際際滷

際際滷Share a Scribd company logo

Statistika data tunggal

Universitas Sultan Ageng Tirtayasa
Universitas Sultan Ageng Tirtayasa

Statistika data tunggal Matematika SMA Kelas X IPA

1 of 11
342 Kelas X C. MATERI PEMBELAJARAN 1. Data Tunggal Pada subbab ini, akan dipelajari data-data yang muncul dalam kehidupan sehari- hari. Data merupakan hal yang sangat diperlukan untuk memberikan keterangan atau informasi yang diperoleh dari suatu pengamatan. Data dapat berupa angka, lambang, ataupun karakteristik. Data yang diperoleh sebaiknya merupakan data yang sifatnya merupakan perwakilan dari kejadian. Selain itu data juga harus objektif sesuai dengan kenyataan dan memiliki hubungan terhadap permasalahan/kejadian yang akan diselesaikan. Secara umum, dari suatu data dapat digali informasi-informasi penting sebagai pertimbangan seseorang untuk mengambil keputusan yang akan dilakukannya; misalnya, para pimpinan instansi atau pihak yang berkepentingan. Perhatikan masalah tingkat produksi pertahun beberapa UKM di Yogyakarta, tahun 2012. Masalah-11.1 Data Tingkat Produksi Barang UKM di Yogyakarta Sebuah lembaga survey menemukan bahwa terdapat 10 Usaha Kecil Menengah (UKM) yang tersebar di propinsi D.I. Yogyakarta yang memproduksi berbagai produk, seperti: kerajinan tangan, makanan kering, dan aksesoris. Lembaga survei tersebut memperoleh data produksi sepuluh UKM untuk tahun 2012 yakni sebagai berikut (dalam satuan Unit). Tabel 11.1 Data Jumlah Produksi Barang UKM di Yogyakarta UKM A B C D E F G H I J Jumlah Produksi (unit) 400 550 600 700 350 450 650 600 750 600 Berdasarkan data pada Tabel 11.1, lembaga survei ini memberikan data statistik kepada pemerintah (khususnya menteri keuangan dan perdagangan) untuk merespon keadaan UKM di Yogyakarta. Bagaimana harus menyusun informasi mengenai data tersebut? Alternatif Penyelesaian Untuk memudahkan pengolahan data tersebut, terlebih dahulu disajikan dalam tampilan yang lebih menarik.
343Matematika a. Penyajian Data Tabel Sebenarnya data yang diperoleh lembaga survei pada Tabel 11.1 sudah dalam bentuk tabel, tetapi mari kita sajikan dalam tampilan yang lebih menarik lagi, seperti Tabel 11.2 berikut ini. Tabel 11.2 Data Jumlah Produksi Barang UKM di Yogyakarta UKM Jumlah Produksi (dalam satuan unit) A 400 B 550 C 600 D 700 E 350 F 450 G 650 H 600 I 750 J 600 Total 5.650 Kemudian, lembaga tersebut ingin menyampaikan informasi tentang rata-rata tingkat produksi produk UKM di Yogyakarta, untuk dapat dibandingkan dengan tingkat produksi UKM di provinsi lain. Untuk data tunggal, rata-rata (mean) dirumuskan sebagai berikut. Mean x( ) = datum ke-1 + datum ke-2 + datum ke-3 + ... + datum ke- banyak datum n Untuk data di atas, diperoleh: x x = + + + + + + + + + = = 400 550 600 700 350 450 650 600 750 600 10 5 650 10 565 . Artinya, rata-rata tingkat produksi setiap UKM di Yogyakarta pada tahun 2012 adalah 565 unit. Selain rata-rata data tersebut, terdapat tiga UKM yang memiliki jumlah produksi yang sama, sebesar 600 unit. Dalam arti statistik, dari 10 data yang tersaji, terdapat datum yang paling sering muncul, yaitu 600. Datum yang paling sering muncul disebut modus. Definisi 11.1
344 Kelas X Jadi, modus data dari Tabel 11.1 adalah 600. Jika data terendah diurutkan sampai data tertinggi, diperoleh urutan data Tabel 11.1 sebagai berikut. 350, 400, 450, 550, 600, 600, 600, 650, 700, 750 Jika data tertinggi dikurang dengan data terendah diperoleh: Datum tertinggi datum terendah = 750 350 = 400. Hasil pengurangan ini dalam statistik disebut dengan jangkauan data (range). Pada data di atas, diperoleh jangkauannya 400. Sifat-1 Jangkauan Data = Datum tertinggi Datum terendah = xmaks xmin Dari urutan data tersebut diperoleh nilai tengah data (median). Nilai tengah data (median) adalah statistik yang membagi dua data pada bagian yang sama. 350 400 450 550 600 600 600 650 700 750 Bagian-1 Bagian-2 Jadi median data = 600 600 2 + = 600. Secara umum, formula untuk menentukan median, dirumuskan sebagai berikut: Jika banyak data genap, median dirumuskan: Sifat-2 Median Datum ke Datum ke banyak d= 錚 錚 錚 錚 錚 錚 + + 錚 錚 錚 錚 錚 錚 n n n 2 2 1 2 , : aata Median = Datum nilai ke banyak data g n n n +錚 錚 錚 錚 錚 錚 1 2 , : , : eenap Jika banyak data ganjil, median dirumuskan: Sifat-3 Median Datum ke Datum ke banyak d= 錚 錚 錚 錚 錚 錚 + + 錚 錚 錚 錚 錚 錚 n n n 2 2 1 2 , : aata Median = Datum nilai ke banyak data g n n n +錚 錚 錚 錚 錚 錚 1 2 , : , : eenap Selanjutnya, lembaga survei tersebut ingin menyajikan data tersebut dalam empat bagian utama. Statistik yang membagi data menjadi empat bagian disebut Kuartil. Misalkan terdapat data x1 , x2 , x3 ..., xn dengan x1 x2 x3 xn . Catatan: Ingat definisi datum sewaktu kamu di SMP!
345Matematika Kuartil satu (Q1 ) atau kuartil bawah, kuartil dua (Q2 ) atau kuartil tengah dan kuartil tiga (Q3 ) atau kuartil atas, merupakan statistik yang membagi data menjadi empat bagian yang sama. Letak tiap kuartil didefinisikan sebagai berikut. Sifat-4 Letak Datum ke- , banyak dataQ i n n1 1 4 = +錚 錚 錚 錚 錚 錚 ( ) : Letak Qi tidak selalu pada posisi datum ke-i, mungkin juga terletak di antara dua datum. Untuk keadaan seperti ini, diggunakan pola pendekatan atau interpolasi. Melihat kembali data di atas, kita akan menentukan statistik yang membagi data menjadi empat bagian. 350 400 450 550 600 600 600 650 700 750 Kuartil bawah (Q1 ) Kuartil atas (Q3 ) Kuartil tengah (Q2 ) Letak Q1 = Datum ke 1 10 1 4 3 4 .( )+ = Datum ke 2 1 10 1 4 3 4 .( )+ . Artinya Q1 terletak di antara datum ke-2 (x2 ) dan datum ke-3 (x3 ). Dengan pendekatan datum interpolasi berikut. Q x x x Q1 2 3 2 1 3 4 400 3 4 450 400 437 5= + = + =( ) ( ) , . Letak Q2 = Datum ke 2 10 1 4 ( )+ = Datum ke 5 1 5 1 6 1 2 1 3 1 4 2 3 3 4 3 2 4 3 . Analog dengan Q1 , Q2 ditentukan melalui pendekatan datum interpolasi berikut. Q x x x Q2 5 6 5 2 1 2 600 1 2 600 600 600= + = + =( ) ( ) . Sebagai catatan nilai Q2 = Median. Letak Q3 = Datum ke 3 10 1 4 ( )+ = Datum ke 8 1 5 1 6 1 2 1 3 1 4 2 3 3 4 3 2 4 3 . Analog juga dengan Q1 dan Q2 , nilai statistik Q3 dihitung melalui pendekatan datum interpolasi.
346 Kelas X Q x x x Q3 8 9 8 2 1 4 650 1 4 700 650 662 5= + = + =( ) ( ) , . Kembali ke persoalan kita di atas. Dengan adanya nilai Q1 , Q2 dan Q3 , lembaga survei tersebut ingin menyajikan statistik lima serangkai, yaitu statistik yang terdiri dari: datum minimum, datum maksimum, Q1 , Q2 , dan Q3 . Susunan statistik lima serangkai ini, seperti berikut ini. Q2 Q1 Q3 xmin xmax Untuk data di atas, statistik lima serangkainya adalah: Q2 = 600 Q1 = 437.5 Q3 =662,5 xmin = 350 xmax = 750 Statistik terurut memiliki kuartil jika banyak data 4 , sebab kuartil Q1 , Q2 dan Q3 membagi data menjadi empat kelompok yang sama. Jika banyak data 10, maka data dibagi menjadi 10 kelompok yang sama, dengan tiap kelompok memiliki 1 10 data. Ukuran statistik ini disebut Desil. Tentu saja terdapat 9 desil, yaitu D1 , D2 , D3 , D4 , D5 , D6 , D7 , D8 , dan D9 . Cara menentukan Di pada suatu data tunggal, hampir sama dengan menentukan kuartil Di pada data tunggal. Letak setiap Di didefinisikan sebagai berikut. Misalkan x1 , x2 , x3 , , xn dengan x1 x2 x3 xn . Desil ke-i untuk data tunggal adalah: Di = Datum ke i N.( )+1 10 Definisi 11.2 Letak Di tidak selalu pada posisi datum ke-i, mungkin juga terletak di antara dua datum. Untuk keadaan seperti ini, kita mengggunakan pola pendekatan atau interpolasi.
347Matematika Dalam kajian persoalan kita di atas, kita dapat menentukan D1 , D2 , D3 , D4 , D5 , D6 , D7 , D8 , dan D9 . Tentukan D3 dan D7 . Perhatikan kembali data di atas. 350 400 450 550 600 600 600 650 700 750 Langkah awalnya, kita tentukan letak D3 . Letak D D x x datum ke datum ke3 3 3 4 3 10 1 10 3 1 10 1 10 = + = = + ( ) . ( = + = = + = x Letak D 3 7 450 1 10 550 450 460 7 10 1 10 ) ( ) . ( ) datum ke datuum ke = + = + = 7 1 10 1 10 600 1 10 650 600 6057 7 8 7 . ( ) ( ) . D x x x Letak D D x x datum ke datum ke3 3 3 4 3 10 1 10 3 1 10 1 10 = + = = + ( ) . ( = + = = + = x Letak D 3 7 450 1 10 550 450 460 7 10 1 10 ) ( ) . ( ) datum ke datuum ke = + = + = 7 1 10 1 10 600 1 10 650 600 6057 7 8 7 . ( ) ( ) . D x x x 3 3 10 7 7 10 . .Letak D D x x datum ke datum ke3 3 3 4 3 10 1 10 3 1 10 1 10 = + = = + ( ) . ( = + = = + = x Letak D 3 7 450 1 10 550 450 460 7 10 1 10 ) ( ) . ( ) datum ke datuum ke = + = + = 7 1 10 1 10 600 1 10 650 600 6057 7 8 7 . ( ) ( ) . D x x x Letak D D x x datum ke datum ke3 3 3 4 3 10 1 10 3 1 10 1 10 = + = = + ( ) . ( = + = = + = x Letak D 3 7 450 1 10 550 450 460 7 10 1 10 ) ( ) . ( ) datum ke datuum ke = + = + = 7 1 10 1 10 600 1 10 650 600 6057 7 8 7 . ( ) ( ) . D x x x 3 3 10 7 7 10 . . Untuk ukuran statistik desil yang lain, silahkan kamu tentukan dan cek dengan hasil kerjaan teman sekelasmu yang lain. b. Penyajian Data dalam Diagram Garis (Line Diagram) Penyajian data dalam diagram garis berarti, menyajikan data statistik dengan menggunakan garis-garis lurus yang menghubungkan komponen-komponen pengamatan (waktu dan hasil pengamatan jumlah produksi). Diagram garis biasanya digunakan untuk menggambarkan suatu kondisi yang berlangsung secara kontinu, misalnya data jumlah penduduk, perkembangan nilai tukar mata uang suatu negara, dan jumlah penjualan barang. Untuk data jumlah Produksi UKM di Yogyakarta, jika dideskripsikan dalam diagram garis akan terbentuk sebagai berikut. Gambar 11.1 Diagram garis jumlah produksi UKM di Yogyakarta
348 Kelas X Tentunya, selain penyajian data tersebut, staf lembaga survei tersebut menyam- paikan informasi bahwa, masih ada tiga UKM, yaitu UKM A, UKM E, dan UKM F hanya mampu menghasilkan produk UKM kurang dari 500 unit dalam tahun 2012, hanya satu UKM, yaitu UKM I yang mampu menghasilkan sebanyak 750 unit produk dalam tahun 2012. Tolong bantu Staf tersebut untuk menyampaikan informasi penting mengenai jumlah produksi barang UKM di Yogyakarta, tahun 2012. Selanjutnya, staf tersebut ingin menyampaikan data produksi UKM tersebut dalam tingkat persentase. Untuk itu diperlukan penyajian data dalam bentuk diagram lingkaran (pie chart). c. Diagram Lingkaran (Pie Chart) Melalui diagram ini, akan ditunjukkan besar persentase tingkat produksi tiap UKM. Total produk yang dihasilkan kesepuluh UKM tersebut adalah sebesar 5650 unit. Oleh karena itu, tingkat persentase produksi setiap UKM, didefinisikan sebagai berikut. % produksi UKM Jumlah Produksi UKM Total Produksi Semua X X = UKM . %100 Definisi 11.3 Secara lengkap, persentase produksi setiap UKM, disajikan pada diagram berikut ini. Jumlah Produksi (dalam satuan unit) 11% 13% 11% 11% 8% 10% 11% 12% 7% 6% Gambar 11.2 Persentase tingkat produksi kesepuluh UKM Setelah diagram lingkaran terbentuk, lembaga survei ingin merangkumkan informasi menarik dari data tersebut. Bantulah staf tersebut untuk memberikan informasi menarik dari diagram lingkaran di atas!
349Matematika Selain ketiga penyajian data di atas, masih ada cara penyajian data yang lain. Misalnya dengan diagram batang (chart), dan diagram daun. Silahkan diskusikan dengan teman sekelasmu tentang penyajian data tersebut dengan diagram batang dan diagram daun. Rata-Rata Gaji Buruh Gaji buruh menjadi topik perbincangan di kalangan buruh dan kalangan pengusaha. Pada tahun 2012, menteri terkait dengan masalah ini merilis gaji buruh di 8 kota besar di negara tersebut sebagai berikut (dalam ratusan ribu rupiah) Nama Kota Besar Gaji A 25 B 18 C 22 D 20 E 17 F 19 G 22 H 22,5 Berdasarkan data tersebut, menteri bermaksud menerapkan kenaikan gaji buruh bersifat situasional, yang disesuaikan dengan kondisi perkembangan perusahaan yang ada di kota tersebut. Hasil pembahasan dengan para pengusaha dari kelima kota tersebut adalah rumusan kenaikan gaji buruh dengan sistem subsidi silang. Buruh yang memiliki gaji kurang atau sama dengan Rp 2.000.000 diberi kenaikan gaji sebesar 12% dan buruh yang memiliki gaji lebih dari Rp 2.000.000 diberi kenaikan gaji sebesar 8%. Berapakah rata-rata gaji buruh setelah mengalami kenaikan gaji? Tabel berikut ini menyajikan besar kenaikan gaji di setiap kota. Tabel 11.4 Besar Gaji Buruh Sebelum dan Sesudah Kenaikan Gaji di 8 Kota Nama Kota Besar Gaji % Kenaikan Gaji Nominal Kenaikan Gaji Gaji setelah Kenaikan A Rp2.500.000,00 8% Rp 200.000,00 Rp 2.700.000,00 B Rp1.800.000,00 12% Rp 216.000,00 Rp 2.016.000,00 C Rp2.200.000,00 8% Rp 176.000,00 Rp 2.376.000,00
350 Kelas X Nama Kota Besar Gaji % Kenaikan Gaji Nominal Kenaikan Gaji Gaji setelah Kenaikan D Rp2.000.000,00 12% Rp 240.000,00 Rp 2.240.000,00 E Rp1.700.000,00 12% Rp 204.000,00 Rp 1.904.000,00 F Rp1.900.000,00 12% Rp 228.000,00 Rp 2.128.000,00 G Rp2.200.000,00 8% Rp 176.000,00 Rp 2.376.000,00 H Rp2.250.000,00 8% Rp 180.000,00 Rp 2.430.000,00 Total Rp16.550.000,00 Rp1.620.000,00 Rp18.170.000,00 Pada Tabel 11.4, memaparkan besar kenaikan gaji dan besar gaji yang diterima buruh setelah memperoleh persentasi kenaikan gaji. Rata-rata gabungan gaji buruh yang baru dapat dihitung melalui rumus berikut. x x x x x x x x x Gab A B C D E F G H = + + + + + + + = = 8 18 170 000 8 2 271 250 . . . . Jadi, rata-rata besar gaji buruh setelah mendapat % kenaikan gaji adalah Rp2.271.250,00. Selain rata-rata besar gaji buruh tersebut, dari tabel tersebut juga bisa kita tentukan rata-rata besar kenaikan gaji dan besar rata-rata gaji sebelum mendapat kenaikan. Dengan menggunakan rata-rata kenaikan dan rata-rata gaji buruh sebelum kenaikan gaji, dapatkah kamu menentukan rata-rata besar gaji buruh setelah mendapat kenaikan gaji? Masalah-11.2 Data Berpola Aritmetika Sewaktu Pak Suprapto memiliki usaha Toko Serba Ada, beliau mampu menikmati hobinya sebagai kolektor barang-barang antik. Pada tahun 2011, data koleksi barang-barang tersebut memenuhi pola aritmetika berikut. a1 , a2 , a3 , , a10 , a11 , a12 . Sejak akhir tahun 2011, Pak Suprapto berhasil mengembangkan usaha tersebut menjadi supermarket. Kondisi ini juga berimbas terhadap kegemarannya, sedemikian sehingga barang-barang koleksi tersebut mengikuti pola: a1 + t, a2 + t, a3 + t, , a10 + t, a11 + t, a12 + t. Selidikilah perubahan rata-rata dan median data di atas.
351Matematika Alternatif Penyelesaian Data tahun 2011, diketahui bahwa: a1 , a2 , a3 , , a10 , a11 , a12 memiliki pola aritmetika. Artinya bahwa beda dua suku yang berurutan sama. X a a a a a a a b a b2011 1 2 3 10 11 12 1 1 12 6 11 12 1 2 22= + + + + + + = + = + ... ( ) ( ) Karena a1 , a2 , a3 , , a10 , a11 , a12 telah tersusun dari yang terkecil hingga yang tertinggi, maka median data tersebut adalah: Median Data ke-6 + Data ke-7 = = + = + 2 2 1 2 2 116 7 1 a a a b( ) Selanjutnya mari kita perhatikan pola data tahun 2012. ( ), ( ), ( ), ..., ( ), ( ), ( )a t a t a t a t a t a t X 1 2 3 10 11 12 201 + + + + + + 22 1 2 3 10 11 12 1 12 6 = + + + + + + + + + + + + +( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) (a t a t a t a t a t a t a 111 12 12 1 2 112012 1 b t X a b t ) ( ) . + = + + Median data baru ditentukan: Median Data ke-6 + Data ke-7 = = + + + = + + = 2 2 2 2 1 2 6 7 6 7( ) ( ) ( a t a t a a t 22 111a b t+ +) . Perhatikan, bahwa pertambahan setiap nilai data sebesar t, mengakibatkan pertambahan rata-rata dan median data baru sebesar t. Sebagai kesimpulan dari data di atas adalah bahwa data yang berpola aritmetika memiliki nilai statistik rata-rata sama dengan nilai median. Meskipun ada perubahan pada data lama, selama perubahan data tersebut tetap mengikuti pola aretmatika, nilai kedua statistik juga tetap sama. Latihan 11.1 Terdapat beberapa kemungkinan terhadap perubahan nilai data, di antaranya setiap nilai data mungkin akan berkurang sebesar q atau akan dikali sebesar p. Bagaimana perubahan nilai ukuran pusat data tersebut?
352 Kelas X Masalah-11.3 Deviasi Rata-Rata Diketahui x1 = 3,5, x2 = 5,0, x3 = 6,0, x4 = 7,5, dan x5 = 8,0. Jika deviasi rata-rata nilai tersebut dinyatakan dengan rumus x x ni n 1 1 = . Tentukanlah deviasi rata rata data yang diketahui pada Masalah-11.2. Alternatif Penyelesaian Deviasi rata-rata merupakan ukuran statistik yang dapat digunakan untuk melihat variasi data. Dalam konteks penelitian karya ilmiah yang menyangkut statitika, nilai deviasi rata-rata mungkin menjadi nilai statistik yang penting. Dalam soal di atas, sudah didefinisikan bahwa deviasi rata-rara adalah nilai mutlak setiap data terhadap rata-rata data. Oleh karena itu, kita perlukan rata-rata terlebih dahulu. x x x x x x = + + + + = =1 2 3 4 5 5 20 5 6. Deviasi rata-rata = x x x x x x x x x x1 2 3 4 6 5 + + + + = 3 5 6 5 6 6 6 7 5 6 8 6 5 , , + + + + Deviasi rata-rata = 2 5 1 0 1 5 2 5 7 5 1 4 , , , . + + + + = = Jadi deviasi rata-rata data di atas adalah 1,4.

More Related Content

Statistika data tunggal

  • 1. 342 Kelas X C. MATERI PEMBELAJARAN 1. Data Tunggal Pada subbab ini, akan dipelajari data-data yang muncul dalam kehidupan sehari- hari. Data merupakan hal yang sangat diperlukan untuk memberikan keterangan atau informasi yang diperoleh dari suatu pengamatan. Data dapat berupa angka, lambang, ataupun karakteristik. Data yang diperoleh sebaiknya merupakan data yang sifatnya merupakan perwakilan dari kejadian. Selain itu data juga harus objektif sesuai dengan kenyataan dan memiliki hubungan terhadap permasalahan/kejadian yang akan diselesaikan. Secara umum, dari suatu data dapat digali informasi-informasi penting sebagai pertimbangan seseorang untuk mengambil keputusan yang akan dilakukannya; misalnya, para pimpinan instansi atau pihak yang berkepentingan. Perhatikan masalah tingkat produksi pertahun beberapa UKM di Yogyakarta, tahun 2012. Masalah-11.1 Data Tingkat Produksi Barang UKM di Yogyakarta Sebuah lembaga survey menemukan bahwa terdapat 10 Usaha Kecil Menengah (UKM) yang tersebar di propinsi D.I. Yogyakarta yang memproduksi berbagai produk, seperti: kerajinan tangan, makanan kering, dan aksesoris. Lembaga survei tersebut memperoleh data produksi sepuluh UKM untuk tahun 2012 yakni sebagai berikut (dalam satuan Unit). Tabel 11.1 Data Jumlah Produksi Barang UKM di Yogyakarta UKM A B C D E F G H I J Jumlah Produksi (unit) 400 550 600 700 350 450 650 600 750 600 Berdasarkan data pada Tabel 11.1, lembaga survei ini memberikan data statistik kepada pemerintah (khususnya menteri keuangan dan perdagangan) untuk merespon keadaan UKM di Yogyakarta. Bagaimana harus menyusun informasi mengenai data tersebut? Alternatif Penyelesaian Untuk memudahkan pengolahan data tersebut, terlebih dahulu disajikan dalam tampilan yang lebih menarik.
  • 2. 343Matematika a. Penyajian Data Tabel Sebenarnya data yang diperoleh lembaga survei pada Tabel 11.1 sudah dalam bentuk tabel, tetapi mari kita sajikan dalam tampilan yang lebih menarik lagi, seperti Tabel 11.2 berikut ini. Tabel 11.2 Data Jumlah Produksi Barang UKM di Yogyakarta UKM Jumlah Produksi (dalam satuan unit) A 400 B 550 C 600 D 700 E 350 F 450 G 650 H 600 I 750 J 600 Total 5.650 Kemudian, lembaga tersebut ingin menyampaikan informasi tentang rata-rata tingkat produksi produk UKM di Yogyakarta, untuk dapat dibandingkan dengan tingkat produksi UKM di provinsi lain. Untuk data tunggal, rata-rata (mean) dirumuskan sebagai berikut. Mean x( ) = datum ke-1 + datum ke-2 + datum ke-3 + ... + datum ke- banyak datum n Untuk data di atas, diperoleh: x x = + + + + + + + + + = = 400 550 600 700 350 450 650 600 750 600 10 5 650 10 565 . Artinya, rata-rata tingkat produksi setiap UKM di Yogyakarta pada tahun 2012 adalah 565 unit. Selain rata-rata data tersebut, terdapat tiga UKM yang memiliki jumlah produksi yang sama, sebesar 600 unit. Dalam arti statistik, dari 10 data yang tersaji, terdapat datum yang paling sering muncul, yaitu 600. Datum yang paling sering muncul disebut modus. Definisi 11.1
  • 3. 344 Kelas X Jadi, modus data dari Tabel 11.1 adalah 600. Jika data terendah diurutkan sampai data tertinggi, diperoleh urutan data Tabel 11.1 sebagai berikut. 350, 400, 450, 550, 600, 600, 600, 650, 700, 750 Jika data tertinggi dikurang dengan data terendah diperoleh: Datum tertinggi datum terendah = 750 350 = 400. Hasil pengurangan ini dalam statistik disebut dengan jangkauan data (range). Pada data di atas, diperoleh jangkauannya 400. Sifat-1 Jangkauan Data = Datum tertinggi Datum terendah = xmaks xmin Dari urutan data tersebut diperoleh nilai tengah data (median). Nilai tengah data (median) adalah statistik yang membagi dua data pada bagian yang sama. 350 400 450 550 600 600 600 650 700 750 Bagian-1 Bagian-2 Jadi median data = 600 600 2 + = 600. Secara umum, formula untuk menentukan median, dirumuskan sebagai berikut: Jika banyak data genap, median dirumuskan: Sifat-2 Median Datum ke Datum ke banyak d= 錚 錚 錚 錚 錚 錚 + + 錚 錚 錚 錚 錚 錚 n n n 2 2 1 2 , : aata Median = Datum nilai ke banyak data g n n n +錚 錚 錚 錚 錚 錚 1 2 , : , : eenap Jika banyak data ganjil, median dirumuskan: Sifat-3 Median Datum ke Datum ke banyak d= 錚 錚 錚 錚 錚 錚 + + 錚 錚 錚 錚 錚 錚 n n n 2 2 1 2 , : aata Median = Datum nilai ke banyak data g n n n +錚 錚 錚 錚 錚 錚 1 2 , : , : eenap Selanjutnya, lembaga survei tersebut ingin menyajikan data tersebut dalam empat bagian utama. Statistik yang membagi data menjadi empat bagian disebut Kuartil. Misalkan terdapat data x1 , x2 , x3 ..., xn dengan x1 x2 x3 xn . Catatan: Ingat definisi datum sewaktu kamu di SMP!
  • 4. 345Matematika Kuartil satu (Q1 ) atau kuartil bawah, kuartil dua (Q2 ) atau kuartil tengah dan kuartil tiga (Q3 ) atau kuartil atas, merupakan statistik yang membagi data menjadi empat bagian yang sama. Letak tiap kuartil didefinisikan sebagai berikut. Sifat-4 Letak Datum ke- , banyak dataQ i n n1 1 4 = +錚 錚 錚 錚 錚 錚 ( ) : Letak Qi tidak selalu pada posisi datum ke-i, mungkin juga terletak di antara dua datum. Untuk keadaan seperti ini, diggunakan pola pendekatan atau interpolasi. Melihat kembali data di atas, kita akan menentukan statistik yang membagi data menjadi empat bagian. 350 400 450 550 600 600 600 650 700 750 Kuartil bawah (Q1 ) Kuartil atas (Q3 ) Kuartil tengah (Q2 ) Letak Q1 = Datum ke 1 10 1 4 3 4 .( )+ = Datum ke 2 1 10 1 4 3 4 .( )+ . Artinya Q1 terletak di antara datum ke-2 (x2 ) dan datum ke-3 (x3 ). Dengan pendekatan datum interpolasi berikut. Q x x x Q1 2 3 2 1 3 4 400 3 4 450 400 437 5= + = + =( ) ( ) , . Letak Q2 = Datum ke 2 10 1 4 ( )+ = Datum ke 5 1 5 1 6 1 2 1 3 1 4 2 3 3 4 3 2 4 3 . Analog dengan Q1 , Q2 ditentukan melalui pendekatan datum interpolasi berikut. Q x x x Q2 5 6 5 2 1 2 600 1 2 600 600 600= + = + =( ) ( ) . Sebagai catatan nilai Q2 = Median. Letak Q3 = Datum ke 3 10 1 4 ( )+ = Datum ke 8 1 5 1 6 1 2 1 3 1 4 2 3 3 4 3 2 4 3 . Analog juga dengan Q1 dan Q2 , nilai statistik Q3 dihitung melalui pendekatan datum interpolasi.
  • 5. 346 Kelas X Q x x x Q3 8 9 8 2 1 4 650 1 4 700 650 662 5= + = + =( ) ( ) , . Kembali ke persoalan kita di atas. Dengan adanya nilai Q1 , Q2 dan Q3 , lembaga survei tersebut ingin menyajikan statistik lima serangkai, yaitu statistik yang terdiri dari: datum minimum, datum maksimum, Q1 , Q2 , dan Q3 . Susunan statistik lima serangkai ini, seperti berikut ini. Q2 Q1 Q3 xmin xmax Untuk data di atas, statistik lima serangkainya adalah: Q2 = 600 Q1 = 437.5 Q3 =662,5 xmin = 350 xmax = 750 Statistik terurut memiliki kuartil jika banyak data 4 , sebab kuartil Q1 , Q2 dan Q3 membagi data menjadi empat kelompok yang sama. Jika banyak data 10, maka data dibagi menjadi 10 kelompok yang sama, dengan tiap kelompok memiliki 1 10 data. Ukuran statistik ini disebut Desil. Tentu saja terdapat 9 desil, yaitu D1 , D2 , D3 , D4 , D5 , D6 , D7 , D8 , dan D9 . Cara menentukan Di pada suatu data tunggal, hampir sama dengan menentukan kuartil Di pada data tunggal. Letak setiap Di didefinisikan sebagai berikut. Misalkan x1 , x2 , x3 , , xn dengan x1 x2 x3 xn . Desil ke-i untuk data tunggal adalah: Di = Datum ke i N.( )+1 10 Definisi 11.2 Letak Di tidak selalu pada posisi datum ke-i, mungkin juga terletak di antara dua datum. Untuk keadaan seperti ini, kita mengggunakan pola pendekatan atau interpolasi.
  • 6. 347Matematika Dalam kajian persoalan kita di atas, kita dapat menentukan D1 , D2 , D3 , D4 , D5 , D6 , D7 , D8 , dan D9 . Tentukan D3 dan D7 . Perhatikan kembali data di atas. 350 400 450 550 600 600 600 650 700 750 Langkah awalnya, kita tentukan letak D3 . Letak D D x x datum ke datum ke3 3 3 4 3 10 1 10 3 1 10 1 10 = + = = + ( ) . ( = + = = + = x Letak D 3 7 450 1 10 550 450 460 7 10 1 10 ) ( ) . ( ) datum ke datuum ke = + = + = 7 1 10 1 10 600 1 10 650 600 6057 7 8 7 . ( ) ( ) . D x x x Letak D D x x datum ke datum ke3 3 3 4 3 10 1 10 3 1 10 1 10 = + = = + ( ) . ( = + = = + = x Letak D 3 7 450 1 10 550 450 460 7 10 1 10 ) ( ) . ( ) datum ke datuum ke = + = + = 7 1 10 1 10 600 1 10 650 600 6057 7 8 7 . ( ) ( ) . D x x x 3 3 10 7 7 10 . .Letak D D x x datum ke datum ke3 3 3 4 3 10 1 10 3 1 10 1 10 = + = = + ( ) . ( = + = = + = x Letak D 3 7 450 1 10 550 450 460 7 10 1 10 ) ( ) . ( ) datum ke datuum ke = + = + = 7 1 10 1 10 600 1 10 650 600 6057 7 8 7 . ( ) ( ) . D x x x Letak D D x x datum ke datum ke3 3 3 4 3 10 1 10 3 1 10 1 10 = + = = + ( ) . ( = + = = + = x Letak D 3 7 450 1 10 550 450 460 7 10 1 10 ) ( ) . ( ) datum ke datuum ke = + = + = 7 1 10 1 10 600 1 10 650 600 6057 7 8 7 . ( ) ( ) . D x x x 3 3 10 7 7 10 . . Untuk ukuran statistik desil yang lain, silahkan kamu tentukan dan cek dengan hasil kerjaan teman sekelasmu yang lain. b. Penyajian Data dalam Diagram Garis (Line Diagram) Penyajian data dalam diagram garis berarti, menyajikan data statistik dengan menggunakan garis-garis lurus yang menghubungkan komponen-komponen pengamatan (waktu dan hasil pengamatan jumlah produksi). Diagram garis biasanya digunakan untuk menggambarkan suatu kondisi yang berlangsung secara kontinu, misalnya data jumlah penduduk, perkembangan nilai tukar mata uang suatu negara, dan jumlah penjualan barang. Untuk data jumlah Produksi UKM di Yogyakarta, jika dideskripsikan dalam diagram garis akan terbentuk sebagai berikut. Gambar 11.1 Diagram garis jumlah produksi UKM di Yogyakarta
  • 7. 348 Kelas X Tentunya, selain penyajian data tersebut, staf lembaga survei tersebut menyam- paikan informasi bahwa, masih ada tiga UKM, yaitu UKM A, UKM E, dan UKM F hanya mampu menghasilkan produk UKM kurang dari 500 unit dalam tahun 2012, hanya satu UKM, yaitu UKM I yang mampu menghasilkan sebanyak 750 unit produk dalam tahun 2012. Tolong bantu Staf tersebut untuk menyampaikan informasi penting mengenai jumlah produksi barang UKM di Yogyakarta, tahun 2012. Selanjutnya, staf tersebut ingin menyampaikan data produksi UKM tersebut dalam tingkat persentase. Untuk itu diperlukan penyajian data dalam bentuk diagram lingkaran (pie chart). c. Diagram Lingkaran (Pie Chart) Melalui diagram ini, akan ditunjukkan besar persentase tingkat produksi tiap UKM. Total produk yang dihasilkan kesepuluh UKM tersebut adalah sebesar 5650 unit. Oleh karena itu, tingkat persentase produksi setiap UKM, didefinisikan sebagai berikut. % produksi UKM Jumlah Produksi UKM Total Produksi Semua X X = UKM . %100 Definisi 11.3 Secara lengkap, persentase produksi setiap UKM, disajikan pada diagram berikut ini. Jumlah Produksi (dalam satuan unit) 11% 13% 11% 11% 8% 10% 11% 12% 7% 6% Gambar 11.2 Persentase tingkat produksi kesepuluh UKM Setelah diagram lingkaran terbentuk, lembaga survei ingin merangkumkan informasi menarik dari data tersebut. Bantulah staf tersebut untuk memberikan informasi menarik dari diagram lingkaran di atas!
  • 8. 349Matematika Selain ketiga penyajian data di atas, masih ada cara penyajian data yang lain. Misalnya dengan diagram batang (chart), dan diagram daun. Silahkan diskusikan dengan teman sekelasmu tentang penyajian data tersebut dengan diagram batang dan diagram daun. Rata-Rata Gaji Buruh Gaji buruh menjadi topik perbincangan di kalangan buruh dan kalangan pengusaha. Pada tahun 2012, menteri terkait dengan masalah ini merilis gaji buruh di 8 kota besar di negara tersebut sebagai berikut (dalam ratusan ribu rupiah) Nama Kota Besar Gaji A 25 B 18 C 22 D 20 E 17 F 19 G 22 H 22,5 Berdasarkan data tersebut, menteri bermaksud menerapkan kenaikan gaji buruh bersifat situasional, yang disesuaikan dengan kondisi perkembangan perusahaan yang ada di kota tersebut. Hasil pembahasan dengan para pengusaha dari kelima kota tersebut adalah rumusan kenaikan gaji buruh dengan sistem subsidi silang. Buruh yang memiliki gaji kurang atau sama dengan Rp 2.000.000 diberi kenaikan gaji sebesar 12% dan buruh yang memiliki gaji lebih dari Rp 2.000.000 diberi kenaikan gaji sebesar 8%. Berapakah rata-rata gaji buruh setelah mengalami kenaikan gaji? Tabel berikut ini menyajikan besar kenaikan gaji di setiap kota. Tabel 11.4 Besar Gaji Buruh Sebelum dan Sesudah Kenaikan Gaji di 8 Kota Nama Kota Besar Gaji % Kenaikan Gaji Nominal Kenaikan Gaji Gaji setelah Kenaikan A Rp2.500.000,00 8% Rp 200.000,00 Rp 2.700.000,00 B Rp1.800.000,00 12% Rp 216.000,00 Rp 2.016.000,00 C Rp2.200.000,00 8% Rp 176.000,00 Rp 2.376.000,00
  • 9. 350 Kelas X Nama Kota Besar Gaji % Kenaikan Gaji Nominal Kenaikan Gaji Gaji setelah Kenaikan D Rp2.000.000,00 12% Rp 240.000,00 Rp 2.240.000,00 E Rp1.700.000,00 12% Rp 204.000,00 Rp 1.904.000,00 F Rp1.900.000,00 12% Rp 228.000,00 Rp 2.128.000,00 G Rp2.200.000,00 8% Rp 176.000,00 Rp 2.376.000,00 H Rp2.250.000,00 8% Rp 180.000,00 Rp 2.430.000,00 Total Rp16.550.000,00 Rp1.620.000,00 Rp18.170.000,00 Pada Tabel 11.4, memaparkan besar kenaikan gaji dan besar gaji yang diterima buruh setelah memperoleh persentasi kenaikan gaji. Rata-rata gabungan gaji buruh yang baru dapat dihitung melalui rumus berikut. x x x x x x x x x Gab A B C D E F G H = + + + + + + + = = 8 18 170 000 8 2 271 250 . . . . Jadi, rata-rata besar gaji buruh setelah mendapat % kenaikan gaji adalah Rp2.271.250,00. Selain rata-rata besar gaji buruh tersebut, dari tabel tersebut juga bisa kita tentukan rata-rata besar kenaikan gaji dan besar rata-rata gaji sebelum mendapat kenaikan. Dengan menggunakan rata-rata kenaikan dan rata-rata gaji buruh sebelum kenaikan gaji, dapatkah kamu menentukan rata-rata besar gaji buruh setelah mendapat kenaikan gaji? Masalah-11.2 Data Berpola Aritmetika Sewaktu Pak Suprapto memiliki usaha Toko Serba Ada, beliau mampu menikmati hobinya sebagai kolektor barang-barang antik. Pada tahun 2011, data koleksi barang-barang tersebut memenuhi pola aritmetika berikut. a1 , a2 , a3 , , a10 , a11 , a12 . Sejak akhir tahun 2011, Pak Suprapto berhasil mengembangkan usaha tersebut menjadi supermarket. Kondisi ini juga berimbas terhadap kegemarannya, sedemikian sehingga barang-barang koleksi tersebut mengikuti pola: a1 + t, a2 + t, a3 + t, , a10 + t, a11 + t, a12 + t. Selidikilah perubahan rata-rata dan median data di atas.
  • 10. 351Matematika Alternatif Penyelesaian Data tahun 2011, diketahui bahwa: a1 , a2 , a3 , , a10 , a11 , a12 memiliki pola aritmetika. Artinya bahwa beda dua suku yang berurutan sama. X a a a a a a a b a b2011 1 2 3 10 11 12 1 1 12 6 11 12 1 2 22= + + + + + + = + = + ... ( ) ( ) Karena a1 , a2 , a3 , , a10 , a11 , a12 telah tersusun dari yang terkecil hingga yang tertinggi, maka median data tersebut adalah: Median Data ke-6 + Data ke-7 = = + = + 2 2 1 2 2 116 7 1 a a a b( ) Selanjutnya mari kita perhatikan pola data tahun 2012. ( ), ( ), ( ), ..., ( ), ( ), ( )a t a t a t a t a t a t X 1 2 3 10 11 12 201 + + + + + + 22 1 2 3 10 11 12 1 12 6 = + + + + + + + + + + + + +( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) (a t a t a t a t a t a t a 111 12 12 1 2 112012 1 b t X a b t ) ( ) . + = + + Median data baru ditentukan: Median Data ke-6 + Data ke-7 = = + + + = + + = 2 2 2 2 1 2 6 7 6 7( ) ( ) ( a t a t a a t 22 111a b t+ +) . Perhatikan, bahwa pertambahan setiap nilai data sebesar t, mengakibatkan pertambahan rata-rata dan median data baru sebesar t. Sebagai kesimpulan dari data di atas adalah bahwa data yang berpola aritmetika memiliki nilai statistik rata-rata sama dengan nilai median. Meskipun ada perubahan pada data lama, selama perubahan data tersebut tetap mengikuti pola aretmatika, nilai kedua statistik juga tetap sama. Latihan 11.1 Terdapat beberapa kemungkinan terhadap perubahan nilai data, di antaranya setiap nilai data mungkin akan berkurang sebesar q atau akan dikali sebesar p. Bagaimana perubahan nilai ukuran pusat data tersebut?
  • 11. 352 Kelas X Masalah-11.3 Deviasi Rata-Rata Diketahui x1 = 3,5, x2 = 5,0, x3 = 6,0, x4 = 7,5, dan x5 = 8,0. Jika deviasi rata-rata nilai tersebut dinyatakan dengan rumus x x ni n 1 1 = . Tentukanlah deviasi rata rata data yang diketahui pada Masalah-11.2. Alternatif Penyelesaian Deviasi rata-rata merupakan ukuran statistik yang dapat digunakan untuk melihat variasi data. Dalam konteks penelitian karya ilmiah yang menyangkut statitika, nilai deviasi rata-rata mungkin menjadi nilai statistik yang penting. Dalam soal di atas, sudah didefinisikan bahwa deviasi rata-rara adalah nilai mutlak setiap data terhadap rata-rata data. Oleh karena itu, kita perlukan rata-rata terlebih dahulu. x x x x x x = + + + + = =1 2 3 4 5 5 20 5 6. Deviasi rata-rata = x x x x x x x x x x1 2 3 4 6 5 + + + + = 3 5 6 5 6 6 6 7 5 6 8 6 5 , , + + + + Deviasi rata-rata = 2 5 1 0 1 5 2 5 7 5 1 4 , , , . + + + + = = Jadi deviasi rata-rata data di atas adalah 1,4.