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Chapter 1 微積分《 Calculus An Applied Approach 》微积分的基础与回顾 A Pre calculus Review 1 Chapter

1.4 因式分解多項式 P.1-18 第 1 章微积分的基础与回顾因式分解技巧代數基本定理（ Fundamental Theorem of Algebra ）指出 n 次多項式 a n + a n - 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 恰好有 n 個零點（ zeros ）（這些零點可能是重複或虛數），而求使多項式零點的問題相當於將多項式因式分解為一次因式的乘積的問題。歐亞書局

因式分解的公式與技巧 P.1-18 第 1 章微积分的基础与回顾歐亞書局

P.1-18 第 1 章微积分的基础与回顾歐亞書局

範例 1 P.1-19 第 1 章微积分的基础与回顾應用二次式的公式範例 1 使用二次式公式求下列各多項式的所有實數的零點：歐亞書局

P.1-19 第 1 章微积分的基础与回顾解 (a) 令 a ＝ 4 ， b ＝ 6 及 c ＝ 1 ，則故兩實數的零點為歐亞書局

P.1-19 第 1 章微积分的基础与回顾歐亞書局 (b) 令 a ＝ 1 ， b ＝ 6 及 c ＝ 9 ，由二次式公式可得故有一重複的零點： x ＝－ 3 。 (c) 對此二次式而言， a ＝ 2 ， b ＝－ 6 及 c ＝ 5 ，所以由於－ 4 是虛數，所以原式沒有實數的零點。

範例 2 P.1-20 第 1 章微积分的基础与回顾解 (a) 因為 x 2 － 6 x ＋ 9 ＝ ( x － 3 ) 2 所以唯一的零點 x ＝ 3 。 (b) 因為 2 x 2 ＋ 5 x － 3 ＝ (2 x － 1 ) ( x ＋ 3 ) 所以兩零點為 x ＝ 1/2 和 x ＝－ 3 。歐亞書局因式分解二次式範例 2 求二次多項式的零點。 (a) x 2 － 6 x ＋ 9 (b) 2 x 2 ＋ 5 x － 3

範例 3 P.1-20 第 1 章微积分的基础与回顾求 x 2 － 3 x ＋ 2 的定義域。範例 3 求根式的定義域歐亞書局解因為我們知此二次方程式的根是 x ＝ 1 和 x ＝ 2 ，所以必須在三個區間 ( －∞ ,1) ， (1,2) 和 (2,∞) 中，檢測此二次多項式的符號，如圖 1.14 所示。檢測的結果可知此二次式在中間的區間為負，在兩側區間為正，而且二次式在 x ＝ 1 和 x ＝ 2 處為零，故可判定的定義域為 x 2 － 3 x ＋ 2

圖 1.14 P.1-20 第 1 章微积分的基础与回顾歐亞書局圖 1.14

因式分解三次或更高次的多項式 P.1-20 第 1 章微积分的基础与回顾因式分解三次或更高次方的多項式求使三次或更高次多項式的零點通常是很困難的，不過若知道多項式的一個零點時，則可利用此根來降低多項式的次數。例如，已知 x ＝ 2 是 x 3 － 4 x 2 ＋ 5 x － 2 的一根，則可知 ( x － 2) 為其因式之一，故可利用長除法來因式分解此多項式，如下所示：歐亞書局

三次多項式的综合除法 P.1-21 第 1 章微积分的基础与回顾綜合除法除了長除法之外，我們也可用綜合除法（ synthetic division ）來降低多項式的次數。歐亞書局

因式定理 P.1-21 第 1 章微积分的基础与回顾因式定理一種系統化的方法可求得使多項式的有理數之零點，稱為因式定理（ Rational Zero Theorem ）（亦稱為有理數的零點定理）。歐亞書局

範例 4 P.1-22 第 1 章微积分的基础与回顾求下列多項式的所有實數的零點： 2 x 3 ＋ 3 x 2 － 8 x ＋ 3 範例 4 使用因式定理歐亞書局解根據因式定理，常數項的因數除以首項係數的因數就是可能的有理數零點，即

P.1-22 第 1 章微积分的基础与回顾歐亞書局檢測這些可能的根，可知 x ＝ 1 為多項式的一個實數零點，因為現在利用綜合除法可得最後，以因式分解二次式得 2 x 2 ＋ 5 x － 3 ＝ (2 x － 1)( x ＋ 3) ，所以故可判定根為 x ＝ 1 ， x ＝ 1/2 和 x ＝－ 3 。

1.5 分式和有理化分式的運算 P.1-24 第 1 章微积分的基础与回顾分式的運算分子和分母皆為多項式，稱為有理式（ rational expressions ）。若分子的次數小於分母的次數，則稱此有理式為真（ proper ）分式，若分子的次數大於或等於分母的次數，則稱此式為假（ improper ）分式。歐亞書局

分式的運算 P.1-24 第 1 章微积分的基础与回顾歐亞書局

範例 1 P.1-25 第 1 章微积分的基础与回顾計算及化簡範例 1 解有理式的加減歐亞書局

P.1-24 第 1 章微积分的基础与回顾在加（或減）分式時，若沒有公因式，可利用下列方式。歐亞書局

範例 2 P.1-25 第 1 章微积分的基础与回顾計算並化簡：範例 2 有理式的加減歐亞書局解

範例 3 P.1-26 第 1 章微积分的基础与回顾將以下的有理式相加：範例 3 解兩個以上有理式的相加歐亞書局

根式 P.1-27 第 1 章微积分的基础与回顾根式在微積分中，對分式微分時容易造成「冗長的」展開式，若分式又有根號時，則這種情形特別明顯。微分時化簡成較易處理的型式是很重要的。歐亞書局

範例 4 P.1-27 第 1 章微积分的基础与回顾化簡下列根式：範例 4 化簡根式歐亞書局

P.1-27 第 1 章微积分的基础与回顾解歐亞書局

有理化技巧有理化技巧在處理含根號的商式時，通常將根式由分母移到分子，反之亦然。例如，可將下列的商式乘以 / ，即可將從分母移到分子。此過程稱為分母有理化（ rationalizing the denominator ），另一種類似的過程稱為分子有理化（ rationalize the numerator ）。 P.1-28 第 1 章微积分的基础与回顾歐亞書局 2 2 2

範例 5 P.1-28 第 1 章微积分的基础与回顾將下列各式的分母或分子有理化：範例 5 分母和分子的有理化歐亞書局

P.1-28 第 1 章微积分的基础与回顾歐亞書局解

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