�ݺ�ߣ

YZM 2116
Veri Yapıları
Yrd. Doç. Dr. Deniz KILINÇ
Celal Bayar Üniversitesi
Hasan Ferdi Turgutlu Teknoloji Fakültesi
Yazılım Mühendisliği

BÖLÜM - 8
Bu bölümde,
• Problem Tanımı
• Arama Ağaçları
• İkili Arama Ağacı
• İkili Arama Ağacı Gerçekleştirim
• Arama
• Ekleme
• Min ve Maks Değer Bulma
• Silme
• Uygulamalar
konusuna değinilecektir.
Celal Bayar Üniversitesi – YZM 2116 Veri Yapıları

Soru
• Elimizde bir grup veri varsa (mesela 1 kilo) ve bu
veriler üzerinde
o Arama
o Silme
o Değiştirme
gibi işlemler yapılmak isteniyorsa hangi veri yapısını
seçmeliyiz?
Dizi? Bağlı Liste?

Cevap 1: Dizi
• DİKKAT
o Insert (x) için dizinin dolması durumunda karmaşıklığın
artacağını ve O(n) olacağını dikkate alınız.
o Remove (x) için en kötü durumda (n-1) eleman
kaydırılacağı için O(n) olur.

Cevap 2: Bağlı Liste
YENİ SORU?
o Her iki veri yapısında da arama performansını nasıl
arttırırız?
CEVAP:
o Elemanları sırala ve İkili Arama (Binary Search) kullan.

İkili Arama Cevabı Üzerine…
YENİ SORU?
o Peki Ekleme (insert) ve Silme (remove) işlemleri için
performans iyileştirme yapılabilir mi?
CEVAP:
o İkili arama ağacıyla mümkün olabilir.
o Örneğin: İkili Arama Ağacı (Binary Search Tree) ile…

Arama Ağaçları
• Arama, gezinme, ekleme ve silme gibi işlemleri
destekleyen ağaçlar, arama ağacı olarak adlandırılır.
• Bu bağlamda arama ağacı, belirli sayıda düzenli/sıralı
elemana/değere sıralı erişimi sağlar.
• Bir arama ağacı, verilerin düğümlere belli bir düzende
eklenmesiyle elde edilir.
• Arama ağaçlarının önemli avantajı, veri girişinin
disipline edilmesi sayesinde, aranan elemana ulaşmak
için tüm ağacın dolaşılmasına (traverse) gerek
olmamasıdır.

Arama Ağaçları (devam…)
• Bilinen arama ağaçları aşağıdaki gibidir:
1. İkili Arama Ağacı (Binary search tree (BST))
2. AVL Ağacı
3. Splay Ağacı
4. 2-3-4 Ağacı
5. Red-Black Ağacı
6. B Ağacı ve B+ Ağacı

İkili Arama Ağacı (Binary Search Tree)
• Özyinelemeli (recursive) olarak BST, tüm
elemanların kök referans olmak şartı ile:
i. Kökten küçükse kökün solunda
ii. Kökten büyükse kökün sağında yer almasıdır.

İkili Arama Ağacı (BST) (devam…)
x: ikili arama ağacında herhangi bir düğüm olsun.
Eğer, y düğümü x’in sol alt ağacında ise key[y] ≤ key[x]
Eğer, y düğümü x’in sağ alt ağacında ise key[y] ≥ key[x]
5
3 7
8
Kök
2 4
<5 >5
SolAA
SağAA
2
Kök
3
7
85
4
>2
SağAA

İkili Arama Ağacı Gerçekleştirim

İkili Arama Ağacı Üzerinde Bazı İşlemler
• Dolaşma/Gezinme (Traversal)
• Ara
• MinDeger
• MaksDeger
• SonraGelenEnKucuk (Successor)
• Ekle
• Sil
• DugumSayisi
• YaprakSayisi
• Vb.

İkili Arama Ağacı - Gezinme
• İkili ağaç ile aynı mantıkta çalışır:
• Önce-kök/ziyaret (Preorder - NLR):
 Kök/ziyaret, Sol, Sağ
• Ortada-kök/ziyaret (Inorder - LNR):
 Sol, Kök/ziyaret, Sağ
 Not: Inorder gezinme, düğüm değerlerinin
sıralı elde edilmesini sağlar.
• Sonra-kök/ziyaret (Postorder - LRN):
 Sol, Sağ, Kök/ziyaret

İkili Arama Ağacı – Arama
• Bir k anahtar değerini aramak için, kök düğümden
başlanarak aşağı doğru bir yol izlenir.
• Bir sonraki ziyaret edilecek düğüm, k anahtar
değerinin, geçerli düğümün anahtar değeriyle
karşılaştırılması sonucuna bağlıdır.
• Aranan değer, kök düğümden küçükse sol alt ağaç üzerinden
aramaya devam edilir.
• Aranan değer, kök düğümden büyükse sağ alt ağaç üzerinden
aramaya devam edilir.
• Eğer yaprağa ulaşıldıysa anahtar bulunamamıştır ve
null değer geri döndürülür.

İkili Arama Ağacı – Arama (devam…)
 
 
 
  ),ARA(5
),ARA(4
3
2
orNILL1
),ARA(
kxright
kxleft
xkeyk
x
xkeykeyx
kx
returnelse
returnthen
if
returnthen
if


15
6 18
3
2 4
7
17
13
20
Aranan sayı, k = 13
• Kırmızı renkli düğümler
arama sırasında ziyaret
edilen düğümlerdir.

İkili Arama Ağacı – Arama (devam…)

İkili Arama Ağacı – MinDeger
• Ağaçtaki en küçük elemanı içeren düğümü bulur ve
geri döndürür.
• En küçük elemanı içeren düğüm en soldaki düğümde
bulunur.
• Kökten başlayarak devamlı sola gidilerek bulunur.
x
xleftx
xleft
x
return
do
while
3
][2
NILL][1
)(MINDEGER



İkili Arama Ağacı – MinDeger (devam…)
15
6 18
3
2 4
7
17
13
20
MinDeger = 2

İkili Arama Ağacı – MaksDeger
• Ağaçtaki en büyük elemanı içeren düğümü bulur ve
geri döndürür.
• En büyük elemanı içeren düğüm en sağdaki düğümde
bulunur.
• Kökten başlayarak devamlı sağa gidilerek bulunur.
x
xrightx
xright
x
return
do
while
3
][2
NILL][1
)(MAKSDEGER



İkili Arama Ağacı – MaksDeger (devam…)
15
6 18
3
2 4
7
17
13
20
MaksDeger = 20

İkili Arama Ağacı – SonraGelenEnKucuk
• Bir düğümün kendinden sonra gelen (kendinden büyük) en
küçük değeri yani successor’u geriye döndürülür.
• Kendinden büyük bu değerler, düğümlerin sağ alt-
ağaçlarında olduğu için düğümün sağ-alt ağacının olup
olmamasına göre algoritma değişiklik gösterir.

İkili Arama Ağacı – SonraGelenEnKucuk (devam…)
15
6 18
3
2 4
7
17
13
20
9
15’in Successor’ı
• 15’in successor düğümü hangisidir?

İkili Arama Ağacı – SonraGelenEnKucuk (devam…)
• 13’ün successor düğümü hangisidir?
15
6 18
3
2 4
7
17
13
20
9
13’ün successor’ı

İkili Arama Ağacı – Ekleme
• Eklenecek değeri içeren “z” isimli yeni bir düğüm
oluştur.
• Kökten başlayarak ağaç üzerinde eklenecek sayıyı
arıyormuş gibi aşağıya doğru ilerle.
• Yeni düğüm, aramanın bittiği düğümün çocuğu
olmalıdır.

İkili Arama Ağacı – Ekleme (devam…)
][13
][12
][][11
][10
NILL9
][8
][7
][6
][][5
4
NILL3
][2
NILL1
),(EKLE
zyright
zyleft
ykeyzkey
zTroot
y
yzp
xrightx
xleftx
xkeyzkey
xy
x
Trootx
y
zT













else
then
ifelse
then
if
else
then
if
do
while
15
6 18
3
2 4
7
17
13
20
12
12 Ekle

İkili Arama Ağacı – Ekleme (devam…)
15
6 18
3
2 4
7
17
13
20
• Soru: Aşağıdaki ağacı ekleme fonksiyonu kullanarak
nasıl oluştururuz?
a = new İkiliAramaAgaci();
a.Ekle(15);
a.Ekle(6);
a.Ekle(3);
a.Ekle(2);
a.Ekle(4);
a.Ekle(7);
a.Ekle(13);
a.Ekle(18);
a.Ekle(17);
a.Ekle(20);
Ekleme sırası size tanıdık geldi mi?

İkili Arama
Ağacı –
Ekleme

İkili Arama Ağacı – Silme
• Silme işlemi diğer işlemlere göre daha
karmaşıktır.
• Silme işleminde 3 durum bulunmaktadır:
1. Silinecek düğümün hiç çocuğu yoksa (yaprak
düğüm)
2. Silinecek düğümün 1 çocuğu varsa
3. Silinecek düğümün 2 çocuğu varsa

Durum 1 – Yaprak Düğümü Silme
• Soru: 13 değerine sahip düğüm nasıl sileriz?
15
5 16
2
18
12
23
20
10 13 z
5
3
6
7

Durum 1 – Yaprak Düğümü Silme
• Cevap: Düğüm bulunur, kaldırılır ve bağlantısı güncellenir.
15
5 16
2
18
12
23
20
10
5
3
6
7

Durum 2 – 1 Çocuklu Düğüm Silme
15
5 16 z
2
18
12
23
20
10 13
5
3
6
7
• Soru: 16 değerine sahip düğüm nasıl sileriz?

• Cevap: Silinecek düğüm bulunur. Düğümün ailesinin
solunda mı yoksa sağında mı olduğu saklanır. Silinecek
düğümün çocuğu ile düğümün ailesi arasında bağ kurulur.
15
5 16 z
2
18
12
23
20
10 13
5
3
6
7

15
5
2 12
10 13
5
3
18 23
20
6
7
• Cevap: Silinecek düğüm bulunur. Düğümün ailesinin
solunda mı yoksa sağında mı olduğu saklanır. Silinecek
düğümün çocuğu ile düğümün ailesi arasında bağ kurulur.

15
5 16
2
18
12
23
20
10
z 5
3
6 y
7
13
• Soru: 5 değerine sahip düğümü nasıl sileriz?

15
5 16
2
18
12
23
20
10
z 5
3
6 y
7
13
• Cevap: 5’in successor’u bulunur (sağ alt ağaçtaki en
küçük eleman 6).
• 5 ve 6’nın içerikleri değiştirilir
• 6 elemanının 1 çocuğu
varmış gibi silinir.

15
5 16
2
18
12
23
20
10
6
3
7
13

Silme
1. ADIM – DÜĞÜMÜ BUL
• current: Silmek için bulunan düğüm
• parent: current düğümün parent’ı

DURUM 1 – EĞER YAPRAK DÜĞÜMSE
Silme (devam…)

DURUM 2 – EĞER TEK ÇOCUKLU DÜĞÜMSE
Silme (devam…)

DURUM 3 – EĞER İKİ ÇOCUKLU DÜĞÜMSE
Silme (devam…)

İkili Arama Ağacı Karmaşıklık Analizi
• Soru: İkili arama ağacının, arama işlemi için
karmaşıklık analiz sonucu nedir?

İkili Arama Ağacı Karmaşıklık Analizi
Cevap:
• İkili arama ağaç işlemlerinin karmaşıklığı O(h)’dır.
• Fakat h ağacın derinliğine bağlıdır.
• Ağaç dengeli olmazsa O(n)’dir.
• Ağaç dengeli olursa O(logn)’dir.
• Nasıl dengeli yaparız?
1. AVL-ağaçları
2. Splay ağaçları
3. Red-Black ağaçları
4. B ağaçları, B+ agaçları

İkili Arama Ağacı Uygulamaları
• İkili arama ağacı harita, sözlük gibi birçok
uygulamada kullanılır. Anahtar-değer çifti şeklinde
kullanılacak sistemler için uygundur.
– Şehir Bilgi Sistemi: Posta kodu verilip , şehir ismi
döndürülür. (posta kodu/ Şehir ismi)
– Telefon Rehberi: İsim verilir telefon numarası veya
adres döndürülür (İsim, Adres/Telefon).
– Sözlük: Kelime verilir anlamı döndürülür (Kelime,
anlam).

İYİ ÇALIŞMALAR…

Yararlanılan Kaynaklar
• Ders Kitabı:
• Data Structures through JAVA, V.V.Muniswamy
• Yardımcı Okumalar:
• Data Structures and Algorithms in Java, Narashima
Karumanchi
• Data Structures, Algorithms and Applications in Java,
Sartaj Sahni
• Algorithms, Robert Sedgewick

�ݺ�ߣ

Yzm 2116 Bölüm 8 - İkili Arama Ağacı - Binary Search Tree

More Related Content

Yzm 2116 Bölüm 8 - İkili Arama Ağacı - Binary Search Tree

Editor's Notes