More Related Content
What's hot (20)
Similar to KETERBAGIAN (bagian 1).pptx (20)
Recently uploaded (8)
KETERBAGIAN (bagian 1).pptx
- 1. KETERBAGIAN
- 2. RELASI KETERBAGIAN Definisi 2.1 Bilangan bulat a membagi (habis) bilangan bulat b ditulis a|b , jhj ada bilangan bulatn k sedemikian sehingga b=ka . Jika a tidak membagi (habis) b maka ditulis a|b
- 3. RELASI KETERBAGIAN Contoh 1. 5|30 sebab ada bilangan bulat 6, sedemikian sehingga 6x5 = 30 2. 7|-21 sebab ada bilangan bulat -3, sedemikian sehingga -3x7=-21 3. 8|27 sebab tidak ada bilangan bulat k, sedemikian sehingga kx8 = 27
- 4. RELASI KETERBAGIAN Bilangan k pada definisi 2.1 adalah tunggal, sebab jika ada bilangan bulat m selain k sedemikian sehingga b=ma dan b=ka Maka ma=ka m=k (kanselasi)
- 5. RELASI KETERBAGIAN Jika a = 0 dan b ≠0, maka tidak ada k yang memenuhi b = ka Tetapi jika a ≠0 dan b = 0, maka terdapat tak hingga k yang memenuhi b = ka.
- 6. RELASI KETERBAGIAN Istilah dalam keterbagian a|b , disebut sebagai: a membagi b b terbagi a a adalah faktor dari b a adalah pembagi b b adalah kelipatan dari a
- 7. RELASI KETERBAGIAN Apabila a, b dan k bilangan bulat dengan a≠0 dan b=ka, maka: k disebut sebagai hasil bagi (quotient) dari b oleh a. k adalah faktor dari b yang menjadi komplemen (sekawan) dari a a dan k adalah pembagi-pembagi sekawan
- 8. TEOREMA 2.1 Jika a|b dan b|c maka a|c Bukti: a|b maka terdapat bilangan bulat k sehingga ka=b...(1) b|c maka terdapat bilangan bulat m sehingga mb=c...(2) Dari (1) dan (2) diperoleh: c = mb = m(ka) = (mk)a Menurut definisi 2.1 diperoleh a|c (terbukti) Berarti relasi keterbagian pada himpunan bilangan bulat mempunyai sifat transitif
- 9. TEOREMA 2.2 Jika a|b maka a|mb Bukti: a|b maka terdapat bilangan bulat k sehingga ka=b diperoleh mb = m(ka) = (mk) a Dengan demikian a membagi habis setiap kelipatan b yaitu a|mb untuk setiap bilangan bulat m.
- 10. TEOREMA 2.3 Apabila a|b dan a|c maka a|(b+c) ,a| (b-c) dan a|bc Bukti: a|b maka terdapat bilangan bulat k sehingga b = ka * a|c maka terdapat bilangan bulat m sehingga c = ma ** Dari * dan ** diperoleh (i) b+c = ka +ma = (k+m) a berarti a|(b+c) (ii) b-c = ka - ma = (k-m) a berarti a|(b-c) (iii) bc = (ka)(ma) = (km) a berarti a|bc Terbukti
- 11. TEOREMA 2.4 (sifat linearitas) Apabila a|b dan a|c maka a|(mb+nc) Bukti: a|b maka terdapat bilangan bulat k sehingga b = ka * a|c maka terdapat bilangan bulat p sehingga c = pa ** Dari * dan ** diperoleh mb + nc = mka + npa = (mk +np) a sehingga a|(mb+nc) Terbukti
- 12. TEOREMA 2.5 Berdasarkan definisi dan teorema sebelumnya, buktikan teorema dibawah ini: (i) a|a untuk setiap bilangan bulat a (sifat reflektif) (ii) Jika a|b maka ma|mb untuk setiap bilangan bulat m (iii) Jika ma|mb dengan m≠0, maka a|b (iv) 1|a dan a|0 (v) Jika 0|a maka a=0 (vi) Jika a|b dengan b≠0 maka |a| | |b| (vii)Jika a|b dengan b|a maka |a|= |b|
- 13. CONTOH : 1) Buktikan bahwa : Jika a | b dan a | (b+c) maka a | c. Bukti : a | b berarti ∃ k bilangan Bulat ∋ b = ak a | (b+c) berarti ∃ l bilangan Bulat ∋ (b+c) = al Sehingga ( b+c ) – b = c = a. (l-k) atau a | c. (Terbukti) 2) Buktikan bahwa : Jika a | b dan c | d maka ac | bd Bukti : a | b berarti ∃ m bilangan Bulat ∋ b = am c | d berarti ∃ n bilangan Bulat ∋ d = cn Sehingga diperoleh : bd = (am).(cn) = (ac).(mn) Karena (mn) bilangan Bulat maka ac | bd. (Terbukti)
- 14. CONTOH : 3) Buktikan bahwa : Jika a | (b2 – 1) maka a | (b4 – 1) Bukti : a | (b2 – 1) berarti ∃ n bilangan Bulat ∋ b2 – 1 = an…….(*) Jika kedua ruas dari persamaan (*) masing-masing dikalikan b2 + 1, maka diperoleh : (b2 – 1)( b2 + 1) = an. (b2 + 1) (b4 – 1) = a {n(b2 + 1)}……….(**) Dengan kata lain, dari persamaan (**) tampak bahwa a | (b4 – 1). Terbukti
- 15. LATIHAN SOAL : 1. Buktikan bahwa jika d | a dan d | b maka d | (pa – qb) 2. Buktikan bahwa 6 | ( a3 – a) , untuk setiap bilangan Bulat a
- 17. Definisi 2.2 Jika a dan b adalah bilangan-bilangan bulat, maka bilangan bulat d disebut faktor persekutuan dari a dan b jika dan hanya jika d|a dan d|b • 1 adalah pembagi dari setiap bilangan bulat, maka faktor persekutuan a dan b tidak pernah kosong • Jika a=b=0 maka setiap bilangan bulat merupakan faktor persekutuan dari a dan b. • Apabila salah satu dari a dan b bukan 0 maka himpunan semua faktor persekutuan dari a dan b adalah himpunan berhingga, sehingga dapat diketahui faktor terbesarnya.
- 18. Definisi 2.3 Jika a dan b adalah bilangan-bilangan bulat yang sekurang-kurangnya satu diantarnya tidak sama dengan 0, maka faktor persekutuan terbesar (FPB) dari a dan b disimbolkan (a,b) adalah suatu bilangan bulat positif, misalnya d yang memenuhi: (i) d|a dan d|b serta (ii) Jika e|a dan e|b, maka e≤d
- 19. Teorema 2.6 Jika (a,b) = d maka (a:d,b:d)=1 Contoh (4,12)=4 maka (4:4,12:4)=(1,3)=1 Bukti: Misalkan (a:d, b:d)=c maka c≥1 dan c|(a:d) dan c|(b:d) c|(a:d) maka ada bilangan bulat m sehingga (a:d)= mc atau a=mcd c|(b:d) maka ada bilangan bulat n sehingga (b:d)= nc atau b=ncd Karena a=mcd dan b=ncd maka cd adalah faktor persekutuan dari a dan b. Karena (a,b)=d maka cd≤d yaitu c ≤1, sebab d suatu bilangan bulat positif Karena c≥1 dan c ≤1 maka c=1(terbukti)
- 20. Apabila a dan b dua bilangan bulat positif dengan (a,b)=1 maka dikatakan bahwa a dan b relatif prima atau a prima relatif terhadap b
- 21. CONTOH 1. Jika a | b dan a > 0 maka (a,b) = a Bukti : Misalkan (a,b) = c maka c | a dan c | b ( c ≤ a dan c ≤ b ) a | a dan a | b maka a ∈ factor dari a dan b atau F(a,b), dengan c ≤ a Maka FPB dari a dan b atau (a,b) = a. Terbukti.
- 22. CONTOH 2. Buktikan bahwa (a,b) = (a+b, b) Bukti : Misalkan (a,b) = d maka d | a dan d | b. Berdasarkan Teorema (3) Sifat Pembagian Habis, yaitu : d | a dan d | b maka d | (a+b) karena : d | (a + b) maka d adalah factor dari a+b dan b d | a atau d ∈ F(a+b, b). Ambil sebarang c ∈ F(a+b, b) maka c | (a+b) dan c | b. Berdasarkan Teorema (3) Sifat Pembagian Habis, yaitu : c | (a + b) c | b maka c | a Karena c | a dan c | b maka c ∈ F (a,b) dan (a,b) = d maka c ≤ d. Sedangkan, c ∈ F(a+b, b) maka d = (a+b,b) Terbukti.
- 23. SOAL : 2.Buktikan bahwa : Jika (a,b) = (a - b, a), dengan b < a. Contoh: (9,6) = 3 (9-6, 9) = 3 Bukti: Misalkan (a,b)= d, maka d I a dan d I b Mka menurut teorema keterbagian 3: d I (a-b) d I a Maka d ∈ F(a-b, a) Ambil sembarang c ∈ F(a-b, a) maka c l a-b dan c I a Menurut teorema keterbagian c I b c I a dan c Ib maka c ∈ F(a, b) Karena (a,b)= d maka c ≤ d Sedangkan c ∈ F(a-b, a) maka d= (a-b,b)