγράφει στο μιγαδικό επίπεδο τον κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας 2, να αποδείξετε ότι η εικόνα του μιγαδικού z zw 1  διαγράφει έλλειψη. 4.34. Αν 212  zz , να αποδείξετε ότι η εικόνα του z στο μιγαδικό επίπεδο διαγράφει κύκλο. 4.35. Αν ισχύει 3 1 10 2    z z και z≠10, αποδείξετε ότι: a) 8 2  zzz b) 31 z 4.36. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του z στο μιγαδικό επίπεδο, όταν: a) 4 22  iziz b) iziz 3212  4.37. Αν z=(2x-1)+(2y+6)i με x,yR και 3432  iz , να αποδείξετε ότι το σημείο Μ(z) στο μιγαδικό επίπεδο διαγράφει κύκλο. 4.38. Αν 1z και 12 2    iz iz w ,να αποδείξετε ότι και 1w . 4.39. Αν 11 z και 12 z , να αποδείξετε ότι 2121 1 zzzz  . 4.40. Να εξετάσετε πότε ισχύει η ισότητα ∣z1−z2∣=∣z1∣∣z2∣ . 4.41. Αν ∣z1z2∣=∣∣z1∣−∣z2∣∣ και z2≠0, να αποδείξετε ότι ο αριθμός z1 z2 είναι αρνητικός πραγματικός αριθμός ή μηδέν.
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Σελίδα 8 από 15 4.42. ∣z1∣=2 , ∣z2∣=5 και z3=−3 2  i 2  4 , να βρείτε την μέγιστη τιμή του ∣2z1−3z25z3∣ . 4.43. Αν είναι ∣z − 2i ∣≤5 , να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του ∣z − 146i∣ . 4.44. Να βρείτε όλα τα σημεία M(z) του μιγαδικού επιπέδου για τα οποία είναι ∣z −i∣∣z 1∣ . 4.45. Έστω μιγαδικός z≠-1 και f  z =∣ z2 −1 z1 ∣ a) Να βρείτε τον αριθμό f 3−5i  b) Να δείξετε ότι f  z = f  z  . 4.46. Αν ∣ 3z−i 2− z ∣= 1 2 , να αποδείξετε ότι η εικόνα του z στο μιγαδικό επίπεδο διαγράφει κύκλο που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 4.47. Αν η εικόνα του μιγαδικού z στο μιγαδικό επίπεδο διαγράφει κύκλο κέντρου Ο(0,0) και ακτίνας ρ≠1, να αποδείξετε ότι η εικόνα του w=z 1 z διαγράφει μια έλλειψη. 4.48. Αν z1,z2C και z2 = z1*z2 να αποδείξετε ότι: ∣ z1z2 2 z∣∣∣ z1z2 2 − z∣∣=∣z1∣∣z2∣ . 4.49. Για κάθε z1,z2C, να αποδείξετε ότι: a) ∣z1 z21∣ 2 ∣z1−z2∣ 2 =1∣z1∣ 2 1∣z2∣ 2  b) ∣z1 z2−1∣ 2 −∣z1−z2∣ 2 =1−∣z1∣ 2 1−∣z2∣ 2  .
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Σελίδα 9 από 15 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4.50. Δίνεται μιγαδικός αριθμός z για τον οποίο ισχύει 1z  .Να αποδείξετε ότι ο αριθμός: 2 2 1 1 z zi w z zi      είναι πραγματικός αριθμός 4.51. Δίνονται z ,w∈ℂ για τους οποίους ισχύει 1z w  .Να αποδείξετε ότι: 3 1 3z w zw z w zw       4.52. Δίνονται μιγαδικοί αριθμοί z και w τέτοιοι ώστε 2 2 1z i zi   και ο αριθμός 50 40 w i w i   είναι φανταστικός. a) Να βρείτε τα z και w . b) Να αποδείξετε ότι : 2 3 2 3z w zw w z     c) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 1 z wi u zwi    είναι φανταστικός. 4.53. Δίνονται z∈ℂ και x ∈ℝ για τους οποίους ισχύουν: 1xi5 ⋅zi310 =x−i5 ⋅z−3i10 . Να αποδείξετε ότι ο αριθμός z είναι πραγματικός. 4.54. Δίνονται μιγαδικοί αριθμοί z και w για τους οποίους ισχύει 2−i20 ⋅z30 =4−3i10 ⋅w30 .Να αποδείξετε ότι: a) z w b) Ο αριθμός 2 2 zw u z w   είναι πραγματικός. 4.55. Έστω οι μιγαδικοί z που ικανοποιούν την ισότητα   10 10 4 z z  . Να αποδείξετε ότι: a) 4z z 
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Σελίδα 10 από 15 b) Οι εικόνες των μιγαδικών z ανήκουν στην ευθεία x=2. 4.56. Δίνεται μιγαδικός αριθμός z∈ℂ για τον οποίο ισχύει     5 5 32 4z i z i   . a) Να βρείτε το z . b) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 2 2 z i w z i    είναι φανταστικός. 4.57. Έστω z=8-6i και w ∈ℂ , με 6w  . Να αποδείξετε ότι 4≤∣z w∣≤ 16 . 4.58. Δίνονται μιγαδικοί z και w με 3z  και 5w  . Να αποδείξετε ότι: a) 9≤∣2z−3w∣≤ 21 b) 2≤∣iz w∣≤8 4.59. Για κάθε z ,w∈ℂ να αποδείξετε ότι : 3∣z −w∣≤∣4z−7w∣∣4w− z∣ 4.60. Δίνονται οι μιγαδικοί z1.z2 και w για τους οποίους ισχύει 1w  και 1 2 0z z w  . Να αποδείξετε ότι: a) 1 2 0wz z  b) 1 2z z c) 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 22 3 2 3z z z z z z z z     4.61. Δίνεται ο αριθμός 60 50 i i   . a) Να βρείτε τον αριθμό α. b) Αν ισχύει 8 2z i z i   , να βρείτε το z . c) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 2 2 4 z w z    είναι φανταστικός αριθμός.
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Σελίδα 11 από 15 4.62. Δίνεται η συνάρτηση ( ) z z f z z z    , όπου z μιγαδικός αριθμός. a) Να βρείτε για ποιές τιμές του z δεν ορίζεται η συνάρτηση f(z). b) Να βρείτε τον αριθμό (f(i))2011 . c) Να αποδείξετε ότι για κάθε επιτρεπόμενη τιμή του z, ο αριθμός f(z) είναι φανταστικός. 4.63. Δίνεται η συνάρτηση 3 ( ) 3 iz f z iz    . a) Να βρείτε για ποιές τιμές του z ορίζεται η συνάρτηση f(z). b) Να βρείτε τον αριθμό (f(3))2010 . c) Αν ( ) 1f z  , να αποδείξετε ότι ο αριθμός z είναι πραγματικός. d) Αν ο αριθμός f(z) είναι φανταστικός , να βρείτε το z . 4.64. Έστω Α,Β,Γ οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z1=1+2i,z2=3-i, z3=-3i αντίστοιχα . Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. 4.65. Έστω z ,w∈ℂ¿ , με z≠w , για του οποίους ισχύει z iw iz w   . Να αποδείξετε ότι: a) Ο αριθμός zw είναι πραγματικός, b) Αν Α,Β είναι εικόνες των μιγαδικών z και iw αντίστοιχα και Ο η αρχή των αξόνων, τότε το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ορθογώνιο στο Ο. 4.66. Έστω ότι για τον μιγαδικό z ισχύει:     5 5 5 1 5z z   a) Να αποδείξετε ότι:  5 1 5z z    1z 
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Σελίδα 12 από 15 b) Αν w=5z+1, να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων M(w) στο μιγαδικό επίπεδο. 4.67. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z=λ+3-(2λ-4)i, με λ∈ℝ . Να βρείτε: a) Τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z, καθώς το λ μεταβάλλεται στο ℝ , b) Την ελάχιστη τιμή του z . 4.68. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z για τον οποίο ισχύει 3 5 2z i iz i     . Να βρείτε : a) Τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z, b) Την ελάχιστη τιμή του 4 2z i  . 4.69. Δίνεται μιγαδικός αριθμός z για τον οποίο ισχύει 9 3 5z z   . Να βρείτε: a) τον γεωμετρικό τόπο των ειόνων του z, b) τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του 5 6z i  . 4.70. Δίνονται μιγαδικοί z και w για τους οποίους ισχύει: 6 3 3iz i   και 2 30 5( ) 8 0w w w i     .Να βρείτε: a) Τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z, b) Την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή του z , c) Τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του w, d) Τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του z w . 4.71. Δίνονται μιγαδικοί z και w για τους οποίους ισχύει: (2 ) 7 11 5 5i z i    και 2 4 10 2w i w i     . Να βρείτε: a) Τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z,
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Σελίδα 13 από 15 b) Την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή του z , c) Τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του w, d) Τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του z w . 4.72. Δίνεται z ∈ ℂ− {0,− 1 } και η συνάρτηση: 1 ( ) 1 z f z z    a) Να βρείτε τον αριθμό (f(i))90 . b) Να αποδείξετε ότι 1 ( ) ( ) 0f z f z   . c) Αν ισχύει ( ) ( )f z f z , να αποδείξετε ότι ο αριθμός z είναι πραγματικός. d) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z για τους οποίους ισχύει: ( ) (2 )f z f i 4.73. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z και η συνάρτηση ( ) Re( )f z z z i  . a) Να βρείτε το (3 7)f i . b) Αν η εικόνα του f(z) βρίσκεται στη διχοτόμο της 1ης-3ης γωνίας των αξόνων, να αποδείξετε ότι z≠0 c) Αν ισχύει   2 Re( ( )) 2Re( ) 3f z z  , να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z. d) Αν οι μιγαδικοί αριθμοί z1 και z2 ανήκουν στον γεωμετρικό τόπο του προηγούμενου ερωτήματος να βρείτε την μέγιστη τιμή του 1 2z z . 4.74. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z και w για τους οποίους ισχύει z = 4− 3i 5 ⋅w .
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Σελίδα 14 από 15 a) Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των z και w ισαπέχουν από την αρχή των αξόνων. b) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός z w u z w    είναι φανταστικός . c) Αν ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι ο κύκλος με κέντρο Κ(0,-5) και ακτίνα ρ=3, να βρείτε:  Τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων w,  Την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του w . 4.75. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός w για τον οποίο ισχύει    75 90 3 2 26w w i w w i     a) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του w. b) Να βρείτε ποιός από τους παραπάνω μιγαδικούς w έχει το ελάχιστο μέτρο. c) Για την τιμή του w που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα , θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει: 2 210 6z i z w    . Να βρείτε:  Τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z,  Την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του 1 5z i  . 4.76. Δίνεται η εξίσωση 3 1 3 1 3 .z z i i     a) Να βρείτε τον αριθμό z. b) Να βρείτε τον αριθμό   2011 3u z i   . c) Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός w για τον οποίο ισχύει w z w u   , όπου z και u οι μιγαδικοί που βρήκατε στα δυο προηγούμενα ερωτήματα. Να βρείτε:
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Σελίδα 15 από 15  Τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του w,  Την ελάχιστη τιμή του w .

More Related Content

σημειωσεισ μιγαδικων

  • 1. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Σελίδα 1 από 15 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ Αξιοσημείωτες ταυτότητες :   babia abi 222 2    babia abi 222 2    iabi bbaabia 32233 33    iabi bbaabia 32233 33    babiabia 22 )(  ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΤΟΥ i                         3, 2,1 1, ,1 4      i i iii uuk Σχόλιο: Όταν η τιμή μιας παράστασης εξαρτάται από την δύναμη iν , τότε γράφουμε τον ν με την μορφή ν=4κ+υ (υ=0,1,2,3) και εξετάζουμε τις περιπτώσεις: ν=4κ , ν=4κ+1, ν=4κ+2, ν=4κ+3. Σχόλιο: Για οποιοδήποτε μιγαδικό αριθμό z έχουμε: i)   0Im  ZRz ii)   0Re  ZIz
  • 2. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Σελίδα 2 από 15 Σχόλιο: Για να λύσουμε στο C μια ανίσωση της μορφής 0)( zP ή 0)( zP , όπου P(z) πολυώνυμο του z, θέτουμε z=x+yi με x,yR και καταλήγουμε σε ανίσωση της μορφής α+βi0 ή α+βi0 με α,βR. Τότε έχουμε: i) α+βi0 0  και 0 ii) α+βi0 0  και 0 Σχόλια πάνω στις συζυγείς παραστάσεις: i) azz 2 =2Re(z) ii) bizz 2 =2Im(z) iii) Αν γνωρίζω ότι ο z είναι πραγματικός τότε ισχύει zz  iv) Αν γνωρίζω ότι ο z είναι φανταστικός τότε ισχύει zz  v) Για να δείξω ότι ο μιγαδικός w είναι πραγματικός πρέπει να δείξω ότι ww  vi) Για να δείξω ότι ο μιγαδικός w είναι φανταστικός πρέπει να δείξω ότι ww  ή ww  Μέτρο μιγαδικού: 4. ΔΕΝ ΙΣΧΥΕΙ γενικά η σχέση 22 zz  . Η σχέση αυτή ισχύει ΜΟΝΟ στην περίπτωση που ο z είναι ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΣ ενώ στην περίπτωση που ο z είναι ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟΣ ισχύει 22 zz  5. Αν μας δίνεται ότι kz  όπου k>0 τότε ισχύει z k zkzzkz 2 222  ή z k z 2 
  • 3. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Σελίδα 3 από 15 6. Σε θέματα εύρεσης μέτρου μιγαδικού εφαρμόζουμε τις ιδιότητες του μέτρου ως προς τις αντίστοιχες πράξεις. 7. Όταν ζητείται να δειχτεί κάποια ισότητα ή ανισότητα που περιέχει μέτρα, κάνουμε ότι κάναμε και με τις απόλυτες τιμές (υψώνω στο τετράγωνο ) χρησιμοποιώντας την ισότητα zzz  2 .Αποφεύγουμε γενικά την αντικατάσταση των μιγαδικών στην μορφή a+bi. Αυτό το κάνουμε στο τέλος των πράξεων όταν δεν επιδέχεται τίποτα άλλο. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4.1.Να αποδείξετε ότι για κάθε N ισχύει: iiii iii 321 321 1111       4.2.Να λύσετε στο C την εξίσωση: 3iz-(1-i)(z+1)=(3-i)2 4.3.Να βρείτε τις τιμές του Ra για τις οποίες η εικόνα του i i ai i z       3 32 2 1 στο μιγαδικό επίπεδο ανήκει στην ευθεία y=x 4.4.Για τις διάφορες θετικές ακέραιες τιμές του ν, να βρείτε την τιμή της παράστασης : Α=(1+iν )(1+i2ν ) 4.5.Να βρείτε όλες τις τιμές της παράστασης: Α=1- i+i2 -i3 +…+(-1)ν iν , N 4.6.Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ(z) στο μιγαδικό επίπεδο για τα οποία ο z3 είναι πραγματικός και μάλιστα 1 3 z
  • 4. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Σελίδα 4 από 15 4.7.Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός x για τον οποίο ισχύει )221( 3 1 1 1 i xi xi    4.8.Να βρείτε τις τιμές της παράστασης Α=(1+iν )(1+i2ν )(1+i3ν ), N 4.9.Αν ix i i yix z       42 1 , ( Ryx , ), να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του σημείου (x,y) έτσι ώστε η εικόνα του z στο μιγαδικό επίπεδο να ανήκει στηνευθεία y=-x. 4.10. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ(z) για τον οποίο είναι Re(z3 )=Re(z). 4.11. Να βρείτε τους μη πραγματικούς μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους z2 -4z<0 και Re(z2 )=3 4.12. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων M(z) στο μιγαδικό επίπεδο για τα οποία είναι: a) Re(z2 )=0 b) Im(z2 )=2 c) Re(z-iz)=2 4.13. Αν Cz και ο αριθμός )( iz iz iz w     είναι φανταστικός : a) Να αποδείξετε ότι το σημείο M(z) γράφει κύκλο στο μιγαδικό επίπεδο. b) Να βρείτε την οξεία γωνία των εφαπτομένων του παραπάνω κύκλου , οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α(-2,0). 4.14. Αν z=x+yi (x,y  R) και 1 2   z z w (z≠1), να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων (x,y) για τα οποία ο αριθμός w είναι πραγματικός.
  • 5. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Σελίδα 5 από 15 4.15. Για κάθε μιγαδικό z ≠0, να αποδείξετε ότι ο αριθμός z z z z w 11     είναι πραγματικός. 4.16. Έστω μιγαδικός z≠-i.αν ο αριθμός iz iz w    είναι φανταστικός, να αποδείξετε ότι το σημείο M(z) κινείται πάνω σε κύκλο. 4.17. Για κάθε μιγαδικό z, να αποδείξετε ότι 12121212 )()( zizziz  4.18. Να βρείτε τους μιγαδικούς z για τους οποίους οι αριθμοί z και z3 είναι συζυγείς μιγαδικοί. 4.19. Αν ο αριθμός 12 z z είναι φανταστικός (zC), να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του σημείου M(z). 4.20. Να βρείτε όλους τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ο αριθμός zzw 22  είναι μη αρνητικός πραγματικός αριθμός. Στη συνέχεια, να παραστήσετε αυτούς τους αριθμούς στο μιγαδικό επίπεδο. 4.21. Αν z=(2x-1)+(3y+2)i με x,yR και η εικόνα του 1 1    z z w στο μιγαδικό επίπεδο κινείται επάνω στον άξονα y΄y, να αποδείξετε ότι: a) Το σημείο (x,y) γράφει έλλειψη, b) Το σημείο M(z) γράφει κύκλο. 4.22. Αν είναι 3 1 9    z z (z≠1), να αποδείξετε ότι η εικόνα του z στο μιγαδικό επίπεδο γράφει κύκλο. 4.23. Αν είναι 3311  zz , να αποδείξετε ότι 32 z και να βρείτε το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών z.
  • 6. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Σελίδα 6 από 15 4.24. Αν z1,z2 είναι διαφορετικοί μιγαδικοί και ο αριθμός 21 21 )( zz zzi w    είναι πραγματικός, να αποδείξετε ότι 21 zz  και αντιστρόφως. 4.25. Αν οι εικόνες των μιγαδικών z1,z2 μιγαδικό επίπεδο είναι εσωτερικά σημεία του κύκλου C:x2 +y2 =1, να αποδείξετε ότι: ∣z1−z2∣∣1− z1 z2∣ 4.26. Να αποδείξετε ότι τα άθροισμα και η διαφορά δυο μη μηδενικών μιγαδικών έχουν το ίδιο μέτρο, αν και μόνο αν το πηλίκο τους είναι φανταστικός αριθμός. 4.27. Για κάθε μιγαδικό z, να αποδείξετε ότι: zzzz  211 4.28. Αν νΝ* και zC με (1+iz)ν =(1-iz)ν , να αποδείξετε ότι ο z είναι πραγματικός αριθμός. 4.29. Αν 3 2 12    z z και z≠-2, να αποδείξετε: a) Ότι εικόνα του z στο μιγαδικό επίπεδο διαγράφει κύκλο. b) Να βρεθεί ο αR ώστε η εικόνα του z=(2α+5)+(α-2)I να ανήκει στον παραπάνω κύκλο. 4.30. Αν είναι 12 z και 11 z , να αποδείξετε ότι 31  z 4.31. Αν 0321  azzz , να αποδείξετε ότι: 321133221 zzzazzzzzz  4.32. Αν 0321  azzz και z1+z2+z3=0, να αποδείξετε ότι 133221 zzzzzz 
  • 7. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Σελίδα 7 από 15 4.33. Αν η εικόνα του μιγαδικού z διαγράφει στο μιγαδικό επίπεδο τον κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας 2, να αποδείξετε ότι η εικόνα του μιγαδικού z zw 1  διαγράφει έλλειψη. 4.34. Αν 212  zz , να αποδείξετε ότι η εικόνα του z στο μιγαδικό επίπεδο διαγράφει κύκλο. 4.35. Αν ισχύει 3 1 10 2    z z και z≠10, αποδείξετε ότι: a) 8 2  zzz b) 31 z 4.36. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του z στο μιγαδικό επίπεδο, όταν: a) 4 22  iziz b) iziz 3212  4.37. Αν z=(2x-1)+(2y+6)i με x,yR και 3432  iz , να αποδείξετε ότι το σημείο Μ(z) στο μιγαδικό επίπεδο διαγράφει κύκλο. 4.38. Αν 1z και 12 2    iz iz w ,να αποδείξετε ότι και 1w . 4.39. Αν 11 z και 12 z , να αποδείξετε ότι 2121 1 zzzz  . 4.40. Να εξετάσετε πότε ισχύει η ισότητα ∣z1−z2∣=∣z1∣∣z2∣ . 4.41. Αν ∣z1z2∣=∣∣z1∣−∣z2∣∣ και z2≠0, να αποδείξετε ότι ο αριθμός z1 z2 είναι αρνητικός πραγματικός αριθμός ή μηδέν.
  • 8. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Σελίδα 8 από 15 4.42. ∣z1∣=2 , ∣z2∣=5 και z3=−3 2  i 2  4 , να βρείτε την μέγιστη τιμή του ∣2z1−3z25z3∣ . 4.43. Αν είναι ∣z − 2i ∣≤5 , να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του ∣z − 146i∣ . 4.44. Να βρείτε όλα τα σημεία M(z) του μιγαδικού επιπέδου για τα οποία είναι ∣z −i∣∣z 1∣ . 4.45. Έστω μιγαδικός z≠-1 και f  z =∣ z2 −1 z1 ∣ a) Να βρείτε τον αριθμό f 3−5i  b) Να δείξετε ότι f  z = f  z  . 4.46. Αν ∣ 3z−i 2− z ∣= 1 2 , να αποδείξετε ότι η εικόνα του z στο μιγαδικό επίπεδο διαγράφει κύκλο που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 4.47. Αν η εικόνα του μιγαδικού z στο μιγαδικό επίπεδο διαγράφει κύκλο κέντρου Ο(0,0) και ακτίνας ρ≠1, να αποδείξετε ότι η εικόνα του w=z 1 z διαγράφει μια έλλειψη. 4.48. Αν z1,z2C και z2 = z1*z2 να αποδείξετε ότι: ∣ z1z2 2 z∣∣∣ z1z2 2 − z∣∣=∣z1∣∣z2∣ . 4.49. Για κάθε z1,z2C, να αποδείξετε ότι: a) ∣z1 z21∣ 2 ∣z1−z2∣ 2 =1∣z1∣ 2 1∣z2∣ 2  b) ∣z1 z2−1∣ 2 −∣z1−z2∣ 2 =1−∣z1∣ 2 1−∣z2∣ 2  .
  • 9. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Σελίδα 9 από 15 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4.50. Δίνεται μιγαδικός αριθμός z για τον οποίο ισχύει 1z  .Να αποδείξετε ότι ο αριθμός: 2 2 1 1 z zi w z zi      είναι πραγματικός αριθμός 4.51. Δίνονται z ,w∈ℂ για τους οποίους ισχύει 1z w  .Να αποδείξετε ότι: 3 1 3z w zw z w zw       4.52. Δίνονται μιγαδικοί αριθμοί z και w τέτοιοι ώστε 2 2 1z i zi   και ο αριθμός 50 40 w i w i   είναι φανταστικός. a) Να βρείτε τα z και w . b) Να αποδείξετε ότι : 2 3 2 3z w zw w z     c) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 1 z wi u zwi    είναι φανταστικός. 4.53. Δίνονται z∈ℂ και x ∈ℝ για τους οποίους ισχύουν: 1xi5 ⋅zi310 =x−i5 ⋅z−3i10 . Να αποδείξετε ότι ο αριθμός z είναι πραγματικός. 4.54. Δίνονται μιγαδικοί αριθμοί z και w για τους οποίους ισχύει 2−i20 ⋅z30 =4−3i10 ⋅w30 .Να αποδείξετε ότι: a) z w b) Ο αριθμός 2 2 zw u z w   είναι πραγματικός. 4.55. Έστω οι μιγαδικοί z που ικανοποιούν την ισότητα   10 10 4 z z  . Να αποδείξετε ότι: a) 4z z 
  • 10. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Σελίδα 10 από 15 b) Οι εικόνες των μιγαδικών z ανήκουν στην ευθεία x=2. 4.56. Δίνεται μιγαδικός αριθμός z∈ℂ για τον οποίο ισχύει     5 5 32 4z i z i   . a) Να βρείτε το z . b) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 2 2 z i w z i    είναι φανταστικός. 4.57. Έστω z=8-6i και w ∈ℂ , με 6w  . Να αποδείξετε ότι 4≤∣z w∣≤ 16 . 4.58. Δίνονται μιγαδικοί z και w με 3z  και 5w  . Να αποδείξετε ότι: a) 9≤∣2z−3w∣≤ 21 b) 2≤∣iz w∣≤8 4.59. Για κάθε z ,w∈ℂ να αποδείξετε ότι : 3∣z −w∣≤∣4z−7w∣∣4w− z∣ 4.60. Δίνονται οι μιγαδικοί z1.z2 και w για τους οποίους ισχύει 1w  και 1 2 0z z w  . Να αποδείξετε ότι: a) 1 2 0wz z  b) 1 2z z c) 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 22 3 2 3z z z z z z z z     4.61. Δίνεται ο αριθμός 60 50 i i   . a) Να βρείτε τον αριθμό α. b) Αν ισχύει 8 2z i z i   , να βρείτε το z . c) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 2 2 4 z w z    είναι φανταστικός αριθμός.
  • 11. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Σελίδα 11 από 15 4.62. Δίνεται η συνάρτηση ( ) z z f z z z    , όπου z μιγαδικός αριθμός. a) Να βρείτε για ποιές τιμές του z δεν ορίζεται η συνάρτηση f(z). b) Να βρείτε τον αριθμό (f(i))2011 . c) Να αποδείξετε ότι για κάθε επιτρεπόμενη τιμή του z, ο αριθμός f(z) είναι φανταστικός. 4.63. Δίνεται η συνάρτηση 3 ( ) 3 iz f z iz    . a) Να βρείτε για ποιές τιμές του z ορίζεται η συνάρτηση f(z). b) Να βρείτε τον αριθμό (f(3))2010 . c) Αν ( ) 1f z  , να αποδείξετε ότι ο αριθμός z είναι πραγματικός. d) Αν ο αριθμός f(z) είναι φανταστικός , να βρείτε το z . 4.64. Έστω Α,Β,Γ οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z1=1+2i,z2=3-i, z3=-3i αντίστοιχα . Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. 4.65. Έστω z ,w∈ℂ¿ , με z≠w , για του οποίους ισχύει z iw iz w   . Να αποδείξετε ότι: a) Ο αριθμός zw είναι πραγματικός, b) Αν Α,Β είναι εικόνες των μιγαδικών z και iw αντίστοιχα και Ο η αρχή των αξόνων, τότε το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ορθογώνιο στο Ο. 4.66. Έστω ότι για τον μιγαδικό z ισχύει:     5 5 5 1 5z z   a) Να αποδείξετε ότι:  5 1 5z z    1z 
  • 12. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Σελίδα 12 από 15 b) Αν w=5z+1, να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων M(w) στο μιγαδικό επίπεδο. 4.67. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z=λ+3-(2λ-4)i, με λ∈ℝ . Να βρείτε: a) Τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z, καθώς το λ μεταβάλλεται στο ℝ , b) Την ελάχιστη τιμή του z . 4.68. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z για τον οποίο ισχύει 3 5 2z i iz i     . Να βρείτε : a) Τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z, b) Την ελάχιστη τιμή του 4 2z i  . 4.69. Δίνεται μιγαδικός αριθμός z για τον οποίο ισχύει 9 3 5z z   . Να βρείτε: a) τον γεωμετρικό τόπο των ειόνων του z, b) τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του 5 6z i  . 4.70. Δίνονται μιγαδικοί z και w για τους οποίους ισχύει: 6 3 3iz i   και 2 30 5( ) 8 0w w w i     .Να βρείτε: a) Τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z, b) Την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή του z , c) Τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του w, d) Τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του z w . 4.71. Δίνονται μιγαδικοί z και w για τους οποίους ισχύει: (2 ) 7 11 5 5i z i    και 2 4 10 2w i w i     . Να βρείτε: a) Τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z,
  • 13. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Σελίδα 13 από 15 b) Την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή του z , c) Τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του w, d) Τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του z w . 4.72. Δίνεται z ∈ ℂ− {0,− 1 } και η συνάρτηση: 1 ( ) 1 z f z z    a) Να βρείτε τον αριθμό (f(i))90 . b) Να αποδείξετε ότι 1 ( ) ( ) 0f z f z   . c) Αν ισχύει ( ) ( )f z f z , να αποδείξετε ότι ο αριθμός z είναι πραγματικός. d) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z για τους οποίους ισχύει: ( ) (2 )f z f i 4.73. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z και η συνάρτηση ( ) Re( )f z z z i  . a) Να βρείτε το (3 7)f i . b) Αν η εικόνα του f(z) βρίσκεται στη διχοτόμο της 1ης-3ης γωνίας των αξόνων, να αποδείξετε ότι z≠0 c) Αν ισχύει   2 Re( ( )) 2Re( ) 3f z z  , να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z. d) Αν οι μιγαδικοί αριθμοί z1 και z2 ανήκουν στον γεωμετρικό τόπο του προηγούμενου ερωτήματος να βρείτε την μέγιστη τιμή του 1 2z z . 4.74. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z και w για τους οποίους ισχύει z = 4− 3i 5 ⋅w .
  • 14. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Σελίδα 14 από 15 a) Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των z και w ισαπέχουν από την αρχή των αξόνων. b) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός z w u z w    είναι φανταστικός . c) Αν ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι ο κύκλος με κέντρο Κ(0,-5) και ακτίνα ρ=3, να βρείτε:  Τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων w,  Την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του w . 4.75. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός w για τον οποίο ισχύει    75 90 3 2 26w w i w w i     a) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του w. b) Να βρείτε ποιός από τους παραπάνω μιγαδικούς w έχει το ελάχιστο μέτρο. c) Για την τιμή του w που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα , θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει: 2 210 6z i z w    . Να βρείτε:  Τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z,  Την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του 1 5z i  . 4.76. Δίνεται η εξίσωση 3 1 3 1 3 .z z i i     a) Να βρείτε τον αριθμό z. b) Να βρείτε τον αριθμό   2011 3u z i   . c) Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός w για τον οποίο ισχύει w z w u   , όπου z και u οι μιγαδικοί που βρήκατε στα δυο προηγούμενα ερωτήματα. Να βρείτε:
  • 15. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Σελίδα 15 από 15  Τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του w,  Την ελάχιστη τιμή του w .