![∅ เป็นเซตจำกัด
และ ∅ ≠ ሼ∅ሽ ≠ ሼ0ሽ
สมบัติของค่าสัมบูรณ์
คุณสมบัติของอสมการค่าสัมบูรณ์
กำหนดให ้ a > 0
1. ถ ้ำ |p(x)| < a แล ้ว –a < p(x) < a
2. ถ ้ำ |p(x)| ≤ a แล ้ว –a ≤ p(x) ≤ a
3. ถ ้ำ |p(x)| > a แล ้ว p(x) > หรือ p(x) < -a
4. ถ ้ำ |p(x)| ≥ a แล ้ว p(x) ≥ หรือ p(x) ≤ -a
5. ถ ้ำ |p(x)| > |q(x)| แล ้ว [p(x)]2
> [q(x)]2
เซต
ชนิดของเซต
1. เซตจำกัด เช่น {1, 2, 3, …, 100}
2. เซตอนันต์ เช่น [0, 1] หรือ {1, 2, 3, ...}
3. เซตว่ำง (∅, {}) เป็นเซตที่ไม่มีสมำชิกอยู่เลย
4. เอกภพสัมพัทธ์ ( 𝜇) คือ เซตที่ประกอบด ้วยสมำชิกทั้งหมด
ของสิ่งที่เรำต ้องกำร
การเขียนเซต
1. เขียนแบบแจกแจงสมำชิก (Tubular form) มีหลักกำรเขียน ดังนี้
เขียนสมำชิกทั้งหมดในวงเล็บปีกกำ
สมำชิกแต่ละตัวคั่นด ้วยเครื่องหมำยจุลภำค (,)
สมำชิกที่ซ้ำกันให ้เขียนเพียงตัวเดียว
ในกรณีที่จำนวนสมำชิกมำกๆ ให ้เขียนสมำชิกอย่ำงน้อย 3 ตัวแรก แล ้วใช ้จุด 3 จุด (Triple dot)
แล ้วจึงเขียนสมำชิกตัวสุดท ้ำย
2. เขียนแบบบอกเงื่อนไขของสมำชิก (Set builder form) หลักกำรเขียนมีดังนี้
เขียนเซตด ้วยวงเล็บปีกกำ
กำหนดตัวแปรแทนสมำชิกทั้งหมดตำมด ้วยเครื่องหมำย | (| อ่ำนว่ำ “โดยที่”) แล ้วตำมด ้วย
เงื่อนไขของตัวแปรนั้น ดังรูปแบบ {x | เงื่อนไขของ x}
1. |x| ≥ 0
2. |x| = |-x|
3. |xy| = |x||y|
4. ቚ
x
y
ቚ=
|x|
|y|
5. |x-y| = |y-x|
6. √x2 = |x|
7. |x|2
= x2
8. ถ ้ำ |a| < |b| แล ้ว a2
< b2
9. |x+y| ≤ |x| + |y|
10. |x-y| ≥ |x| - |y|
11. |x+y| = |x| + |y| ก็ต่อเมื่อ xy ≥ 0](https://image.slidesharecdn.com/random-171121051425/85/-3-320.jpg)
![สมบัติของซิกมา
สูตรผลบวกที่สาคัญ
ผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรม
เขียนแทนด ้วยสัญลักษณ์ Sn = a1 + a2 + a3 + … + an = ∑ 𝐚𝐧
𝐢= 𝟏 𝐢
อนุกรมเลขคณิต
ผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต สำมำรถหำได ้จำกสมกำร
𝐒 𝐧 =
𝐧
𝟐
[𝟐𝐚 𝟏 + (𝐧 − 𝟏)𝐝] หรือ 𝐒 𝐧 =
𝐧
𝟐
(𝐚 𝟏 + 𝐚 𝐧)
หมำยเหตุ ในกรณีที่เรำรู้ Sn ต ้องกำรจะหำ an ได ้จำกสมกำรนี้ an = Sn – Sn-1 เมื่อ n ≠ 1 และ Sn = ∑ 𝑎𝑛
𝑖=1 𝑖
อนุกรมเรขาคณิต
ผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรมเรขำคณิต สำมำรถหำได ้จำกสมกำร
𝐒 𝐧 =
𝐚 𝟏(𝐫 𝐧−𝟏)
𝐫−𝟏
หรือ 𝐒 𝐧 =
𝐚 𝐧(𝐫−𝐚 𝟏)
𝐫−𝟏
เมื่อ r ≠ 1
หรือจะใช ้สมกำร 𝐒 𝐧 =
𝐚 𝟏(𝟏−𝐫 𝐧)
𝟏−𝐫
หรือ 𝐒 𝐧 =
𝐚 𝟏−𝐚 𝐧 𝐫
𝟏−𝐫
เมื่อ r ≠ 1 ใช ้ในกรณีที่ r < 1
ความน่าจะเป็ น
กฎการนับเบื้องต้น
1. กฎกำรคูณ
ถ ้ำมีเหตุกำรณ์ย่อยเกิดขึ้น k เหตุกำรณ์ (n1, n2, …, nk) และแต่ละเหตุกำรณ์เกิดขึ้นภำยใต ้เงื่อนไขหลักและ
เงื่อนไขย่อยเดียวกัน
จำนวนเหตุกำรณ์ทั้งหมด = n1 × n2 × n3 × … × nk
2. กฎกำรบวก
ถ ้ำมีเหตุกำรณ์ย่อยเกิดขึ้น k เหตุกำรณ์ (n1, n2, …, nk) และแต่ละเหตุกำรณ์เกิดขึ้น ภำยใต ้เงื่อนไขหลัก
เดียวกัน แต่มีเงื่อนไขย่อยที่ต่ำงกัน
จำนวนเหตุกำรณ์ทั้งหมด = n1 × n2 × n3 × … × nk](https://image.slidesharecdn.com/random-171121051425/85/-13-320.jpg)
สรุปสูตรคณิตศาสตร์
- 1. สรุปสูตรคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ระบบจานวนจริง สมบัติของจานวนจริง กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ (a, b, c ∈ R) การเท่ากันในระบบจานวนจริง สมบัติของกำรเท่ำกันในระบบจำนวนจริง มีดังนี้ 1. สมบัติกำรสะท ้อน a = a 2. สมบัติสมมำตร ถ ้ำ a = b แล ้ว b = a 3. สมบัติกำรถ่ำยทอด ถ ้ำ a = b และ b = c แล ้ว a = c 4. สมบัติกำรบวกด ้วยจำนวนที่เท่ำกัน ถ ้ำ a = b แล ้ว a + c = b + c 5. สมบัติกำรคูณด ้วยจำนวนที่เท่ำกัน ถ ้ำ a = b และ c ≠ 0 แล ้ว ac = bc
- 2. การแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียว 1. กำรแยกตัวประกอบ 2. หำจำกสูตร x = −b±√b2−4ac 2a 3. ทฤษฏีบทเศษเหลือ 3.1. ทฤษฏีบทเศษเหลือ กล่ำวว่ำ “ถ ้ำหำรพหุนำม P(x) ด ้วย x − a เมื่อ a เป็นจำนวนจริงแล ้วเศษจำก กำรหำรจะเท่ำกับ P(a)” 3.2. ทฤษฏีตัวประกอบ (factor theorem) กำหนดพหุนำม P(x) และ a เป็นจำนวนจริงใดๆ แล ้ว 3.2.1 ถ ้ำ x − a เป็นตัวประกอบของ P(x) แล ้ว P(a) = 0 3.2.2 ถ ้ำ P(a) = 0 แล ้ว x - a จะเป็นตัวประกอบของ P(x) 3.2.3 พอได ้ a จำกข ้อ 3.2.2 ก็นำไปหำรสังเครำะห์ การไม่เท่ากันในระบบจานวนจริง สมบัติของกำรไม่เท่ำกันในระบบจำนวนจริง มีดังนี้ 1. ถ ้ำ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ จะได ้ว่ำ 1.1. a = b ก็ต่อเมื่อ a – b = 0 1.2. a > b ก็ต่อเมื่อ a – b > 0 1.3. a < b ก็ต่อเมื่อ a – b < 0 2. สมบัติกำรบวกและกำรคูณด ้วยจำนวนที่ไม่เท่ำกันดังนี้ 2.1. ถ ้ำ a > b และ c ∈ R แล ้ว a + c > b + c หรือ a + (-c) > b + (-c) 2.2. ถ ้ำ a > b และ c ∈ R ; c ≠ 0 แล ้ว ถ ้ำ c > 0 ; ac > bc ถ ้ำ c < 0 ; ac < bc 3. ให ้ a, b, c, d ∈ R 3.1 ถ ้ำ a < b และ b < c แล ้ว a < c 3.2 ถ ้ำ 0 < a < b แล ้ว 1 a > 1 b 3.3 ถ ้ำ a < b < 0 แล ้ว 1 a > 1 b 3.4 ถ ้ำ a < b และ c < d แล ้ว a + c < b + d 3.5 ถ ้ำ a < b และ c < d แล ้ว a - d < b - c 3.6 ถ ้ำ 0 < a < b และ 0 < c < d แล ้ว 0 < ac < bd 3.7 ถ ้ำ a < b < 0 และ c < b < 0 แล ้ว ac > bd > 0 3.8 ถ ้ำ 0 < a < b และ 0 < c < d แล ้ว 0 < a c < b d 3.9 ถ ้ำ a < b < 0 และ c < b < 0 แล ้ว a c > b d > 0 ค่าสัมบูรณ์ของจานวนจริง ค่ำสัมบูรณ์ คือ |a| ระยะทำงบนเส ้นจำนวนจำก 0 ไปถึง a เงื่อนไขของค่าสัมบูรณ์ |x| = { x ; x > 0 0 ; x = 0 −x ; x < 0
- 3. ∅ เป็นเซตจำกัด และ ∅ ≠ ሼ∅ሽ ≠ ሼ0ሽ สมบัติของค่าสัมบูรณ์ คุณสมบัติของอสมการค่าสัมบูรณ์ กำหนดให ้ a > 0 1. ถ ้ำ |p(x)| < a แล ้ว –a < p(x) < a 2. ถ ้ำ |p(x)| ≤ a แล ้ว –a ≤ p(x) ≤ a 3. ถ ้ำ |p(x)| > a แล ้ว p(x) > หรือ p(x) < -a 4. ถ ้ำ |p(x)| ≥ a แล ้ว p(x) ≥ หรือ p(x) ≤ -a 5. ถ ้ำ |p(x)| > |q(x)| แล ้ว [p(x)]2 > [q(x)]2 เซต ชนิดของเซต 1. เซตจำกัด เช่น {1, 2, 3, …, 100} 2. เซตอนันต์ เช่น [0, 1] หรือ {1, 2, 3, ...} 3. เซตว่ำง (∅, {}) เป็นเซตที่ไม่มีสมำชิกอยู่เลย 4. เอกภพสัมพัทธ์ ( 𝜇) คือ เซตที่ประกอบด ้วยสมำชิกทั้งหมด ของสิ่งที่เรำต ้องกำร การเขียนเซต 1. เขียนแบบแจกแจงสมำชิก (Tubular form) มีหลักกำรเขียน ดังนี้ เขียนสมำชิกทั้งหมดในวงเล็บปีกกำ สมำชิกแต่ละตัวคั่นด ้วยเครื่องหมำยจุลภำค (,) สมำชิกที่ซ้ำกันให ้เขียนเพียงตัวเดียว ในกรณีที่จำนวนสมำชิกมำกๆ ให ้เขียนสมำชิกอย่ำงน้อย 3 ตัวแรก แล ้วใช ้จุด 3 จุด (Triple dot) แล ้วจึงเขียนสมำชิกตัวสุดท ้ำย 2. เขียนแบบบอกเงื่อนไขของสมำชิก (Set builder form) หลักกำรเขียนมีดังนี้ เขียนเซตด ้วยวงเล็บปีกกำ กำหนดตัวแปรแทนสมำชิกทั้งหมดตำมด ้วยเครื่องหมำย | (| อ่ำนว่ำ “โดยที่”) แล ้วตำมด ้วย เงื่อนไขของตัวแปรนั้น ดังรูปแบบ {x | เงื่อนไขของ x} 1. |x| ≥ 0 2. |x| = |-x| 3. |xy| = |x||y| 4. ቚ x y ቚ= |x| |y| 5. |x-y| = |y-x| 6. √x2 = |x| 7. |x|2 = x2 8. ถ ้ำ |a| < |b| แล ้ว a2 < b2 9. |x+y| ≤ |x| + |y| 10. |x-y| ≥ |x| - |y| 11. |x+y| = |x| + |y| ก็ต่อเมื่อ xy ≥ 0
- 4. ตัวอย่ำงเช่น การกระทาของเซต 1. กำรยูเนียน (∪) คือกำรรวมกันของสมำชิก เช่น A ∪ B จะได ้ว่ำ 2. กำรอินเตอร์เซคชัน (∩) คือ กำรซ้ำกันของสมำชิก เช่น A ∩ B จะได ้ว่ำ 3. ผลต่ำงเซต (-) คือเอำแค่เซตใดเซตหนึ่ง ไม่เอำเซตที่ซ้ำกัน เช่น A - B จะได ้ว่ำ
- 5. 4. กำรคอมพลีเมนท์ (A’, Ac ) คือ ไม่ต ้องกำรเซตนั้นๆ เช่น A’ คือไม่เอำเซต A สับเซต สับเซต คือ เซตย่อย เช่น A ⊂ B ก็ต่อเมื่อ สมำชิกทุกตัวของ A เป็นสมำชิกของ B เช่น A = {1, 2, 3} สับเซตของ A คือ {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, ∅ ดังนั้น จำนวนสับเซตของ A = 2n(A) พาวเวอร์เซตหรือเซตกาลัง P(A) = {สับเซตทั้งหมดของ A} เช่น A= {1, 2, 3} ดังนั้น P(A) = {{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, ∅} ข ้อสังเกต 1. จำนวนสมำชิกของ P(A) = n(P(A)) = 2n(A) 2. เมื่อ A เป็นเซตจำกัดและ n(A) = K จะได ้ 2K 2.1 n(P(A)) = 2K 2.2 n(P(P(A))) = 22K 2.3 n(P(P(P(A)))) = 222K ดังนั้น จำนวนสมำชิกที่ต่ำที่สุดของพำวเวอร์เซตคือ P(A) = 20 = 1 = ∅ คุณสมบัติของการ Operation ∅ เป็นสับเซตที่เล็กที่สุดของทุกเซตและ เซตทุกเซตเป็นสับเซตที่ใหญ่ที่สุดของตัวเอง 1. กฎกำรยุบ 2. กฎกำรสลับที่ A ∩ A = A A ∩ B = B ∩ A A ∪ A = A A ∪ B = B ∪ A 3. กฎกำรเปลี่ยนหมู่ 4. กฎกำรแจกแจง (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 5. กฎเดอร์มอแกน (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’ (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ A – B = A – (A ∩ B) = A ∩ B’ = B’ – A’
- 6. สูตรลดทอน สูตรจานวนสมาชิกของเซต แผนภาพเวนส์ – ออยเลอร์ (A’)’ = A ∅ = 𝒰 𝒰’ = ∅ A – B = A B’ A ∩ ∅ = ∅ A ∪ ∅= A A ∩ 𝒰 = A A ∪ 𝒰 = 𝒰 A ∩ (A ∪ B) = A A ∪ (A ∩ B) = A A ∩ (A’ ∪ B) = A ∩ B A ∪ (A’ ∩ B) = A ∪ B (A ∪ B) ∩ (A U B’) = A (A ∩ B) ∪ (A ∩ B’) = A • n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B) • n(A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A∩B) - n(A∩C) - n(B∩C) + n(A∩B∩C) • n(A’) = n(𝒰) - n(A) • n(A-B) = n(A) - n(A∩B)
- 7. เลขยกกาลัง สมบัติของเลขยกกาลัง ข ้อควรระวัง (a ± b)2 = (a2 ± b2) ให ้ใช ้กำลังสองสมบูรณ์หรือ ผลต่ำงกำลังสอง สมบัติของรากที่ n กำหนดให ้ a, b เป็นจำนวนจริงที่มีรำกที่ n และ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มำกกว่ำ 1 1. am an = am+n 2. am an = am−n 3. (am)n = amn เมื่อ amn ≠ amn 4. (ab)n = an bn 5. ቀ a b ቁ n = an bn เมื่อ b ≠ 0 6. a−n = 1 an เมื่อ a ≠ 0 7. a0 = 1 เมื่อ a ≠ 0 1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 2. (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 3. (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 4. (a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 5. a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) 6. a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) 1. ൫ √a n ൯ n = a เมื่อ √a n เป็นจำนวนจริง 2. ൫ √ann ൯ = ቐ a เมื่อ a ≥ 0 a เมื่อ a < 0 และ n เป็นจำนวนคี่บวก |a| เมื่อ a < 0 และ n เป็นจำนวนคู่บวก 3. √a n ⋅ √b n = √ab n 4. ට a b n = √a n √b n เมื่อ b ≠ 0 5. √amn = a m n
- 8. ฟังก์ชัน ผลคูณคาร์ทีเชียน ให ้ A และ B แทนเซตใด ๆ เขียนผลคูณคำร์ทีเชียนของ A และ B ว่ำ A×B อ่ำนว่ำ “A Cross B” จะได ้ว่ำ ผลคูณคำร์ทีเชียน ของ A และ B (A×B) คือเซตของคู่อันดับที่มีสมำชิกตัวหน้ำมำจำก A และสมำชิกตัวหลังมำจำก B สมบัติที่ควรทรำบ 1. ถ ้ำ A มีสมำชิก m ตัว และ B มีสมำชิก n ตัว แล ้ว A×B มีสมำชิก mn ตัว n(A×B) = n(A)×n(B) 2. A×B ≠ B×A แต่จะเท่ำกันก็ต่อเมื่อ A = B, A = ∅, B =∅ 3. A×∅ = ∅ = ∅×A 4. A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C), (A∪B)×C = (A×C)∪(B×C) 5. A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C), (A∩B)×C = (A×C)∩(B×C) 6. A×(B−C) = (A×B)−(A×C), (A−B)×C = (A×C)−(B×C) 7. r แทน ควำมสัมพันธ์ที่สอดคล ้องกับเงื่อนไขที่ต ้องกำรจำกผลคูณคำร์ทีเชียน ข ้อควรระวัง!!!! A∪(B×C) ≠ (A∪B)×(A∪C) A∩(B×C) ≠ (A∩B)×(A∩C) A−(B×C) ≠ (A−B)×(A−C) ฟังก์ชัน การตรวจสอบฟังก์ชัน 1. ควำมสัมพันธ์แบบแจกแจงสมำชิก โดยดูว่ำสมำชิกตัวหน้ำจับคู่กับสมำชิกตัวหลังมำกกว่ำ 1 คู่หรือไม่ ถ ้ำจับคู่มำกกว่ำ 1 คู่จะไม่เป็นฟังก์ชัน เช่น r1 = {(1, 2), (2, 4), (6, 3), (7, 2), (9, 4)} เป็นฟังก์ชัน เพรำะไม่มีสมำชิกตัวหน้ำใดเลยที่จับคู่มำกกว่ำ 1 คู่ r2 = {(2, 2), (2, 4), (4, 1), (5, 8), (7, 1)} ไม่เป็นฟังก์ชัน เพรำะมีสมำชิกตัวหน้ำที่จับคู่กันมำกกว่ำ 1 คู่ คือ สมำชิกตัวหน้ำ 2 จับคู่กับ 2 และ 4 2. ควำมสัมพันธ์ที่เป็นสมกำร เมื่อแทนค่ำ x ในสมกำร จะต ้องให ้ค่ำ y ออกมำเพียงค่ำเดียว ถ ้ำได ้ y มำกกว่ำ 1 ค่ำแสดงว่ำไม่เป็น ฟังก์ชัน เช่น r1 = {(x,y) ∈ R×R | y = x2 } เป็นฟังก์ชัน เพรำะเมื่อแทน x = 1 , 2 , 3 , … จะได ้y เพียง 1 ค่ำเสมอ r2 = {(x,y) ∈ R×R | x = y2 } ไม่เป็นฟังก์ชัน เพรำะเมื่อแทนค่ำ x = 1 จะได ้y มำกกว่ำหนึ่งค่ำ คือ 1 และ -1 3. กรำฟของควำมสัมพันธ์ ทำได ้โดยกำรลำกเส ้นตรงขนำนกับแกน y ถ ้ำตัดมำกกว่ำ 1 จุดแสดงว่ำไม่เป็นฟังก์ชั่น A×B = {(x,y) | x ∈ A, y ∈ B} โดเมน (Domain) คือ เซตของ x ที่ทำให ้ y หำค่ำได ้ เรนจ์ (Range) คือ เซตของ y ที่ทำให ้ x หำค่ำได ้ “โดเมน คือ x, เรนจ์ คือ y”
- 9. กรำฟ A เป็นกรำฟฟังก์ชัน เพรำะเมื่อลำกเส ้นขนำนกับแกน y แล ้วได ้จุดตัดเพียง 1 จุด กรำฟ B ไม่เป็นกรำฟฟังก์ชัน เพรำะเมื่อลำกเส ้นขนำนกับแกน y แล ้วได ้จุดตัด 2 จุด 4. กำรหำค่ำของฟังก์ชัน หำได ้จำก 3 วิธี ได ้แก่ 1) หำจำกเซตที่แจกแจงสมำชิก 2) อ่ำนจำกกรำฟ และ 3) แทนค่ำในสมกำร โดยค่ำที่หำได ้จำกฟังก์ชันจะเป็นค่ำ y 5. ฟังก์ชันเชิงเส ้น คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป y = f(x) = ax + b เมื่อ a,b ∈ R และ a ≠ 0 6. ฟังก์ชันกำลังสอง กรำฟของฟังก์ชันกำลังสอง y = ax2 + bx + c เมื่อ a ≠ 0 แล y = a(x-h)2 + k เป็นกรำฟ พำรำโบลำ แบ่งเป็น 2 ชนิด คือ 1) a < 0 จะเป็นกรำฟพำรำโบลำคว่ำ ให ้ค่ำสูงสุด 2) a > 0 จะเป็นกรำฟพำรำโบลำหงำย ให ้ค่ำต่ำสุด สมบัติของพาราโบลา
- 10. 1. จุดยอด (vertex) หรือ จุดวกกลับ (turning point) หำได ้จำก V = ቀ− 𝐛 𝟐𝐚 , 𝟒𝐚𝐜−𝐛 𝟐 𝟒𝐚 ቁ 2. สมกำรแกนสมมำตรของกรำฟ คือ x = − 𝐛 𝟐𝐚 และ ค่ำสูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชัน คือ y = 𝟒𝐚𝐜−𝐛 𝟐 𝟒𝐚 3. เมื่อ y = ax2 + bx + c จะได ้ x = K เป็นแกนสมมำตร แล ้ว f(k+Δ) = f(k−Δ) กล่ำวคือ ค่ำของ ฟังก์ชันที่อยู่ห่ำงจำกแกนสมมำตรเท่ำกัน จะมีค่ำเท่ำกัน 4. จุดตัดแกน x หำได ้จำก ให ้ y = 0 และ จุดตัดแกน y ให ้ x = 0 7. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป f = {(x,y) ∈ R×R+ | y = ax , a > 0, a ≠ 1} กรณีที่ 1 ถ ้ำ 0 < a < 1 แล ้ว f( x ) จะเป็นฟังก์ชันลด กรณีที่ 2 ถ ้ำ a > 1 แล ้ว f ( x ) จะเป็นฟังก์ชันเพิ่ม กำรหำค่ำของรำกที่สองของ x ± 2√y และ ටx ± 2√y จำก ൫√ 𝑎 + √𝑏൯ = 𝑥 + 2√y ൫√a൯ 2 + 2√a√b + ൫√b൯ 2 = 𝑥 + 2√y a + 2√a√b + 𝑏 = 𝑥 + 2√y a + b + 2√ab = 𝑥 + 2√y ටx ± 2√y = √a ± √b ก็ต่อเมื่อ a + b = x และ ab = y 8. ฟังก์ชันค่ำสัมบูรณ์ คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป y = |x – h| + k เมื่อ a, c เป็นจำนวนจริง โดยมี (h, k) เป็นจุดยอด กรณีที่ 1 a > 0 จะได ้กรำฟหงำย กรณีที่ 2 a < 0 จะได ้กรำฟคว่ำ
- 11. อัตราส่วนตรีโกณมิติ พิจารณาสามเหลี่ยม ABC จำกรูป ABC เป็นรูปสำมเหลี่ยมที่มีมุม C เป็นมุม ฉำกและด ้ำนตรงข ้ำมมุม A, B และ C ยำว a, b และ c ตำมลำดับ โดยยึด มุม B เป็นมุมหลักจะได ้ a เป็นควำมยำวของด ้ำนตรงข ้ำมมุม A หรือ เรียกว่ำ “ข ้ำม” b เป็นควำมยำวด ้ำนประชิดมุม A หรือเรียกว่ำ “ชิด” c เป็นควำมยำวด ้ำนตรงข ้ำมมุมฉำก หรือเรียกว่ำ “ฉำก” อัตราส่วนของความยาวด้านต่างๆ ข ้อสังเกต!!! 1. tan A = sin A cos A และ cot A = cos A sin A 2. (sin A)(cosec A) = 1, (cos A)(sec A) = 1, (tan A)(cot A) = 1 3. sin2 A + cos2 A = 1 4. 1 + cot2 A = cosec2 A 5. tan2 A + 1 = sec2 A การยุบมุมที่ติดลบ sin (-θ) = -sin θ cos (-θ) = cos θ tan (-θ) = -tan θ ทฤษฏีบทพีธาโกรัส ให ้ ABC เป็นสำมเหลี่ยมมุมฉำก และ A,B,C เป็นควำมยำวด ้ำนแต่ละด ้ำนดังรูป “ด ้ำนตรงข ้ำมมุมฉำก = ผลบวกกำลังสองของด ้ำนประกอบ มุมฉำก” sin A = ข ้ำม ฉำก cos A = ชิด ฉำก tan A = ข ้ำม ชิด cosec A = 1 sin A sec A = 1 cos A cot A = 1 tan A c2 = a2 + b2
- 12. อัตราส่วนตรีโกณมิติที่ควรทราบ ลาดับและอนุกรม ลาดับเลขคณิต ผลต่ำงร่วม 𝐝 = 𝐚 𝐧+𝟏 − 𝐚 𝐧 พจน์ที่ n ของลำดับเลขคณิต คือ 𝐚 𝐧 = 𝐚 𝟏 + (𝐧 − 𝟏)𝐝 ลาดับเรขาคณิต อัตรำส่วนร่วม 𝐫 = 𝐚 𝐧+𝟏 𝐚 𝐧 พจน์ที่ n ของลำดับเรขำคณิต คือ 𝐚 𝐧 = 𝐚 𝟏 𝐫 𝐧−𝟏 cos = X sin = Y
- 13. สมบัติของซิกมา สูตรผลบวกที่สาคัญ ผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรม เขียนแทนด ้วยสัญลักษณ์ Sn = a1 + a2 + a3 + … + an = ∑ 𝐚𝐧 𝐢= 𝟏 𝐢 อนุกรมเลขคณิต ผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต สำมำรถหำได ้จำกสมกำร 𝐒 𝐧 = 𝐧 𝟐 [𝟐𝐚 𝟏 + (𝐧 − 𝟏)𝐝] หรือ 𝐒 𝐧 = 𝐧 𝟐 (𝐚 𝟏 + 𝐚 𝐧) หมำยเหตุ ในกรณีที่เรำรู้ Sn ต ้องกำรจะหำ an ได ้จำกสมกำรนี้ an = Sn – Sn-1 เมื่อ n ≠ 1 และ Sn = ∑ 𝑎𝑛 𝑖=1 𝑖 อนุกรมเรขาคณิต ผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรมเรขำคณิต สำมำรถหำได ้จำกสมกำร 𝐒 𝐧 = 𝐚 𝟏(𝐫 𝐧−𝟏) 𝐫−𝟏 หรือ 𝐒 𝐧 = 𝐚 𝐧(𝐫−𝐚 𝟏) 𝐫−𝟏 เมื่อ r ≠ 1 หรือจะใช ้สมกำร 𝐒 𝐧 = 𝐚 𝟏(𝟏−𝐫 𝐧) 𝟏−𝐫 หรือ 𝐒 𝐧 = 𝐚 𝟏−𝐚 𝐧 𝐫 𝟏−𝐫 เมื่อ r ≠ 1 ใช ้ในกรณีที่ r < 1 ความน่าจะเป็ น กฎการนับเบื้องต้น 1. กฎกำรคูณ ถ ้ำมีเหตุกำรณ์ย่อยเกิดขึ้น k เหตุกำรณ์ (n1, n2, …, nk) และแต่ละเหตุกำรณ์เกิดขึ้นภำยใต ้เงื่อนไขหลักและ เงื่อนไขย่อยเดียวกัน จำนวนเหตุกำรณ์ทั้งหมด = n1 × n2 × n3 × … × nk 2. กฎกำรบวก ถ ้ำมีเหตุกำรณ์ย่อยเกิดขึ้น k เหตุกำรณ์ (n1, n2, …, nk) และแต่ละเหตุกำรณ์เกิดขึ้น ภำยใต ้เงื่อนไขหลัก เดียวกัน แต่มีเงื่อนไขย่อยที่ต่ำงกัน จำนวนเหตุกำรณ์ทั้งหมด = n1 × n2 × n3 × … × nk
- 14. แฟคทอเรียล (Factorial) การสับเปลี่ยน 1. กำรสับเปลี่ยนเชิงเส ้น (Linear Permutation) สิ่งของที่มีลักษณะแตกต่ำงกัน n ชิ้น จำนวนวิธีในกำรสับเปลี่ยน = n! วิธี กำรสับเปลี่ยนเชิงเส ้นของสิ่งของที่มีบำงสิ่งซ้ำกัน ในกรณีที่มีสิ่งของที่มีลักษณะเหมือนกัน จำนวนวิธีในกำรสับเปลี่ยน = n! n1!n2!n3!…nr! วิธี 2. กำรสับเปลี่ยนแบบวงกลม (Circular Permutation) สิ่งของมีลักษณะแตกต่ำงกัน n ชิ้น จำนวนวิธีในกำรสับเปลี่ยน = (n-1)! วิธี การจัดหมู่และการเปลี่ยนลาดับ 1. กำรจัดหมู่ 2. กำรเปลี่ยนลำดับ สมบัติของการจัดหมู่ ความน่าจะเป็ น ให ้ P(E) แทนควำมน่ำจะเป็นของเหตุกำรณ์ n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 3 × 2 × 1 n Cr = n! (n−r)!r! = ቀ n r ቁ n Pr = n Cr × r! = n! (n−r)! 1. ቀ n 1 ቁ = n 2. ቀ n n − 1 ቁ = n 3. ቀ n n ቁ = 1 4. ቀ n 0 ቁ = 1 P(E) = n(E) n(S)
- 15. สมบัติของความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์ 1. 0 ≤ P(E) ≤ 1 โดย P(E) = 0 หมำยถึงไม่มีเหตุกำรณ์นั้นเกิดขึ้น 2. P(S) = 1 หมำยถึง ควำมน่ำจะเป็นของแซมเปิ้ลสเปซเท่ำกับ 1 เสมอ 3. ถ ้ำ P(E’) แทนควำมน่ำจะเป็นที่เหตุกำรณ์ E จะไม่เกิดขึ้นแล ้ว P(E) = 1 – P(E’) สถิติ การหาค่ากลางข้อมูล 1. ข ้อมูลไม่แจกแจงควำมถี่ 1.1 ค่ำเฉลี่ยเลขคณิต ข ้อมูล 1 ชุด x̅ = ∑x N ข ้อมูล k ชุด x̅i = ∑Nx̅i ∑N = N1x̅1+N2x̅2+⋯+Nkx̅k N1+N2+⋯+Nk 1.2 มัธยฐำน (Median) ขั้นตอนกำรหำมัธยฐำน 1) เรียงลำดับข ้อมูลจำกน้อยไปหำมำก 2) หำตำแหน่งข ้อมูล โดยใช ้สูตร n+1 2 3) ข ้อมูลที่ตำแหน่งตรงกับสูตร คือค่ำมัธยฐำน 1.3 ฐำนนิยม (Mode) คือ ข ้อมูลที่มีค่ำซ้ำกันบ่อยครั้งที่สุด 2. ข ้อมูลแจกแจงควำมถี่ 2.1 ค่ำเฉลี่ยเลขคณิต x̅ = ∑fxc n โดย f แทน ควำมถี่ของอันตรภำคชั้นนั้นๆ xc แทน จุดกึ่งกลำงชั้น Min + Max 2 n แทน จำนวนข ้อมูล หรือควำมถี่สะสมชั้นสุดท ้ำย 2.2 มัธยฐำน (Med) ขั้นตอนกำรหำมัธยฐำน 1) หำตำแหน่งข ้อมูล โดยใช ้สูตร N 2 2) นำตำแหน่งของข ้อมูลที่ได ้ ไปเทียบกับควำมถี่สะสม ว่ำอยู่ในอันตรภำคชั้นใด 3) หำค่ำมัธยฐำน โดยใช ้สูตร Med = L + I ( N 2 −∑fL fMed ) โดย L แทน ขอบล่ำงของชั้นที่มีมัธยฐำนอยู่ I แทน ควำมกว ้ำงของอันตรภำคชั้น ∑fL แทน ควำมถี่สะสมจนถึงก่อนหน้ำชั้นที่มีมัธยฐำนอยู่ fMed แทน ควำมถี่ของชั้นที่มีมัธยฐำนอยู่ 2.3 ฐำนนิยม Mode = L + I ቀ d1 d1+d2 ቁ โดย L แทน ขอบล่ำงของชั้นที่มีฐำนนิยมอยู่ (ชั้นที่มีควำมถี่สูงสุด) I แทน ควำมกว ้ำงของอันตรภำคชั้น d1 แทน ผลต่ำงของควำมถี่ ของชั้นที่มีควำมถี่สูงสุดกับชั้นก่อนหน้ำ d2 แทน ผลต่ำงของควำมถี่ ของชั้นที่มีควำมถี่สูงสุดกับชั้นถัดไป
- 16. การวัดตาแหน่งข้อมูล 1. ข ้อมูลไม่แจกแจงควำมถี่ 1.1 ควอไทล์ (Quartile) ขั้นตอนกำรหำควอไทล์ 1) เรียงลำดับข ้อมูลจำกน้อยไปมำก 2) หำตำแหน่งของควอไทล์จำกสูตร Qr = r(N+1) 4 3) ข ้อมูลที่ตำแหน่งตรงกับสูตร คือค่ำควอไทล์ 1.2 เดไซล์ (Decile) ขั้นตอนกำรหำเดไซล์ 1) เรียงลำดับข ้อมูลจำกน้อยไปมำก 2) หำตำแหน่งของเปอเซ็นไทล์จำกสูตร Dr = r(N+1) 10 3) ข ้อมูลที่ตำแหน่งตรงกับสูตร คือค่ำเดไซล์ 1.3 เปอร์เซ็นไทล์ ขั้นตอนกำรหำเปอร์เซ็นไทล์ 1) เรียงลำดับข ้อมูลจำกน้อยไปมำก 2) หำตำแหน่งของเปอเซ็นไทล์จำกสูตร Pr = r(N+1) 100 3) ข ้อมูลที่ตำแหน่งตรงกับสูตร คือค่ำเปอร์เซ็นไทล์ 2. ข ้อมูลแจกแจงควำมถี่ 2.1 ควอไทล์ (Quartile) ขั้นตอนกำรหำควอไทล์ 1) หำตำแหน่งของควอไทล์จำกสูตร Qr = rN 4 2) Qr = L + I ( rN 4 −∑fL fQ ) 2.2 เดไซล์ (Decile) ขั้นตอนกำรหำเดไซล์ 1) หำตำแหน่งของเดไซล์จำกสูตร Dr = rN 10 2) Dr = L + I ( rN 10 −∑fL fD ) 2.3 เปอร์เซ็นไทล์ ขั้นตอนกำรหำเปอร์เซ็นไทล์ 1) หำตำแหน่งของเปอร์เซ็นไทล์จำกสูตร Pr = rN 100 2) Pr = L + I ( rN 100 −∑fL fP ) โดย L แทน ขอบล่ำงของชั้นที่มีควอไทล์ เดไซล์ เปอเซ็นไทล์อยู่ I แทน ควำมกว ้ำงของอันตรภำคชั้น ∑fL แทน ควำมถี่สะสมจนถึงก่อนหน้ำชั้นที่มีมีควอไทล์ เดไซล์ เปอเซ็นไทล์ fQ,D,P แทน ควำมถี่ของชั้นที่มีมีควอไทล์ เดไซล์ เปอร์เซ็นไทล์อยู่ Q2 = D5 = P50 = Median
- 17. การวัดการกระจายข้อมูล 1. พิสัย = Max – Min 2. ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ = Q3−Q1 2 3. ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (M.D) = Σ|x−x̅| N 4. ส่วนเบี่ยงเบนมำตรฐำน (S.D.) = ට ∑(x−x̅)2 N = ට Σx2 N − x̅2 5. ควำมแปรปรวน (S.D.)2 = ∑(x−x̅)2 N