Teoremi sulle funzioni-continue_e_del_calcolo_differrenziale
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![Teorema dellesistenza degli zeri
Se f(x) 竪 una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato I=[a,b] , e se
agli estremi dellintervallo assume valori di segno opposto , essa si annulla in
almeno un punto interno dellintervallo
a b
f(a)
f(b)
c
se f(a)*f(b)< 0
c / f(c)=0 a < c < b
1)2( 3
2
1
= xy
Esempio:
f(1)=-1,5 f(4)=3 ( ) 022 3
=+f
f(c)=0](https://image.slidesharecdn.com/teoremisullefunzioni-continueedelcalcolodifferrenziale-140327144129-phpapp02/85/Teoremi-sulle-funzioni-continue_e_del_calcolo_differrenziale-7-320.jpg)
![Teorema di Rolle
Sia f(x) una funzione continua in [a,b] e derivabile in ]a,b[ e tale che f(a)=f(b)
allora esiste almeno un punto c [a,b] tale che f(c)=0.
Per il teorema di Weierstrass f(x) ha un massimi M e un minimo m
1属 caso m=M
m=M
a b
x[a,b] f(x)=0
f(x) 竪 costante f(x)=0](https://image.slidesharecdn.com/teoremisullefunzioni-continueedelcalcolodifferrenziale-140327144129-phpapp02/85/Teoremi-sulle-funzioni-continue_e_del_calcolo_differrenziale-8-320.jpg)
![f(c)=M
f(a)=f(b)
a c b
f(c)=0
10
21 3
xx
y
=
2属 caso m<M
f(c+h)-f(c)0
dividiamo per h
0
)()(
+
h
cfhcf
se h<0
0
)()(
+
h
cfhcf
se facciamo tendere h a zero:
( ) 0'
+ cf ( ) 0'
モ cf
poich辿 f(x) 竪 derivabile in ]ab[
ff霞(c)=0(c)=0
Esempio
in [1,4] si ha f(1)=f(4)=2 ( ) 07'
=f
sia c il punto interno ad [a,b] tale che f(c)=M
scegliamo h tale che c+h [a,b].
se h>0
c+h
f(c+h)](https://image.slidesharecdn.com/teoremisullefunzioni-continueedelcalcolodifferrenziale-140327144129-phpapp02/85/Teoremi-sulle-funzioni-continue_e_del_calcolo_differrenziale-9-320.jpg)
![Sia f(x) una funzione continua in [a,b] e derivabile in ]a,b[ e tale che f(a)=f(b)
allora esiste almeno un punto c [a,b] tale che f(c)=0.
f(a)=f(b)
a bc
x [a,b] f(x)0.
Esempio:
錚
錚
錚
<+
も
=
53se122
31se2
xx
xx
y
non 竪 derivabile in x=3](https://image.slidesharecdn.com/teoremisullefunzioni-continueedelcalcolodifferrenziale-140327144129-phpapp02/85/Teoremi-sulle-funzioni-continue_e_del_calcolo_differrenziale-10-320.jpg)
![Teorema di Lagrange o del valor medio
Sia f(x) una funzione continua in [a,b] e derivabile in ]a,b[ allora esiste almeno un punto
c [a,b] tale che : )(
)()( '
cf
ab
afbf
=
a b
f(a)
f(b)
c
Si considera x
ab
afbf
xfxg
=
)()(
)()(
g(a)=g(b)
per il teorema di Rolle
c [a,b] tale che g(c)=0
ab
afbf
xfxg
=
)()(
)(')('
0
)()(
)(')('
=
=
ab
afbf
cfcg
)(
)()( '
cf
ab
afbf
=](https://image.slidesharecdn.com/teoremisullefunzioni-continueedelcalcolodifferrenziale-140327144129-phpapp02/85/Teoremi-sulle-funzioni-continue_e_del_calcolo_differrenziale-11-320.jpg)
Teoremi sulle funzioni-continue_e_del_calcolo_differrenziale
- 1. Funzioni continue su intervalliFunzioni continue su intervalli Teoremi fondamentali del calcolo differenzialeTeoremi fondamentali del calcolo differenziale
- 2. Teorema Se f(x) 竪 una funzione continua in un intervallo I , allora f(I) 竪 un intervallo. xy = I f(I) 21 2 2 2 錚 錚 錚 錚器４ 錚 錚 >+ = x x x x y I f(I)
- 3. Teorema di Weierstrass Se f(x) 竪 una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato I , allora 竪 dotata in I di massimo e minimo. M m I 1)6( 8 1 2 += xxy )(xtgy = I
- 4. Teorema di Weierstrass Se f(x) 竪 una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato I , allora 竪 dotata in I di massimo e minimo. 錚 錚 錚 錚 錚 = << = = 5per x2 51per 1per3 )( xx x xf I
- 5. Teorema di Weierstrass Se f(x) 竪 una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato I , allora 竪 dotata in I di massimo e minimo. 1= xy { }1= xI I
- 6. Teorema dei valori intermedi Se f(x) 竪 una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato I , essa assume almeno una volta qualunque valore compreso tra il suo minimo assoluto e il suo massimo assoluto m M k xo x1 x2 k / m k M xo / f(xo)=k
- 7. Teorema dellesistenza degli zeri Se f(x) 竪 una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato I=[a,b] , e se agli estremi dellintervallo assume valori di segno opposto , essa si annulla in almeno un punto interno dellintervallo a b f(a) f(b) c se f(a)*f(b)< 0 c / f(c)=0 a < c < b 1)2( 3 2 1 = xy Esempio: f(1)=-1,5 f(4)=3 ( ) 022 3 =+f f(c)=0
- 8. Teorema di Rolle Sia f(x) una funzione continua in [a,b] e derivabile in ]a,b[ e tale che f(a)=f(b) allora esiste almeno un punto c [a,b] tale che f(c)=0. Per il teorema di Weierstrass f(x) ha un massimi M e un minimo m 1属 caso m=M m=M a b x[a,b] f(x)=0 f(x) 竪 costante f(x)=0
- 9. f(c)=M f(a)=f(b) a c b f(c)=0 10 21 3 xx y = 2属 caso m<M f(c+h)-f(c)0 dividiamo per h 0 )()( + h cfhcf se h<0 0 )()( + h cfhcf se facciamo tendere h a zero: ( ) 0' + cf ( ) 0' モ cf poich辿 f(x) 竪 derivabile in ]ab[ ff霞(c)=0(c)=0 Esempio in [1,4] si ha f(1)=f(4)=2 ( ) 07' =f sia c il punto interno ad [a,b] tale che f(c)=M scegliamo h tale che c+h [a,b]. se h>0 c+h f(c+h)
- 10. Sia f(x) una funzione continua in [a,b] e derivabile in ]a,b[ e tale che f(a)=f(b) allora esiste almeno un punto c [a,b] tale che f(c)=0. f(a)=f(b) a bc x [a,b] f(x)0. Esempio: 錚 錚 錚 <+ も = 53se122 31se2 xx xx y non 竪 derivabile in x=3
- 11. Teorema di Lagrange o del valor medio Sia f(x) una funzione continua in [a,b] e derivabile in ]a,b[ allora esiste almeno un punto c [a,b] tale che : )( )()( ' cf ab afbf = a b f(a) f(b) c Si considera x ab afbf xfxg = )()( )()( g(a)=g(b) per il teorema di Rolle c [a,b] tale che g(c)=0 ab afbf xfxg = )()( )(')(' 0 )()( )(')(' = = ab afbf cfcg )( )()( ' cf ab afbf =