Zlatni rez
- 1. Zlatni rez KANTONALNA JAVNA USTANOVA ETVRTA GIMNAZIJA ILID貼A Autori: Kerim Red転epagi; Ermin Rizvanovi; Amel Zekovi Mentor: Amela Huseinovi, prof.
- 2. Zlatni rez Zlatni rez prisutan je u svim aspektima ljudskog 転ivota. Gdje god opazimo iznimnu ljepotu i sklad, naje邸e emo otkriti prisutnost zlatnog reza. To je pojam koji povezuje matematiku, prirodu, tehniku i umjetnost na vrlo neobian i zanimljiv nain.
- 3. Zlatni rez Postoji li ne邸to zajedniko izmeu crkve Notre Dame u Parizu, ljudskog tijela, dizajna Twittera i kreditne kartice, te obinog pu転a? Odgovor je da. Jedan, jedini broj 1.6180339887. Matematika konstanta koju oznaavamo grkim slovom 陸 (fi) i nazivamo ju zlatnim rezom.
- 4. Zlatni rez arolija zlatnog reza ili bo転anske proporcije nalazi se u porama matematike, arhitekture, glazbe i mnogih drugih znanstvenih disciplina. Zlatni rez ini matematiku univerzalnom znano邸u, otkrivajui njegovu prisutnost u razliitim 転ivotnim podrujima i razdobljima ljudskog postojanja.
- 5. Zlatni rez Ka転emo da su dvije veliine u zlatnom rezu ako se manji dio odnosi prema veem kao 邸to se vei dio odnosi prema ukupnom, tj. ako vrijedi: a/b = a / ( a + b ) = ; a = b * b*/b = b / ( b* + b ) = 1 / ( + 1 ) ^2 + 1 = 0 = ( -1 + sqrt(5) ) / 2 陸 = 0,618 a / b = ( a + b ) / a = ^2 1 = 0 = ( 1 + sqrt(5) ) / 2 = 1,618
- 6. Historija zlatnog reza Zlatni rez mo転e se pronai jo邸 u priama Starog zavjeta. U Knjizi izlaska 25,10 Bog ka転e Mojsiju: Od bagremova drva neka naprave Koveg: dva i po lakta dug, lakat i po 邸irok i lakat i po visok. Ove mjere ine oblik koji je savr邸eno proporcionalan prema pravilu zlatnog reza.
- 7. Historija zlatnog reza Teorija zlatnog reza zapoeta je u antici, a svoj procvat imala je u renesansi kada su umjetnici, matematiari, fiziari i astrolozi tra転ili savr邸enstvo u kompozicijama poznatih struktura. Grki kipar Fidije u 5. st. pr. Kr. primijenio je zlatni rez u dizajnu svojih skulptura i gradnji Partenona.
- 8. Historija zlatnog reza Platon (grki filozof, 5. i 4. st. pr. Kr.) u Timoteju opisuje pet pravilnih geometrijskih tijela kao temelj harmonine strukture svijeta. Zlatni rez igra kljunu ulogu u dimenzijama i oblikovanju nekih od ovih tijela.
- 9. Historija zlatnog reza Grki matematiar Euklid prvi je ovaj broj uoio i matematiki izrazio. Oko 300 godina prije Krista napisao je knjigu Elementi u kojoj navodi prvu zabilje転enu definiciju zlatnog reza. Stoljee prije Krista sva znanja starih Grka objedinio je rimski arhitekt Marcus Vitruvius Polio u svom kapitalnom djelu De architectura libri decem ili Deset knjiga o arhitekturi, posveenom imperatoru Augustu. Pisao je o simetriji hramova, a njihove proporcije usporeuje s razmjerima ovjejeg tijela.
- 10. Historija zlatnog reza Vitruvije je ucrtao ljudsko tijelo u kru転nicu, 邸to je mnogo stoljea kasnije ponovno interpretirao Leonardo Da Vinci.
- 11. Historija zlatnog reza Mnogi renesansni umjetnici koristili su zlatni rez na svojim slikama i skulpturama da bi postigli ravnote転u i ljepotu. Prema nekoliko izvora, Leonardo da Vinci upotrijebio ga je za odreivanje osnovnih proporcija Posljednje veere i Mona Lise
- 12. Historija zlatnog reza U godini 1202., razdoblju cvata gotike, Leonardo iz Pise, zvan Filius Bonaccio (Fibonacci), prouavao je razmno転avanje zeeva te je tako do邸ao do zakljuka da oni u odr転anju vrste slijede zakon zlatnog reza. Poeo je brojati i zapisivati sume novoroenih zeeva. Poev邸i od prva dva zeca, broj novih zeeva je rastao progresijom: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89... Svaki sljedei broj jednak je zbroju prethodna dva. Omjer dvaju uzastopnih lanova jednak je 1.618, tj. omjeru zlatnog reza. Ovaj niz poznat nam je pod nazivom Fibonaccijev niz.
- 13. Zlatni rez najugodniji ljudskom oku Pravokutnik kod kojeg je omjer dulje stranice prema kraoj jednak 陸 nazivamo zlatnim pravokutnikom. Zlatni rez prisutan je svuda oko nas. Svjesno ili nesvjesno ljudi ga koriste u svim 転ivotnim podrujima i smatraju ga najugodnijim ljudskom oku.
- 14. Zlatni rez najugodniji ljudskom oku Na nastavi povijesti graditeljstva (Veleuili邸te u Vara転dinu, studij graditeljstva) uinjen je pokus. Studentima je ponueno 5 pravokutnika razliitih omjera stranica. Trebali su odabrati ugao koji je najugodniji njihovom oku. Studenti su svake godine najvi邸e odabirali pravokutnik iji je omjer stranica jednak 陸, tj. odabrali su zlatni pravougao.
- 15. Zlatni rez svuda oko nas U svijetu oko nas postoji pregr邸t primjera zlatnog reza. Prisutan je u rastu biljaka, u grai tijela 転ivotinja kao i u grai ljudskog tijela. Spirala, kljuno orue po ukusu prirode, dugo je smatrana i jednim od najva転nijih. Zlatna ili logaritamska spirala je spirala utemeljena na zlatnom rezu. Njen rast je savr邸eno jednak, kao i ostali aspekti zlatnog reza, jer su u tu spiralu ugraeni svi divni misteriji sklada i ravnote転e broja 陸. Konstruirajui zlatnu spiralu dobivamo kvadrate ije su povr邸ine Fibonaccijevi brojevi.
- 16. Zlatni rez najugodniji ljudskom oku Prere転emo li jabuku na pola, uoit emo da se sjemenke jabuke nalaze u obliku pentagrama iji su odsjeci u odnosu 陸. U pelinjoj zajednici, ko邸nici, uvijek je manji broj mu転jaka. Podijelimo li broj 転enki sa brojem mu転jaka pela u ko邸nici, dobit emo broj 陸. Osim broja potomaka, pele izgrauju domove proporcionalnima svetoj geometriji sae.
- 17. Zlatni rez najugodniji ljudskom oku Graa tijela mnogih 転ivotinja u omjeru je zlatnog reza, npr. leptiri, pu転evi, delfini, ptice, pingvini, mravi i mnoge druge 転ivotinje. I na邸a su tijela ispunjena zlatnim spiralama. Mo転emo je uoiti u na邸em uhu, u stisnutoj 邸aci, pramenu kose, otisku prsta, pa ak i u strukturi DNK. Savr邸eno ljudsko tijelo u omjeru je 1:1.618.
- 18. Zlatni rez najugodniji ljudskom oku Pogledamo li u nebo, vodu ili vjetar uoit emo u njemu oblik zlatne spirale. Velike oluje kao 邸to su uragan i tornado upravo spiralnog su oblika.
- 19. Zlatni rez najugodniji ljudskom oku Zlatni rez nalazimo i u glazbi. Smatra se da ljepota zvuka violine dolazi iz njenog dizajna u omjeru zlatnog reza. Sredi邸te zakrivljenosti luka je u 'zlatnoj poziciji' s obzirom na ukupnu du転inu violine. Tipkovnica klavira slijedi Fibonaccijev niz. Tipke su podijeljene u grupe. U svakoj grupi ima ih 13 i to podijeljenih na 8 bijelih i 5 crnih.
- 20. Zlatni rez u 乙姻温季艶厩庄稼庄 Velika piramida u Gizi ili Keopsova piramida najstarije je od sedam svjetskih uda Staroga svijeta i jedino koje je ouvano. Izgraena je oko 2500 godina prije Krista kao grobnica faraona Keopsa. Kao geometrijsko tijelo sastavljena je od etiri jednakostranina trokuta smje邸tena na kvadratinu osnovu. Stranice tlocrtnog kvadrata iznose oko 230.40m, a prvobitna visina piramide bila je 146.60 m.
- 21. Zlatni rez u 乙姻温季艶厩庄稼庄 S obzirom na to da je ABC pravokutan trokut (slika 7.), prema Pitagorinom pouku vrijedi c^2 = a^2 + b^2. Dakle, du転ina hipotenuze AB iznosi 186.45 m. Podijelimo li du転inu hipotenuze s du転inom manje katete dobivamo: 186.45 : 115.2 = 1.618 = 陸.
- 22. Zlatni rez u 乙姻温季艶厩庄稼庄 Prema visini piramide iznosi: 186.45 : 146.60 = 1.272 = 陸 . Oznaimo li manju katetu s 1, du転ina visine iznosi 陸, a du転ina hipotenuze 陸. Ovaj trokut naziva se egipatskim, a pravokutnik izveden iz njega nazvan je Keopsovim pravokutnikom.
- 23. Zlatni rez u 乙姻温季艶厩庄稼庄 Kineski zid (slika 8.), sagraen oko 3000 g. pr. Kr., izgraen je na osnovama zlatnog reza. U grkoj arhitekturi kao mjerilo za planiranje slu転io je zlatni rez. Smatra se da su ga starogrki arhitekti koristili u konstrukciji Partenona (slika 8.) i mnogih drugih grkih graevina, skulptura te kompozicija slika.
- 24. Zlatni rez u 乙姻温季艶厩庄稼庄 Zlatni pravokutnik pojavljuje se na nekoliko mjesta u dizajnu Partenona. Mo転emo ga uoiti u proelju i tlocrtu hrama. Omjeri veliina pojedinih dijelova hrama, sve do najsitnijih, predstavljaju omjer zlatnog reza. Grki su umjetnici ovaj princip razumijevali ne samo kao odnos du転ina, nego i kao odnos povr邸ina, zavladav邸i na taj nain beskrajem lijepih oblika.
- 25. Zlatni rez u 乙姻温季艶厩庄稼庄 Na tlocrtu Panteona linija zlatnog reza nalazi se upravo na mjestu gdje se spajaju ulaz i kupola.
- 26. Zlatni rez u 乙姻温季艶厩庄稼庄 Konstantinov slavoluk, podignut u neposrednoj blizini Koloseuma, najvei je i najslo転eniji slavoluk iz Rimskog Carstva. Dimenzije njegovih glavnih elemenata oito su u omjeru zlatnog reza, omiljenog kod rimskih arhitekata.
- 27. Zlatni rez u 乙姻温季艶厩庄稼庄 Aja Sofija ili Crkva svete mudrosti u Istanbulu predstavlja remek-djelo bizantske arhitekture i umjetnosti. Njena unutra邸njost u svom dizajnu ima nekoliko zlatnih pravokutnika.
- 28. Zlatni rez u 乙姻温季艶厩庄稼庄 Crkva sv. Marka u Veneciji, primjer bizantske arhitekture, poznata je zbog svoje jedinstvenosti u smislu bogate i velianstvene unutra邸njosti. Zbog rasko邸nog dizajna, pozlaenih bizantskih mozaika i svog statusa kao simbola mletakog bogatstva i moi, od 11. stoljea graevina se naziva Chiesa d'Oro (Crkva od zlata). U njenom tlocrtu mo転emo uoiti nekoliko zlatnih pravokutnika.
- 29. Zlatni rez u 乙姻温季艶厩庄稼庄 Graditelji srednjovjekovnih crkvi i katedrala projektiranju su prilazili na prilino isti nain kao i Grci. Njihov je cilj bio harmonina struktura i ljepota. Ove velianstvene crkve i katedrale dr転ale su se projektiranja savr邸enih omjera, na isti nain kao i Partenon. Iznutra i izvana ove su graevine imale zamr邸enu konstrukciju utemeljenu na zlatnom rezu i ostalim pravilima proporcija.
- 30. Zlatni rez u 乙姻温季艶厩庄稼庄
- 31. Zlatni rez u 乙姻温季艶厩庄稼庄 Zapadno proelje najpoznatije gotike katedrale, Notre Dame obiluje odnosima definiranim zlatnim rezom.
- 32. Zlatni rez u 乙姻温季艶厩庄稼庄 Katedrala u Chartresu sagraena je izmeu 1194. i 1260. godine. Luk njene srednje lae bio je najvei u svoje doba. Nitko ne zna kako su graditelji izraunali luk, nitko ne zna za邸to su vjerovali da e biti dobar, ali ureenje unutra邸njosti utemeljeno je precizno na petokrakoj zvijezdi i olienje je zlatnog reza.
- 33. Zlatni rez u 乙姻温季艶厩庄稼庄 U gradnji Taj Mahala (slika 13.) takoer je kori邸ten zlatni rez. To je razlog zbog kojeg izgleda tako savr邸eno. Pravokutnici koji su kori邸teni za vanjske okvire glavne zgrade zlatni su pravokutnici. Okvir glavnih vrata takoer je u obliku zlatnog pravokutnika.
- 34. Zlatni rez u 乙姻温季艶厩庄稼庄 Arhitekt Le Corbusier, jedan od zaetnika moderne arhitekture, bavio se proporcijama i odnosima graevina s prirodom. Razvio je Modulor, arhitektonski mjerni sustav koji koristi zlatni rez. Njegova Villa Stein, sagraena 1927. godine u Garchesu, primjer je kori邸tenja zlatnog reza u modernoj arhitekturi.
- 35. Zlatni rez u 乙姻温季艶厩庄稼庄 Le Corbusier je smjestio sistem harmonije i proporcija u centar svoje filozofije dizajna, smatrao je da je matematiki poredak svemira blisko vezan uz zlatni rez i Fibonaccijev niz. Villa Stein je sagraevina na izoliranom prostoru, okru転ena vrtovima, s odajama za poslugu uz 転eljezna pristupna vrata. Kockasti dojam je razbijen samo ovalnim oblicima. Upravo to 邸to se Le Corbusier strogo dr転ao odreenih proporcija, a proelja i tlocrti su u zlatnom rezu, vilu ini ugodnu oku.
- 36. Zlatni rez u 乙姻温季艶厩庄稼庄 Prilikom gradnje zgrade Ujedinjenih naroda, sagraene u istonom dijelu Manhattna, tim arhitekata koristio je omjer zlatnog reza na nekoliko razliitih naina. Pogledamo li omjer visine i 邸irine prozora zgrade mo転emo primijetiti da su mnogi prozori dizajnirani u omjeru zlatnog reza. Omjer 邸irine cijele zgrade i visine svakih 10 spratova takoer je jednak zlatnom rezu.
- 37. Zlatni rez u 乙姻温季艶厩庄稼庄 CN toranj u Torontu sadr転i zlatni omjer u svom dizajnu. Visina na kojoj je vidikovac iznosi 342 metra, 邸to u odnosu na visinu cijelog tornja od 533.33 metra ini tono 1.618, tj. zlatni broj.
- 38. Zlatni rez u tehnologiji Najnovija primjena zlatnog reza mo転e se vidjeti u novom dizajnu Twittera. Zlatni rez mo転emo uoiti i u dizajnu mnogih drugih web stranica.
- 39. Zlatni rez u 乙姻温季艶厩庄稼庄 Dimenzije standardne kreditne kartice, osobne iskaznice i raznih drugih kartica iznose 86 mm 54 mm. Omjer stranica tog pravokutnika je 1.6, 邸to znai da je dizajn kreditne i ostalih kartica u omjeru zlatnog reza.
- 40. Zlatni rez
- 41. Prvih 1000 cifara broja phi 1. 61803398874989484820458683436563811772030917980576286213544862270526046281890 244970720720418939113748475408807538689175212663386222353693179318006076672635 244970720720418939113748475408807538689175212663386222353693179318006076672635 443338908659593958290563832266131992829026788067520876689250171169620703222104 443338908659593958290563832266131992829026788067520876689250171169620703222104 321626954862629631361443814975870122034080588795445474924618569536486444924104 321626954862629631361443814975870122034080588795445474924618569536486444924104 432077134494704956584678850987433944221254487706647809158846074998871240076521 432077134494704956584678850987433944221254487706647809158846074998871240076521 705751797883416625624940758906970400028121042762177111777805315317141011704666 705751797883416625624940758906970400028121042762177111777805315317141011704666 599146697987317613560067087480710131795236894275219484353056783002287856997829 599146697987317613560067087480710131795236894275219484353056783002287856997829 778347845878228911097625003026961561700250464338243776486102838312683303724292 778347845878228911097625003026961561700250464338243776486102838312683303724292 675263116533924731671112115881863851331620384005222165791286675294654906811317 675263116533924731671112115881863851331620384005222165791286675294654906811317 159934323597349498509040947621322298101726107059611645629909816290555208524790 159934323597349498509040947621322298101726107059611645629909816290555208524790 352406020172799747175342777592778625619432082750513121815628551222480939471234 352406020172799747175342777592778625619432082750513121815628551222480939471234 145170223735805772786160086883829523045926478780178899219902707769038953219681 145170223735805772786160086883829523045926478780178899219902707769038953219681 9861514378031499741106926088674296226757560523172777520353613936 21076738937645 9861514378031499741106926088674296226757560523172777520353613936