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連立方程式の解き方
?線形代数とグレブナー基底?
グレブナー基底大好きbot
2018/05/12 数理空間トポス

自己紹介
? グレブナー基底が大好きなbot
? ツイートはすべて手動
? グレブナー基底についてツイート
することでグレブナー基底を普及する
bot
? 数学ラノベ「最近、妹がグレブナー基底
に興味を持ち始めたのだが。」（数理学院
出版）の著者
? 「グレブナー基底にはポン酢が合う」の生みの親
グレブナー基底大好きbotとは？

連立方程式とは？
? 複数の方程式からなる組
? この連立方程式を解く
=(1)と(2)を同時に満たすxとyを見つけること
(本発表では解の個数が有限個のものを考える)

連立方程式を解く
? 加減法
（１）を2倍して（２）を引く。つまり、（１）×2-（2）を計算。
よって、を（1）に代入して、
答えは、

連立方程式についての疑問
? 加減法でどんな連立方程式も必ず解ける？

?解けるとしたらどうやって証明する？

? 連立方程式を解く「操作」を数学的に考察できる？

?「解き方」を数学的に定義できる？

? ２次以上の连立方程式はどうすれば解ける？

?
はどうやって解く？

?
はどうやって解く？
線形代数
グレブナー基底

连立方程式の係数を抜き出す

行列
? 右のように縦と横に数字を
並べたものは行列と呼ばれる。
? 横に並ぶ方を行、縦に並ぶ方を列と呼ぶ。
1行目
2行目
1
列
目
2
列
目
3
列
目
行列

行列で連立方程式を解く
1行目
2行目
?行の定数倍（１行目×2など）
?行を足す（1行目+2行目など）
を何回か行って、行列を変形し
ていく
目標：に変形する

行列と連立方程式の対応
変形

どんな操作が許されるか？
? １つの行の定数倍する
1行目
2行目
2倍
解は変化
しない

どんな操作が許されるか？
? １つの行(の定数倍)を他の行に足す
1行目
2行目
足す
解は変化
しない

ガウスの消去法①
? ① 1行目の-2倍を2行目に足す
1行目
2行目
-2倍
2行目に加える
各項を計算

ガウスの消去法②
? ② 2行目を倍する
? ③ 2行目の-2倍を1行目に加える
2行目を倍
-2倍

連立方程式と行列
? 連立方程式を行列で表した
?係数を行と列に並べる
? 連立方程式を解く操作は、行の操作（行基本変形）に対応す
る
?行を定数倍する、行を足す操作は加減法に対応している
? 行基本変形で（線形）連立方程式が解けることは数学的に証
明できる
? 「線形代数」では、行列の様々な計算について考察する

連立方程式とグレブナー基底
? 右の連立方程式のように、
次数が2次以上の場合には
行列による「ガウスの消去法」は
そのまま適用できない。
グレブナー基底を使うと、どんな連立方程式も解くことができる。
グレブナー基底を計算
から答えは

複雑な式もグレブナー基底で解ける
グレブナー基底を計算

連立方程式の重要性
? 解が有限個とは限らない連立方程式も考えられる。
これらは代数幾何学の言葉で代数多様体（アフィン多様体）と
呼ばれる。
多くの数学者によって、代数多様体は研究されてきている。

数学とコンピュータ
? 行列の計算やグレブナー基底はコンピュータで計算すること
ができる
? 行列は純粋数学以外にも、人工知能や暗号理論にも用いら
れる
? 近年ではコンピュータを用いた数学の研究も盛んになってきて
いる

まとめ
? 連立方程式は行列を使って解くことができる
? 行列は線形代数において重要な概念である
? 連立方程式は代数幾何学などで扱われる
? 次数が大きい連立方程式はグレブナー基底を使って解ける

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连立方程式の解き方?线形代数とグレブナー基底?

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