Tema 6
- 1. 丐亠仄舒 6. 丐 丐 亊丕丐 丐 弌丐. 仂仂仂于 亳亠仄 从仂仂亟亳仆舒 于仂ﾑﾑ 亳 于亰舒仄仆仂 仗亠仗亠仆亟亳从仍仆 亳仍仂于 仗礆 x, y, z, 磻 仗亠亠亳仆舒ﾑ 于 .. 丐仂从舒 仗仂舒仂从 从仂仂亟亳仆舒. 丶 仗礆 于仂ﾑﾑ 于亟仗仂于亟仆 从仂仂亟亳仆舒仆 仗仍仂亳仆亳 (xy), (yz), (xz). 仂仂亟亳仆舒亳 仂从亳 仗仂仂: (x; y; z) x 舒弍亳舒, y 仂亟亳仆舒舒, z 舒仗仍从舒舒. 亳弍亠亠仄仂 仗仂仂仂于亶 亳亠仄 从仂仂亟亳仆舒 .. 仍仂亳仆舒, 仂 仗仂仂亟亳 亠亠亰 . 仗舒舒仍亠仍仆舒 仗仍仂亳仆 (yz), 仗亠亠亳仆舒 于 丱 于 .; 舒仆舒仍仂亞仆仂 于 OY 于 .y, 于 OZ 于 .z. 仂仂亟亳仆舒仂 仆舒亰亳于舒ﾑ 亳仍仂, 磻亠 亰舒 舒弍仂仍ﾑ仆仂 于亠仍亳亳仆仂 亟仂于仆ﾑ 亟仂于亢亳仆 于亟亰从舒 . 亊从仂 . 亰弍亞舒 亰 ., 仂 = 0. 仂仂亟亳仆舒仂 y 仆舒亰亳于舒ﾑ 亳仍仂, 磻亠 亰舒 舒弍仂仍ﾑ仆仂 于亠仍亳亳仆仂 亟仂于仆ﾑ 亟仂于亢亳仆 于亟亰从舒 y. 亊从仂 .y 亰弍亞舒 亰 ., 仂 y = 0. 仂仂亟亳仆舒仂 z 仆舒亰亳于舒ﾑ 亳仍仂, 磻亠 亰舒 舒弍仂仍ﾑ仆仂 于亠仍亳亳仆仂 亟仂于仆ﾑ 亟仂于亢亳仆 于亟亰从舒 z. 亊从仂 .z 亰弍亞舒 亰 ., 仂 z = 0. 亠舒亶 仂从舒 亠亠亟亳仆舒 于亟亰从舒 12. A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2) (x; y; z) 仂仂亟亳仆舒亳 仂从亳 于亳亰仆舒舒ﾑ 亰舒 仂仄仍舒仄亳: 2 21 xx x + = 2 21 yy y + = 2 21 zz z + = 亠舒亶 仂从舒 丐 仍亠亢亳 仆舒 于亟亰从 , 仗亳仂仄 丐:丐 = m. 亊从仂 丐(x; y; z), (x1; y1; z1), (x2; y2; z2), 仂 , 1 21 m mxx x + + = , 1 21 m myy y + + = m mzz z + + = 1 21 丶亠 仂仄仍亳 仗仂亟仍 于亟亰从舒 于 亟舒仆仂仄 于亟仆仂亠仆仆. 亟舒仆 仄亢 仂从舒仄亳 A1(x1; y1; z1) A2(x2; y2; z2) (亟仂于亢亳仆舒 于亟亰从舒 12) 于亳亰仆舒舒 亰舒 仂仄仍仂: ( ) ( ) ( )2 12 2 12 2 1221 zzyyxxAA ++= 丐 丕 弌丐. 丶 丐 亠从仂仂仄 仆舒亰亳于舒 仆舒仗礆仍亠仆亳亶 于亟亰仂从. 仂亰仆舒亠仆仆: 舒 , 舒弍仂 舒 , ( 仗仂舒仂从 于亠从仂舒 , 从仆亠 于亠从仂舒 ) 弍仂仍ﾑ仆仂 于亠仍亳亳仆仂 于亠从仂舒 仆舒亰亳于舒 亟仂于亢亳仆舒 于亟亰从舒, 磻亳仄 亰仂弍舒亢 亟舒仆亳亶 于亠从仂.
- 2. 舒 舒弍仂仍ﾑ仆舒 于亠仍亳亳仆舒 于亠从仂舒 舒 仂弍亟仂于舒仆仂 于亠从仂亳 弌 , 弌 , . 弌 仂亟仆舒从仂于仂 仆舒仗礆仍亠仆 弌 , 弌 弌 仗仂亳仍亠亢仆仂 仆舒仗礆仍亠仆 仍仂于亳亶 于亠从仂 亠 于亠从仂, 于 磻仂亞仂 仗仂舒仂从 亰弍亞舒 亰 从仆亠仄. 亟亳仆亳仆亳亶 于亠从仂 亠 于亠从仂, 舒弍仂仍ﾑ仆舒 于亠仍亳亳仆舒 磻仂亞仂 亟仂于仆ﾑ 1. 于仆 于亠从仂亳 仂亟仆舒从仂于仂 仆舒仗礆仍亠仆 于仆 亰舒 舒弍仂仍ﾑ仆仂 于亠仍亳亳仆仂. 仂仍仆亠舒仆亳仄亳 仆舒亰亳于舒ﾑ 于亠从仂亳, 仂 仍亠亢舒 仆舒 仂亟仆亶 仗礆亶 舒弍仂 仆舒 仗舒舒仍亠仍仆亳 仗礆亳. 仍舒亳于 从仂仍仆亠舒仆亳 于亠从仂于: ba = 了 仂亟舒于舒仆仆 于亠从仂于 舒于亳仍仂 "亳从仆亳从舒" cba =+ 舒于亳仍仂 "仗舒舒仍亠仍仂亞舒仄舒" cba =+ 舒于亳仍仂 "仗舒舒仍亠仍亠仗仗亠亟舒" cbad ++= 亟仆仄舒仆仆 于亠从仂于 cba =
- 3. 仂仂亟亳仆舒舒仄亳 于亠从仂舒 仗仂仂 亰 仗仂舒从仂仄 于 仂 1(x1; y1; z1) 从仆亠仄 仂 A2(x2; y2; z2) 仆舒亰亳于舒ﾑ 亳仍舒 2 1, y2 y1, z2 z1. 21AA (2 1; y2 y1; z2 z1) 仍舒亳于仂: 于仆 于亠从仂亳 仄舒ﾑ 于仆 从仂仂亟亳仆舒亳; 于亠从仂亳 亰 于仆亳仄亳 从仂仂亟亳仆舒舒仄亳 于仆. 仆舒亟 于亠从仂舒仄亳 弌仄仂 于亠从仂于 舒 (舒1; 舒2; 舒3) b (b1; b2; b3) 仆舒亰亳于舒 于亠从仂 c ( 舒1 +b1; 舒2 +b2; 舒3 +b3). 仂弍从仂仄 于亠从仂舒 舒 (舒1; 舒2; 舒3) 仆舒 亳仍仂 了 仆舒亰亳于舒 于亠从仂 舒了 (了舒1; 了舒2; 了舒3) 舒仗礆 于亠从仂舒 舒了 亰弍亞舒 亰 仆舒仗礆仂仄 于亠从仂舒 舒 , 磻仂 了 > 0, 弍亟亠 仗仂亳仍亠亢仆亳仄, 磻仂 了 < 0. 亠 仂亟亳仆亳仆亳亶 于亠从仂, 仆舒仗礆 磻仂亞仂 亰弍亞舒 亰 仆舒仗礆仂仄 从仂仂亟亳仆舒仆仂 仂. 仂亰仆舒亠仆仆 仂于: 1e , 2亠 , 3e 舒弍仂 i , j , k 1e 仂 仂 丱 仂仂亟亳仆舒亳 仂于: 1e (1; 0; 0), 2亠 (0; 1; 0), 3e (0; 0; 1) 仂亰从仍舒亟舒仆仆 于亠从仂舒 仆舒 从仍舒亟仂于 仗仍仂亳仆 yx aaa += 亟亠 xa 仗仂亠从 于亠从仂舒 a 仆舒 于 丱, ya 仗仂亠从 于亠从仂舒 a 仆舒 于 OY. 1e xa 从仂仍仆亠舒仆 2亠 ya 从仂仍仆亠舒仆, 2亠 仂 仂 OY 丐仂亟 1eax = 了 , 2eay = 袖 . 亢亠, 21 eea 袖了 += 仂亰从仍舒亟舒仆仆 于亠从仂舒 仆舒 从仍舒亟仂于 仗仂仂 zyx aaaa ++= 亟亠 xa 仗仂亠从 于亠从仂舒 a 仆舒 于 丱, ya 仗仂亠从 于亠从仂舒 a 仆舒 于 OY, za 仗仂亠从 于亠从仂舒 a 仆舒 于 OZ. 丐仂亟 1eax = 了 , 2eay = 袖 , 3eaz =僚 , 3e 仂 仂 OZ. 亢亠, 321 eeea 僚袖了 ++= 从仍从亳 仂亳 于亟仄仆仆 于亟 仆仍 仆亠 从仂仍仆亠舒仆, 仂 弍亟-磻亳亶 于亠从仂 舒 (舒1; 舒2; 舒3) 仄仂亢仆舒 亰舒仗亳舒亳 于亳亞仍磲: 321 eeea 僚袖了 ++= (*) 亳亰仆舒亳仄仂 了, 袖, 僚. 仂仄仆仂亢亳仄仂 于仆礌仆 (*) 仆舒 1亠 . 舒于舒于亳, 仂 从舒仍仆亳亶 亟仂弍仂从 仂亟仆仂亶仄亠仆仆亳 仂于 亟仂于仆ﾑ 1, 仂亟亠亢亳仄仂: ( ) ( ) 11321 0;0;1;; aeaaaa = , 了了 = 11 ee , 012 =ee袖 , 013 =ee僚 . 亢亠, 1a了 = .
- 4. 仆舒仍仂亞仆仂, 磻仂 于仆礌仆 (*) 仗仂仄仆仂亢亳亳 仆舒 2亠 , 仂 仂亟亠亢亳仄仂: 袖 = 舒2. 磻仂 于仆礌仆 (*) 仗仂仄仆仂亢亳亳 仆舒 3亠 , 仂 仂亟亠亢亳仄仂: 僚 = 舒3. 亠亰仍舒 仂亟亠亢亳仄仂 仂亰从仍舒亟 于亠从仂舒 仆舒 从仍舒亟仂于: 332211 亠舒亠舒亠舒舒 ++= 舒弍仂 k舒j舒i舒舒 ++= 321 个丕 亊 丼弌亊 丐, 丕丐 丐, 弌丐 丐丼 弌从舒仍仆亳亶 亟仂弍仂从 于亠从仂于 亠舒亶 亟舒仆仂 于亠从仂亳 );;( zyx aaaa );;( zyx bbbb . 弌从舒仍仆亳仄 亟仂弍从仂仄 于亠从仂于 a 舒 b 仆舒亰亳于舒 亳仍仂, 仂 亟仂于仆ﾑ 仄 亟仂弍从于 仂亟仆仂亶仄亠仆仆亳 从仂仂亟亳仆舒. ab = 舒1b1 + 舒2b2 + 舒3b3 弌从舒仍仆亳亶 亟仂弍仂从 于亠从仂于 a 舒 b 仗仂亰仆舒舒 亳仄于仂仍仂仄 ba , 舒弍仂 ( )ba, . 亢亠, a 揃 b = ( )ba, = ax bx + ay by + az bz . (1) 亠舒亶 从 仄亢 于亠从仂舒仄亳 a b , 仂亟 从舒仍仆亳仄 亟仂弍从仂仄 于亠从仂于 a 舒 b 亳仍仂, 仂 亟仂于仆ﾑ 亟仂弍从仂于 亟仂于亢亳仆 亳 于亠从仂于 仆舒 从仂亳仆 从舒 仄亢 仆亳仄亳, 仂弍仂 ( ) cos, bababa == . (2) (2), 于舒仂于ﾑ亳 (1), 于亳仗仍亳于舒, 仂 222222 cos zyxzyx zzyyxx bbbaaa bababa ++++ ++ = (3) 亊从仂 于亠从仂亳 a b 于亰舒仄仆仂 仗亠仗亠仆亟亳从仍仆, 仂 = 2 , 仂亟 cos = 0, 亰于亟从亳 于亳仗仍亳于舒 仄仂于舒 仗亠仗亠仆亟亳从仍仆仂 : ax bx + ay by + az bz = 0. 亰仆仂亶仄亠仆仆 仂亳 于亰舒仄仆仂 仗亠仗亠仆亟亳从仍仆. 弌从舒仍仆亳亶 亟仂弍仂从 亰仆仂亶仄亠仆仆亳 仂于 亟仂于仆ﾑ 仆仍. 仂于亢亳仆舒 于亠从仂舒 舒 (舒1; 舒2; 舒3) 仂弍亳仍ﾑ 亰舒 仂仄仍仂: 2 3 2 2 2 1 aaaa ++= 仂仄 仄亢 仆亠仆仍仂于亳仄亳 于亠从仂舒仄亳 弌 仆舒亰亳于舒 从 弌. 仂仄 仄亢 弍亟-磻亳仄亳 仆亠仆仍仂于亳仄亳 于亠从仂舒仄亳 舒 b 仆舒亰亳于舒 从 仄亢 于亠从仂舒仄亳, 仂 亟仂于仆ﾑﾑ 亟舒仆亳仄 仄舒ﾑ 仗仍仆亳亶 仗仂舒仂从. 仄亢 亟于仂仄舒 于亠从仂舒仄亳 仄仂亢仆舒 仂弍亳仍亳亳 亠亠亰 从舒仍仆亳亶 亟仂弍仂从 亳 于亠从仂于: ba ab =cos 亊从仂 从舒仍仆亳亶 亟仂弍仂从 仆亠仆仍仂于亳 于亠从仂于 亟仂于仆ﾑ 仆仍, 仂 于亠从仂亳 仗亠仗亠仆亟亳从仍仆.
- 5. 弌丐亊 弌 丼丐丕 丐 丐 丐丱 乂 弌亳仄亠 于亟仆仂仆仂 仗仂舒从 从仂仂亟亳仆舒 亠亠于仂亠仆仆 亞亳, 仗亳 磻仂仄 亟仂于仍仆舒 仂从舒 (x; y; z) 仗亠亠仂亟亳 仂从 A'(-x; -y; -z), 仆舒亰亳于舒 亠仆舒仍仆仂 亳仄亠 于亟仆仂仆仂 仗仂舒从 从仂仂亟亳仆舒. 亢亠, 仂从亳 (x; y; z) S(-x; -y; -z) 亳仄亠亳仆亳仄亳 于亟仆仂仆仂 仗仂舒从 从仂仂亟亳仆舒, 仂弍仂 于亟仆仂仆仂 仂从亳 (0; 0; 0). 弌亳仄亠 于亟仆仂仆仂 从仂仂亟亳仆舒仆仂 仂 丐仂从亳 (x; y; z) (x; -y; -z) 亳仄亠亳仆 于亟仆仂仆仂 仂 丱. 丐仂从亳 (x; y; z) 弌(-x; y; -z) 亳仄亠亳仆 于亟仆仂仆仂 仂 Y. 丐仂从亳 (x; y; z) D(-x; -y; z) 亳仄亠亳仆 于亟仆仂仆仂 仂 Z. 弌亳仄亠 于亟仆仂仆仂 从仂仂亟亳仆舒仆仂 仗仍仂亳仆亳 丐仂从亳 (x; y; z) M(x; y; -z) 亳仄亠亳仆 于亟仆仂仆仂 从仂仂亟亳仆舒仆仂 仗仍仂亳仆亳 xy. 丐仂从亳 (x; y; z) K(x; -y; z) 亳仄亠亳仆 于亟仆仂仆仂 从仂仂亟亳仆舒仆仂 仗仍仂亳仆亳 xz. 丐仂从亳 (x; y; z) N(-x; y; z) 亳仄亠亳仆 于亟仆仂仆仂 从仂仂亟亳仆舒仆仂 仗仍仂亳仆亳 yz.