�ݺ�ߣ

UD4: GEOMETRIA

MATEMATIKA II
BATXILERGOA

UD4:GEOMETRIA - H1
1. Puntua, zuzena eta planoen adierazpen matematikoa
Puntuaren adierazpena

 1.1. Puntuaren adierazpena:

O jatorria ezarrita, espazioko edozein
X puntuk OX bektorea zehazten du.
Orokorrean, A puntua adierazteko
beraz bektorearen 3 koodenadak
erabiliko ditugu;

UD4:GEOMETRIA - H1

 Zuzenki baten erdiko puntua:

Adibidez;
Bila ezazu bi puntu hauek osatzen duten zuzenkiaren
erdipuntua; A (1,2,4) eta B (2, -1, 2)

UD4:GEOMETRIA - H1

 Puntu baten simetrikoa beste puntu batekiko:

Adibidez;
Bila ezazu A puntuaren simetrikoa B puntuarekiko;
A (1,2,4) eta B (2, -1, 2)

UD4:GEOMETRIA - H1
Zuzenaren adierazpena

 1.2. Zuzenaren adierazpena:

Zuzen baten adierazpenarako ekuazioak
zehazteko, beharrezkoak dira gutxienez PUNTU
BAT eta BEKTORE BAT.
Demagun puntu bat eta bektore bat;

EKUAZIO BEKTORIALA:

EKUAZIO PARAMETRIKOAK:

UD4:GEOMETRIA - H1
Zuzenaren adierazpena

EKUAZIO JARRAITUAK:

EKUAZIO INPLIZITUAK:
Aurreko ekuazioetatik binaka berdinketak askatzen baditugu, honelako itxurako ekuazioetara iritxiko
gara;

UD4:GEOMETRIA - H1
Planoaren adierazpena

 1.3. Planoaren adierazpena:

Plano baten adierazpenarako ekuazioak
zehazteko, beharrezkoak dira gutxienez PUNTU
BAT eta BI BEKTORE.
Demagun puntu bat eta bi bektore;

EKUAZIO BEKTORIALA:

EKUAZIO PARAMETRIKOAK:

UD4:GEOMETRIA - H1
Planoaren adierazpena

EKUAZIO INPLIZITUA:
Aurrekotatik eragiketa hau egitearen ondorioz bila daitezke;

PLANO BATEN BEKTORE NORMALA (EDO ELKARTUA):
Aurreko ekuazioa duen plano bat emanda, planoaren bektore normala edo
elkartua deitzen zaio honako bektoreari:

Honek aukera berri bat eskeintzen digu plano bat
bilatzeko planoko puntu bat eta bektore normala
ezagutu ezkero.

UD4:GEOMETRIA - H1
r∩πA

 1.4. Zuzen bat eta plano baten arteko ebakidura: puntu bat.

Demagun zuzen bat eta plano bat ematen
dizkigutela. Pauso hauek jarraituz kalkulatu
dezakegu ebaki puntua;

1. Zuzenaren ekuazio parametrikoak bilatu.
2. Planoaren ekuazio inplizitua bilatu.
3. Zuzenaren x, y, z balioak planoaren ekuazioan
ordezkatu eta λ askatu.
4. λ horren balioa x, y eta z ezezagunetan
ordezkatuz, A puntua lortzen dugu.

Adibidea; Kalkula ezazu r zuzena eta π planoaren arteko ebaki puntua;

UD4:GEOMETRIA – H2
2. Posizio erlatiboak
Posizio erlatiboak

 2.1. Bi zuzenen arteko posizio erlatiboak:

Demagun bi zuzen ditugula:

Beraiekin honako matrizea osatuko dugu:

Matrize hauen heinak kontutan izanik:
Heina(M) Heina (M/N) Sistema Posizio erlatiboa Irudia

Bateraezi Elkar
2 3 na gurutzatu

Posizio erlatiboak

 2.1. Bi zuzenen arteko posizio erlatiboak:

2 2 SBD Ptu batean ebaki

1 2 Bateraezina Paraleloak

1 1 SBI Bat datoz

Posizio erlatiboak

 2.2. Zuzen bat eta plano baten arteko posizio erlatiboak:

Demagun zuzen bat eta plano bat ditugula:



Posizio erlatiboak

 2.2. Zuzen bat eta plano baten arteko posizio erlatiboak:

3 3 SBD r∩πA

2 3 Bateraezina r // π

2 2 SBI rЄπ

Posizio erlatiboak

 2.3. Bi planoen arteko posizio erlatiboak:

Demagun bi plano ditugula:


2 2 SBI π1 ∩ π2  r

Posizio erlatiboak

 2.3. Bi planoen arteko posizio erlatiboak:
Heina(M) Heina (M/N) Sistema Posizio Irudia
erlatiboa

1 2 Bateraezina π1 // π2

1 1 SBI π1  π 2

Posizio erlatiboak

 2.4. Hiru planoen arteko posizio erlatiboak:

Demagun hiru plano ditugula:


3 3 SBD Ptu batetan ebaki

Posizio erlatiboak


π1 // π2 eta
3ak ebaki

2 3 Bateraezina

Binaka
ebakitzen dira

Posizio erlatiboak


π1 = π2 eta
besteak zuzen
batean ebakitzen
ditu.

2 2 SBI

3 planoek zuzen
batean ebakitzen
dute elkar

Posizio erlatiboak

Heina(M) Heina Sistema Posizio erlatiboa Irudia
(M/N)

π1 = π2 // π3

1 2 S
BATERAEZINA

π1 // π2 // π3

Posizio erlatiboak

Heina(M) Heina Sistema Posizio erlatiboa Irudia
(M/N)

1 1 SBI π1 = π2 = π3

3. Espazio euklidearra
Bektoreak

 3.1. Bektoreak:

• Demagun v bektorea dugula;

V bektorearen modulu ala norma deitzen diogu honako zenbaki positiboari;

• Biderkadura eskalarra;
(Bektoreen arteko angelua)

• Biderkadura bektoriala; • Modulua; biderkaduraren
emaitza.
• Norabidea; bi bektoreei
elkartzuta.
• Norantza; torlojuaren
erregelaren araberakoa

3. Espazio euklidearra
Angeluak

 3.2. Angeluak:
• Zuzenen arteko angelua;

vr eta vs bektoreen arteko angelua da.

• Zuzen baten eta plano baten arteko angelua;

vr eta n bektoreen arteko angelua da .

 = 90º - 

• Bi planoen arteko angelua;

n eta n bektoreen arteko angelua da.

4. Proiekzio ortogonalak
Proiekzio ortogonalak

 4.1. A puntuak  planoan duen proiekzio ortogonala:

Izanik; A eta , honako pausoak
jarraituko ditugu:
1. A
r zuzena bilatu.
n = vr
2. r ∩   A aurkitu.

 4.2. A puntuak r zuzenean duen proiekzio ortogonala:

Izanik; A eta r, honako pausoak
jarraituko ditugu:
1. A
r zuzena bilatu.
vr = n
2. r ∩   A aurkitu.

4. Proiekzio ortogonalak
Proiekzio ortogonalak

 4.3. r zuzenak ala AB zuzenkiak  planoan duen proiekzio ortogonala:

Izanik; r eta , honako pausoak
jarraituko ditugu:

1. r ∩   P  P

2. R zuzeneko A puntu bat aukeratu.

3. A puntuaren proiekzioa bilatu; A .

4. A eta P puntuetatik igarotzen den
r zuzena bilatu.

5. Simetriak
Simetriak

 5.1. A puntuaren simetrikoa  planoarekiko:

Izanik; A eta , honako pausoak jarraituko ditugu:

1. A puntuaren proiekzio ortogonala bilatu  A

2. A puntuaren simetrikoa A -rekiko bilatu  A

 5.2. A puntuaren simetrikoa r zuzenarekiko:

Izanik; A eta r, honako pausoak jarraituko ditugu:



5. Simetriak
Simetriak

 5.3. Zuzenki baten simetrikoa  planoarekiko:

Izanik; AB eta , honako pausoak jarraituko ditugu:
3. B puntuaren proiekzio ortogonala bilatu  B
4. B puntuaren simetrikoa A -rekiko bilatu  B
5. A eta B puntuetatik igarotzen den zuzenkia.

 5.4. A puntuaren simetrikoa r zuzenarekiko:

Izanik; r eta π, honako pausoak jarraituko ditugu:
1. P puntuaren simetrikoa  P  P  P
2. A puntuaren simetrikoa planoarekiko  A
3. A eta P puntuetatik igarotzen den zuzena  r

6. Espazio metrikoa
Distantziak

 6.1. Bi puntuen arteko distantzia:
Izanik; A eta B, honako pausoak jarraituko ditugu:

 6.2. A puntutik π planorainoko distantzia:
Izanik; A eta π, honako pausoak jarraituko ditugu:

Hala zuzenean:

 6.3. Plano paraleloen arteko distantzia:

1. π planoaren A puntu bat aukeratu.
2. A-ren proiekzioa bilatu -ren gainean  A
3. AA distantzia kalkulatu.

6. Espazio metrikoa
Distantziak

 6.4. Zuzen batetik puntu baterainoko distantzia:

1. A puntuaren proiekzioa bilatu r zuzenarengan.  A

2. A A distantzia bilatu.

 6.5. Zuzen batetik plano baterainoko distantzia (r // π):

1. r zuzeneko A puntu bat aukeratzen dugu.

1. A puntuaren proiekzioa bilatu π planorengan.  A


 6.6. Bi zuzenen arteko distantzia (r // s):

1. r zuzeneko A puntu bat aukeratzen dugu.

1. A puntuaren proiekzioa bilatu s zuzenarengan.  A


6. Espazio metrikoa
Distantziak

 6.7. Elkar gurutzatzen diren bi zuzenen arteko distantzia:

1. r zuzenari paraleloa den eta s zuzena barne duen π
planoaren ekuazioa bilatu.
v r  v s  n
s zuzeneko P puntua  planoa bilatu

2. A Є r puntu bat aukeratu.

3. A eta π-ren arteko distantzia kalkulatu.

�ݺ�ߣ

Ud4 geometria aktibitate bateria

More Related Content

Ud4 geometria aktibitate bateria