polinomial.ppt
- 1. Polinomial Tujuan pembelajaran : 1. Menjelaskan algoritma pembagian sukubanyak. 2. Menentukan derajat sukubanyak hasil bagi dan sisa pembagian dalam algoritma pembagian. 3. Menentukan hasil bagi dan sisa pembagian sukubanyak oleh bentuk linear atau kuadrat. 4. Menentukan sisa pembagian sukubanyak dengan teorema sisa atau teorema faktor.
- 2. A. Pengertian Polinomial dan Operasinya Polinomial Kolah kamar mandi Andi berbentuk balok. Dengan panjang kolah adalah 2 dm lebih dari lebarnya, Sedangkan tingginya 1 dm lebih dari lebarnya. Jika kolah tersebut diisi air hingga penuh, volume Air yang mampu ditampung adalah 120 liter. Bagaimana model matematikanya? Penyelesaiannya : Misal, x = lebar kolah dan V(x) = volumenya, sehingga Panjang = x + 2 dan tinggi = x + 1 Volume = panjang x lebar x tinggi V(x) = (x + 2)(x)(x + 1) = x3 +3x2 + 2x Disebut polinomial/ sukubanyak Bentuk x3 + 3x2 + 2x
- 3. Bentuk umum : anxn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + ...+ a2 x2 + a1x + a0 Coba : 1. (x 1)(x + 2) = x2 + x - 2 2. x(x 1)(x + 2) = x(x2 + x 2)=x3 + x2 2x 3. x2 (x 1)(x + 2) = x2(x2 + x 2)=x4 + x3 2x2 Operasi-operasi polinomial 1. (3x2 + 4x 1) + (2x4 + x2 5x + 4) 2. (3x2 + 4x + 1) - (4x4 + x2 + x + 3) 3. (7x2 + 4x 8) + (2x4 + x2 5x ) Ex 1. 4. (x2 + 4x) + (x4 + 3x2 5x )
- 4. Ex 2. Diketahui : p(x) = ax2 + bx + 7 q(x) = 3x2 + (a + b)x2 + (a b)x 8 r(x) = 3x3 + 7x2 + 2x 1 Jika r(x) = p(x) + q(x), tentukan nilai a dan b. Ex 3. Diketahui : 3 4 ) 3 )( 4 ( 14 7 x B x A x x x Tentukan nila A dan B
- 5. Tugas 1 15 Juli 2014 1. Tentukan nilai a dan b pada sukubanyak berikut jika berlaku p(x) + q(x)= r(x). a. p(x) =4x5 + ax2 + (a 3)x + 3 q(x) = 2x4 x3 + 2bx2 + (2b + 1)x + 1 r(x) = 4x5 + 2x4 x3 + 5x2 + 3x + 4 b. p(x) =x4 + (a + b)x3 2x2 + x 1 q(x) = 2bx3 + 2x2 + (a 3b) r(x) = x4 + 7x3 + x 6 2. Tentukan nilai a, b, dan c : a. 2ax2 + (a + 2b)x + (c 2a) 3x2 x + 8
- 6. b. ) 1 )( 2 ( 5 8 5 1 2 2 2 2 x x x x x x x c bx x a 3. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian berikut : a.(2x3 + 3x2 + 4x + 1) : (x + 1) b x4 + 2x3 4x2 + 7x 4 : (x 3)
- 7. B. Pembagian Sukubanyak 1. Pembagian Bersusun Ex. 4 .Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian : 1 4 3 2 1 .) 2 3 x x x x a 4 8 3 4 1 2 .) 2 3 x x x x b 2. Pembagian dengan cara Horner a. Pembagi bentuk linear ( x k ) Bentuk : f(x) = ( x k ) H(x) + S Misal : d cx bx ax x f 2 3 ) ( dibagi ( x k ) Maka hasil baginya : Sisa : ) ( ) ( ) ( 2 2 c bk ak x b ak ax x H d ck bk ak S 2 3
- 8. Ex. 5 .Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian : ) 3 ( : ) 15 3 6 ( ) 1 ( : ) 2 10 ( 2 3 3 x x x x x x x b). a). b. Pembagi bentuk linear ( ax + k ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( a b f a x H b ax a b f x H b ax a a b f x H a b x x f Ex. 6 .Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian : ) 1 2 ( : ) 2 7 9 8 4 ( ) 3 2 ( : ) 1 2 ( 2 3 4 2 3 x x x x x x x x b). a).
- 9. c. Pembagi bentuk kuadrat ax2 + bx + c, a 0 Ex. 7 .Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian 2x4 4x3 + 11x2 3x + 9 oleh x2 2x + 3 Sehingga : f(x) = (x2 2x + 3)H(x) + (px + q) C. Teorema Sisa Jika sukubanyak P(x) berderajat n dibagi ( x h ) maka sisa pembagiannya adalah P(h) Bukti : pandang P(x) = ( x h ).H(x) + S Dengan x h = 0 atau x = h, diperoleh : P(h) = 0 . H(h) + S P(h) = 0 + S S = P(h)
- 10. Ex. 7 .Tentukan sisa dari pembagian sukubanyak P(x) = x2 6x 8 dengan x + 1. Ex. 8 .Jika sukubanyak f(x) dibagi ( x 1 ) bersisa 2 dan f(x) dibagi dengan ( x + 2) bersisa 1, tentukan sisanya jika f(x) dibagi ( x 1 )(x + 2 ).
- 11. Tugas 2 kelompok 1. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagiannya : a. (2x4 3x3 + 5x 2) : (x2 x 2 ) b. (3x8 4x4 5 ) : (x2 3x 4 ) 2. Jika P(x) dibagi oleh (x 2) dan (x +3) masing-masing bersisa 5 dan - 10. tentukan sisanya jika P(x) dibagi (x2 + x 6 ). 3. Tentukan nilai p agar 4x2 12x + p habis dibagi 2x 1. 4. Tentukan nilai p dan q jika sukubanyak P(x) = 2x3 px 2 + 4x + q habis dibagi 2x2 + x 1 . 5. Sukubanyak P(x) habis dibagi x + 1 dan dibagi x2 4 bersisa 4x + 16. tentukan sisa pembagian P(x) oleh (x2 4)(x + 1).
- 12. D. Teorema Faktor Jika f(x) adalah sukubanyak; (x k) merupakan faktor dari P(x) jika dan hanya jika P(k) = 0 Artinya: 1. Jika (x k) merupakan faktor, maka nilai P(k) = 0 sebaliknya, 2. jika P(k) = 0 maka (x k) merupakan faktor
- 13. Ex. 9 Tunjukan (x + 1) faktor dari x3 + 4x2 + 2x 1 Jawab: (x + 1) faktornya, berarti P(-1) = 0 P(-1) = (-1)3 + 4(-1)2 + 2(-1) 1 = -1 + 4 2 1 = 0 Jadi, (x + 1) adalah faktornya. Ex. 10 Tentukan faktor-faktor dari P(x) = 2x3 x2 7x + 6 Jawab: Misalkan faktornya (x k), maka nilai k yang mungkin adalah pembagi bulat dari 6, yaitu
- 14. pembagi bulat dari 6 ada 8 yaitu: 賊1, 賊2, 賊3, dan 賊6. Nilai-nilai k itu kita substitusikan ke P(x), misalnya k = 1 diperoleh: P(1) = 2.13 1.12 7.1 + 6 = 2 1 7 + 6 = 0 Oleh karena P(1) = 0, maka (x 1) adalah salah satu faktor dari P(x) = 2x3 x2 -7x + 6 Untuk mencari faktor yang lain, kita tentukan hasil bagi P(x) oleh (x 1) dengan pembagian horner:
- 15. Koefisien sukubanyak P(x) = 2x3 x2 7x + 6 adalah 2 -1 -7 6 k = 1 Hasil baginya: H(x) = 2x2 + x - 6 + 2 2 1 1 -6 -6 0 Koefisien hasil bagi Karena hasil baginya adalah H(x) = 2x2 + x 6 = (2x 3)(x + 2) dengan demikian 2x3 x 7x + 6 = (x 1)(2x2 + x 6) 2x3 x 7x + 6 = (x 1)(2x 3)(x + 2) Jadi faktor-faktornya adalah (x 1), (2x 3 ) dan (x + 2)
- 16. E. Akar-akar Rasional Persamaan Sukubanyak Salah satu penggunaan teorema faktor adalah mencari akar- akar sebuah persamaan sukubanyak, karena ada hubungan antara faktor dengan akar-akar persamaan sukubanyak Jika P(x) adalah sukubanyak; (x k) merupakan faktor dari P(x) jika dan hanya jika k akar dari persamaan P(k) = 0 k disebut akar atau nilai nol dari persamaan sukubanyak: P(x) = 0 Teorema Akar-akar Rasional Jika P(x) =anxn + an-1xn-1 + + a1x + ao dan (x k) merupakan faktor dari P(x) maka n 0 a dari bulat a dari bulat faktor faktor k
- 17. Ex. 11 Tunjukan -3 adalah salah satu akar dari x3 7x + 6. Kemudian tentukan akar-akar yang lain. Jawab: Untuk menunjukan -3 akar dari P(x), cukup kita tunjukan bahwa P(-3) = 0 P(x) = x3 7x + 6. P(-3) = (-3)3 7(-3) + 6 = -27 + 21 + 6 = 0 Oleh karena P(-3) = 0, maka -3 adalah akar dari Persamaan P(x) = x3 7x + 6 = 0
- 18. P(x) = x3 7x + 6 berarti koefisien P(x) adalah 1 0 -7 6 k = -3 Hasil baginya: H(x) = x2 3x + 2 =(x 1)(x 2) + 1 -3 -3 9 2 -6 0 Koefisien hasil bagi Untuk menentukan akar-akar yang lain, kita tentukan terlebih dahulu hasil bagi P(x) = x3 7x + 6 dengan x + 3 dengan pembagian Horner sebagai berikut
- 19. Hasil baginya: H(x) = x2 3x + 2 = (x 1)(x 2) sehingga persamaan sukubanyak tsb dapat ditulis menjadi (x + 3)(x 1)(x 2) = 0. Jadi akar-akar yang lain adalah x = 1 dan x = 2 Ex. 12 Tentukan akar-akar rasional dari persamaan x4 3x2 + 2 = 0. Karena persamaan sukubanyak berderajat 4, maka akar akar rasionalnya paling banyak ada 4 yaitu faktor-faktor bulat dari 2. Faktor-faktor bulat dari 2 adalah 1, -1, 2 dan -2
- 20. Algoritma penentuan akar rasional polinom P(x) = 0 ii). 1. Selidiki apakah jumlah koefisien P(x) = 0 @ Jika ya, maka x = 1 merupakan akar dari P(x) = 0 ? @ Jika tidak, lakukan langkah berikut. 2. Periksa apakah jumlah koefisien variabel berpangkat genap sama dengan jumlah koefisien berpangkat ganjil. @ Jika ya, maka x = -1 merupakan akar dari P(x) = 0 @ Jika tidak, lakukan langkah berikut. 3. Tentukan faktor-faktor dari nilai nutlak a0, lakukan dengan cara coba-coba. Misal : an xn +an-1 xn-1 +....+ a1x + a0 = 0, dengan a0 0 i). Jika sebuah bilangan rasional, Dimana b = faktor bulat dari a0 c = faktor bulat dari an c b
- 21. 1 0 -3 0 2 k = 1 Ternyata P(1) = 0, berarti 1 adalah akar rasionalnya, Selanjutnya kita coba -1. Koefisien hasil bagi: 1,1,-2, dan -2 + 1 1 1 1 -2 -2 0 -2 -2 Dari 4 kemungkinan yang akan menjadi akar-akar rasional persamaan sukubanyak tsb, kita coba nilai 1 Koefisien x4 3x2 + 2 = 0 adalah 1, 0, -3, 0, dan 2
- 22. 1 1 -2 -2 k = -1 Ternyata P(-1) = 0, berarti -1 adalah akar rasionalnya, Sehingga: (x 1)(x + 1)(x2 2) = 0 + 1 -1 0 0 -2 2 0 Untuk : (x2 2) dapat difaktorkan lagi menjadi (x - 2)(x + 2) = 0 Berarti akar yang lain: 2 dan -2, tapi bukan bilangan rasional. Jadi akar-akar rasionalnya hanya ada 2 yaitu 1 dan -1.
- 23. (x 1)(x + 1)(x2 2) = 0 (x2 2) difaktorkan lagi menjadi (x - 2)(x + 2) = 0 Berarti akar yang lain: 2 dan -2, tapi bukan bilangan rasional. Jadi akar-akar rasionalnya hanya ada 2 yaitu 1 dan -1.
- 24. Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Sukubanyak
- 25. Jika akar-akar Persamaan Sukubanyak: ax3 + bx2 + cx + d = 0 adalah x1, x2, dan x3 maka x1 + x2 + x3 = x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = x1.x2.x3 = a b a c a d
- 26. Contoh 1: Jumlah akar-akar persamaan x3 3x2 + 2 = 0 adalah. Jawab: a = 1, b = -3, c = 0, d = 2 x1 + x2 + x3 = = a b 1 3 - = 3
- 27. Contoh 2: Hasilkali akar-akar persamaan 2x3 x2 + 5x 8 = 0 adalah. Jawab: a = 2, b = -1, c = 5, d = -8 x1.x2.x3 = = a d 2 8 - = 4
- 28. Contoh 3: Salah satu akar persamaan x3 + px2 3x 10 = 0 adalah -2 Jumlah akar-akar persamaan tersebut adalah.
- 29. Jawab: -2 adalah akar persamaan x3 + px2 3x - 10 = 0 -2 memenuhi persamaan tsb. sehingga: (-2)3 + p(-2)2 3(-2) - 10 = 0 -8 + 4p + 6 10 = 0
- 30. -8 + 4p + 6 10 = 0 4p 12 = 0 4p = 12 p = 3 Persamaan tersebut: x3 + 3x2 3x 10 = 0 Jumlah akar-akarnya: x1 + x2 + x3 = = a b 1 3 = -3
- 31. Contoh 4: Akar-akar persamaan x3 4x2 + x 4 = 0 adalah x1, x2, dan x3. Nilai x1 2 + x2 2 + x3 2 =.
- 32. Jawab: x1 2 + x2 2 + x3 2 = (x1 + x2 + x3)2 - 2(x1x2 + x1x3 + x2x3) x3 4x2 + x 4 = 0 x1 + x2 + x3 = -(-4)/1 = 4 x1x2 + x1x3 + x2x3 = 1/1 = 1
- 33. x1 + x2 + x3 = 4 x1x2 + x1x3 + x2x3 = 1 Jadi: x1 2 + x2 2 + x3 2 = (x1 + x2 + x3)2 - 2(x1x2 + x1x3 + x2x3) = 42 2.1 = 16 2 = 14