#みと?りほ?ん 11章「空間構造のある階層ベイズモデル」後半
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データ解析のための統計モデリング入門読書会 最終回 11章「空間構造のある階層ベイズモデル」後半 2014/10/21
#みと?りほ?ん 11章「空間構造のある階層ベイズモデル」後半
- 1. データ解析のための 統計モデリング入門 11章後半 @yamakatu 2014/10/21 #みどりぼん 11th
- 2. ざっくり前半の話 ? 場所差が独立に決まる（10章）のでなく、空間相関があ る場合のGLMMを考える ? 空間相関：「近くは似てて、遠くは似てない」とか（今 回は一次元） ? 場所差を表すパラメータrj の階層事前分布（正規分布） のパラメータ平均μを、両隣のrj の平均値とすることで、 相互作用を表現 ? このような自己回帰する事前分布をCARモデルと呼ぶ ? 今回はその中でも色々制約ついたintrinsic gaussian CARモ デル ? そんな感じの階層ベイズモデルをつくってみたら上手く いった
- 3. 11.4 空間統計モデルが作り出す 確率場 ? 相互作用する確率変数で埋め尽くされた空間を確率場 （random field）と呼ぶ ? 本章前半で利用したrjも確率場の一種 ? rj の階層事前分布（正規分布）のパラメータ平均μjは μ j = rj?1 + rj+1 2 なので相互作用している ? rj の階層事前分布は正規分布なので、確率場の中でもガ ウス確率場と呼ばれる
- 4. 確率場{rj}に対するsの影響を見て みる ? 11章前半で定義 ? ポアソン分布+対数リンク関数 ? λj = exp(β + rj) ? rjの階層事前分布は正規分布で ? 平均 ? 標準偏差 μ j = rj?1 + rj+1 2 ? パラメータはβとsの二つ ? パラメータβを固定（β = 2.27）してみる ? ここでsを{0.0316, 0.224, 10.0}と変えてみる s = s nj
- 5. sが小さい程、rjは 両隣と似ている値 になる s = 0.0316 s = 0.224 s = 10.0 sが大きい程、rjは 両隣の値と関係な い値をとる
- 6. つまり ? この確率場は少数の大域的パラメータ（今回はsのみ）に コントロールされていると言える。
- 7. 11.5 空間相関モデルと欠測のあ る観測データ ? 空間相関を組み込んだ階層ベイズモデルの強み ? パラメータの推定がより正確になる（前半の話） ? 欠測のあるデータに対してより良い予測が得られることが ある（←イマココ）
- 8. 欠測しちゃった ? 上：前半で利用した観測 値 ? 下：上の観測値から意図 的にいくつかを欠測させ た（黒点が欠測値）
- 9. vs. 欠測データ ? このような欠測があるデータに対する、あてはまりの良 さを、 ? 空間相関モデル ? 空間相関を無視した階層ベイズモデル ? で比較するお
- 10. 結果 ? 左：空間相関を考慮しているモデル（空間相関モデル） ? 右：空間相関を考慮していないモデル ? 空間相関を考慮したモデルの方がより欠測データが正し く予測できている ? 予測区間の狭さ ? 局所密度のなめらかさ
- 11. 空間相関モデルの場合 ? パラメータrjの階層事前分布（正規分布）で、隣同士のrj の値を利用している ? 結果、欠測がない場合とかなり近い分布になった ? 左：欠測データなし（P.250 図11.4） ? 右：欠測データあり
- 12. 空間相関を考慮しないモデルの場 合 ? （10章と同じく）パラメータrj の階層事前分布（正規分 布）は平均0、標準偏差sの正規分布 ? ?手がかりがない ? その結果、 ? yiに合わせようとするので、局所密度はギザギザになる ? 予測区間の範囲が広くなってしまう さーせん。この表現は イマイチ良くわかんなかった
- 13. 11.6 まとめ ? 前半 ? 空間構造のあるデータをモデル化する場合、空間相関を考 慮する ? 空間相関のある場所差を生成するには intrincsic gaussian CAR モデルを使う ? 後半 ? 空間相関のある場所差は確率場を使って表現できる ? 空間相関を考慮した階層ベイズモデルは、観測データの欠 測部分を予測するような用途にも使える。