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- 1. 大家谈数学（第３篇） 臺北市立建國高級中學 石厚高老師（退休） Ｍathematica 是一套數學軟體用以解決數學問題，風行了這麼多年，學子應該有所 認識。逢甲大學洪維恩老弟是這一行專家，我有這方面問題就請教他，稱老弟顯得親切不 是我托大。 在１９８１年麥克阿瑟基金會頒給物理奇才史提芬吳夫瑞（Stephen Wolfram） 一項 人人艷羨的”天才”獎時，大家才知道他們作的非比尋常。那時吳夫瑞是 Caltech 的研 究助理，在量子鉻合金動力學領域工作，當時是得獎人中最年青的。 更讓基金會工作人員訝異的是他放棄了學術進入工商界。吳夫瑞那時三十七歲，他創 作的數學軟體 Ｍathematica 是應用最廣的單項數學程式，用以作技術與科學計算。這種 軟體是電腦應用程式也是種電腦語言更是符號機器，有著一百萬以上的使用者，從工程師 、物理學家、經濟學家、紡織品設計師以至電腦繪圖藝術家。 在一次專訪裡記者與吳對談。在你那個時代是個頂尖的年青物理學者，為甚麼會淡泊 的追逐高雅的研究生涯。是甚麼原因會驅使你發展 Mathematica ？ 是為了自己的需要，要用起來十分便利，結果我需要的變成了一百多萬人的利器。很 早我就在電腦上作實驗，可是我沒有順手的工具。我寫了很多小程式支援我在電腦上的實 驗。這一招是很笨的，我花了很多時間把這些工具拼湊在一塊兒，他們可都是些很普通的 工具，而我把他們拼湊在一起是為了作些非常特定的電腦實驗。 我想可能有更好的方法。在我們發展 Mathematica 時，我可能是最苛刻的測試者， 因為我總是要它能為我的科學工作所專用。我常找出最奇特的情況來。 在他設計 Mathematica 時，使用手冊（user manual） 居然寫了一千三百九十五頁 又是為了甚麼？他解說如果不講清楚，你設計時的想法使用人不能理解，就無法順利作業 了。就會被張系國嘲笑「使用手冊就和房事一樣，好的手冊讓你仙仙欲死，壞的手冊總算 聊勝於無」。 在設計大的系統（system）如 Mathematica 時，我想最要講求的心智需求是從無到 有，用中國話來說就是一生二、二生三、三生萬物，去建立某種語言與結構，讓很多人都 能用又愛用。
- 2. 如果把它設計成傳統方式的應用程式，大家使用起來就不實用了。成了個紊亂無條理 的龐然大物，沒有某種拱形設計原理就不能把他們密切配合。 談到甚麼對 Mathematica 最重要，是技術上的簡潔俐落還是它的經濟利益？他說在 高科技工業世界裡，對很多人來說錢是重要的。把你的公司擴大一些、大眾化、賣掉、退 休，還有甚麼？我的公司是我自己的，還要持續的這樣作，因為我真正有興趣的是長程的 智慧成就，它就是我們產品的象徵。 只要我在，Wolfram 說，Mathematica 系統與語言是合而為一的。在智識界它是個永 恒的利器，這一點對我來說最重要。 我用 Mathematica 解決了１４００多年來數學界的錯誤，原來大家都以為祖沖之計 算圓周率是由圓內接正６邊形作起，再作１２、２４、４８．．邊形，其實不然，他是由 正４邊形作起，再作８、１６、３２．．邊形，而求得圓周率正確至小數後７位，所以很 有成就感。請參閱民國９０年３月《數學傳播 ９７》拙著＜祖沖之計算圓周率之謎＞。 文學裡有很多談數學的句子，論語中與數字有關的句子約五十多句，其中與３有關的 ２１條，孔老夫子為何偏愛３很是耐人尋味，我把它寫在下面供讀者參考： 未成一簣、一匡天下、一言而可以興邦、吾道一以貫之、舉一隅不以三隅反、於斯二 者何先、二三子以我為隱乎、子曰詩三百、一言以蔽之、三年無改於父之道、三月不知肉 味、三人行必有我師焉、比及三年、三年有成、三日不朝、於斯三者何先、古者民有三疾 、三年學、益者三樂損者三樂、三年之喪、待於君子有三愆、三分天下有其二、三軍可奪 帥也、三省吾身、君子有三戒、君子有三變、益者三友損者三友、君子道者三、君子有三 畏、四十五十而無聞焉、子絕四、子以四教、屏四惡、能行五者於天下、尊五美、冠者五 六人童子六七人、五十以學易、六尺之孤、六言六蔽、善人教民七年、八侑舞於庭、君子 有九畏、子曰吾十有五而志於學；三十而立；四十而不惑；五十而知天命、六十而耳順、 七十而從心所欲、十世可知也、為邦百年、千乘之國、百里之命。 這些數據是在論語裡找，找到數字就記下來，再用 dBASEIII 建檔，把它排序（sort? 之後，再放在這裡。 讀了這些文句可以很容易的學會一、二、三、四．．．十、百、千，當然最好的還是 「一去二三里，沿村四五家；亭台六七座，八九十枝花」。其中「冠者五六人，童子六七 人」更是教小學生學會「先乘除後加減」不可或缺的的教材。讀者納悶，這十個字與教小 學生「先乘除後加減」又有甚麼關係？不要急聽我慢慢道來。 數學上有很多的定理證明很冗長，所以數學家把它分成幾段，預備定理一、預備定理
- 3. 二．．．、最後才把重點一言以蔽之作總結，教師好教學子易學。預備定理英文叫作 lemma 。剛來台灣，學校寒、暑假常演平劇，都是在操場搭個台子，大家在教室搬個椅子坐；主 角忙著打扮畫鬍子．．鑼鼓響起、一響又響，小孩子大吼大叫「怎麼還不出來呀！」小丑 就出來講笑話拖時間作開場白，有點像 lemma。有個笑話有趣又有意義。兩個小丑互相調 侃，孔老夫子有多少學生「弟子三千人」；三千人裡有多少資賦優異的？「賢人七十二」 。七十二人裡有幾個娶了媳婦兒的幾個沒娶？我不知道。你不讀書又不用功，論語上就有 。論語上那裡有？論語上不是說「冠者五六人、童子六七人」嗎，冠者就是娶了媳婦兒的 ，五六不是三十嗎，「冠者五六人」是說娶了媳婦兒的有三十個；童子就是沒娶媳婦兒的 ，六七不是四十二嗎？「童子六七人」是說沒娶媳婦兒的有四十二個，三十加四十二不是 七十二嗎？真的是胡扯，不過用來說明「先乘除後加減」真的是不作第二人想，它是國文 老師與數學老師的共同補充教材。 莊子齊物論「狙公賦芧曰，朝三而暮四，眾狙皆怒；曰然則朝四而暮三，眾狙皆悅。 」給猴子吃芭樂早晨三個晚上四顆猴子不高興，早晨四個晚上三顆猴子很高興。這是因為 猴子不懂三加四等於四加三的道理，給小學生講三加四等於四加三時最好的補充教材。 唐詩：一枝濃艷露凝香、一夜征人盡望鄉、二陵風雨自東來、三月三日天氣新、三千 寵愛在一身、四弦一聲如裂帛、五陵少年爭纏頭、六軍不發無奈何、七月七日長生殿、八 尺龍鬚方錦裖、九重城闕煙塵生、九華帳裡夢魂驚、十年一覺揚州夢、百年多是幾多時、 千呼萬喚始出來、千乘萬騎西南行、萬古雲霄一羽毛。 也是學會一、二、三、四．．十、百、千的好詩句。有次上課，上一節國文老師把「 千呼萬喚始出來」寫在黑板上，被學生改成「千呼萬喚屎出來」 ，實在是匪夷所思。 如果「千呼萬喚屎出不來」怎麼辦呢？去醫院問醫師要「軟便劑」就成了，現代醫學 真是造福人類。所以「千呼萬喚屎出來」改得很有道理。 三、四年前張系國去大陸回來說大陸女孩找對象有十大條件，它們是： 一表人才、二老不在、三轉一響、四季衣裳、五櫃齊全、六親不認、七十塊錢、八面 玲瓏、酒（九）煙不沾、十分聽話。 這麼好的男人到那裡去找，就算是找到了嫁給他，他會「十分聽話」嗎？這麼好條件 的男人找不到，沒有「現貨供應」要訂作。現在又增加了第十一項要「海外關係」，第七 項不行了，要「一百塊錢」，因為人民幣升值了。各位讀者，提出這十大要件的女孩不能 娶，因為既要「六親不認」又如何能「八面玲瓏」呢，她們腦筋不清楚。試擬男士結婚守 則：一齊大非偶，不娶腦筋不清楚的女孩，三不娶問題家庭裡的成員。
- 4. 文學裡有很多數學，國文與數學有很多相通之處，所以值得探討。不要以為前者是文 學後者是科學，前者是感性後者是理性。其實不然，二者大有關連。 男女結為夫婦，當然是本科系嫁娶本科系的最多，其次呢？就是中文系與數學系結為 連理。有統計數據嗎，當然沒有全憑感覺與看到的中文先生數學夫人，或數學先生中文夫 人。為甚麼？因為二者性相近。 國文的作文與數學的證明，都是要講道理；作文要起、承、轉、合，證明要敘述、理 由、定義、定理．．雖然詞彙不同，其理一也。 各大學甄選高中生都是要挑高中最頂尖的高手，例如物理系要挑物理最好的高中生， 化學系．．也都一樣；只有兩個系不須要挑高手，只要他們有興趣，低手也可以讓他們入 學，那就是中文系與數學系。二者都是浩如煙海，窮畢生之力也只能略知一二。二者都須 要執著，所以大學讀的一塌糊塗，畢業十數年後，居然在他學的那一行裡表現不凡，甚麼 系？中文系數學系是也。 讀者不明白，既然有興趣大學為甚麼又讀的一塌糊塗？說來有趣，中文系的學生有的 作文不行，不擅長文字的運用，當然教授不喜歡成績不好；又有的老傢伙要學生背書，學 生雅愛文學可是不喜歡背老古董，所以成績不好。數學系也一樣，他有興趣，可是有些東 西十分抽象他不懂，所以讀不好。畢業以後，他們執著，今天看一點明天看一點，日積月 累，作學問是一輩子的事，所以他們就脫穎而出表現不凡了。數學更具特色，一弄懂了就 一日千里進步神速。 我見過一個女生寫的「我第一志願考中文系，我對中文系非常失望，為甚麼不講紅樓 夢？一大堆的老子、莊子．．」；中文系一門課「小說選讀」如果教師不選紅樓夢是很自 然的，中文系不讀老子、莊子．．那才是不可思議。 中文與數學都是浩如煙海，可是略有不同。如果把中文最重要的書集合起來，可以放 一百間教室，數學可以放一間教室。讀者問數學的浩如煙海比起中文來差多了？非也非也 ，一頁數學可能要看很久還不懂，雖然只放了一間教室，也是浩如煙海。 各科老師裡國文老師的程度差距最大，當然是指專業素養，而不談表達能力。道理單 純，有的用功有的不用功，所以差距愈來愈大，數學科英文科也有這種現象，其它科則無 。例如美術老師甲程度高，美術老師乙程度差，把他們的作品拿來我瞧瞧，我看差不多， 別人看也說差不多。 一般說來中文系是大家認為最容易讀的系，其實不然，中文系有門課音韻學讓人感冒 ，很多人讀不下來轉系者有之，退學者有之。數學系被認為是難讀的系，也有門讓人頭痛
- 5. 的課邏輯，所以教育部把邏輯改成選修，真的是功德無量。大家奇怪，邏輯推理不是數學 系的專長嗎？非也非也，我喜歡邏輯推理，我可不喜歡邏輯這門課。喜歡音樂的人多，喜 歡學音樂的人少，道理是一樣的。 筆者中學六年與大一共七年裡，感受是國文老師最受到同學的歡迎與肯定，他們本身 專業知識最豐富最敬業，相形之下數學老師就差多了。八位國文老師有七位稱職，而數學 老師七位裡只有初二與初三的二位老師讓人懷念。 我們常聽說某某人腦筋不清楚，這一點筆者體會深刻，那是數學系與中文系的比較多 。不過二者性質不同，中文系如果腦筋不清楚，就和智能不足一樣，而數學系腦筋不清楚 另具特色，他們的數學很清楚。再作比較，數學系和中文系腦筋不清楚的人數哪個系比較 多，當然是中文系。學數學的如果百人裡有一人腦筋不清楚，那麼中文系百人裡至少有三 、四個腦筋不清楚。因為國文不懂可以讀，數學不懂不能讀。例如「春眠不覺曉．．」我 懂我可以讀可以背，「并刀如水，吳鹽勝雪．．」我不懂我也可以讀可以背。 數學系裡挑中文好的很容易，其它各系也一樣；而中文系裡也能挑出幾個數學相當不 錯很喜歡數學的。他、她們喜歡數學為甚麼不考數學系？因為數學系是自然組要考物理、 化學，理化沒有競爭力的同學只好考文組了。文組學生用功的國、英、史地等都差不多， 數學好的就名列前茅進了國立大學了。 把國文老師和數學老師作個比較，前者大男人主義而後者狂傲。中副「玫瑰花嫁」很 有趣，作者說發過誓絕對不嫁本省人或學國文的。沒有講理由，想必是本省人大男人主義 而國文老師不但要「為天地立心，為生民立命，為往聖繼絕學，為萬世開太平」更要「究 天人之際，通古今之變，成一家之言」使命感這麼重，讓人受不了；又說要是本省人又是 學國文的當然絕對不嫁。可是她一個不小心就嫁了這麼個人，所以她又說我發誓絕不再發 誓。美國人沒有耐性，所以禱告：上帝給我耐性，我現在就要，這篇文章有異曲同工之妙 。 數學老師狂傲是技術人員的狂傲，「你看，我就知道這題你不會作」 。筆者大三時， 教微分幾何的老師有次大吼「你們不要以為我教得不好哎！在台灣只有兩個人會教微分幾 何，有一個已經死了，那一個沒有死的就是我！」 ，把狂傲發揮到極致。 諾貝爾給獎金是要給「立即」有益於人類者，數學不是「立即」有益於人類，所以不 與焉。數學系的人不爽，所以造謠「諾貝爾的太太被一位數學家強暴了，所以不給獎金」 ，實在讓人讚嘆。