ºÝºÝߣ

ºÝºÝߣShare a Scribd company logo

Uas b. indonesia

•
•
Lia Fathatul Amali
Lia Fathatul Amali

Matriks adalah susunan bilangan dalam bentuk segi empat yang dapat dilakukan operasi hitung seperti penjumlahan, perkalian skalar, dan perkalian. Makalah ini membahas pengertian, jenis, dan operasi dasar pada matriks serta kesamaan dua buah matriks.

1 of 12
1 MAKALAH Disusun Untuk Memenuhi Tugas Ujian Akhir Semester Mata Kuliah: Bahasa Indonesia Dosen Pengampu: Indrya Mulyaningsih, M.Pd. Disusun oleh: Lia Fathatul Amali 14121510615 Fakultas / Jurusan : Tarbiyah / Tadris Matematika Kelas / Semester : C / II ( dua ) IAIN SYEKH NURJATI CIREBON Jl. Perjuangan By Pass Sunyaragi Cirebon - Jawa Barat 45132 Telp : (0231) 481264 Faxs : (0231) 489926
2 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Teori-teori mengenai vector, matriks dan juga determinan merupakan bagian utama dari cabang matematika yang disebut Aljabar Linear (Linear Algebra). Pada level praktis teori, matriks dan konsep-konsep ruang vector yang berkaitan, menyediakan suatu bahasa dan suatu kerangka komputasional yang berguna untuk menyelesaikan problem-promlem yang penting. Aljabar Linear mempunyai banyak aplikasi dalam bisnis dan ilmu ekonomi, juga dalam ilmu-ilmu biologi dan fisika. Aljabar linear secara formal didefinisikan sebagai suatu kelas dari struktur-struktur matematika yang mengikuti suatu pola yang well-defined. Teori matriks dan kasus khususnya, yaitu vector theory adalah stereotypes dari mana struktur matematika abstrak dari aljaar linear dikembangkan.
3 BAB II PEMBAHASAN MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS A. Pengertian Matriks Matriks adalah sebuah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan. Bilangan –bilangan di dalam susunan tersebut dinamakan entri di dalam matriks. Sebuah matriks biasanya dinyatakan dengan huruf besar, misalnya A. Setiap bilangan yang terdapat dalam matriks disebut elemen matriks. Semua bilangan yang tersusun dalam jalur horizontal disebut baris dan bilangan yang tersusun dalam jalur vertical disebut kolom. Elemen matriks bisa dinyatakan dengan notasi , dengan i menyatakan baris dan j menyatakan kolom. Bentuk umum sebuah matriks dengan elemen dinyatakan sebagai berikut: A= m = jumlah baris n = jumlah kolom i = 1,2,3…m j = 1,2,3… n Matriks A dengan elemen dapat ditulis dengan bentuk A = ( ) = [ ]. [1] B. Ordo Matriks Ordo sebuah matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan kolom pada matriks tersebut. Ordo sebuah matriks disebut juga ukuran matriks. Dalam menyatakan ordo sebuah matriks selalu didahului oleh banyaknya baris kemudian diikuti oleh banyaknya kolom. Sebuah matriks A yang mempunyai m baris dan n kolom, maka ordonya adalah m n dan dituliskan sebagai [1] Roswati Mudjiarto, Frans J Krips, Matematika Fisika 1 (Bandung: ITB Bandung,1995), h. 145.
4 Contoh 1: A = Matriks diatas adalah matriks dengan m = 2 dan n = 2 atau A ordo 2 x 2 = . Contoh 2: A = [ ] Matriks in berordo 2 . Karena kolomnya hanya satu, maka matriks ini disebut matriks kolom. Secara umum, matriks kolom disebut matriks ordo n C. Jenis-Jenis Matriks 1. Matriks nol Matriks nol adalah matriks yang setiap elemennya nol. Biasa dinotasikan dengan huruf (O). [0] 2. Matriks baris Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri dari satu baris atau matriks yang berordo (1 m), dimana m 1. Contoh: = (4 8 -3) 3. Matriks kolom atau lajur Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom atau matriks yang berordo (n 1), dimana n 1. [ ] 4. Matriks persegi (bujur sangkar) Matriks persegi adalah matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom atau matriks yang memiliki ordo n m dan disebut matriks persegi ordo n. Jika matriks A = berordo n n, maka diagonal utamanya adalah
5 Contoh: A = B = Matriks A berordo 2 atau matriks persegi ordo 2. Diagonal utamanya adalah 3 dan 7 maka trace A = 3+7 = 10. Matriks B disebut matriks persegi ordo 3 3 atau matriks persegi ordo 3 dengan diagonal utamanya 6, 6, dan -4 maka trace B = 6+6+(-4) = 8. 5. Matriks segitiga bawah Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang elemen-elemen diatas diagonal utamanya nol. Contoh: 6. Matriks segitiga atas Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang elemen-elemen dibawah diagonal utamanya nol. Contoh: 7. Matriks diagonal Matriks diagonal adalah matriks persegi yang semua elemennya nol kecuali elemen-elemen pada diagonal utama. Contoh: 8. Matriks skalar Matriks skalar adalah matriks diagonal yang elemen-elemen pada diagonal utama semuanya sama. Contoh: K = , merupakan matrik skalar berordo 3 3.
6 9. Matriks identitas atau matriks satuan Matriks identitas adalah matriks diagonal yang semua elemen diagonal utamanya 1. Matriks identitas biasa dinotasikan dengan I. Contoh: 10. Matriks simetris Matriks simetris adalah matriks persegi yang elemen baris ke-i kolom ke-j sama dengan elemen baris ke-j kolom ke-i sehingga Contoh: P = Q = P adalah matriks simetris berordo 2 2 Q adalah matriks simetris berordo 3 3. [2] 11. Matriks antisimetris Matriks antisimetris ialah matriks yang transposenya adalah negatifnya. Dengan perkataan lain matriks A asimetris jika atau untuk semua I dan j. mudah dipahami bahwa semua elemen diagonal utama matriks antisimetris adalah = 0. Contoh: A= , = -A [2] Broto Apriliyanto, Matematika Program IPA (Solo: CV.Sindunata,2010), h.30-31.
7 12. Matriks komutatif Jika A dan B matriks-matriks bujur sangkar dan berlaku AB = BA, maka Adan B dikatakan berkomutatif satu sama lain. Jelas bahwa setiap matriks bujur sangkar berkomutatif dengan I (yang ukuranya sama) dan dengan inversnya (bila ada). Jika AB = -BA, maka Adan B dikatakan anti komutatif. 13. Matriks Idempoten, Periodik, Nilpoten Jika berlaku AA= =A, dikatakan matriks bujur sangkar A adalah matriks yang idempoten. Secara umum, jika p bilangan asli (bulat positif) terkecil sehingga berlaku , maka dikatakan A matriks periodic dengan periode p -1. Jika = 0, maka A dikatakan nilpoten dengan indeks r (dimana r adalah bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi hubungan diatas). Contoh: A adalah nilpotent dengan indeks 3, karena A . [3] D. Transpose suatu Matriks Pandangan suatu matriks A = (aij) berukuran (m n). transpose dari A adalah matriks AT berukuran (n m) yang didapatkan dari A dengan menuliskan baris ke-i dari A, i =1, 2, …., m, sebagai kolom ke-i dari AT . Dengan perkataan lain : AT = (aij). Beberapa Sifat Matriks Transpose: 1. (A + B)T = AT + BT [3] Yusuf Yahya, Suryadi, Agus S, Matematika Dasar Perguruan Tinggi (Bogor: Ghalia Indonesia,2011), h.84-85.
8 Bukti: Misalnya A = (aij) dan B = (bij), maka : (A +B )T = (aij + bij) = (cij)T = (cji) = (aji +bji) = AT + BT 2. (AT )T = A Bukti: Misalnya A = (aij), maka (AT )T = (aji)T = (aij) = A. [4] E. Operasi pada Matriks 1. Penjumlahan Matriks (berlaku untuk matriks-matriks berukuran sama) Jika A = (aij) dan B = (bij) matriks-matriks berukuran sama, maka A + B adalah suatu matriks C = (cij) dimana cij = aij + bij ,untuk setiap idan j N. atau : A + B = (aij + bij). Contoh: A = dan B = maka A + B = 2. Perkalian Scalar terhadap Matriks Jika suatu scalar (bilangan) dan A = (aij) , maka matriks A = ( aij); dengan perkataan lain matriks A diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan . Contoh: Dan (-1) A = Mengurangi matriks A dengan matriks B , yaitu A – B, adalah menjumlahkan matriks A dengan matriks (-B). [5] 3. Perkalian Matriks Pada umumnya, matriks tidak komutatif terhadap operasi perkalian: AB BA. Pada perkalian matriks AB, matriks A kita sebut matriks pertama dan B matriks kedua. [4] Ibid., h. 79 [5] Howard Anton, Aljabar Linear Elementer edisi ketiga (Jakarta: Erlangga, 1985), h. 27
9 Syarat perkalian matriks: jumlah banyaknya kolom matriks pertama = jumlah banyaknya baris matriks kedua. Contoh: A = [3 2 1 ] B = [ ] Karena banyak kolom matriks A = 3 dan banyak baris matriks B = 3, maka AB ada dan berukuran (1 x 1). AB = [3 2 1 ] [ ]= (3.3 + 2.1 +1.0) = (11) Beberapa hukum pada perkalian matriks: Jika A, B, C matriks-matriks yang memenuhi syarat-syarat perkalian matriks yang diperlukan, maka: a. A (B + C) = AB + AC, (B + C)A = BA = CA memenuhi hokum distributif. b. A(BC) = (AB)C, memenuhi hokum asosiatif. c. Perkalian tidak komutatif, AB BA. Tetapi ada beberapa matriks yang berlaku AB = BA. d. Bila AB = 0, dimana 0 adalah matriks nol yaitu matriks yang semua elemennya = 0, kemungkinan-kemungkinannya : A = 0 dan B = 0. A = 0 atau B = 0. A 0 dan B 0. e. Bila AB = AC belum tentu B = C. [6] F. Kesamaan Dua Matriks Dua buah matriks dikatakan sama bila: [6] Op.cit., h. 76-77
10 1. Mempunyai ordo yang sama 2. Anggota atau elemen yang bersesuaian juga sama Contoh: Jika A = , B = Tentukan p, q, r dan s dari matriks tersebut! Jawab: A = B = p = , r = 8, s = - 6q = 12 q = 2. [7] [7] Broto Apriliyanto, Matematika Program IPA (Solo: CV.Sindunata,2010), h. 30-31.
11 BAB III PENUTUP A. Kesimpulan Matriks adalah sebuah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan. Bilangan – bilangan di dalam susunan tersebut dinamakan entri di dalam matriks. Matriks A yang mempunyai m baris dan n kolom, maka ordonya adalah m n. Selain itu matriks juga memiliki beberapa jenis khusus. Operasi hitung pada matriks ada 3 yaitu: penjumlahan matriks, perkalian scalar pada matriks dan perkalian matriks. Kesamaan pada dua matriks dapat mempermudah kita mengetahui nilai dari variable yang digunakan.
12 DAFTAR PUSTAKA Anton, Howard.1985. Aljabar Linear Elementer edisi ketiga. Jakarta: Erlangga Apriliyanto, Broto.2010. Matematika Program IPA. Solo: CV.Sindunata Mudjiarto, Roswati.1995. Matematika Fisika. Bandung: ITB Bandung. Supartinah, Sri.1991. Evaluasi Matematika 3. Klaten: Intan Pariwara. Yahya, Yusuf, dkk.2011. Matematika Dasar Perguruan Tinggi. Bogor: Ghalia Indonesia

More Related Content

Uas b. indonesia

  • 1. 1 MAKALAH Disusun Untuk Memenuhi Tugas Ujian Akhir Semester Mata Kuliah: Bahasa Indonesia Dosen Pengampu: Indrya Mulyaningsih, M.Pd. Disusun oleh: Lia Fathatul Amali 14121510615 Fakultas / Jurusan : Tarbiyah / Tadris Matematika Kelas / Semester : C / II ( dua ) IAIN SYEKH NURJATI CIREBON Jl. Perjuangan By Pass Sunyaragi Cirebon - Jawa Barat 45132 Telp : (0231) 481264 Faxs : (0231) 489926
  • 2. 2 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Teori-teori mengenai vector, matriks dan juga determinan merupakan bagian utama dari cabang matematika yang disebut Aljabar Linear (Linear Algebra). Pada level praktis teori, matriks dan konsep-konsep ruang vector yang berkaitan, menyediakan suatu bahasa dan suatu kerangka komputasional yang berguna untuk menyelesaikan problem-promlem yang penting. Aljabar Linear mempunyai banyak aplikasi dalam bisnis dan ilmu ekonomi, juga dalam ilmu-ilmu biologi dan fisika. Aljabar linear secara formal didefinisikan sebagai suatu kelas dari struktur-struktur matematika yang mengikuti suatu pola yang well-defined. Teori matriks dan kasus khususnya, yaitu vector theory adalah stereotypes dari mana struktur matematika abstrak dari aljaar linear dikembangkan.
  • 3. 3 BAB II PEMBAHASAN MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS A. Pengertian Matriks Matriks adalah sebuah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan. Bilangan –bilangan di dalam susunan tersebut dinamakan entri di dalam matriks. Sebuah matriks biasanya dinyatakan dengan huruf besar, misalnya A. Setiap bilangan yang terdapat dalam matriks disebut elemen matriks. Semua bilangan yang tersusun dalam jalur horizontal disebut baris dan bilangan yang tersusun dalam jalur vertical disebut kolom. Elemen matriks bisa dinyatakan dengan notasi , dengan i menyatakan baris dan j menyatakan kolom. Bentuk umum sebuah matriks dengan elemen dinyatakan sebagai berikut: A= m = jumlah baris n = jumlah kolom i = 1,2,3…m j = 1,2,3… n Matriks A dengan elemen dapat ditulis dengan bentuk A = ( ) = [ ]. [1] B. Ordo Matriks Ordo sebuah matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan kolom pada matriks tersebut. Ordo sebuah matriks disebut juga ukuran matriks. Dalam menyatakan ordo sebuah matriks selalu didahului oleh banyaknya baris kemudian diikuti oleh banyaknya kolom. Sebuah matriks A yang mempunyai m baris dan n kolom, maka ordonya adalah m n dan dituliskan sebagai [1] Roswati Mudjiarto, Frans J Krips, Matematika Fisika 1 (Bandung: ITB Bandung,1995), h. 145.
  • 4. 4 Contoh 1: A = Matriks diatas adalah matriks dengan m = 2 dan n = 2 atau A ordo 2 x 2 = . Contoh 2: A = [ ] Matriks in berordo 2 . Karena kolomnya hanya satu, maka matriks ini disebut matriks kolom. Secara umum, matriks kolom disebut matriks ordo n C. Jenis-Jenis Matriks 1. Matriks nol Matriks nol adalah matriks yang setiap elemennya nol. Biasa dinotasikan dengan huruf (O). [0] 2. Matriks baris Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri dari satu baris atau matriks yang berordo (1 m), dimana m 1. Contoh: = (4 8 -3) 3. Matriks kolom atau lajur Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom atau matriks yang berordo (n 1), dimana n 1. [ ] 4. Matriks persegi (bujur sangkar) Matriks persegi adalah matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom atau matriks yang memiliki ordo n m dan disebut matriks persegi ordo n. Jika matriks A = berordo n n, maka diagonal utamanya adalah
  • 5. 5 Contoh: A = B = Matriks A berordo 2 atau matriks persegi ordo 2. Diagonal utamanya adalah 3 dan 7 maka trace A = 3+7 = 10. Matriks B disebut matriks persegi ordo 3 3 atau matriks persegi ordo 3 dengan diagonal utamanya 6, 6, dan -4 maka trace B = 6+6+(-4) = 8. 5. Matriks segitiga bawah Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang elemen-elemen diatas diagonal utamanya nol. Contoh: 6. Matriks segitiga atas Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang elemen-elemen dibawah diagonal utamanya nol. Contoh: 7. Matriks diagonal Matriks diagonal adalah matriks persegi yang semua elemennya nol kecuali elemen-elemen pada diagonal utama. Contoh: 8. Matriks skalar Matriks skalar adalah matriks diagonal yang elemen-elemen pada diagonal utama semuanya sama. Contoh: K = , merupakan matrik skalar berordo 3 3.
  • 6. 6 9. Matriks identitas atau matriks satuan Matriks identitas adalah matriks diagonal yang semua elemen diagonal utamanya 1. Matriks identitas biasa dinotasikan dengan I. Contoh: 10. Matriks simetris Matriks simetris adalah matriks persegi yang elemen baris ke-i kolom ke-j sama dengan elemen baris ke-j kolom ke-i sehingga Contoh: P = Q = P adalah matriks simetris berordo 2 2 Q adalah matriks simetris berordo 3 3. [2] 11. Matriks antisimetris Matriks antisimetris ialah matriks yang transposenya adalah negatifnya. Dengan perkataan lain matriks A asimetris jika atau untuk semua I dan j. mudah dipahami bahwa semua elemen diagonal utama matriks antisimetris adalah = 0. Contoh: A= , = -A [2] Broto Apriliyanto, Matematika Program IPA (Solo: CV.Sindunata,2010), h.30-31.
  • 7. 7 12. Matriks komutatif Jika A dan B matriks-matriks bujur sangkar dan berlaku AB = BA, maka Adan B dikatakan berkomutatif satu sama lain. Jelas bahwa setiap matriks bujur sangkar berkomutatif dengan I (yang ukuranya sama) dan dengan inversnya (bila ada). Jika AB = -BA, maka Adan B dikatakan anti komutatif. 13. Matriks Idempoten, Periodik, Nilpoten Jika berlaku AA= =A, dikatakan matriks bujur sangkar A adalah matriks yang idempoten. Secara umum, jika p bilangan asli (bulat positif) terkecil sehingga berlaku , maka dikatakan A matriks periodic dengan periode p -1. Jika = 0, maka A dikatakan nilpoten dengan indeks r (dimana r adalah bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi hubungan diatas). Contoh: A adalah nilpotent dengan indeks 3, karena A . [3] D. Transpose suatu Matriks Pandangan suatu matriks A = (aij) berukuran (m n). transpose dari A adalah matriks AT berukuran (n m) yang didapatkan dari A dengan menuliskan baris ke-i dari A, i =1, 2, …., m, sebagai kolom ke-i dari AT . Dengan perkataan lain : AT = (aij). Beberapa Sifat Matriks Transpose: 1. (A + B)T = AT + BT [3] Yusuf Yahya, Suryadi, Agus S, Matematika Dasar Perguruan Tinggi (Bogor: Ghalia Indonesia,2011), h.84-85.
  • 8. 8 Bukti: Misalnya A = (aij) dan B = (bij), maka : (A +B )T = (aij + bij) = (cij)T = (cji) = (aji +bji) = AT + BT 2. (AT )T = A Bukti: Misalnya A = (aij), maka (AT )T = (aji)T = (aij) = A. [4] E. Operasi pada Matriks 1. Penjumlahan Matriks (berlaku untuk matriks-matriks berukuran sama) Jika A = (aij) dan B = (bij) matriks-matriks berukuran sama, maka A + B adalah suatu matriks C = (cij) dimana cij = aij + bij ,untuk setiap idan j N. atau : A + B = (aij + bij). Contoh: A = dan B = maka A + B = 2. Perkalian Scalar terhadap Matriks Jika suatu scalar (bilangan) dan A = (aij) , maka matriks A = ( aij); dengan perkataan lain matriks A diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan . Contoh: Dan (-1) A = Mengurangi matriks A dengan matriks B , yaitu A – B, adalah menjumlahkan matriks A dengan matriks (-B). [5] 3. Perkalian Matriks Pada umumnya, matriks tidak komutatif terhadap operasi perkalian: AB BA. Pada perkalian matriks AB, matriks A kita sebut matriks pertama dan B matriks kedua. [4] Ibid., h. 79 [5] Howard Anton, Aljabar Linear Elementer edisi ketiga (Jakarta: Erlangga, 1985), h. 27
  • 9. 9 Syarat perkalian matriks: jumlah banyaknya kolom matriks pertama = jumlah banyaknya baris matriks kedua. Contoh: A = [3 2 1 ] B = [ ] Karena banyak kolom matriks A = 3 dan banyak baris matriks B = 3, maka AB ada dan berukuran (1 x 1). AB = [3 2 1 ] [ ]= (3.3 + 2.1 +1.0) = (11) Beberapa hukum pada perkalian matriks: Jika A, B, C matriks-matriks yang memenuhi syarat-syarat perkalian matriks yang diperlukan, maka: a. A (B + C) = AB + AC, (B + C)A = BA = CA memenuhi hokum distributif. b. A(BC) = (AB)C, memenuhi hokum asosiatif. c. Perkalian tidak komutatif, AB BA. Tetapi ada beberapa matriks yang berlaku AB = BA. d. Bila AB = 0, dimana 0 adalah matriks nol yaitu matriks yang semua elemennya = 0, kemungkinan-kemungkinannya : A = 0 dan B = 0. A = 0 atau B = 0. A 0 dan B 0. e. Bila AB = AC belum tentu B = C. [6] F. Kesamaan Dua Matriks Dua buah matriks dikatakan sama bila: [6] Op.cit., h. 76-77
  • 10. 10 1. Mempunyai ordo yang sama 2. Anggota atau elemen yang bersesuaian juga sama Contoh: Jika A = , B = Tentukan p, q, r dan s dari matriks tersebut! Jawab: A = B = p = , r = 8, s = - 6q = 12 q = 2. [7] [7] Broto Apriliyanto, Matematika Program IPA (Solo: CV.Sindunata,2010), h. 30-31.
  • 11. 11 BAB III PENUTUP A. Kesimpulan Matriks adalah sebuah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan. Bilangan – bilangan di dalam susunan tersebut dinamakan entri di dalam matriks. Matriks A yang mempunyai m baris dan n kolom, maka ordonya adalah m n. Selain itu matriks juga memiliki beberapa jenis khusus. Operasi hitung pada matriks ada 3 yaitu: penjumlahan matriks, perkalian scalar pada matriks dan perkalian matriks. Kesamaan pada dua matriks dapat mempermudah kita mengetahui nilai dari variable yang digunakan.
  • 12. 12 DAFTAR PUSTAKA Anton, Howard.1985. Aljabar Linear Elementer edisi ketiga. Jakarta: Erlangga Apriliyanto, Broto.2010. Matematika Program IPA. Solo: CV.Sindunata Mudjiarto, Roswati.1995. Matematika Fisika. Bandung: ITB Bandung. Supartinah, Sri.1991. Evaluasi Matematika 3. Klaten: Intan Pariwara. Yahya, Yusuf, dkk.2011. Matematika Dasar Perguruan Tinggi. Bogor: Ghalia Indonesia