Vektor
- 1. VEKTOR MATEMATIKA SMK By: Zulfan A. R
- 2. Skalar adalah besaran yang mempunyai besar saja tetapi tidak mempunyai arah. Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah.
- 3. Contoh: Vektor: 1. Kecepatan 2. Gaya 3. Perpindahan 4. Percepatan Skalar: 1. Tinggi Badan 2. Jumlah Siswa dalam kelas 3. Panjang sebuah meja 4. Volume bangun Ruang
- 4. Vektor adalah ruas garis yang berarah A B Vektor u diwakili Vektor AB = AB A : Titik Pangkal / titik tangkap B : Titik Ujung / Terminus u Secara geometri:
- 5. Jenisjenis vektor 1. Vektor Baris : 2. Vektor Kolom : 3. Vektor Basis : AB = xi + yj 4. Vektor Polar (kutub) : AB = ( r, 慮) y)(x,AB = 錚件７ 錚 錚 錚錚 錚 錚 = y x AB
- 6. Tentukanlah vektor-vektor yang diwakili oleh AB,CD,EF,dan GH A D E F C H G B
- 7. Jawab: Vektor AB = a Vektor CD = - c Vektor EF = d Vektor GH = - e
- 8. VEKTOR PADA BIDANG KARTESIUS Vektor AB dalam bentuk pasangan Bilangan AB = SB Y O A (X1,Y1) B ( X2, Y2) 錚件７ 錚 錚 錚錚 錚 錚 12 12 YY XX 錚件７ 錚 錚 錚錚 錚 錚 y x y2 y1 x1 x2 AB = SB X
- 9. BESAR VEKTOR PADA BIDANG KARTESIUS Besar Vektor AB = AB SB Y O A (X1,Y1) B ( X2, Y2) 2 12 2 12 )y(y)x(xAB += 22 yxAB += atau y2 y1 X1 X2 SB Y
- 10. Diketahui A( 2,1), B( 6,4). Tentukanlah: a. Vektor AB b. Besar Vektor AB 錚件７ 錚 錚 錚錚 錚 錚 =錚件７ 錚 錚 錚錚 錚 錚 = 3 4 14 26 AB 525916341)(42)(6AB y1)(y2x1)(x2AB 2222 22 ==+=+=+= += Jawab : Contoh:
- 11. Latihan: Tentukanlah Vektor dan Besar Vektor dari gambar berikut : o Sb x Sb y A B C D E G F
- 12. Jawab: Vektor OA = 231833yx 2222 ==+=+ Vektor BC = 2952yx 2222 =+=+ Coba tentukan yang lainnya
- 13. VEKTOR SATUAN Vektor yang panjangnya satu satuan a a e =
- 14. Tentukanlah Vektor Satuan dari a i j a a = 3i + 4j Sb x Sb y 3 4 0
- 15. a = 3i + 4j Jawab: 2 2 3i 4j 3 4 + = = + a e a = + = + = = = + = + 2 2 a 3 4 9 16 25 5 1 3 4 e (3i 4j) i j 5 5 5
- 16. OPERASI VEKTOR 1. Penjumlahan 2. Pengurangan 3. Perkalian
- 17. Penjumlahan Vektor secara Grafis a b a + b
- 18. Pengurangan Vektor secara Grafis b a a a+(-b) = a - b -b
- 19. Perkalian Skalar dengan Vektor a - 3a 2a
- 20. Penjumlahan Vektor secara Analitis Cos慮ba2baba )慮Cos(180ba2baba )慮Cos(180ba2baba 22 o 22 o 222 駕駕駕駕駕 駕駕駕駕駕 駕駕駕駕駕 ++=+ +=+ +=+ a b (a+b) 慮 1800- 慮 a b
- 21. Pengurangan Vektor secara Analitis Cos慮ba2baba Cos慮ba2baba Cos慮ba2baba 22 22 222 駕駕駕駕駕 駕駕駕駕駕 駕駕駕駕駕 += += += a b (a-b) a -b 慮
- 25. 1. Diketahui a = 3i + j , b = i 2j Tentukanlah : a. Vektor Satuan a b. Vektor Satuan 2b c. Vektor Satuan ( a 2b) Latihan:
- 26. badanbaHitunglah 120b)(a,besar5bdan8a o 駕駕駕 駕 + ===2 3 badanbaHitunglah 90b)(a,besar5bdan12a o 駕駕駕 駕 + === 8 5 120 12 5 90
- 29. PERKALIAN SKALAR DUA VEKTOR ( Dot Product)
- 30. Perkalian Skalar Dua Vektor Definisi : 慮Cosbaba 駕駕駕 =. a b慮
- 31. Tentukanlah perkalian skalar vektor a dan b Jawab : a = 4 45o b = 6 慮Cosbab.a 駕駕駕 = 2122 2 1 24.b.a == 駕 0 4.6.Cos45b.a = 駕 Contoh:
- 32. Jika a = x1i + y1j + z1k b = x2i + y2j + z2k a.b = x1.x2 + y1.y2 + z1.z2 Maka Perkalian Skalar a dan b adalah :
- 33. Bukti : a.b = (x1i+y1j+z1k).(x2i +y2j +z2k) = x1.x2.i.i + x1.y2.i.j + x1.z2.i.k + y1.x2.j.i + y1.y2.j.j + y1.z2.j.k + z1.x2.k.i + z1.y2.k.j + z1.z2.k.k = x1.x2. 1 + x1.y2. 0 + x1.z2. 0 + y1.x2. 0 + y1.y2. 1 + y1.x2. 0 + z1.x2. 0 + z1.y2. 0 + z1.x2. 1 a.b = x1.x2. + y1.y2. + z1.z2.
- 34. Keterangan : i.i = 1.1. Cos oo = 1.1.=1 j.j = 1.1. Cos oo = 1.1.=1 k.k= 1.1. Cos oo = 1.1.=1 i.j = 1.1. Cos 90o = 1.0 = 0 i.k = 1.1. Cos 90o = 1.0 = 0 j.k = 1.1. Cos 90o = 1.0 = 0
- 35. Diketahui a = 2i + 4j + 6k dan b = 3i 5j + 8k Tentukan perkalian skalar a dan b Jawab : a.b = 2.3 + 4.(-5) + 6.8 a.b = 6 20 + 48 a.b = 34. Contoh:
- 36. Perkalian Silang Dua Vektor ( CROSS PRODUCT )
- 37. Perkalian Silang Dua Vektor e.Sinbabxa 慮 駕駕駕 = Definisi : a x b a b =e Vektor satuan yang tegak lurus a dan b 棚 慮
- 38. Jika a = x1i + y1j + z1k b = x2i + y2j + z2k Maka Perkalian Silang Vektor a dan b adalah : a x b = (y1.z2.- z1.y2.)i - (x1.z2. - z1.x2) j + (x1.y2 - y1.x2) k Atau secara determinan matrik sebagai berikut 222 111 zyx zyx kji bxa = 駕
- 39. Bukti: a x b = (x1i+y1j+z1k) x (x2i +y2j +z2k) = x1.x2. ixi + x1.y2. ixj + x1.z2. ixk + y1.x2. jxi + y1.y2. jxj + y1.z2. jxk + z1.x2. kxi + z1.y2. kxj + z1.z2. kxk = x1.x2. 0 + x1.y2. k + x1.z2. (-j) + y1.x2. (-k) + y1.y2. 0 + y1.z2. i + z1.x2. j + z1.y2. (-i) + z1.x2. 0
- 40. a x b = x1.y2. k + x1.z2. (-j) + y1.x2. (-k) + y1.z2. i + z1.x2. j + z1.y2. (-i) = x1.y2. k + y1.x2. (-k) + x1.z2. (-j) + z1.x2. j + y1.z2. i + z1.y2. (-i) = y1.z2. i + z1.y2. (-i) + x1.z2. (-j) + z1.x2. j + x1.y2. k + y1.x2. (-k)
- 41. a x b = (y1.z2.- z1.y2.)i - (x1.z2. - z1.x2) j + (x1.y2 - y1.x2) k 222 111 zyx zyx kji bxa = 駕
- 42. Keterangan : i x i = 1.1. Sin oo . e = 1.0 .e = 0 j x j = 1.1. Sin oo . e = 1.0.e =0 k x k= 1.1. Sin oo . e = 1.0.e =0 i x j = 1.1. Sin 90o .k = 1. k = k k x i = 1.1. Sin 90o .j= 1. j = j j x k = 1.1. Sin 90o . i = 1. i = i j x i = 1.1. Sin 90o (.-k)= 1.( -k )= -k i x k = 1.1. Sin 90o .(-j)= 1. (-j )= -j k x j = 1.1. Sin 90o . (-i )= 1. (-i ) = -i i j k e
- 43. Diketahui a = 2i + j 4k , b = 5i 6j + 3k Tentukan a x b Jawab: 365 412 = kji bxa 駕 = (1.3 - (-4)(-6))i - ( 2.3 - (-4).5)j + (2.(-6) - 1.5)k = ( 3 - 24) i - ( 6 + 20 ) j + (-12 - 5) k = -21i - 26j - 17k Contoh :
- 44. Luas Jajargenjang eSin i慮babxa 駕駕駕 = a b h Definisi Perkalian Silang Luas Jajargenjang adalah = alas x tinggi = a x h = a . b Sin Jadi Luas Jajargenjang = Besar Vektor Perkalian Silang Dua Vektor Luas Jajargenjang = a x b