�ݺ�ߣ

X. MANUEL BESTEIRO ALONSO ECUACIÓNS DE 2º GRAO

CONCEPTO DE ECUACIÓN DE 2º GRAO Unha ecuación é de segundo grao cando despois de reducir termos nos queda un polinomio de segundo grao completo ou incompleto da forma: ax 2 + bx + c = 0 a ≠ 0 Ecuación de 2º grao completa: Ten tódolos coeficientes distintos de cero Ex: x 2 -8x+15=0 Resolución : aplicando a fórmula xeral

CONCEPTO DE ECUACIÓN DE 2º GRAO Número de solucións dunha ecuación de 2º grao O número de solucións dunha ecuación de segundo grao depende do radicando b 2 – 4ac , chamado discriminante Se b 2 -4ac >0 a ecuación ten dúas solucións distintas Se b 2 -4ac <0 a ecuación non ten solución Se b 2 -4ac = 0 a ecuación ten dúas solución iguais ( solución dobre)

EXEMPLO DE ECUACIÓN DE 2º GRAO COMPLETA x 2 +2x -3 = 0 x = 1 2 -3 x = x = =>x= =>x= => x 1 =1 x 2 =-3 c b a

Exemplo de ecuación de segundo grao completa x 2 -3x -4 = 0 1 -3 -4 x = x = =>x= =>x= => x 1 =4 x 2 =-1 ¡¡¡Positivo!!! ¡¡Parénteses!! x = c b a

EXEMPLO DE ECUACIÓN DE SEGUNDO GRAO COMPLETA x 2 +5x +8 = 0 x = 1 5 8 x = x = =>x= A ecuación non ten solución ¡¡¡Negativo!!! ¡¡¡Raíz cadrada dun número negativo!!! Ejemplo: c b a

CONCEPTO DE ECUACIÓN DE 2º GRAO Ecuación de 2º grao incompleta: Unha ecuación de 2º grao é incompleta cando o coeficiente do termo de 1º grao (b) ou o termo independente (c) é cero Ex: 3x 2 -6x = 0 c = 0 4x 2 -9 = 0 b = 0 Calquera ecuación de segundo grao pode resolverse aplicando a fórmula xeral, pero no caso das incompletas resulta máis rápido resolvelas da forma que veremos a continuación

CONCEPTO DE ECUACIÓN DE 2º GRAO Resolución dunha ecuación de 2º grao incompleta do tipo ax 2 +c = 0: Resólvense despexando directamente a x Ex:

CONCEPTO DE ECUACIÓN DE 2º GRAO Resolución dunha ecuación de 2º grao incompleta do tipo ax 2 +bx = 0: Resólvense factorizando ( sacando factor común) e igualando a cero cada un dos factores Ex:

CONCEPTO DE ECUACIÓN DE 2º GRAO Dedución da fórmula xeral para a resolución das ecuacións de 2º grao ax 2 + bx + c =0 Pasamos a c para o 2º membro ax 2 + bx = -c Multiplicamos por 4a os dous membros 4a 2 x 2 + 4abx = -4ac Sumamos b 2 aos dous membros 4a 2 x 2 + 4abx + b 2 = b 2 -4ac Factorizamos o 1º membro( cadrado dunha suma) (2ax + b) 2 = b 2 -4ac

CONCEPTO DE ECUACIÓN DE 2º GRAO Dedución da fórmula xeral para a resolución das ecuacións de 2º grao ax 2 + bx + c =0 Facemos a raíz cadrada dos dous membros Despexamos a x

Resolución de ecuacións irracionais Chámanse ecuacións irracionais aquelas nas que algunha das incógnitas aparece dentro dun radical EX : Deixamos a raíz soa nun membro Elevamos os dous membros ao cadrado “ Se quedara algunha raíz sen eliminar deixámola soa nun membro e repetimos o proceso”

Resolución de ecuacións irracionais Reducimos termos semellantes e resolvemos a ecuación resultante Comprobar se as solucións calculadas cumplen a igualdade da ecuación proposta

Exemplo 1) Identifica: Prezo xelado : Prezo cómic: Prezo videoxogo 2) Plantexa: 3) Resolve: 4) Comproba: 11+2,2+1,1=14,3 5) Expresa: O videoxogo custaba 11€, o cómic 2,20€, e o xelado 1,10€ 2x 5·2 x = 10x x Por un videoxogo, un cómic e un xelado, Andrés pagou 14,30 €. O videoxogo é cinco veces máis caro co cómic, e, este costa o dobre do xelado. ¿Cal era o prezo de cada artículo?

Exercicio O número 365 ten a característica de ser a suma dos cadrados de tres números naturais consecutivos. Indica cales son. Trátase dunha ecuación alxébrica de segundo grao x 2 + (x+1) 2 + (x+2) 2 = 365 x 2 + x 2 + 2x + 1 + x 2 + 4x + 4 = 365 3 x 2 + 6x -360 = 0 1º nº = x 2º nº = x+1 3º nº = x+2

3 x 2 + 6x -360 = 0 Simplificamos (Utilizamos unha ecuación equivalente) x 2 + 2x – 120 = 0 Completando un trinomio cadrado perfecto x 2 + 2x + 1 - 1 – 120 = 0 ( x + 1 ) 2 – 121 = 0 (x + 1 ) 2 = 121 x + 1 =  11 x 1 = 10 ; x 2 = -12 Os números son 10,11 e12

Exercicio Queremos confeccionar unha caixa de cartón sen tapa cunha folla de cartón cadrada. A caixa debe ter 3 cm de altura e un volume de 48 cm 3 . ¿Qué medidas debe ter, como mínimo, a folla de cartón? 3 ( x - 6 ) 2 = 48

Relacións de Cardano Forma canónica dunha ecuación de 2º grao x 2 -Sx + p =0 S= x 1 +x 2 = -b/a P= x 1 · x 2 = c/a x 2 +b/ax + c/a =0 ax 2 +bx + c =0 Dividimos tódolos termos por a Forma canónica

Exemplo: Comproba que 1 e 3 son as solucións da ecuación: x 2 -4x +3 = 0 1+3 = -(-4)/1 =>4=4 correcto 1· 3 = 3/1 =>3=3 correcto Exemplo: Escribe unha ecuación de segundo grao que teña de solucións 3 e 8 Se a=1=> 3+8 = -b b=-11 3· 8= c => => c =24 => x 2 -11x+24 = 0

ECUACIÓNS BICADRADAS Unha ecuación bicadrada é unha ecuación de 4º grao sen termos de grao impar: ax 4 + bx 2 + c = 0 a ≠ 0 Resolución dunha ecuación bicadrada: Facemos un cambio de variable e transformámola nunha ecuación de 2º grao x 2 = z x 4 = (x 2 ) 2 = z 2 az 2 + bz + c = 0

ECUACIÓNS BICADRADAS Resolución dunha ecuación bicadrada: x 2 = z az 2 + bz + c = 0 Despois de calcular os Valores de “z”, temos que calcular para cada z os valores de x x 2 = z

ECUACIÓNS BICADRADAS Exemplo: x 4 -13x 2 +36 = 0 1º Cambio de variable: x 2 = z z 2 -13z + 36 = 0 A partires dos valores de z calculamos os valores de x Se z = 9 Se z = 4

ECUACIÓNS TRINÓMICAS Unha ecuación trinómica é unha ecuación que pode reducirse á forma: ax 2m + bx m + c = 0 a ≠ 0 Resolución dunha ecuación trinómica: Facemos un cambio de variable e transformámola nunha ecuación de 2º grao x m = z x 2m =(x m ) 2 = z 2 az 2 + bz + c = 0

ECUACIÓNS TRINÓMICAS Resolución dunha ecuación trinómica: Despois de calcular os Valores de “z”, temos que calcualr para cada z os valores de x x m = z

ECUACIÓNS TRINÓMICAS Exemplo: x 6 - 7x 3 -8=0 Facemos un cambio de variable e transformámola nunha ecuación de 2º grao x 3 = z x 6 =(x 3 ) 2 = z 2 z 2 -7z -8 = 0

ECUACIÓNS TRINÓMICAS A partires dos valores de z calculamos os valores de x Se z = 8 Se z = -1

ECUACIÓNS EXPONENCIAIS X. MANUEL BESTEIRO ALONSO

Son ecuacións exponenciais aquelas que teñen a incógnita no expoñente Exemplos de ecuacións exponenciais : 3 4x-7 =3 9x A 5x-6 : A 3x-1 = 1

Algunhas das propiedades das potencias que debes ter presente : é dicir: 2x - 6 – 9x + 10 -7x + 4 Multiplicación de potencias da mesma base a n •a m = a n + m Exemplo: 3 5x-2 •3 9 – 6x = 3 7-x División de potencias da mesma base a n : a m = a n - m Exemplo: 5 2x – 6 : 5 9x – 10 = 5 -7x + 4 Exemplo: (7 2 ) 3x-7 = 7 6x – 14 Potencia dunha potencia (a n ) m = a nm

Outras propiedades importantes: Por lo tanto 1=3 0 1=7 0 1=8 0 etc Toda potencia de base A distinta de cero e expoñente 0 é igual a 1 A 0 = 1 Tamén é importante saber que Exemplos

Principio que debemos ter presente: Nunha igualdade como a seguinte: A x = A y Se dúas potencias da mesma base son iguais X = Y Obviamente os seus exponentes serán iguais

ECUACIÓNS EXPOÑENCIAIS MONÓMICAS Son aquelas que se poden expresar como igualdade de dúas expresións monómicas Ex: 1. Factorizamos para expresar os dous membros como potencias da mesma base. 2.Igualamos os expoñentes respectivos 7x-11 = 3 3.Resolvemos a ecuación resultante 7x = 14 x = 2 5 7x-11 = 5 3

ECUACIÓNS EXPOÑENCIAIS MONÓMICAS Cando non conseguimos a mesma base nos dous membros Collemos logaritmos nos dous membros 2.Aplicamos a propiedade de logaritmo dunha potencia 3.Despexamos a x

ECUACIÓNS EXPOÑENCIAIS MONÓMICAS Cando non conseguimos a mesma base nos dous membros 3.Despexamos a x 4.- Recurrimos á calculadora para calcular os logaritmos

ECUACIÓNS EXPOÑENCIAIS TRINÓMICAS Son aquelas que mediante un cambio de variable se poden reducir a ecuacións de 2º grao Ex: 1. 2. 3.Facemos un cambio de variable : z= 2 x 4.Resolvemos a ecuación de 2º grao 2 2x+1 -3·2 x +1 = 0 2·2 2x -3·2 x +1 = 0 2·(2 x ) 2 -3·2 x +1 = 0 2·(z) 2 -3·z +1 = 0

Ex: 5.Para cada valor de z calculamos o valor de x : z= 2 x Se z= ½ 2 x = ½ 2 x = 2 -1 x = -1 Se z = 1 2 x = 1 2 x = 2 0 x= 0 ECUACIÓNS EXPOÑENCIAIS TRINÓMICAS

ECUACIÓNS LOGARÍTMICAS Son aquelas nas que a incógnita está nunha expresión afectada por un logaritmo Ex: Log x + log 50 = 3 Resólvense tendo en conta as propiedades dos logaritmos 1.Aplicando a propiedade de logaritmo dun produto Log x + log 50 = 3 Log(x·50) = 3 4.Aplicamos a definición de logaritmo. Log(x·50) = 3 10 3 = x·50

�ݺ�ߣ

Ec 2º grao, exponenciais e logarítmicasd

Convert to study guideBETA

More Related Content

Ec 2º grao, exponenciais e logarítmicasd