2. EXPRESIÓNS ALXEBRAICAS EXPRESIÓN ALXEBRAICA: Combinación de números e letras relacionadas entre si mediante os signos das operacións aritméticas: suma, resta,multiplicación, división e potenciación. Exemplo: 5x 2 ty + 2xy O signo (x) non se pon entre letras ou entre números e letras O factor 1 non se escribe O expoñente 1 non se escribe O signo de multiplicar non se escribe diante do paréntese
3. EXPRESIÓNS ALXEBRAICAS TERMOS DUNHA EXPRESIÓN ALXEBRAICA : son cada un dos sumandos COEFICIENTE DUN TERMO : é a súa perte numérica TERMOS SEMELLANTES : son aqueles que teñen as mesmas letras elevadas aos mesmos exponentes Exemplo: 3a 2 b - 2a 2 b + a 2 b Coeficientes 1º termo 2º termo 3º termo
4. EXPRESIÓNS ALXEBRAICAS VALOR NUMÉRICO DUNHA EXPRESIÓN ALXEBRAICA: É o número obtido ao substituír as letras polos números indicados e efectuar as opercións correspondentes. Exemplo: calcula o valor numérico da seguinte expresión alxebraica para X = 2 e y = 3
6. EXPRESIÓNS ALXEBRAICAS SUMA E RESTA DE EXPRESIÓN ALXEBRAICAS: Sumamos ou restamos termos semellantes 1.- Quitamos parénteses aplicando as regras dos signos 2.- Xuntamos termos semellantes
7. MONOMIOS Un MONOMIO é unha expresión alxebraica na que as únicas operacións entre números e letras son a multiplicación e a potenciación de exponente natural.(Non pode haber sumas e restas) Ex: Non é un monomio Parte literal Coeficiente Grao: 2+1 =3
8. OPERACIÓNS CON MONOMIOS SUMA E RESTA DE MONOMIOS SEMELLANTES Súmanse ou réstanse os coeficientes e ponse a mesma parte literal. Ex: Ex:
9. OPERACIÓNS CON MONOMIOS PRODUTO DUN NÚMERO POR UN MONOMIO Multiplicamos o número polo coeficiente e poñemos a mesma parte literal. Ex:
10. OPERACIÓNS CON MONOMIOS PRODUTO DE MONOMIOS Multiplicamos por un lado os coeficientes e por outro as partes literais
11. OPERACIÓNS CON MONOMIOS DIVISIÓN DE MONOMIOS Dividimos por un lado os coeficientes e por outro as partes literais
12. OPERACIÓNS CON MONOMIOS POTENCIA DUN MONOMIO Elevamos o coeficiente e a parte literal a esa potencia
13. POLINOMIOS Un polinomio é unha expresión alxebraica formada pola suma ou diferenza de varios monomios non semellantes p(x)=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +…+a n x n a 0, a 1,.. a n son nº reais e n un nº natural ou 0 O grao de P(x) é o maior dos expoñentes Ao termo de grao cero denomímase termo independente Dous polinomios p e q son idénticos se
15. POLINOMIOS POLINOMIO ORDENADO E REDUCIDO Ordenar un polinomio consiste en ordenar os seus monomios segundo o seu grao en orde crecente Reducir un polinomio consiste en xuntar monomios semellantes POLINOMIOS COMPLETOS E INCOMPLETOS Polinomio completo é aquel que ten termos de cada un dos graos menores ao grao do polinomio Polinomio incompleto : fáltalle algún dos termos
16. POLINOMIOS Polinomio nulo 0 carece de grao. Tódolos seus coeficientes valen cero e verifícase que Dous polinomios p e q son idénticos cando teñen o mesmo grao e coinciden os seus coeficientes, esto é, p-q =0. A veces fálase do polinomio p(x), entendendo que se refire ao polinomio p
17. OPERACIÓNS CON POLINOMIOS SUMA DE POLINOMIOS: A suma dos polinomios p e q é o polinomio r de modo que Para sumar polinomios , sumamos os monomios semellantes de cada un deles. O grao do polinomio suma r é o maior dos graos de p e de q.
18. OPERACIÓNS CON POLINOMIOS SUMA DE POLINOMIOS: Ordenamos e completamos (ou deixamos oco) os dous polinomios Escribimos un polinomio debaixo do outro de modo que os monomios semellantes estean na mesma columna Sumamos os monomios semellantes 5x 4 +10x 3 +0x 2 + x -1 5x 3 +3x 2 +2x+4 5x 4 +15x 3 +3x 2 +3x +3
20. OPERACIONES CON POLINOMIOS PRODUTO DUN MONOMIO POR UN POLINOMIO Para multiplicar un monomio por un polinomio, multiplicamos o monomio por cada termo do polinomio Ex: P(x) = 2x 3 -7x 2 +3x+5 ; M(x) = 3x 3 P(x) · M(x) = 2x 3 -7x 2 +3x + 5 3x 3 +9x 4 -21x 5 +15x 3 6x 6
21. OPERACIONES CON POLINOMIOS PRODUTO DE DOUS POLINOMIOS Ordenamos e completamos o primeiro polinomio Ordenamos o segundo polinomio Multiplicamos cada termo do segundo polos termos do primeiro facendo coincidir na mesma columna os termos semellantes
23. OPERACIÓNS CON POLINOMIOS DIVISIÓN DE POLINOMIOS Ordenamos e completamos o dividendo Ordenamos o divisor Determinamos o primeiro termo do cociente dividindo o termo de maior grao do dividendo entre o termo de maior grao do divisor Multiplicamos o 1º termo do cociente por cada un dos termos do divisor e o oposto deste resultado sumámosllo ao dividendo Repetimos o proceso ata que o polinomio do resto teña menor grao ca o divisor
24. En xeral a división dun polinomio f dividendo por un polinomio g divisor orixina un polinomio cociente q e un polinomio resto r, de modo que O grao do cociente é igual a diferenza dos graos do dividendo e do divisor O grao de r é menor ca o grao de g ou ben r é nulo. Nota: f/g é un polinomio si e só si r = 0. DIVISIÓN DE POLINOMIOS
26. REGRA DE RUFFINI Permite dividir un polinomio P(x) entre un binomio do tipo (x-a). Obtéñense os coeficientes do cociente e do resto da división Pasos: Ordenamos P(x) en orde decrecente respecto á letra ordenatriz Escribimos os coeficientes de P(x) na orde na que se encontran en P(x) unha vez ordenado Trazamos unha raia horizontal debaixo dos coeficientes e outra vertical á esquerda Na esquina esquerda escribimos o valor de “a” Seguimos os pasos que se detallan na seguinte diapositiva DIVISIÓN DE POLINOMIOS
28. DIVISIÓN POR RUFFINI Exemplo : División de p(x)=5x 4 +10x 3 +x-1 por (x+2). Aquí a=-2. O cociente da división de p(x) por (x+2) é 5x 3 +1 ,e, o resto -3, precisamente o valor de p(-2). p(x)= (5x 3 +1 )(x+2)-3
29. TEOREMA DO RESTO O Valor numérico dun polinomio P(x) para x=a coincide co resto da división P(x) : (x-a). DIVISIÓN DE POLINOMIOS P(a) = Resto APLICACIÓNS DO TEOREMA DO RESTO: Calcular o resto sen facer a división Calcular o valor dalgún termo decoñecido para que o polinomio sexa divisible por un binomio do tipo(x-a) ; P(a) =0 Calcular o valor dalgún termo decoñecido para obter un determinado resto
30. FACTORIZAR UN POLINOMIO Factorizar un polinomio consiste en decompoñelo en produtos de polinomios do menor grao posíble MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN: Extracción de factor común Dobre extracción de factor común Cadrado da suma Cadrado da resta Diferenza de cadrados Ecuación de 2º grao Ruffini para polinomios de grao superior a 2 DECOMPOSICIÓN FACTORIAL DUN POLINOMIO
31. Extracción de factor común É o método que debe preceder a calquera outro Factorizamos os coeficientes que non sexan nº primos Extráense os factores comúns a tódolos termos que teñan menor espoñente Ex: DECOMPOSICIÓN FACTORIAL DUN POLINOMIO 2ax 2 - 4a 2 x+12ax= 2ax 2 -2 2 a 2 x+2 2 ·3ax= Factorizamos coeficientes 2ax(x -2a+2·3)= 2ax(x -2a+6) Extraemos os factores comúns de menor expoñente
32. Dobre extracción de factor común Dase cando hai uns termos cun factor común e outros termos con outro factor común distinto Despois de extraer os factores comúns pode quedar un factor común a tódolos termos que extraeremos nun segundo paso DECOMPOSICIÓN FACTORIAL DUN POLINOMIO 6ab - 9b 2 + 2ax – 3bx = 2·3ab – 3 2 b 2 +2ax - 3bx= Factorizamos coeficientes 3b(2a - 3b) + x(2a - 3b) = Extraemos os factores comúns de menor expoñente (2a - 3b)· (3b + x) = Extraemos o paréntese como factor común
33. Cadrado dunha suma Dase cando hai tres termos co mesmo signo , e no que hai dos cadrados perfectos e o terceiro termo é o dobre da primeira base pola segunda base dos cadrados anteriores DECOMPOSICIÓN FACTORIAL DUN POLINOMIO X 2 + 4x + 4 = Factorizamos coeficientes Observamos dous cadrados X 2 , 2 2 e que o terceiro termo é o dobre de x por 2 X 2 + 2·2x + 2 2 = (X+2) 2 Basease en aplicar a inversa do cadrado da suma (x+y) 2 =x 2 +2xy+y 2
34. Cadrado dunha resta Dase cando hai tres termos , dous cadrados perfectos co mesmo signo e o terceiro termo é o dobre da primeira base pola segunda base dos cadrados anteriores DECOMPOSICIÓN FACTORIAL DUN POLINOMIO X 2 - 4x + 4 = Factorizamos coeficientes Observamos dous cadrados X 2 , 2 2 e que o terceiro termo é o dobre de x por 2 X 2 - 2·2x + 2 2 = (X-2) 2 Basease en aplicar a inversa do cadrado da resta (x-y) 2 =x 2 - 2xy+y 2
35. Diferenza decadrados Dase cando hai dous termos con distinto signo e que poden expresarse como cadrados perfectos DECOMPOSICIÓN FACTORIAL DUN POLINOMIO a 2 x 2 - 49x 2 = Factorizamos coeficientes Observamos dous cadrados (ax) 2 e (7x) 2 Basease en aplicar o produto da suma pola diferenza de dous números (x+y) (x-y)=x 2 -y 2 (ax) 2 - 7 2 x 2 = (ax+7x)·(ax-7x) =
36. Ecuación de segundo grao Pode aplicarse sempre que teñamos un polinomio de segundo grao Primeiro calculamos as solucións X 1 e X 2 pola fórmula xeral Aplicamos P(x) = a·(x - x 1 )·(x - x 2 ) DECOMPOSICIÓN FACTORIAL DUN POLINOMIO X 2 + 12x -28 = Resolvemos a ecuación de segundo grao
37. Ecuación de segundo grao DECOMPOSICIÓN FACTORIAL DUN POLINOMIO X 2 + 12x -28 = 1·(x-2)·(x+14)
38. Factorización por Ruffini RAÍCES DUN POLINOMIO a é unha raíz do polinomio P(x) se P( a ) = 0 Se a é unha raíz de P(x), entón ,polo teorema do resto P(x) é divisible por (x- a ) Aplicando a regra da división : D = d·c + R , como R=0 Podemos poñer: P(x) = (x-a)·c Seguimos factorizando o cociente,se podemos, ata que o seu grao sexa 1 Para buscar as raíces dun polinomio ,probaremos cos divisores (positivos e negativos) do termo independente Se as raíces son a 1 , a 2 , a 3 ,.. e o cociente é C(x) a factorización de P(x) será: DECOMPOSICIÓN FACTORIAL DUN POLINOMIO P(x) = (x- a 1 )·(x-a 2 )·(x-a 3 )···C(x)
![OPERACIONES CON POLINOMIOS RESTA DE POLINOMIOS Para restar dous polinomios P(x)-Q(x), sumamos ao minuendo o oposto ao substraendo P(x) – Q(x) = P(x) +[-Q(x)] Ex: P(x) = 2x 3 -7x 2 +3x+5 ; Q(x) = -3x 3 + 6x + 14 - Q(x) = 3x 3 - 6x – 14 P(x) - Q(x) = 2x 3 -7x 2 +3x + 5 3x 3 - 6x – 14 5x 3 -7x 2 -3x - 9](https://image.slidesharecdn.com/polinomios-101207044846-phpapp01/85/Polinomios-19-320.jpg)
