1. I.
INTEGRAL TAK TENTU
Operasi kebalikan mencari fungsi derivaif
Dalam derivatif : jika diketahui fungsi f , maka dapat
ditentukan fungsi f dan dituliskan : dF ( x)
= f ( x)
dx
untuk setiap x
a, b
a, b
Dalam integral : jika diketahui fungsi f pada
akan ditentukan fungsi F pada selang tersebut sehingga dF ( x) = fx
dx
untuk setiap x a, b ]
dituliskan:
[
[
]
[
]
f ( x ) dx = F ( x )
1
2. Rumus dasar :
n
x dx =
1 n+ 1
x +c
n+1
Integral integral standart
1
x dx = ln x + c
Fungsi fungsi trigonometri
sin xdx = cos x + c
cos xdx = sin x + c
sec 2 xdx = tgx + c
cos ec
2
xdx = cot gx + c
sec xtgxdx = sec x + c
cos ecx cot xdx = cos ecx + c
2
3. Fungsi siklometri
Fungsi hiperbolik
錚arctan x + c
dx
=錚
1 + x 2 錚鰍 arc cot + c
sinh xdx = cosh x + c
錚arcsin x + c
=錚
1 x 2 錚鰍 arccos x + c
dx
cosh xdx = sinh x + c
錚arc sec x + c
=錚
x x 2 1 錚鰍 arccos ecx + c
dx
Fungsi eksponensial
e x dx = e x + c
ax
a dx = ln a + c
x
(a > 0, a 1)
Contoh soal :
3
2
5
2x
2
(2 + sec x tan x u )dx =
+ sec x u 2 + C
ln 2
5
x
3
4. II. METODE INTEGRAL
1.SUBSTITUSI
Teorema : untuk menentukan
f ( x)dx
, dapat disubstitusi u = g(x) , g = fungsi yang dapat diintegralkan , jika substitusi merubah f (x)dx
h(u)du , dan bila H antiturunan h maka
f ( x)dx = h(u ) = H (u ) + c = H ( g ( x)) + C
Contoh soal :
(2 J + 1)e
BJ ( J +1
KT
dJ = ...... ?
Subtitusi trigonometri
Integral memuat bentuk
a2 x2
a2 + x2
x2 a2
Subsitusi
x = a sin y
x = a tan y
Contoh soal :
( x 2)
dx
x 2 + 4x 3
x = a sec y
4
5. Transformasi integral trigonometri
Misal :
d (cos x)
= ln(cos x ) + c
cos x
1
x sin 2 x
sin 2 xdx = (1 cos 2 x) dx =
+c
2
2
2
1
subst : y = tan x
2
dx
1 + sin x + cos x = ...... ?
sin x
tgxdx = cos x dx =
2. PARSIAL
Rumus :
udv = uv vdu
x sin xdx = ...... ?
2
Integral parsial dapat digunakan untuk rumus reduksi
Misal :
sin n xdx = sin n 1 x sin xdx = sin n 1 xd ( cos x)
= sin n 1 x cos x cos x(n 1) sin n 2 x cos xdx
= sin n 1 x cos x + (n 1) sin n 2 x(1 sin 2 x)dx
= ...........
5
6. INTEGRAL FRAKSI-FRAKSI ALGEBRA
1.Fraksi rasional : pembilang memiliki derajat lebih rendah dari penyebut
( 3x +1)
(2 x 3) dx =
3
11
(2 x 3) +
2
2 dx
2x 3
3
11
dx
dx +
2
2 2 x 3
3
11
= x + ln(2 x 3) +c
2
4
=
2. Fraksi
rasional dengan penyebut linier : diintegrasi menghasilkan fungsi logaritma
3
11
(2 x 3) +
(3x + 1)
2 dx = 3 dx + 11 dx = 3 x + 11 ln(2 x 3) + c
dx = 2
(2 x 3)
2x 3
2
2 2x 3 2
4
6
7. 3. Fraksi rasional dengan penyebut kuadrat
Jika x = 1
maka 0 + 5B
* dua faktor yang berbeda penyebutnya -10 fraksi parsial
= =>
B
( 3x 7)
(3 x 7)
dx =
2
2x + x 3
(2 x + 3)( x 1)
= -2
3x 7
A( x 1) + B( 2 x + 3)
Jika x = -3/2 A(-5/2) + 0
=
(2 x + 3)( x 1)
( 2 x + 3)( x 1)
= -5/2
A( x 1) + B (2 x + 3) = 3 x 7
A
=1
(3x 7)
( x + 1) + (4 x 6)
dx =
dx
(2 x 2 + x 3)
(2 x + 3)( x 1)
3x 7
=
dx
(2 x + 3)( x 1)
dx
dx
=
+ 2
2x + 3
x 1
1
= ln(2 x + 3) 2 ln( x 1) + c
2
* penyebut merupakan pangka dua sempurna
dx
1
=
(1 x) 2 1 x + c
* penyebut
tidak dapa difaktorisasi
dx
dx
1 x+2
=
=
x 2 + 4 x + 6 ( x + 2) 2 + 2 2 tan ( 2 ) + c
7
8. 4. fraksi rasional dengan penyebut pangkat tiga
jika tidak dapat difaktorisasi secara keseluruhan, maka integralnya dapat dipisahkan menjadi integral integral dengan tipe (2) dan (3)
( x 2 3)
dx
dx
dx
dx = A
+ B
+ C
( x 1)( x 2)( x 3)
x 1
x2
x 3
( x 2 3) = A( x 2)( x 3) + b( x 1)( x 3) + c( x 1)( x 2)
x = 1,2,3
maka
( x 2 3)
dx
dx
dx
( x 1)( x 2)( x 3) dx = x 1 + 3 x 3 x 2 = ln( x 1) ln( x 2) + 3 ln( x 3)
5. fraksi irrasional
integral dengan tipe :
dx
( a 2 x 2 )
dx
( x 2 a 2 )
dx
(a 2 +x 2 )
Bentuk bentuk standart yang memberikan fungsi fungsi trigonometri inversi atau hiperbolik inversi. Jika kita
memiliki
dx
ax 2 + bx + c
maka bentuk ini dapat diransformasikan menjadi salah satu benuk standart diatas dengan penyempurnaan kuadrat.
Misal:
dx
4 2x x 2
=
錚 x + 1錚
= sin 1 錚
錚+c
錚
錚
2
5 錚
錚
5 ( x + 1)
dx
8
9. CONTOH PENGGUNAAN INTEGRAL DALAM KIMIA
Hitung perubahan enalpi dari 1 mol CO2(g). Jika
dipanaskan dari 300 K menjadi 1000K. Dikeahui a =
26,86 J/mol K ; b = 6.966 x 10-3 J/mol K2 ; c =8,243 x
10-7J/mol K3
9
10. 6. fraksi rasional: pembilang derajatnya lebih tinggi dari penyebutnya
x4
x 3 + 1 dx
x4
x
= x 3
3
x +1
x +1
x
x
A
Bx + C
=
=
+ 2
x 3 + 1 ( x + 1)( x 2 x + 1) x + 1 x x + 1
A( x 2 x + 1) + ( Bx + 1)( x + 1)
=
( x + 1)( x 2 x + 1)
= A( x 2 x + 1) + ( Bx + D)( x + 1)
= ( A + B ) x 2 + ( A + B + D) x + A + D
A+B = 0
-A+B+D =1
A+D = 0
maka diperoleh A =-1/3
B =1/3
D = 1/3
x4
xdx
dx = xdx 3
x3 + 1
x +1
1
1
1
dx
x+
1
3
= x2 3
3
2
2
x +1
x x +1
1
1
1
1
1
= x2 +
ln x 2 x + 1
3arctg
3 ( 2 x 1) + c
2
3 ln x + 1 6
3
3
10
11. III. INTEGRAL KHUSUS
Percepatan suatu benda yang bergerak sepanjang suatu garis koordinat a (t) =
(2t+3)-3 m/dtk pada t = 0 adalah 4
m/dtk, carilah kecepatannya 2 detik
kemudian......???
IV. INTEGRAL TERTENTU
2
(x
2
1
+ 3 x 5)dx =
1
3
x3 +
3
2
x 2 5 x + c = F ( x)
maka
jika :
X = 2, F (2) = -4/3 + c
X =1 , F (1) = -19/6 + c
2
錚 4
錚 錚 19
錚 11
( x 2 + 3 x 5)dx = 錚 + c 錚 錚 + c 錚 =
錚 3
錚 錚 6
錚 6
1
Konstanta integrasinya dapat dihilangkan.
11
12. Sifat sifat integral tertentu :
b
a
a
f ( x) dx = f ( x )dx
b
b
c
b
a
a
c
f ( x)dx = f ( x)dx + f ( x)dx
a<c<b
jika f dan g terintegralkan pada [ a,b ] dan jika f(x) < g(x) untuk semua x dalam [ a,b ] maka
b
b
a
a
f ( x)dx g ( x)dx
berhati hatilah dengan limit integral jika menggunakan substitusi trigonometri.
1
0
dx
2
1 +x
2
=
Substitusi y = tan x
Maka limitnya harus diubah dari ( 0,1) menjadi (0,
4
)
CONTOH SOAL
5 mol gas ideal dikompresi dari 1 atm sampai 6 atm pada 27 0C. hitung
A
12
13. Suatu rx orde 2, 2A P
1 d [ A]
= k [ A]2
2 dt
1 d [ A]
= k [ A]2
2
dt
A
d [ A]
= k dt
2
[ A]
Ao
1
A
A
= kt
Ao
1
1
= kt
A Ao
-
13
14. Integral Tak Wajar
Batas tak terhingga
Definisi:
b
b
f ( x) dx =
lim
a
f ( x) dx
a
b
f ( x ) dx = lim
a
b
f ( x) dx
a
Contoh soal:
k
Menurut Hukum Kebalikan kuadrat Newton, gaya yang bekerja pada sebuah kapal ruang angkasa adalah 2 ,
x
k
x adalah jarak (satuan mil) antara kapal dan pusat bumi. Gaya F (x) = 2
x
Berapakah besarnya kerja yang diperlukan untuk mengeluarkan kapal seberat 1000 pon keluar dari medan
gravitasi
bumi?
Batas Integral tak terhingga
Definisi:
0
Jika
f ( x) dx
dan
f ( x) dx
0
konvergen, maka nilai: f ( x) dx
0
=
f ( x) dx + f ( x) dx
0
Contoh integral tak wajar:
Perhatikan:
1
1
1
1
= 1
dx = 錚 錚
2
錚 x 錚
2
錚
錚 2
2 x
1
= 3
2
Jawaban tidak wajar karena hasil integral seharusnya bernilai positif (+).
14
15. Aplikasi Integral Tertentu
Area di bawah Kurva
Untuk menghitung area di bawah kurva, cara yang tepat adalah menggunakan integrasi. Untuk itu
dibuat suatu partisi yaitu pendekatan perhitungan luasan empat persegi.
AK = area di bawah kurva antara
xK 1 dan xK
Diasumsikan fungsi f bernilai positif pada interval ini. Selanjutnya kita bagi intervalnya menjadi n sub-interval.
Kemudian total area A sebagai penjumlahan area di bawah kurva untuk tiap tiap sub-interval:
n
A=
A
K =1
K
Dari gambar di atas, memperlihatkan
bahwa:
f ( x K 1 < x
)
< AK
f ( x K ) x
15
16. Ketika x menjadi kecil, maka f ( x K 1 ) x
dan f ( x K ) x akan mendekati AK
sehingga dapat dituliskan:
n
A lim f (C K ) x
n
K =1
m
C K = bilangan bilangan dalam sub-interval antara x K 1 dan x K
aka:
b
lim f (C= ) x
=
A
K
f ( x) dx
n
a
2. Panjang Busur
Kira kira dapat menghitung panjang suatu busur dari kurva y = f (x) dengan integrasi.
. ,
Untuk bagian dalam sub-interval xK 1 hingga xK berdasarkan teorema phytagoras, garis AB merupakan panjang
[( x )
2
+ ( y K )
2
]
, yang sama dengan x
[1 + (yK ) / x] 2 adalah:
yK
merupakan slope dan garis AB. Pada titik CK dalam interval, di mana terdapat slpe kurva f ' (CK )
x
yang harganya sama dengan slope AB. Sehingga panjang garis adalah x [1 + f ' ( x) 2 ]
Akan tetapi
Dengan mengecilnya x , maka panjang garis mendekati panjang busur AB, sehingga dalam limit, panjang total S
antara x = a dan x = b
n
S = lim x 1 + [ f ' ( x) 2 ] dx
n
K =1
b
2
錚 dy 錚
S = 1 + 錚 錚 dx
錚 dx 錚
a
16
17. Dengan cara yang sama, jika K disajikan dalam bentuk x = g (y) y d
c,
Maka panjang busur K
menjadi:
d
S=
c
2
錚 dx 錚
1 + 錚 錚 dy
錚 dy 錚
錚 錚
17
18. Volum Benda Putar
a. Cara Cakram
a.1. Sekeliling sumbu x
2
b
V ox = [ f ( x ) ] dx
a
b
Vox = y 2 dx
a
Jika terdapat 2 fungsi f1 dan f2, dengan f1 (x) f2 (x) untuk setiap x [ a, b]
b
2
b
2
{[ ]
}
Vox = [ f 2 ( x ) ] dx [ f 1 ( x ) ] dx = f 2 ( x ) [ f 1 ( x ) ] dx
a
a
2
2
18
19. Contoh : Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang berada
di bawah kurva y = x
dan diatas sumbu x dari x = 0 hingga x = 4 diputar sekeliling sumbu x!
4
Vox = y 2 dx
0
4
Vox =
2
( x ) dx
0
4
Vox = xdx
0
4
錚1 錚
Vox = 錚 x 2 錚
錚2 錚0
Vox = [ 8 0] = 8
19
20. a.2. Sekeliling
sumbu y
d
Voy = g ( y )dy
c
Jika terdapat 2 fungsi g1 dan g2 yang terintegral pada [ c, d ]
dengan g1 (y) g2 (y) untuk setiap y (c,d).
d
[
]
d
[
]
Voy = g 2 ( y ) dx g 1 ( y ) dy
2
c
d
2
c
{
}
Voy = [ g 2 ( y ) ] [ g 1 ( y ) ] dy
2
2
c
20
21. Contoh : Tentukan volum benda putar jika area dibawah kurva y = f (x) dan
diatas sumbu x diputar sekeliling sumbu y jika :
2
f ( x ) = x ,0 x 2
2
(
)
4
(
'2
f ( x ) = 4 x, x 2
)
Voy = x1 x 2 dy + x1 x 2 dy
2
2
0
2
2
Voy = ( 4 y )
2
0
2
'
( y ) dy + 2
2
4
2
2
y dy
2
(
4
)
2
Voy = 16 8 y + y 2 y dy + 2 2 y dy
0
2
2
(
4
)
Voy = y 2 9 y + 16 dy + ( 4 y )dy
0
Voy
Voy
Voy
Voy
[
[
(
2
] [
] [(
2
]
4
= 1 y 3 9 y 2 + 16 + 4 y 1 y 2
3
2
2 2
0
= 1 2 3 9 2 2 + 16 + 4.4 1 4 2 4.2 1 2 2
3
2
2
2
= 8 36 + 16 + ( 8 6 )
3
2
=61
3
)
) (
)]
21
22. b. Cara
kulit
b.1. Sekeliling
sumbu y
b
Voy = 2 xf ( x )dx
a
b
Voy = 2 xydx
a
b.2. Sekeliling
sumbu x
d
Voy = 2 yf ( y )dy
c
d
Voy = 2 yxdy
c
22
23. Contoh soal:
1. Tentukan volum benda putar gambar ini jika diputar sekeliling sumbu
x
2
Vox = 2 yxdy
0
2
4
0
(
)
2
Vox = 2 y ( x1 x 2 ) dy + 2 y x1 x 2 dy
2
[
Vox = 2 y ( 4 y )
0
]
'
4
'
(
y dy + 2 y 2
)
y dy
2
2.Tentukan volum benda putar gamabr ini jika diputar sekeliling sb y
2
4
0
2
Voy = 2 xy1 dx + 2 xy 2 dx
2
4
( )
Voy = 2 x x dx + 2 x( 4 x )dx
2
0
2
2
4
Voy = 2 x dx + 2 4 x x 2 dx
3
0
2
2
Voy
4
1
錚1
錚
錚
錚
= 2 錚 x 4 錚 + 2 錚2 x 2 x 3 錚
3
錚4
錚0
錚
錚2
23
24. 1.Pusat Massa atau Titik Berat Benda
Misalkan suatu sistem partikel terdiri atas n partikel, terletak
pada bidang koordinat,
maka masing-masing partikel adalah m1, m2, ..., mn; pusat massa
sistem tersebut adalah: P x, y
( )
m x + m 2 x 2 + ... + m n x n
x= 1 1
m1 + m 2 + ... + m n
y=
m1 y1 + m 2 y 2 + ... + m n y n
m1 + m 2 + ... + m n
1. Titik Berat Benda Datar
b
pxf (x )dx
x =
a
b
pf (x )dx
a
1
2
y =
b
py
a
b
2
dx
ydx
a
Massa
benda :
b
M = pydx
a
24
25. Contoh soal : Tentukan titik berat bidang datar yang dibatasi oleh kurva-kurva y = x 3
y= x
dan
Absis titik potong ke dua kurva dapat dicari:
y = 3 2 = 6
x
y
x
y = x 2 =
y
x
x6 =
x
0
(
)
x x5 =
1
0
Maka x = 0
atau
x=1
Titik berat benda ( x,y ):
x(
x=
1
)
1
x x 3 dx
0
1
1
x x dx
3
x x 3 dx
0
0
1
x=
y=
1
6
x x dx
20
錚2 5 1 5 錚
2
錚 x x 錚
5 錚0
錚5
1
錚2 3 1 4 錚
2
錚 x x 錚
5
4
錚
錚0
1
12
x= 5 =
5
5
12
1
1 錚1 2 1 7 錚
x x 錚
2 錚2
7 錚0
錚
y=
5
12
5
3
y = 28 =
5
7
12
25
26. 2. Titik Berat Bidang Datar dalam Kartesius Kutub
硫
硫
x=
2
3
r cos 慮d慮
3留
硫
r d慮
2
留
y=
2
3
r sin 慮d慮
3留
硫
r
留
2
d慮
Contoh : Tentukan pusat massa daerah di luar kardioda
r = 1 + cos 慮
錚 n錚
慮 錚0, 錚
錚 2錚
dan didalam lingkaran r = 3 cos 慮
Jawab
,
1 + cos 慮 = 3 cos 慮
2 cos 慮 = 1
x=
1
cos 慮 =
2
慮=
3
{( 3 cos 慮 )
2
3
3
}
(1 + cos 慮 ) cos 慮d慮
3
3
0
{( 3 cos 慮 ) (1 + cos 慮 ) }d慮
3
2
2
0
y=
{( 3 cos 慮 )
2
3
3
3
}
(1 + cos 慮 ) d慮
3
0
{( 3 cos 慮 )
3
2
}
(1 + cos 慮 ) d慮
2
0
26
27. 3. Titik Berat Benda Putar
a. Berputar sekeliling
sumbu x
( )
b
xy 2 dx
P x ,0
x = ab
y 2 dx
a
Contoh : Tenrtukan titik berat benda putar yang terjadi bila daerah yang
dibatasi oleh parabola y = 4-x2 dan berada pada kuadran I diputar sekeliling
sumbu x!
2
( )
(
2
x 4 x
P x,0 x = 0
)
2
dx
2
4 x
2
dx
0
32
5
= 3 =
256 8
15
27
28. Contoh soal integrasi dalam Kimia:
1. Hitung rata-rata momentum linear dari partikel yang bergerak dalam kotak berdimensi satu dengan
panjang a dan fungsi gelombang
= A sin
n
x.
a
Mekanika kuantum operator untuk momentum linear adalah:
n 錚 h d 錚
n
x錚
xdx
錚A sin
a
i
a
錚2 dx 錚
a
n
n
A sin a x A sin a xdx
0
a
h d
2i dx
,
maka:
A sin
Px = 0
Px =
h
2ia
a
sin
0
a
sin
0
Px =
n
n
x cos
xdx
a
a
hn
2ia
1
2
a
sin
0
a
錚
2
n
xdx
a
n
n
x cos
xdx
a
a
錚1 cos
錚
0
2 n 錚
x
dx
錚
a 錚
nh 錚 a
錚
2 n
x錚
錚2n sin
2ia 錚
a
錚0
a
Px =
a 錚
2n錚
錚x 錚
sin
錚2 錚 + 4n 錚
a 錚0
錚 錚0
錚
錚
0
a
h
[sin n sin 0]
0
4i
Px =
= =0
a
[sin 2n sin 0] a
a+
4 n
28
![I.
INTEGRAL TAK TENTU
Operasi kebalikan mencari fungsi derivaif
Dalam derivatif : jika diketahui fungsi f , maka dapat
ditentukan fungsi f dan dituliskan : dF ( x)
= f ( x)
dx
untuk setiap x
a, b
a, b
Dalam integral : jika diketahui fungsi f pada
akan ditentukan fungsi F pada selang tersebut sehingga dF ( x) = fx
dx
untuk setiap x a, b ]
dituliskan:
[
[
]
[
]
f ( x ) dx = F ( x )
1](https://image.slidesharecdn.com/2-140301203956-phpapp02/85/integrasi-1-320.jpg)
![Sifat sifat integral tertentu :
b
a
a
f ( x) dx = f ( x )dx
b
b
c
b
a
a
c
f ( x)dx = f ( x)dx + f ( x)dx
a<c<b
jika f dan g terintegralkan pada [ a,b ] dan jika f(x) < g(x) untuk semua x dalam [ a,b ] maka
b
b
a
a
f ( x)dx g ( x)dx
berhati hatilah dengan limit integral jika menggunakan substitusi trigonometri.
1
0
dx
2
1 +x
2
=
Substitusi y = tan x
Maka limitnya harus diubah dari ( 0,1) menjadi (0,
4
)
CONTOH SOAL
5 mol gas ideal dikompresi dari 1 atm sampai 6 atm pada 27 0C. hitung
A
12](https://image.slidesharecdn.com/2-140301203956-phpapp02/85/integrasi-12-320.jpg)
![Suatu rx orde 2, 2A P
1 d [ A]
= k [ A]2
2 dt
1 d [ A]
= k [ A]2
2
dt
A
d [ A]
= k dt
2
[ A]
Ao
1
A
A
= kt
Ao
1
1
= kt
A Ao
-
13](https://image.slidesharecdn.com/2-140301203956-phpapp02/85/integrasi-13-320.jpg)
![Ketika x menjadi kecil, maka f ( x K 1 ) x
dan f ( x K ) x akan mendekati AK
sehingga dapat dituliskan:
n
A lim f (C K ) x
n
K =1
m
C K = bilangan bilangan dalam sub-interval antara x K 1 dan x K
aka:
b
lim f (C= ) x
=
A
K
f ( x) dx
n
a
2. Panjang Busur
Kira kira dapat menghitung panjang suatu busur dari kurva y = f (x) dengan integrasi.
. ,
Untuk bagian dalam sub-interval xK 1 hingga xK berdasarkan teorema phytagoras, garis AB merupakan panjang
[( x )
2
+ ( y K )
2
]
, yang sama dengan x
[1 + (yK ) / x] 2 adalah:
yK
merupakan slope dan garis AB. Pada titik CK dalam interval, di mana terdapat slpe kurva f ' (CK )
x
yang harganya sama dengan slope AB. Sehingga panjang garis adalah x [1 + f ' ( x) 2 ]
Akan tetapi
Dengan mengecilnya x , maka panjang garis mendekati panjang busur AB, sehingga dalam limit, panjang total S
antara x = a dan x = b
n
S = lim x 1 + [ f ' ( x) 2 ] dx
n
K =1
b
2
錚 dy 錚
S = 1 + 錚 錚 dx
錚 dx 錚
a
16](https://image.slidesharecdn.com/2-140301203956-phpapp02/85/integrasi-16-320.jpg)
![Volum Benda Putar
a. Cara Cakram
a.1. Sekeliling sumbu x
2
b
V ox = [ f ( x ) ] dx
a
b
Vox = y 2 dx
a
Jika terdapat 2 fungsi f1 dan f2, dengan f1 (x) f2 (x) untuk setiap x [ a, b]
b
2
b
2
{[ ]
}
Vox = [ f 2 ( x ) ] dx [ f 1 ( x ) ] dx = f 2 ( x ) [ f 1 ( x ) ] dx
a
a
2
2
18](https://image.slidesharecdn.com/2-140301203956-phpapp02/85/integrasi-18-320.jpg)
![Contoh : Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang berada
di bawah kurva y = x
dan diatas sumbu x dari x = 0 hingga x = 4 diputar sekeliling sumbu x!
4
Vox = y 2 dx
0
4
Vox =
2
( x ) dx
0
4
Vox = xdx
0
4
錚1 錚
Vox = 錚 x 2 錚
錚2 錚0
Vox = [ 8 0] = 8
19](https://image.slidesharecdn.com/2-140301203956-phpapp02/85/integrasi-19-320.jpg)
![a.2. Sekeliling
sumbu y
d
Voy = g ( y )dy
c
Jika terdapat 2 fungsi g1 dan g2 yang terintegral pada [ c, d ]
dengan g1 (y) g2 (y) untuk setiap y (c,d).
d
[
]
d
[
]
Voy = g 2 ( y ) dx g 1 ( y ) dy
2
c
d
2
c
{
}
Voy = [ g 2 ( y ) ] [ g 1 ( y ) ] dy
2
2
c
20](https://image.slidesharecdn.com/2-140301203956-phpapp02/85/integrasi-20-320.jpg)
![Contoh : Tentukan volum benda putar jika area dibawah kurva y = f (x) dan
diatas sumbu x diputar sekeliling sumbu y jika :
2
f ( x ) = x ,0 x 2
2
(
)
4
(
'2
f ( x ) = 4 x, x 2
)
Voy = x1 x 2 dy + x1 x 2 dy
2
2
0
2
2
Voy = ( 4 y )
2
0
2
'
( y ) dy + 2
2
4
2
2
y dy
2
(
4
)
2
Voy = 16 8 y + y 2 y dy + 2 2 y dy
0
2
2
(
4
)
Voy = y 2 9 y + 16 dy + ( 4 y )dy
0
Voy
Voy
Voy
Voy
[
[
(
2
] [
] [(
2
]
4
= 1 y 3 9 y 2 + 16 + 4 y 1 y 2
3
2
2 2
0
= 1 2 3 9 2 2 + 16 + 4.4 1 4 2 4.2 1 2 2
3
2
2
2
= 8 36 + 16 + ( 8 6 )
3
2
=61
3
)
) (
)]
21](https://image.slidesharecdn.com/2-140301203956-phpapp02/85/integrasi-21-320.jpg)
![Contoh soal:
1. Tentukan volum benda putar gambar ini jika diputar sekeliling sumbu
x
2
Vox = 2 yxdy
0
2
4
0
(
)
2
Vox = 2 y ( x1 x 2 ) dy + 2 y x1 x 2 dy
2
[
Vox = 2 y ( 4 y )
0
]
'
4
'
(
y dy + 2 y 2
)
y dy
2
2.Tentukan volum benda putar gamabr ini jika diputar sekeliling sb y
2
4
0
2
Voy = 2 xy1 dx + 2 xy 2 dx
2
4
( )
Voy = 2 x x dx + 2 x( 4 x )dx
2
0
2
2
4
Voy = 2 x dx + 2 4 x x 2 dx
3
0
2
2
Voy
4
1
錚1
錚
錚
錚
= 2 錚 x 4 錚 + 2 錚2 x 2 x 3 錚
3
錚4
錚0
錚
錚2
23](https://image.slidesharecdn.com/2-140301203956-phpapp02/85/integrasi-23-320.jpg)
![Contoh soal integrasi dalam Kimia:
1. Hitung rata-rata momentum linear dari partikel yang bergerak dalam kotak berdimensi satu dengan
panjang a dan fungsi gelombang
= A sin
n
x.
a
Mekanika kuantum operator untuk momentum linear adalah:
n 錚 h d 錚
n
x錚
xdx
錚A sin
a
i
a
錚2 dx 錚
a
n
n
A sin a x A sin a xdx
0
a
h d
2i dx
,
maka:
A sin
Px = 0
Px =
h
2ia
a
sin
0
a
sin
0
Px =
n
n
x cos
xdx
a
a
hn
2ia
1
2
a
sin
0
a
錚
2
n
xdx
a
n
n
x cos
xdx
a
a
錚1 cos
錚
0
2 n 錚
x
dx
錚
a 錚
nh 錚 a
錚
2 n
x錚
錚2n sin
2ia 錚
a
錚0
a
Px =
a 錚
2n錚
錚x 錚
sin
錚2 錚 + 4n 錚
a 錚0
錚 錚0
錚
錚
0
a
h
[sin n sin 0]
0
4i
Px =
= =0
a
[sin 2n sin 0] a
a+
4 n
28](https://image.slidesharecdn.com/2-140301203956-phpapp02/85/integrasi-28-320.jpg)