Web Meetup #2: Modelli matematici per l'epidemiologia
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https://www.meetup.com/it-IT/Machine-Learning-Data-Science-Meetup/events/270122433/
![Matematica e Epidemie Scienza Orienta a Tor Vergata 2009 22
Modello per una popolazione con eta', malattia e vaccinazione
Il modello che ne risulta e' pero' complicato. Inoltre bisogna distinguere
individui vaccinati da non vaccinati e varie combinazioni con e senza malattia.
Un modo efficiente per trattare insieme le due scale di tempo (eta'/tempo
reale) sono le equazioni differenziali a derivate parziali.
a + t( )S(a,t) = B(a) - [了(a,t) + c(a) (1-P) + 袖(a)] S(a,t)
a + t( )E(a,t) = 了(a,t) S(a,t) - ( + 袖(a)) E(a,t)
a + t( )I(a,t )= E(a,t) - (留 + 袖(a)) I(a,t)
a + t( )R(a,t) = 留 I(a,t) - 袖(a) R(a,t)
a + t( )VP(a,t) = c(a) T S(a,t) - (W + K 了(a,t)+袖(a)) VP(a,t) + c(a) T VS(a,t)
a + t( )VS(a,t) = c(a) [1-T-P] S(a,t) + W VP(a,t) (b 了(a,t) + 袖(a) + c(a) T) VS(a,t)
a + t( )VE(a,t) = b 了(a,t) VS(a,t) - ( + 袖(a)) VE(a,t)
a + t( )VI(a,t) = VE(a,t) - (留 + 袖(a)) VI(a,t)
a + t( )VR(a,t) = K 了(a,t) VP(a,t) + 留 VI(a,t) - 袖(a) VR(a,t)](https://image.slidesharecdn.com/matematicaeepidemie-200515081052/85/Web-Meetup-2-Modelli-matematici-per-l-epidemiologia-22-320.jpg)
![Matematica e Epidemie Scienza Orienta a Tor Vergata 2009 24
Profilo dimmunita anni 0 e 30 dal inizio della vaccinazione
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(Copertura = 80%, efficacia = 93%)](https://image.slidesharecdn.com/matematicaeepidemie-200515081052/85/Web-Meetup-2-Modelli-matematici-per-l-epidemiologia-24-320.jpg)
Web Meetup #2: Modelli matematici per l'epidemiologia
- 1. Matematica e Epidemie Scienza Orienta a Tor Vergata 2009 1 MATEMATICA E EPIDEMIE G Scalia Tomba Dip. Matematica Univ. di Roma "Tor Vergata"
- 2. Matematica e Epidemie Scienza Orienta a Tor Vergata 2009 2 Negli ultimi 20-30 anni, molti allarmi dovuti all'emergenza di nuove malattie - HIV/AIDS - SARS e MERS - la pandemia di influenza A(H1N1) e la minaccia dell'influenza aviaria - il riscaldamento globale e il "ritorno" di malattie tropicali p.es. in Italia... - Ebola - e adesso COVID-19...
- 3. Matematica e Epidemie Scienza Orienta a Tor Vergata 2009 3 Puo' sembrare soprattutto un problema medico/biologico... Dovrebbe bastare sviluppare un nuovo vaccino o qualche nuova cura... In realta', questo approccio e' difficile con malattie - che ancora non ci sono (H5N (influenza aviaria) pandemico) - che appaiono improvvisamente (SARS e COVID) - che semplicemente sono difficili da investigare e trattare (HIV)...
- 4. Matematica e Epidemie Scienza Orienta a Tor Vergata 2009 4 Entrano in scena i modelli matematici.... Un modello puo' essere visto come un laboratorio virtuale (come i Sims, ma meno divertente...:-) (in vivo, in vitro, in silico...) - quando non si puo' sperimentare sulla popolazione reale - quando il problema e' solo potenziale -quando si vuole conoscere delle proprieta' un po' "generali" di malattie, per esempio che relazione c'e' tra infettivita' e velocita' di diffusione oppure per quale tipo di malattia possono bastare dei cambiamenti di comportamento per evitare epidemie, quanto tempo si ha a disposizione per vaccinare quando sta arrivando un'epidemia, cioe' per sviluppare una "teoria delle malattie"...
- 5. Matematica e Epidemie Scienza Orienta a Tor Vergata 2009 5 Per un pubblico di data scientists, data analysts and machine learners... Qual e' la differenza tra un modello di regressione o di machine learning e i modelli di cui intendo parlarvi? - si vuole prevedere senza esistenza di training set, perche' ogni nuova istanza sara' in qualche modo differente dalle precedenti... - si vuole distinguere il fenomeno naturale dagli interventi fatti... - percio' devono incorporare il "vero meccanismo" che regge il fenomeno... - si discute "equilibrio tra bias e variance", ma non si sa come valutarlo...
- 6. Matematica e Epidemie Scienza Orienta a Tor Vergata 2009 6 Che cos'e' un modello matematico? Pensate a qualche esempio che avete gia' visto, p.es. l'effetto della forza di gravita' tipo Newton: accelerazione costante g => d = gt2 2 ... - il modello e' una versione semplificata, essenziale di un fenomeno reale - puo' anche darsi che sia troppo semplificato per fare delle predizioni accurate, ma ci fa capire "cosa succede" (infatti una "vera" applicazione, tipo l'orbita di un satellite, richiede un sacco di extra dettagli sulla forma esatta della terra, la traiettoria di una pallottola di pistola deve tenere conto del vento, l'attrito dell'aria, ecc...)
- 7. Matematica e Epidemie Scienza Orienta a Tor Vergata 2009 7 Perche' "matematico"? - la matematica e' un linguaggio per esprimere in modo preciso (non necessariamente corrispondente a realta', pero'... ;-) delle definizioni e delle relazioni - una volta espresso in termini matematici, il problema puo' essere studiato, poiche' la matematica e' anche uno strumento di deduzione logica, per capire le conseguenze di cio' che si assume - la matematica permette delle conclusioni sia generali (qualitative) sia dei calcoli con valori particolari (quantitative)
- 8. Matematica e Epidemie Scienza Orienta a Tor Vergata 2009 8 Qual e' "l'arte" della matematica applicata? - un modello matematico deve essere il piu' semplice possibile, ma non troppo... (forse Einstein...) - tutti i modelli sono sbagliati, ma alcuni sono utili (G. Box, statistico) - non c'e' nessun chiaro confine tra matematica pura e applicata, basta cercare la "bellezza" in ogni problema e capire che (quasi) ogni teorema e' in realta' la soluzione generale di molti problemi particolari...
- 9. Matematica e Epidemie Scienza Orienta a Tor Vergata 2009 9 Gli ingredienti "essenziali" di una malattia infettiva? - iniziamo con epidemia (endemia, pandemia...) - una popolazione suscettibile di N individui - una malattia di tipo SIR S I R Suscettibili Infettivi Immuni - un primo infetto...
- 10. Matematica e Epidemie Scienza Orienta a Tor Vergata 2009 10 - assumendo S(t), I(t), R(t) come quantita' continue, un diagramma di flusso/compartimentale come sopra viene di solito "tradotto" in un sistema di equazioni differenziali ordinarie" (assumendo popolazione e contatti omogenei) S'(t) = - 硫S(t)I(t)/N I'(t) = 硫S(t)I(t)/N - 粒I(t) R'(t) = 粒I(t) S(0) = N-1, I(0) = 1, R(0) = 0 Esiste una formulazione analoga stocastica, come processo di Markov...
- 11. Matematica e Epidemie Scienza Orienta a Tor Vergata 2009 11 L'inizio, una progressione geometrica aleatoria - assumiamo che il primo infetto, durante il suo periodo infettivo, possa contagiare 0, 2 o 4 (in media 2) persone suscettibili e che quelli da lui infettati (seconda generazione) possano fare lo stesso e cosi via... - in media dunque 1 -> 2 -> 4 -> 8 ->... ma in realta' (per caso...) 0.10 0.20 0.30 0.40 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 Distribuzione di probabilita' per terza generazione, media = 4... - gli "effetti del caso" si studiano nel calcolo delle probabilita', questo tipo di fenomeno si chiama "processo di ramificazione"...
- 12. Matematica e Epidemie Scienza Orienta a Tor Vergata 2009 12 L'inizio, in riassunto... - dopo parecchie difficolta', si riesce a dimostrare che la diffusione iniziale della malattia si puo' riassumere cosi', semplicemente: - se il numero medio di casi secondari/infetto (R0) 1, sempre pochi infetti, mai grande epidemia... - se R0 > 1, due possibilita': pochi infetti (estinzione per caso...) oppure grande epidemia...
- 13. Matematica e Epidemie Scienza Orienta a Tor Vergata 2009 13 La grande epidemia... Se il contaggio va avanti, il numero di suscettibili "disponibili" dopo un po' diminuisce e le persone che un infettivo incontra e che normalmente avrebbe infettato forse adesso sono immuni -> il numero effettivo di casi secondari comincia a diminuire... A un certo punto, il numero di casi secondari effettivi diventa < 1 e l'epidemia comincia a diminuire e cosi continua fino a finire... (interessante nota storica: un'epidemia finisce per relativa mancanza di suscettibili e non per indebolimento dell'agente infettivo...)
- 14. Matematica e Epidemie Scienza Orienta a Tor Vergata 2009 14 La fine della grande epidemia... Di nuovo, portando avanti i calcoli, si trova che quando l'epidemia finisce, non tutti sono rimasti infettati... La frazione infettata dipende in modo "semplice" da R0 attraverso un'equazione implicita 1- = e-R0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 y=exp(-2x) y=1-x Se R0 = 2, si trova che = 0.8 ...
- 15. Matematica e Epidemie Scienza Orienta a Tor Vergata 2009 15 Come si comporta il modello numericamente... 0 200 400 600 800 1000 0 10 20 30 40 50 60 Suscettibili Infetti (media 3 giorni, R=2) Immuni Tempo (giorni)
- 16. Matematica e Epidemie Scienza Orienta a Tor Vergata 2009 16 Un'importante conseguenza: herd immunity... - Il fatto che un'epidemia non puo' partire se R0 1 implica che si puo' combattere malattie con la vaccinazione anche parziale (o altri interventi...) della popolazione... - Vaccinare vuol dire rendere persone immuni che altrimenti sarebbero state suscettibili. Se il valore "naturale" di R0 e' 2, ma 60% della popolazione viene vaccinata, i tentativi di infezione "funzionano" solo in 40% dei casi e dunque i primi infetti riusciranno, in media, a infettare solo 40% di 2 = 0.8 < 1, dunque niente epidemia... - Basta immunizzare la frazione 1 - 1/R0 (perche' cosi' la frazione 1/R0 rimane suscettibile e il numero effettivo di casi secondari diventa R0 x 1/R0 = 1...) della popolazione, perche' non possano piu' scoppiare epidemie... - Questo effetto si chiama "herd immunity", il "gregge" e' protetto anche se ogni singolo individuo non lo e'...
- 17. Matematica e Epidemie Scienza Orienta a Tor Vergata 2009 17 R0, RE, Rt... - R sta per "reproduction number" e indica l'effetto infettante complessivo di un infetto... - "0" sta per stato naturale e iniziale, cioe' in presenza di una popolazione tutta suscettibile (basic reproductive number), - "E" sta per effettivo, dopo una modifica delle condizioni, che puo' essere per esempio la vaccinazione di massa, - "t" sta per "al tempo t dell'epidemia", dopo che il numero reproduttivo e' stato modificato sia dall'infezione stessa, sia da possibili interventi... - nella versione piu' semplice, R0 = cpd, con c=numero medio di contatti/giorno, p=probabilita' di infezione /contatto, d=durata media (in giorni) del periodo infettivo...
- 18. Matematica e Epidemie Scienza Orienta a Tor Vergata 2009 18 Complicazioni... Il modello SIR si complica con - altri percorsi di malattia: SIS, SEIR, MSIR... per non parlare di vettori, fonti comuni, infezioni concomitanti, ecc... - descrizione di popolazione piu' dettagliata: vari gruppi, nuclei familiari, fasce d'eta', cambiamenti nel tempo, demografia, ecc - rimane sempre una "soglia", tipo "R=1", per invasione e/o permanenza, ma il calcolo non e' piu' semplice, forse neanche esplicito... - a un certo punto, si puo' solo simulare e variare parametri per vedere cosa succede... - ma, "bias vs variance"...?
- 19. Matematica e Epidemie Scienza Orienta a Tor Vergata 2009 19 Un modello piu' complesso per le vaccinazioni contro le malattie dell'infanzia (morbillo, orecchioni, rosolia, varicella,...) - Per potere parlare di eta' (problemi interessanti: a quali eta' e' meglio vaccinare i bambini, quale frazione bisogna raggiungere per eliminare una malattia...), bisogna introdurre questo concetto nel modello... - la demografia matematica si basa su un concetto semplice: "per ogni giorno che passa, invecchi di un giorno, se non muori..."
- 20. Matematica e Epidemie Scienza Orienta a Tor Vergata 2009 20 Un modo di vedere la cosa... 0 1 2 3 4 5 6 1unita兵 di tempo dopo 100 99 Nascite CONTABILITA兵 DI PERSONE... Tempo = t Tempo = t+1 100 99 98
- 21. Matematica e Epidemie Scienza Orienta a Tor Vergata 2009 21 Un altro modo di vedere la cosa... ETA兵 TEMPO Un anno Coorte annuale di nascita Popolazione momentanea Nascita Vita Morte Diagramma di Lexis (la vita a 45尊)
- 22. Matematica e Epidemie Scienza Orienta a Tor Vergata 2009 22 Modello per una popolazione con eta', malattia e vaccinazione Il modello che ne risulta e' pero' complicato. Inoltre bisogna distinguere individui vaccinati da non vaccinati e varie combinazioni con e senza malattia. Un modo efficiente per trattare insieme le due scale di tempo (eta'/tempo reale) sono le equazioni differenziali a derivate parziali. a + t( )S(a,t) = B(a) - [了(a,t) + c(a) (1-P) + 袖(a)] S(a,t) a + t( )E(a,t) = 了(a,t) S(a,t) - ( + 袖(a)) E(a,t) a + t( )I(a,t )= E(a,t) - (留 + 袖(a)) I(a,t) a + t( )R(a,t) = 留 I(a,t) - 袖(a) R(a,t) a + t( )VP(a,t) = c(a) T S(a,t) - (W + K 了(a,t)+袖(a)) VP(a,t) + c(a) T VS(a,t) a + t( )VS(a,t) = c(a) [1-T-P] S(a,t) + W VP(a,t) (b 了(a,t) + 袖(a) + c(a) T) VS(a,t) a + t( )VE(a,t) = b 了(a,t) VS(a,t) - ( + 袖(a)) VE(a,t) a + t( )VI(a,t) = VE(a,t) - (留 + 袖(a)) VI(a,t) a + t( )VR(a,t) = K 了(a,t) VP(a,t) + 留 VI(a,t) - 袖(a) VR(a,t)
- 23. Matematica e Epidemie Scienza Orienta a Tor Vergata 2009 23 Queste equazioni non sono esplicitamente risolvibili, ma sono calcolabili sotto varie ipotesi... Vaccinazione a 1 anno, Copertura 50%, Efficacia protettiva 93%, Durata eterna, Classi deta 0-5, 6-18, 19-24, 25-
- 24. Matematica e Epidemie Scienza Orienta a Tor Vergata 2009 24 Profilo dimmunita anni 0 e 30 dal inizio della vaccinazione 0 200000 400000 600000 800000 1000000 1200000 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98 Serie s6 vr[a] vp[a] e+ i vs[a] s[a] 0 200000 400000 600000 800000 1000000 1200000 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98 Serie s6 vr vp e+ i vs s (Copertura = 80%, efficacia = 93%)
- 25. Matematica e Epidemie Scienza Orienta a Tor Vergata 2009 25 Cosa si puo' imparare da questi grafici? Conseguenze importanti: vaccinazione inadeguata non elimina la malattia ma aumenta l'eta' di chi si ammala, possibili picchi dopo molti anni a causa di "sacche" di suscettibili che si accumulano... ma questi modelli danno anche la possibilita' di "provare" vari livelli di copertura e combinazioni di eta' vaccinali fino a trovare delle "buone " combinazioni... Come prima, ma copertura 90%...
- 26. Matematica e Epidemie Scienza Orienta a Tor Vergata 2009 26 Allora, come andra' con COVID...? - si vede che le conclusioni "qualitative" funzionano: ridurre RE sotto 1 con lockdown (influisce su c, p, d...) porta al declino dell'infezione, ma non si puo' sostenere economicamente e socialmente a lungo... - in teoria, se si "allenta" troppo, RE ritorna sopra 1, l'infezione tornera' se nel frattempo la popolazione non e' stata immunizzata da vaccino o malattia stessa (famosa immunita' di gregge...)... - problema: non si sa se l'immunita' dura a lungo o se troveremo trattamenti efficaci... -> se COVID non si elimina, puo' diventare endemico... - R0 non e' una "costante", e' un misto di proprieta' del virus e dei comportamenti umani... siamo disposti a cambiare comportamenti per lungo tempo? - alla fine, non so... ma sono ignorante a un livello superiore... :-)