ݺߣ

ݺߣShare a Scribd company logo

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

•
•
M
Minh Thắng Trần
1 of 10
Downloaded 13 times
Nguy n Phú Khánh – à L t -194- Bài 8 :S TI P XÚC C A HAI Ư NG CONG Bài toán 1 : Hai ư ng cong ( ) ( ):C y f x= và ( ) ( )' :C y g x= ti p xúc nhau khi và ch khi h phương trình sau: ( ) ( ) ( ) ( )' ' f x g x f x g x  =  = có nghi m. Ví d 1 : Tìm tham s th c m ư ng th ng ( ) ( ): 3d y m x= − ti p xúc v i th ( ) 31 : 3 3 C y x x= − + . Gi i : ( )d ti p xúc v i ( )C khi h sau : ( ) ( ) 3 2 1 3 3 *3 3 x x m x x m  − + = −  − + =  có nghi m. ( ) 3 2 2 2 2 3 3 62 9 27 0 2 3 9 0* 3 3 3 3 2 4 x x mx x x x m x x m m x  =  = ⇒ = − − + =   − − =⇔ ⇔ ⇔  = − + = − ⇒ =  = − +  Ví d 2 : Tìm trên tr c hoành nh ng i m mà t ó có th k n th c a hàm s : 2 1 x y x = − hai ti p tuy n t o v i nhau 1 góc 0 45 . Gi i : G i ( )0 ;0M Ox M x∈ ⇒ , ư ng th ng i qua M có h s góc là k , phương trình có d ng : ( ) ( )0 :d y k x x= − . ( )d là ti p tuy n c a th khi h sau có nghi m : ( ) ( ) 2 0 2 2 1 2 1 x k x x x x x k x  = − −  − =  − 
Nguy n Phú Khánh – à L t -195- ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 02 2 1 2 0 1 1 x x x x x x x x x x x −  = − ⇔ + − =  − − 0 0 0 0 2 , 1 1 x x x x x  =  ⇔  = ≠ −  + • ( ) 2 2 2 0 0 1 x x x k x − = ⇒ = = − . • ( ) 0 0 2 0 0 2 4 1 1 x x x k x x − = ⇒ = + + • Ti p tuy n qua M t o v i th c a hàm s : 2 1 x y x = − hai ti p tuy n t o v i nhau 1 góc 0 45 khi và ch khi ( ) 0 1 2 0 02 1 2 0 4 tan 45 1 3 2 2 1 1 k k x x k k x − = ⇒ = ⇒ = ± + + . V y ( ) ( )3 2 2;0 , 3 2 2;0M − + Ví d 3 :Tìm t t c các i m trên tr c hoành nh ng i m M mà qua ó v ư c úng 3 ti p tuy n n th ( ) 3 2 : 3C y x x= + mà trong ó có 2 ti p tuy n vuông góc v i nhau . Gi i : G i ( );0M a Ox∈ , ư ng th ng ( )t i qua M và có h s góc ( ) ( ):k t y k x a⇒ = − . ( )t ti p xúc v i ( )C khi h sau có nghi m : 2 2 3 ( ) (1) 3 6 (2) x x k x a x x k  + = −  + = 3 T (1),(2) suy ra : 2 2 2 3 3 6 ( ) 2 3( 1) 6 0x x x x x a x a x ax+ = + − ⇔ + − − =3 3 0 2 3( 1) 6 0 2 3( 1) 6 0 (3) x x x a x a x a x a =   ⇔ − − − = ⇔  − − − = 2 2
Nguy n Phú Khánh – à L t -196- 0 0 1x k• = ⇒ = ⇒ ti p tuy n. Qua M k ư c 3 ti p tuy n n n th ( )C mà trong ó có 2 ti p tuy n vuông góc v i nhau . Khi ó (3)có 2 nghi m phân bi t 1 2 , 0x x ≠ và 1 2 1k k = − ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 22 2 0 0 0 9 1 48 0 3 6 3 6 1 9 18 36 1 a a a a x x x x x x x x x x x x   ≠ ≠    ⇔ ∆ > ⇔ − + >      + + = −  + + + = −      ( ) 1 2 1 2 2 1 3 3 81 81 1 108 1 0 3( -1) vì = - 3 ; = 2 a a a a a a a x x a x x  < − ∨ > − ≠  ⇔ − − − + =    +    vaø a 0 1 13 3 2727 1 0 a a a a a  < − ∨ > − ≠ ⇔ ⇔ = − + =  vaø 0 V y 1 ,0 27 M Ox   ∈    th a bài toán . Bài toán 2 : Phương trình ti p tuy n c a th ( ) ( ):C y f x= t i i m ( )( )0 0 ;M x f x có d ng : ( )( ) ( )0 0 0 'y f x x x f x= − + . Ví d 1 :Tìm t a ti p i m c a th 4 ( ) : 1 x C y x − = − v i ti p tuy n ( )t , bi t r ng ti p tuy n ( )t t o v i ư ng th ng ( ) : 2 2010d y x= − + 1 góc 0 45 . Gi i : { } 1D• = »
Nguy n Phú Khánh – à L t -197- • Ta có : ( ) 2 3 ' , 1 1 y x x = ≠ − • G i ( )( )0 0 ;M x f x là t a ti p i m c n tìm thì h s góc ti p tuy n ( )t là ( ) 02 0 3 , 1 1 k x x = ≠ − . • Vì ( )t và( )d t o nhau 1 góc 0 45 khi 0 1 2 t n 45 3 1 2 3 k k a k k  + = −= ⇔ − = ( ) 2 0 1 3 1 * 3 31 k x = − ⇔ = − − i u này không x y ra . ( ) 2 0 02 0 3 * 3 3 2 0 1 k x x x = ⇔ = ⇔ − = − ( ) ( ) 0 0 0 0 0 4 0;4 2 2 2; 2 x y M x y M  = ⇒ = ⇒ ⇔ = ⇒ = − ⇒ − Ví d 2 : Cho hàm s 2 3 2 x y x + = − , có th ( )C . Tìm t t c các tham s m ư ng th ng ( ) : 2t y x m= + c t ( )C t i hai i m phân bi t mà hai ti p tuy n t i ó song song v i nhau. Gi i : ư ng th ng ( ) : 2t y x m= + c t ( )C t i hai i m phân bi t mà hai ti p tuy n t i ó song song v i nhau khi và ch khi phương trình 2 3 2 2 x x m x + = + − có hai nghi m phân bi t 1 2 ,x x th a mãn i u ki n ( ) ( )1 2 ' 'y x y x= . Khi ó phương trình ( ) ( )2 2 6 2 3 0g x x m x m= + − − − = có 2 nghi m phân bi t 1 2 ,x x khác 2 và th a mãn i u ki n ( ) ( ) 1 22 2 1 2 7 7 4 2 2 x x x x − = − ⇔ + = − −
Nguy n Phú Khánh – à L t -198- ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 6 8 2 3 0 2 2.2 6 .2 2 3 0 2 6 4 2 m m g m m m m  ∆ = − + + >  ⇔ = + − − − ≠ ⇔ =  − − =  . Ví d 3: Cho hàm s 2 1 x y x = + có th là ( )C . Tìm trên th ( )C nh ng i m M , sao cho ti p tuy n t i M c t hai tr c t a ,Ox Oy t i hai i m phân bi t ,A B sao cho di n tích tam giác AOB có di n tích b ng 1 4 . Gi i : G i ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 2 0 0 2 2 ; ' 1 1 x M x y C y y x x ∈ ⇒ = ⇒ = + + Phương trình ti p tuy n ( )t c a ( )C t i M là : ( ) ( ) 2 0 0 2 2 0 0 22 1 1 x y x x x = + + + . Ti p tuy n ( )t c t hai tr c t a ,Ox Oy t i hai i m phân bi t ( )2 0 ;0A x− , ( ) 2 0 2 0 2 0; 1 x B x        +   sao cho di n tích tam giác AOB có di n tích b ng 1 4 khi ó ( ) ( ) 2 2 2 20 0 0 02 0 21 1 1 1 . . . . 4 1 0 2 4 2 21 x OAOB OAOB x x x x = ⇔ = ⇔ = ⇔ − + = + ( ) 2 0 0 0 2 0 0 0 1 1 2 1 0 ; 2 2 2 2 1 0 1 1;1 x x x M x x x M     + + = = − ⇒ − −   ⇔  − − =  = ⇒  . V y có hai i m th a mãn yêu c u bài toán 1 ; 2 2 M   − −    , ( )1;1M . Ví d 4 : Ch ng minh r ng n u các ti p tuy n ( )( ),d t c a th ( ) :C 3 2 6 9y x x x= − + song song v i nhau thì hai ti p i m ,A B i x ng nhau
Nguy n Phú Khánh – à L t -199- qua (2;2)M . Gi i : G i ( )( ) ( )( )3 2 3 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 , 6 9 , , 6 9A x y x x x x B x y x x x x= − + = − + là t a ti p i m c a ( )( ),d t và th ( )C . ( )d và( )t song song v i nhau khi ( ) ( ) 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 ' ' 3 12 9 3 12 9 4y x y x x x x x x x= ⇔ − + = − + ⇔ + = . V i 1 2 4x x+ = thì t n t i ( ) ( ) 3 1 1 3 2 2 2 3 2 0 : 2 3 2 x t y x t t t x t y x t t  = − ⇒ = − + >  = + ⇒ = − + + D th y trung i m o n AB có t a ( ) ( ) 1 2 0 1 2 0 2 2 2 2 x x x y x y x y  + = =   + = = . Do ó hai ti p i m ,A B i x ng nhau qua (2;2)M . Ví d 5 : Cho hàm s 2 2 1 x y x = − .Tìm 0; 2 π α  ∈     sao cho i m ( )1 sin ;9M α+ n m trên th ( )C . Ch ng minh r ng, ti p tuy n c a ( )C t i i m M c t hai ti m c n c a ( )C t i hai i m ,A B i x ng nhau qua i m M . Gi i : Vì ( )1 sin ;9M α+ n m trên th ( )C nên: ( )2 2 1 sin2 1 sin 29 2sin 5sin 2 0 1 sin 1 sin 2 αα α α α α  =+ = ⇔ − + = ⇔ + − = Vì 0; 2 π α  ∈     nên 1 3 sin ;9 2 6 2 M π α α  = ⇒ = ⇒     Ti p tuy n c a th (C) t i i m M là: 3 3 ' 9 2 2 y y x  = − +      hay ( ) : 6 18d y x= − + . Ti p tuy n ( )d c t ti m c n ng 1x = t i: ( )1;12A
Nguy n Phú Khánh – à L t -200- Ti p tuy n ( )d c t ti m c n xiên tai i m B có t a là nghi m ( );x y h phương trình: ( ) 6 18 2 2;6 2 2 6 y x x B y x y = − + =   ⇔ ⇒  = + =   D th y: 3 2 2 9 2 A B M A B M x x x y y y + = =   +  = =  Suy ra, ,A B i x ng nhau qua i m M ( pcm). Ví d 6: G i ( )d là ti p tuy n c a th 2 3 ( ) : 2 x C y x − = − t iM c t các ư ng ti m c n t i hai i m phân bi t ,A B . Tìm t a i m M sao cho ư ng tròn ngo i ti p tam giác IAB có di n tích nh nh t , v i I là giao i m hai ti m c n . Gi i : G i ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 2 0 0 2 3 1 ; , ' 2 2 x M x y C y y x x − ∈ ⇒ = = − − − Phương trình ti p tuy n ( )d c a ( )C t iM : ( ) 0 02 0 0 2 31 ( ) 22 x y x x xx −− = − + −− ( )d c t hai ư ng ti m c n t i hai i m phân bi t 0 0 2 2 2; , 2 x A x  −   −  ( )0 2 2;2B x − . D th y M là trung i m AB và ( )2;2I là giao i m hai ư ng ti m c n. Tam giác IAB vuông t i I nên ư ng tròn ngo i ti p tam giác IAB có di n tích 2 2 2 20 0 0 2 0 0 2 3 1 ( 2) 2 ( 2) 2 2 ( 2) x S IM x x x x π π π π     −  = = − + − = − + ≥    − −      D u ng th c x y ra khi 2 0 2 0 1 ( 2) ( 2) x x − = − 0 0 0 0 1 1 3 3 x y x y  = ⇒ = ⇔  = ⇒ = V y ( )1;1M ( )3;3M th a mãn bài toán. Bài toán 3 :
Nguy n Phú Khánh – à L t -201- Phương trình ti p tuy n c a th ( ) ( ):C y f x= i qua i m ( )1 1 ;M x y Cách 1 : • Phương trình ư ng th ng ( )d i qua i mM có h s góc là k có d ng : ( )1 1 y k x x y= − + . • ( )d ti p xúc v i th ( )C khi h sau ( ) ( ) ( ) 1 1 ' f x k x x y f x k  = − +  = có nghi m. Cách 2 : • G i ( )0 0 ;N x y là t a ti p i m c a th ( )C và ti p tuy n ( )d qua i m M , nên ( )d cũng có d ng ( )0 0 0 'y y x x y= − + . • ( )d i qua i m M nên có phương trình : ( ) ( )1 0 1 0 0 ' *y y x x y= − + • T phương trình ( )* ta tìm ư c t a i m ( )0 0 ;N x y , t ây ta tìm ư c phương trình ư ng th ng ( )d . Ví d 2: Cho hàm s : 4 2 5 3 2 2 x y x= − + có th là ( )C . Gi s ( )M C∈ có hoành a . V i giá tr nào c a a thì ti p tuy n c a ( )C t i M c t ( )C t i 2 i m phân bi t khác M . Gi i : Vì ( )M C∈ nên 4 2 5 ; 3 2 2M a M a y a   = − +    Ti p tuy n t i M có h s góc ' 3 2 6M y a a= − Ti p tuy n t i M có d ng : ( ) 4 ' 3 2 5 ( ) : (2 6 )( ) 3 2 2M x M M a y y x x y d y a a x a a= − + ⇒ = − − + − + Ti p tuy n ( )d c a ( )C t i M c t ( )C t i 2 i m phân bi t khác M khi phương trình sau có 3 nghi m phân bi t : 4 4 2 3 25 5 3 (2 6 )( ) 3 2 2 2 2 x a x a a x a a− + = − − + − + hay phương trình
Nguy n Phú Khánh – à L t -202- 2 2 3 ( ) ( 2 3 6) 0x a x ax a− + + − = có 3 nghi m phân bi t , nghĩa là phương trình ( ) 2 3 2 3 6 0g x x ax a= + + − = có hai nghi m phân bi t và khác a . ' 2 2 2 ( ) 2 2 (3 6) 0 3 0 3 ( ) 6 6 0 1 1 g x a a a a g a a a a  ∆ = − − > − < <   ⇔ ⇔ ⇔   = − ≠ ≠ ≠ ±     V y giá tr a c n tìm 3 1 a a  <  ≠ ± Bài t p tương t : 1. Tìm m ti p tuy n i qua i m ( )2; 2M m + c a th hàm s 3 3y x x m= − + ph i i qua g c t a O . BÀI T P T LUY N 1. )a Tìm ,a b bi t r ng th c a hàm s ( ) 2 1 ax bx f x x − = − i qua i m 5 1; 2 A   −    và ti p tuy n t i ( )0;0O có h s góc b ng 3− . Kh o sát s bi n thiên và v th ng v i giá tr ,a b v a tìm ư c. )b Tìm ,a b bi t r ng th c a hàm s ( ) 2 2f x x ax b= + + ti p xúc v i hypebol )a Tìm ,a b bi t r ng th c a hàm s 1 y x = t i i m 1 ;2 2 M       2. )a Vi t phương trình c a ư ng th ng i qua i m ( )1; 2A − và ti p xúc v i parabol 2 2y x x= − )b Ch ng minh hai ư ng cong 3 25 2, 2 4 y x x y x x= + − = + − ti p xúc nhau t i M , vi t phương trình ti p tuy n chung c a hai ư ng cong ó .
Nguy n Phú Khánh – à L t -203- )c Ch ng minh r g các th c a ba hàm s ( ) ( )2 3 2 3 6, 4,f x x x g x x x= − + + = − + ( ) 2 7 8h x x x= + + ti p xúc nhau t i i m ( )1;2A − . )d Ch ng minh r ng các th c a ai hàm s ( ) ( ) 2 3 3 , 2 2 2 x x f x x g x x = + = + ti p xúc nhau . Xác nh ti p i m và vi t phương trình ti p tuy n chung c a hai ư ng cong t i i m ó . )e Ch ng minh r ng các th c a ai hàm s ( ) ( )3 2 , 1f x x x g x x= − = − ti p xúc nhau . Xác nh ti p i m và vi t phương trình ti p tuy n chung c a hai ư ng cong t i i m ó . Hư ng d n : 1. )a ( ) ( ) ( ) 2 1 1 5 2 1 1 2 3 ' 0 3 a a b f  − − −  = − = ⇔ − − = − = −  )b 9 6, 2 a b= − = 2. )a ( ) ( ) ( ) ( ): 1 2 2 2 4 , 2 2d y m x m y x m y x= − − ⇒ = = − = − = − )b 1 5 9 ; , 2 2 4 4 M y x   − = −    )c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2, ' 1 ' 1 ' 1 5f g h f g h− = − = − = − = − = − = , ch ng t t i ( )1;2A − các th c a ba hàm s có ti p tuy n chung , nói khác hơn là các th c a ba hàm s ti p xúc nhau t i i m ( )1;2A − . )d ( ) 3 0;0 , 2 O y x=

More Related Content

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

  • 1. Nguy n Phú Khánh – à L t -194- Bài 8 :S TI P XÚC C A HAI Ư NG CONG Bài toán 1 : Hai ư ng cong ( ) ( ):C y f x= và ( ) ( )' :C y g x= ti p xúc nhau khi và ch khi h phương trình sau: ( ) ( ) ( ) ( )' ' f x g x f x g x  =  = có nghi m. Ví d 1 : Tìm tham s th c m ư ng th ng ( ) ( ): 3d y m x= − ti p xúc v i th ( ) 31 : 3 3 C y x x= − + . Gi i : ( )d ti p xúc v i ( )C khi h sau : ( ) ( ) 3 2 1 3 3 *3 3 x x m x x m  − + = −  − + =  có nghi m. ( ) 3 2 2 2 2 3 3 62 9 27 0 2 3 9 0* 3 3 3 3 2 4 x x mx x x x m x x m m x  =  = ⇒ = − − + =   − − =⇔ ⇔ ⇔  = − + = − ⇒ =  = − +  Ví d 2 : Tìm trên tr c hoành nh ng i m mà t ó có th k n th c a hàm s : 2 1 x y x = − hai ti p tuy n t o v i nhau 1 góc 0 45 . Gi i : G i ( )0 ;0M Ox M x∈ ⇒ , ư ng th ng i qua M có h s góc là k , phương trình có d ng : ( ) ( )0 :d y k x x= − . ( )d là ti p tuy n c a th khi h sau có nghi m : ( ) ( ) 2 0 2 2 1 2 1 x k x x x x x k x  = − −  − =  − 
  • 2. Nguy n Phú Khánh – à L t -195- ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 02 2 1 2 0 1 1 x x x x x x x x x x x −  = − ⇔ + − =  − − 0 0 0 0 2 , 1 1 x x x x x  =  ⇔  = ≠ −  + • ( ) 2 2 2 0 0 1 x x x k x − = ⇒ = = − . • ( ) 0 0 2 0 0 2 4 1 1 x x x k x x − = ⇒ = + + • Ti p tuy n qua M t o v i th c a hàm s : 2 1 x y x = − hai ti p tuy n t o v i nhau 1 góc 0 45 khi và ch khi ( ) 0 1 2 0 02 1 2 0 4 tan 45 1 3 2 2 1 1 k k x x k k x − = ⇒ = ⇒ = ± + + . V y ( ) ( )3 2 2;0 , 3 2 2;0M − + Ví d 3 :Tìm t t c các i m trên tr c hoành nh ng i m M mà qua ó v ư c úng 3 ti p tuy n n th ( ) 3 2 : 3C y x x= + mà trong ó có 2 ti p tuy n vuông góc v i nhau . Gi i : G i ( );0M a Ox∈ , ư ng th ng ( )t i qua M và có h s góc ( ) ( ):k t y k x a⇒ = − . ( )t ti p xúc v i ( )C khi h sau có nghi m : 2 2 3 ( ) (1) 3 6 (2) x x k x a x x k  + = −  + = 3 T (1),(2) suy ra : 2 2 2 3 3 6 ( ) 2 3( 1) 6 0x x x x x a x a x ax+ = + − ⇔ + − − =3 3 0 2 3( 1) 6 0 2 3( 1) 6 0 (3) x x x a x a x a x a =   ⇔ − − − = ⇔  − − − = 2 2
  • 3. Nguy n Phú Khánh – à L t -196- 0 0 1x k• = ⇒ = ⇒ ti p tuy n. Qua M k ư c 3 ti p tuy n n n th ( )C mà trong ó có 2 ti p tuy n vuông góc v i nhau . Khi ó (3)có 2 nghi m phân bi t 1 2 , 0x x ≠ và 1 2 1k k = − ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 22 2 0 0 0 9 1 48 0 3 6 3 6 1 9 18 36 1 a a a a x x x x x x x x x x x x   ≠ ≠    ⇔ ∆ > ⇔ − + >      + + = −  + + + = −      ( ) 1 2 1 2 2 1 3 3 81 81 1 108 1 0 3( -1) vì = - 3 ; = 2 a a a a a a a x x a x x  < − ∨ > − ≠  ⇔ − − − + =    +    vaø a 0 1 13 3 2727 1 0 a a a a a  < − ∨ > − ≠ ⇔ ⇔ = − + =  vaø 0 V y 1 ,0 27 M Ox   ∈    th a bài toán . Bài toán 2 : Phương trình ti p tuy n c a th ( ) ( ):C y f x= t i i m ( )( )0 0 ;M x f x có d ng : ( )( ) ( )0 0 0 'y f x x x f x= − + . Ví d 1 :Tìm t a ti p i m c a th 4 ( ) : 1 x C y x − = − v i ti p tuy n ( )t , bi t r ng ti p tuy n ( )t t o v i ư ng th ng ( ) : 2 2010d y x= − + 1 góc 0 45 . Gi i : { } 1D• = »
  • 4. Nguy n Phú Khánh – à L t -197- • Ta có : ( ) 2 3 ' , 1 1 y x x = ≠ − • G i ( )( )0 0 ;M x f x là t a ti p i m c n tìm thì h s góc ti p tuy n ( )t là ( ) 02 0 3 , 1 1 k x x = ≠ − . • Vì ( )t và( )d t o nhau 1 góc 0 45 khi 0 1 2 t n 45 3 1 2 3 k k a k k  + = −= ⇔ − = ( ) 2 0 1 3 1 * 3 31 k x = − ⇔ = − − i u này không x y ra . ( ) 2 0 02 0 3 * 3 3 2 0 1 k x x x = ⇔ = ⇔ − = − ( ) ( ) 0 0 0 0 0 4 0;4 2 2 2; 2 x y M x y M  = ⇒ = ⇒ ⇔ = ⇒ = − ⇒ − Ví d 2 : Cho hàm s 2 3 2 x y x + = − , có th ( )C . Tìm t t c các tham s m ư ng th ng ( ) : 2t y x m= + c t ( )C t i hai i m phân bi t mà hai ti p tuy n t i ó song song v i nhau. Gi i : ư ng th ng ( ) : 2t y x m= + c t ( )C t i hai i m phân bi t mà hai ti p tuy n t i ó song song v i nhau khi và ch khi phương trình 2 3 2 2 x x m x + = + − có hai nghi m phân bi t 1 2 ,x x th a mãn i u ki n ( ) ( )1 2 ' 'y x y x= . Khi ó phương trình ( ) ( )2 2 6 2 3 0g x x m x m= + − − − = có 2 nghi m phân bi t 1 2 ,x x khác 2 và th a mãn i u ki n ( ) ( ) 1 22 2 1 2 7 7 4 2 2 x x x x − = − ⇔ + = − −
  • 5. Nguy n Phú Khánh – à L t -198- ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 6 8 2 3 0 2 2.2 6 .2 2 3 0 2 6 4 2 m m g m m m m  ∆ = − + + >  ⇔ = + − − − ≠ ⇔ =  − − =  . Ví d 3: Cho hàm s 2 1 x y x = + có th là ( )C . Tìm trên th ( )C nh ng i m M , sao cho ti p tuy n t i M c t hai tr c t a ,Ox Oy t i hai i m phân bi t ,A B sao cho di n tích tam giác AOB có di n tích b ng 1 4 . Gi i : G i ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 2 0 0 2 2 ; ' 1 1 x M x y C y y x x ∈ ⇒ = ⇒ = + + Phương trình ti p tuy n ( )t c a ( )C t i M là : ( ) ( ) 2 0 0 2 2 0 0 22 1 1 x y x x x = + + + . Ti p tuy n ( )t c t hai tr c t a ,Ox Oy t i hai i m phân bi t ( )2 0 ;0A x− , ( ) 2 0 2 0 2 0; 1 x B x        +   sao cho di n tích tam giác AOB có di n tích b ng 1 4 khi ó ( ) ( ) 2 2 2 20 0 0 02 0 21 1 1 1 . . . . 4 1 0 2 4 2 21 x OAOB OAOB x x x x = ⇔ = ⇔ = ⇔ − + = + ( ) 2 0 0 0 2 0 0 0 1 1 2 1 0 ; 2 2 2 2 1 0 1 1;1 x x x M x x x M     + + = = − ⇒ − −   ⇔  − − =  = ⇒  . V y có hai i m th a mãn yêu c u bài toán 1 ; 2 2 M   − −    , ( )1;1M . Ví d 4 : Ch ng minh r ng n u các ti p tuy n ( )( ),d t c a th ( ) :C 3 2 6 9y x x x= − + song song v i nhau thì hai ti p i m ,A B i x ng nhau
  • 6. Nguy n Phú Khánh – à L t -199- qua (2;2)M . Gi i : G i ( )( ) ( )( )3 2 3 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 , 6 9 , , 6 9A x y x x x x B x y x x x x= − + = − + là t a ti p i m c a ( )( ),d t và th ( )C . ( )d và( )t song song v i nhau khi ( ) ( ) 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 ' ' 3 12 9 3 12 9 4y x y x x x x x x x= ⇔ − + = − + ⇔ + = . V i 1 2 4x x+ = thì t n t i ( ) ( ) 3 1 1 3 2 2 2 3 2 0 : 2 3 2 x t y x t t t x t y x t t  = − ⇒ = − + >  = + ⇒ = − + + D th y trung i m o n AB có t a ( ) ( ) 1 2 0 1 2 0 2 2 2 2 x x x y x y x y  + = =   + = = . Do ó hai ti p i m ,A B i x ng nhau qua (2;2)M . Ví d 5 : Cho hàm s 2 2 1 x y x = − .Tìm 0; 2 π α  ∈     sao cho i m ( )1 sin ;9M α+ n m trên th ( )C . Ch ng minh r ng, ti p tuy n c a ( )C t i i m M c t hai ti m c n c a ( )C t i hai i m ,A B i x ng nhau qua i m M . Gi i : Vì ( )1 sin ;9M α+ n m trên th ( )C nên: ( )2 2 1 sin2 1 sin 29 2sin 5sin 2 0 1 sin 1 sin 2 αα α α α α  =+ = ⇔ − + = ⇔ + − = Vì 0; 2 π α  ∈     nên 1 3 sin ;9 2 6 2 M π α α  = ⇒ = ⇒     Ti p tuy n c a th (C) t i i m M là: 3 3 ' 9 2 2 y y x  = − +      hay ( ) : 6 18d y x= − + . Ti p tuy n ( )d c t ti m c n ng 1x = t i: ( )1;12A
  • 7. Nguy n Phú Khánh – à L t -200- Ti p tuy n ( )d c t ti m c n xiên tai i m B có t a là nghi m ( );x y h phương trình: ( ) 6 18 2 2;6 2 2 6 y x x B y x y = − + =   ⇔ ⇒  = + =   D th y: 3 2 2 9 2 A B M A B M x x x y y y + = =   +  = =  Suy ra, ,A B i x ng nhau qua i m M ( pcm). Ví d 6: G i ( )d là ti p tuy n c a th 2 3 ( ) : 2 x C y x − = − t iM c t các ư ng ti m c n t i hai i m phân bi t ,A B . Tìm t a i m M sao cho ư ng tròn ngo i ti p tam giác IAB có di n tích nh nh t , v i I là giao i m hai ti m c n . Gi i : G i ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 2 0 0 2 3 1 ; , ' 2 2 x M x y C y y x x − ∈ ⇒ = = − − − Phương trình ti p tuy n ( )d c a ( )C t iM : ( ) 0 02 0 0 2 31 ( ) 22 x y x x xx −− = − + −− ( )d c t hai ư ng ti m c n t i hai i m phân bi t 0 0 2 2 2; , 2 x A x  −   −  ( )0 2 2;2B x − . D th y M là trung i m AB và ( )2;2I là giao i m hai ư ng ti m c n. Tam giác IAB vuông t i I nên ư ng tròn ngo i ti p tam giác IAB có di n tích 2 2 2 20 0 0 2 0 0 2 3 1 ( 2) 2 ( 2) 2 2 ( 2) x S IM x x x x π π π π     −  = = − + − = − + ≥    − −      D u ng th c x y ra khi 2 0 2 0 1 ( 2) ( 2) x x − = − 0 0 0 0 1 1 3 3 x y x y  = ⇒ = ⇔  = ⇒ = V y ( )1;1M ( )3;3M th a mãn bài toán. Bài toán 3 :
  • 8. Nguy n Phú Khánh – à L t -201- Phương trình ti p tuy n c a th ( ) ( ):C y f x= i qua i m ( )1 1 ;M x y Cách 1 : • Phương trình ư ng th ng ( )d i qua i mM có h s góc là k có d ng : ( )1 1 y k x x y= − + . • ( )d ti p xúc v i th ( )C khi h sau ( ) ( ) ( ) 1 1 ' f x k x x y f x k  = − +  = có nghi m. Cách 2 : • G i ( )0 0 ;N x y là t a ti p i m c a th ( )C và ti p tuy n ( )d qua i m M , nên ( )d cũng có d ng ( )0 0 0 'y y x x y= − + . • ( )d i qua i m M nên có phương trình : ( ) ( )1 0 1 0 0 ' *y y x x y= − + • T phương trình ( )* ta tìm ư c t a i m ( )0 0 ;N x y , t ây ta tìm ư c phương trình ư ng th ng ( )d . Ví d 2: Cho hàm s : 4 2 5 3 2 2 x y x= − + có th là ( )C . Gi s ( )M C∈ có hoành a . V i giá tr nào c a a thì ti p tuy n c a ( )C t i M c t ( )C t i 2 i m phân bi t khác M . Gi i : Vì ( )M C∈ nên 4 2 5 ; 3 2 2M a M a y a   = − +    Ti p tuy n t i M có h s góc ' 3 2 6M y a a= − Ti p tuy n t i M có d ng : ( ) 4 ' 3 2 5 ( ) : (2 6 )( ) 3 2 2M x M M a y y x x y d y a a x a a= − + ⇒ = − − + − + Ti p tuy n ( )d c a ( )C t i M c t ( )C t i 2 i m phân bi t khác M khi phương trình sau có 3 nghi m phân bi t : 4 4 2 3 25 5 3 (2 6 )( ) 3 2 2 2 2 x a x a a x a a− + = − − + − + hay phương trình
  • 9. Nguy n Phú Khánh – à L t -202- 2 2 3 ( ) ( 2 3 6) 0x a x ax a− + + − = có 3 nghi m phân bi t , nghĩa là phương trình ( ) 2 3 2 3 6 0g x x ax a= + + − = có hai nghi m phân bi t và khác a . ' 2 2 2 ( ) 2 2 (3 6) 0 3 0 3 ( ) 6 6 0 1 1 g x a a a a g a a a a  ∆ = − − > − < <   ⇔ ⇔ ⇔   = − ≠ ≠ ≠ ±     V y giá tr a c n tìm 3 1 a a  <  ≠ ± Bài t p tương t : 1. Tìm m ti p tuy n i qua i m ( )2; 2M m + c a th hàm s 3 3y x x m= − + ph i i qua g c t a O . BÀI T P T LUY N 1. )a Tìm ,a b bi t r ng th c a hàm s ( ) 2 1 ax bx f x x − = − i qua i m 5 1; 2 A   −    và ti p tuy n t i ( )0;0O có h s góc b ng 3− . Kh o sát s bi n thiên và v th ng v i giá tr ,a b v a tìm ư c. )b Tìm ,a b bi t r ng th c a hàm s ( ) 2 2f x x ax b= + + ti p xúc v i hypebol )a Tìm ,a b bi t r ng th c a hàm s 1 y x = t i i m 1 ;2 2 M       2. )a Vi t phương trình c a ư ng th ng i qua i m ( )1; 2A − và ti p xúc v i parabol 2 2y x x= − )b Ch ng minh hai ư ng cong 3 25 2, 2 4 y x x y x x= + − = + − ti p xúc nhau t i M , vi t phương trình ti p tuy n chung c a hai ư ng cong ó .
  • 10. Nguy n Phú Khánh – à L t -203- )c Ch ng minh r g các th c a ba hàm s ( ) ( )2 3 2 3 6, 4,f x x x g x x x= − + + = − + ( ) 2 7 8h x x x= + + ti p xúc nhau t i i m ( )1;2A − . )d Ch ng minh r ng các th c a ai hàm s ( ) ( ) 2 3 3 , 2 2 2 x x f x x g x x = + = + ti p xúc nhau . Xác nh ti p i m và vi t phương trình ti p tuy n chung c a hai ư ng cong t i i m ó . )e Ch ng minh r ng các th c a ai hàm s ( ) ( )3 2 , 1f x x x g x x= − = − ti p xúc nhau . Xác nh ti p i m và vi t phương trình ti p tuy n chung c a hai ư ng cong t i i m ó . Hư ng d n : 1. )a ( ) ( ) ( ) 2 1 1 5 2 1 1 2 3 ' 0 3 a a b f  − − −  = − = ⇔ − − = − = −  )b 9 6, 2 a b= − = 2. )a ( ) ( ) ( ) ( ): 1 2 2 2 4 , 2 2d y m x m y x m y x= − − ⇒ = = − = − = − )b 1 5 9 ; , 2 2 4 4 M y x   − = −    )c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2, ' 1 ' 1 ' 1 5f g h f g h− = − = − = − = − = − = , ch ng t t i ( )1;2A − các th c a ba hàm s có ti p tuy n chung , nói khác hơn là các th c a ba hàm s ti p xúc nhau t i i m ( )1;2A − . )d ( ) 3 0;0 , 2 O y x=