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実数ってナンだ?
http://www.geocities.jp/sugachan1973
システム奮闘記
 関西の某中小企業
IT担当者
菅 雄一
LILO 20周年記念ミートアップ  (2017/12/17)
実は凄い。中学?高校の数
学
数学の勉強のキッカケ
● 人工知能、機械学習が話題
● でも、数学がわからない
● 一応、学生時代理系だったが
● 数学を理解せずに社会人になり
● 文系生活を送っていたため
数学をイチからやりなおし
実数の話をする理由
● 大学の微分積分を理解するのに
● 実数の話は欠かせない
● でも、案外、実数の事は知らない
● 中学?高校で習う数学には
● 凄い事が隠されているため
数学の不思議さが体験可能
数の種類
●自然数
●整数
●有理数
●無理数
中学で習う範囲
実数とは何か?
●自然数
●整数
●有理数
●無理数
実数の構成要素
高校で習う範囲
実数の分類
高校で習う範囲
実数
自然数
有理数
整数
分数
無理数
ゼロと
負の整数
自然数って何だ?
● 1で始まる数字
● 1づつ加算される
● 1,2,3,4,???,100,???
● 無限に続く
中学?高校の数学だ
と
哲学にハマる人は
●1+1=2
●なぜ2になるのか
●永遠に議論になる
ペアノの公理(自然数の性
質)
● 1という自然数がある
● 自然数Xに対して X+1 がある
● X+1=y+1ならば X=Y
● X+1=1となるXは存在しない
疑ってはいけない前提条
自然数が出発点になる
● 自然数が土台となり
● 自然数から整数を作り
● 整数から有理数を作り
● 有理数から無理数を作る
整数って何だ?
● 自然数
● 0が存在する
● 自然数にマイナスを付けた物
整数の構成要素
具体的には 
-1000,-345,0,3,12,65,235 などな
整数の作り方
● 2つの自然数X、Yを用意する
● X – Y の値を整数とする
X=10 Y=3 なら X – Y = 7
X=45 Y=45 なら X – Y = 0
X=20 Y=235 なら X – Y = -215
有理数って何だ?
● 整数Qと自然数Pを用意する
● を有理数とする
有理数の構成要素
有理数とは
分数で表現できる
数
Qは整数
Pは自然数
実はおかしい翻訳
● 有理数は「rational number」
● 正しく訳すと有比数
● 無理数は「irrational number」
● 正しく訳すと無比数
有理数、無理数は誤訳かも
有比数、無比数だと
● 有比数は比率表現が可能
● なので分数表現が可能
● 無比数は比率表現が不可能
● なので分数表現が不可能
すごく、わかりやすく
なる
無理数は
分数で表現できない
数
本当に存在するの
ピタゴラスの定理より
直角三角形の辺の関係
無理数は存在する
直角二等辺三角形の辺の比
は無理数なのか?
は分数で表現できない事
を
証明すれば良い
背理法を使う!
は分数で表現できると仮
定
とするQ,Pは互いに素
の両辺を2乗する
は無理数の証明
になる
を変形すると
は無理数の証明
になる
は無理数の証明
なので  は偶
数
Qは偶数になる
偶数の2乗は偶数。奇数の2乗は奇数よ
り
は無理数の証明
かつ Qは偶数なの
で
Pは偶数になる
は偶数になる
は無理数の証明
PもQも偶数なの
で
互いに素ではな
い
矛盾が出たの
で表せない
は無理数の証明
は無理数になる
無理数は
分数で表現できない
数
どのように作り出すの
無理数の定義
● 19世紀の数学者
● デデキントによって定義
デデキントの有理数の切
デデキントの有理数の切
断
世の中が有理数だけだ
と
歯抜けの状態になる
有理数全体を2つに分ける(1)
境界部分はAに有理数が入る
有理数全体を2つに分ける(2)
境界部分はA’に有理数が入る
有理数全体を2つに分ける(3)
AとA’の境界に有理数がない
境界点 α = <A,A’>を
無理数と定義
無理数の表現方法
●有理数列を使って
●近似表現をする
有理数から無理数を作る
有理数列とは何?
全ての項  が有理数の
数列   の事
無理数の表現方法
無理数は無限に続く小
数
で表現
は整数
無理数の形をよく見ると
無限に続く有理数の和で近似
は整数
実数の数列の収束の定義式
● 数列がαに収束するとは
● 任意の実数εに対して
● ある自然数noが存在し
● 任意のn > no に対して
が成り立つ
時
有理数列で実数を表現
● 有理数列が
● 実数αに収束するとは
● 任意の有理数 ε に対して
● ある自然数noが存在し
● 任意のn > no に対して
が成り立つ
時
有理数列の収束の発想
最小の有理数 ε で挟み込む
収束値α
こんな有理数列を考える
数列の項が
ゼロに収束する物
微調整しながら収束す
高校で習う数学であるぞ
有理数の和を用意する
無限に足し合わせると
無理数のネイピア数にな
無理数を作る方法は
有理数から無理数を作る
● 限りなく小さい
● 有理数を足していき
● 无理数に近似させていく
反対の例もあるぞ!!
無理数の和で有理数に近似
高校で習う数学に出てく
無理数の和が有理数に近似
三角関数 sin(x)が良い例
は無理数
sin(x)の定義式
無限の足し算になってい
sin(x)に無理数を代入
無理数の和が有理数に近
无限の不思议
数の個数を考える
● 1から10までの
● 自然数の個数は10個
● 1から10までの
● 偶数の自然数の個数は
● 2,4,6,8,10で5個
偶数の場合、半分になる
数の個数を考える
● 自然数全体の中から
● 偶数だけ取り出した個数は
● 自然数全体の半分なのか?
答えは同じ数。中学の数
y=2xの関係式で見ると
1 2 3 4 5
????
2 4 6 8 10
????1対1対応できるため個数は同
じ
実数の個数を考える
● (-1,1)の区間の実数の個数と
● (-∞,∞)の区間の実数の個数は
● 実は同じになる
高校の数学に出てくる!!
三角関数 Y = tan X を使う
1対1の対応関係になる
(-1,1)の実数と
(-∞,∞)の実数が
参考文献
● 「解析入門I」(小平邦彦)
● 「集合と位相」(小森洋平)

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