Menentukan generalized invers Mariks 3 x 3
Download as DOCX, PDF0 likes1,768 views
Kolokium (feralia goretti situmorang) 06081381520035 Pendidikan Matematika UNSRI 2015
![3
Bentuk umum suatu matriks adalah sebagai berikut :
= [
11 12
21 22
1 2
1
2
]
Matriks di atas mempunyai ukuran m baris dan n kolom dan dinotasikan dengan
. Secara singkat sebuah matriks A dapat dinotasikan sebagai berikut:
= []
atau = []
.
Definisi 2.1.2 Suatu matriks yang banyaknya dan kolomnya sama ( m =
n ), yang dinotasikan dengan Ann , disebut matriks bujur sangkar. (Anton, 2000)
=
[
11 12 1
21
1
22
2
2
]
Definisi 2.1.3 Leon (2001)Misalkan dengan semua entri pada
diagonalnya adalah satu dan nol, selainnya disebut matriks identitas ,
dinotasikan dengan:
= [
1 0
0 1
0 0
0
0
1
]
dengan kata lain, = () dimana = 1 untuk = dan = 0 untuk .
Definisi 2.1.4 Anton (2000) Matriks segitiga atas adalah matriks bujur
sangkar yang semua entri dibawah diagonal utamanya adalah nol atau = 0
untuk suatu > .
[
11 12
0 22
0 0
0 0 0
1
2
].
Matriks segitiga bawah adalah matriks bujur sangkar yang semua entri di
atas diagonal utamanya adalah nol atau aij = 0 untuk suatu i < j.
[
11 0 0
21 22 0
1 2
0
0
0
]
Definisi 2.1.5 Suatu matriks bujur sangkar disebut singular apabila
det () = 0. Jika det () 0 maka A disebut nonsingular. Matriks yang singular](https://image.slidesharecdn.com/kolokiumferaliagorettisitumorang06081381520035-180429000722/85/Menentukan-generalized-invers-Mariks-3-x-3-3-320.jpg)
![5
1. Aturan algoritma.
2. Aturan pendiagonalan matriks.
3.2 Aturan Pendiagonalan Matriks Suryana (1971) :
1. Diketahui matriks sembarang A yang berukuran n x n.
2. Akan dicari matriks P dan matriks Q. Matriks P dicari dengan
menggunakan operasi elementer baris, sedangkan matriks Q dicari
dengan menggunakan operasi elementer kolom.
3. Setelah didapatkan matriks P dan matriks Q, akan ditentukan matriks
yaitu = P A Q.
4. Kemudian akan dicari invers dari matriks .
5. Selanjutnya akan ditentukan matriks G yaitu G = Q
P. G
adalah generalized inverse dari matriks A.
3.3 Menentukan Generalized Inverse pada Matriks Menggunakan
Aturan Pendiagonalan Matriks
Contoh : Akan ditentukan generalized inverse dari matriks A dengan ordo
3 x 3 dengan menggunakan aturan pendiagonalan matriks, yaitu :
= [
4 1 2
1 1 5
3 1 3
]
Penyelesaian :
Sebelum masuk kedalam langkah langkah menentukan generalized
inverse, maka dilihat dulu bahwa matriks A memiliki determinan 0 atau tidak, jika
tidak nol maka bisa dilakukan pencarian dengan invers biasa namun jika sama
dengan nol maka dicari dengan aturan pendiagonalan. Mencari determinan
dengan metode sarrus :
Det A = (12+15+2) (3+20+6)
= 0
Selanjutnya mencari generalized inverse dengan menggunakan aturan
pendiagonalan matriks adalah sebagai berikut :
1. Diketahui matriks A ordo 3 x 3. Akan di cari matriks P dan matriks
Q dengan melakukan operasi baris elementer dan operasi kolom
elementer. Untuk matriks P dicari dengan operasi elementer baris:](https://image.slidesharecdn.com/kolokiumferaliagorettisitumorang06081381520035-180429000722/85/Menentukan-generalized-invers-Mariks-3-x-3-5-320.jpg)
![6
4 1 2 | 1 0 0
1 1 5 | 0 1 0 b1 b2
3 1 3 | 0 0 1
Sehingga diperoleh P:
= [
0 1 0
1 4 0
2/3 1/3 1
] ,
untuk mencari matriks Q dicari dengan operasi elementer kolom :
1 1 5
0 3 18
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
2 1
3
51
1 0 0
0 3 18
0 0 0
1 1 5
0 1 0
0 0 1
3
61
1 1 5 | 0 1 0
4 1 2 | 1 0 0 b2 4b1
3 1 3 | 0 0 1 b3 3b1
1 1 5 | 0 1 0
0 3 18 | 1 4 0
0 -2 12 | 0 3 1 b3 2/3 b1
1 1 5 | 0 1 0
0 3 18 | 1 4 0
0 0 0 | 2/3 1/3 1](https://image.slidesharecdn.com/kolokiumferaliagorettisitumorang06081381520035-180429000722/85/Menentukan-generalized-invers-Mariks-3-x-3-6-320.jpg)
![7
1 0 0
0 3 0
0 0 0
1 1 1
0 1 6
0 0 1
Sehingga diperoleh Q:
= [
1 1 1
0 1 6
0 0 1
] .
2. Setelah didapatkan matriks P dan matriks Q, akan ditentukan
matriks yaitu = P A Q .
= P A Q
= [
0 1 0
1 4 0
2/3 1/3 1
] [
4 1 2
1 1 5
3 1 3
] [
1 1 1
0 1 6
0 0 1
]
= [
1 0 0
0 3 0
0 0 0
]
3. Kemudian akan dicari invers dari matriks .
= [
1 0 0
0
1
3
0
0 0 0
]
4. Selanjutnya akan ditentukan matriks G1 yaitu G1 = Q
P,
yaitu:
G1 = Q
P
= [
1 1 1
0 1 6
0 0 1
] [
1 0 0
0
1
3
0
0 0 0
] [
0 1 0
1 4 0
2/3 1/3 1
]
=
[
1 1 0
1 4 0
0 0 0
] ,
Sehingga G1 adalah generalized inverse dari matriks A yaitu:
G1 = [
1/3 1/3 0
1/3 4/3 0
0 0 0
]
Selanjutnya akan dibuktikan G1 adalah generalized inverse dari A
apabila berlaku 1 = ,yaitu :](https://image.slidesharecdn.com/kolokiumferaliagorettisitumorang06081381520035-180429000722/85/Menentukan-generalized-invers-Mariks-3-x-3-7-320.jpg)
![8
基1 = [
4 1 2
1 1 5
3 1 3
] [
1/3 1/3 0
1/3 4/3 0
0 0 0
] = [
1 0 0
0 1 0
2/3 1/3 0
]
基1 = [
1 0 0
0 1 0
2/3 1/3 0
] [
4 1 2
1 1 5
3 1 3
] = [
4 1 2
1 1 5
3 1 3
]
Jadi, terbukti 基1 = A, 1 adalah generalized inverse dari
matriks A.
Selanjutnya akan dicari G2 dengan langkah langkah yang sama
akan dicari matriks P dengan OBE
4 1 2 | 1 0 0 b1 42
1 1 5 | 0 1 0
3 1 3 | 0 0 1 b3 32
Sehingga diperoleh P:
= [
1 1/2 3/2
0 1 0
0 3 1
] ,
untuk mencari matriks Q dicari dengan operasi elementer kolom :
0 0 0
1 1 5
0 -2 12
1 0 0
0 1 0
0 0 1
3 51
0 3 18 | 1 4 0 b3 3/2 b3
1 1 5 | 0 1 0
0 2 12 | 0 3 1
0 0 0 | 1 1/2 3/2
1 1 5 | 0 1 0
0 -2 12 | 0 3 1](https://image.slidesharecdn.com/kolokiumferaliagorettisitumorang06081381520035-180429000722/85/Menentukan-generalized-invers-Mariks-3-x-3-8-320.jpg)
![9
0 0 0
1 1 0
0 2 2
1 0 0
0 1 5
0 0 1
2
3
0 0 0
1 1 0
0 0 2
1 0 0
0 6 5
0 1 1
1 2
0 0 0
0 1 0
0 0 2
1 0 0
6 6 5
1 1 1
Sehingga diperoleh Q:
= [
1 1 1
6 6 5
1 1 1
] .
Selanjutnya mencari matriks
= [
1 1/2 3/2
0 1 0
0 3 1
] [
4 1 2
1 1 5
3 1 3
] [
1 1 1
6 6 5
1 1 1
]
= [
0 0 0
0 1 2
0 0 0
]
Invers matriks
= [
1 0 0
0
1
2
0
0 0 0
]
Mencari G2 dengan G2 = Q
P](https://image.slidesharecdn.com/kolokiumferaliagorettisitumorang06081381520035-180429000722/85/Menentukan-generalized-invers-Mariks-3-x-3-9-320.jpg)
![10
G2 = [
1 1 1
6 6 5
1 1 1
] [
1 0 0
0
1
2
0
0 0 0
] [
1 1/2 3/2
0 1 0
0 3 1
]
= [
0 0 0
0 3/2 5/2
0 1/2 1/2
]
Sehingga G2 adalah generalized inverse dari matriks A yaitu:
G2 = [
0 0 0
0 3/2 5/2
0 1/2 1/2
]
Untuk membuktikan G2 adalah generalized inverse dari matriks A
apabila berlaku 基2 = A
基2 = [
4 1 2
1 1 5
3 1 3
] [
0 0 0
0 3/2 5/2
0 1/2 1/2
] = [
0 1/2 3/2
0 1 0
0 0 0
]
基2 = [
0 1/2 3/2
0 1 0
0 0 0
] [
4 1 2
1 1 5
3 1 3
] = [
4 1 2
1 1 5
3 1 3
]
Jadi terbukti bahwa G2 adalah generalized inverse dari matriks A.
Karena matriks G tidak tunggal maka untuk mencari G3 dapat
dilakukan dengan langkah langkah yang sama.
4. KESIMPULAN
1. Generalized inverse dari sebuah matriks A adalah sebarang matriks G
yang memenuhi persamaan AGA = A.
2. Menentukan generalized inverse dari suatu matriks A dapat dilakukan
dengan dua cara, yaitu :
a. Aturan Pendiagonalan Matriks
b. Aturan Algoritma
3. Generalized inverse dari sebuah matriks bersifat tidak tunggal](https://image.slidesharecdn.com/kolokiumferaliagorettisitumorang06081381520035-180429000722/85/Menentukan-generalized-invers-Mariks-3-x-3-10-320.jpg)
More Related Content
What's hot (20)
Similar to Menentukan generalized invers Mariks 3 x 3 (20)
Recently uploaded (20)
Menentukan generalized invers Mariks 3 x 3
- 1. 1 MENENTUKAN GENERALIZED INVERSE PADA MATRIKS DENGAN MENGGUNAKAN ATURAN PENDIAGONALAN MATRIKS Feralia Goretti Situmorang Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sriwijaya feraliagoretti@yahoo.com Abstrak Suatu matriks mempunyai invers apabila matriks tersebut non-singular dan bujur sangkar. Namun, apabila matriks tersebut singular atau tidak bujur sangkar, inversnya masih dapat ditentukan dengan generalized inverse. Pada makalah ini akan dibahas bagaimana menentukan generalized inverse pada matriks 3 3 dengan menggunakan aturan pendiagonalan matriks. Matriks akan mempunyai generalized inverse apabila dalam proses pengerjaan tidak dibutuhkan invers dari suatu elemen atas yang tidak mempunyai invers terhadap perkalian. Adapun generalized inverse yang diperoleh adalah tidak tunggal. Kata kunci: Bilangan Bulat, Matriks, Generalized Inverse 1. PENDAHULUAN Matriks merupakan salah satu materi pada aljabar, permasalahan pada matriks tidak terlalu asing bagi mahasiswa karena matriks sudah dipelajari pada saat di bangku sekolah menengah. Pada aplikasi matematika perhitungan matriks merupakan suaatu topik yang penting dan dapat digunakan dalam memecahkan berbagai persoalan, contohnya menyelesaikan sistem permasalahan linier, persamaan diferensial, numerik dan lain sebagainya. Pada perhitungan matriks terdapat beberapa operasi matriks, antara lain penjumlahan matriks, perkalian matriks, determinan dari matriks dan menentukan invers dari matriks. Suatu matriks mempunyai invers apabila matriks itu merupakan matriks bujur sangkar dan non singular. Dengan kata lain bahwa hanya matriks bujur sangkar dan non singular yang memiliki invers. Berdasarkan jurnal yang berjudul A Generalized Inverse for Matrices karangan R. Penrose (1954) bahwasanya bukan hanya matriks bujur sangkar yang mempunyai invers, tetapi matriks yang tidak bujur sangkar atau singular juga mempunyai invers yang disebut generalized inverse.
- 2. 2 Generalized inverse telah banyak dibahas dan diteliti diantaranya, Jeff Gill and King dalam jurnal yang berjudul What is the Generalized Inverse of a Matrix? yang telah membahas mengenai menentukan generalized inverse pada matriks. Selanjutnya, I.A Adetunde, dkk (2010) pada jurnal yang berjudul On The Generalized Inverse of a Matrix yang membahas tentang menentukan generalized inverse pada matriks singular dan matriks bujur sangkar serta penerapannya pada sistem persamaan linear. Selanjutnya penelitian yang sudah dilakukan oleh Desi Murnita (2012), yakni tentang Penyelesaian Invers Matriks Menggunakan Metode Generalized Inverse, yang membahas bagaimana menentukan generalized inverse dari matriks yang tidak bujur sangkar berukuran dan matriks bujur sangkar yang berukuran yang singular. Berdasarkan latar belakang di atas, penulis tertarik menulis makalah dengan judul Menentukan Generalized Inverse pada Matriks 3 3 dengan Menggunakan Aturan Pendiagonalan Matriks. Pada Makalah ini akan bermanfaat untuk mengetahui tentang Generalized Inverse pada Matriks. Berdasarkan uraian diatas makalah ini memiliki tujuan yang mana pembaca dapat menentukan Generalized Inverse pada Matriks dengan Menggunakan Aturan Pendiagonalan Matriks. 2. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Matriks Matriks mempunyai peranan yang penting di dalam matematika. Pentingnya peranan matriks ini dapat dilihat begitu banyaknya penggunaan matriks pada berbagai bidang antara lain aljabar, statistika, numerik, persamaan differensial dan lain-lain. Adapun defenisi dari suatu matriks dijelaskan sebagai berikut : Definisi 2.1.1 Sebuah matriks adalah susunan segiempat siku-siku dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan tersebut dinamakan entri dalam matriks. Ukuran dari matriks dinyatakan dalam bentuk jumlah baris (horizontal) dan jumlah kolom (vertikal) yang memuatnya. (Anton, 2000)
- 3. 3 Bentuk umum suatu matriks adalah sebagai berikut : = [ 11 12 21 22 1 2 1 2 ] Matriks di atas mempunyai ukuran m baris dan n kolom dan dinotasikan dengan . Secara singkat sebuah matriks A dapat dinotasikan sebagai berikut: = [] atau = [] . Definisi 2.1.2 Suatu matriks yang banyaknya dan kolomnya sama ( m = n ), yang dinotasikan dengan Ann , disebut matriks bujur sangkar. (Anton, 2000) = [ 11 12 1 21 1 22 2 2 ] Definisi 2.1.3 Leon (2001)Misalkan dengan semua entri pada diagonalnya adalah satu dan nol, selainnya disebut matriks identitas , dinotasikan dengan: = [ 1 0 0 1 0 0 0 0 1 ] dengan kata lain, = () dimana = 1 untuk = dan = 0 untuk . Definisi 2.1.4 Anton (2000) Matriks segitiga atas adalah matriks bujur sangkar yang semua entri dibawah diagonal utamanya adalah nol atau = 0 untuk suatu > . [ 11 12 0 22 0 0 0 0 0 1 2 ]. Matriks segitiga bawah adalah matriks bujur sangkar yang semua entri di atas diagonal utamanya adalah nol atau aij = 0 untuk suatu i < j. [ 11 0 0 21 22 0 1 2 0 0 0 ] Definisi 2.1.5 Suatu matriks bujur sangkar disebut singular apabila det () = 0. Jika det () 0 maka A disebut nonsingular. Matriks yang singular
- 4. 4 tidak mempunyai invers. Sedangkan matriks nonsingular mempunyai invers. (Suryadi HS, 1991) 2.2 Invers Matriks Definisi Jika adalah sebuah matriks bujur sangkar, dan jika sebuah matriks yang berukuran sama bisa didapatkan sedemikian sehingga 基 = 巨=I , maka disebut bisa dibalik dan disebut invers dari . (Anton, 2000) 2.3 Sifat-sifat Invers Definisi 2.3.1 Jika A adalah matriks bujur sangkar, dan jika diperoleh matriks 癌1 sehingga 基癌1 = 癌1 = , maka dikatakan dapat dibalik ( invertible ) dan 癌1 disebut invers dari . (Anton, 2000) Definisi 2.3.2 Jika adalah matriks bujur sangkar, maka definisi dari pangkat bilangan bulat tak negatif dari A adalah 0 = dan = 癌 ( > 0), Selanjutnya, jika A dapat dibalik maka definisi dari pangkat bilangan bulat negatif dari A adalah 1 = ( 1) = 癌1 癌1 癌1 癌1 癌1 . (Anton, 2000) 2.4 Determinan Definisi 2.4.1 Misalkan adalah matriks kuadrat. Fungsi determinan dinyatakan oleh det () sebagai jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari . 3. PEMBAHASAN 3.1 Generarlized Inverse Selama ini yang diketahui matriks yang memiliki invers adalah matriks bujur sangkar dan non singular. Akan tetapi bila diberikan permasalahan untuk matriks yang tidak bujur sangkar atau singular, maka kita dapat menentukan invers dari matriks tersebut yang dinamakan generalized inverse. Definisi 2.5 Otero (1998): Jika adalah matriks berukuran , maka G adalah generalized inverse dari A dengan ukuran matriks apabila berlaku 基咋 = . Adapun matriks G ini tidak tunggal. Ada dua cara yang digunakan untuk menemukan generalized inverse dari sebuah matriks yaitu :
- 5. 5 1. Aturan algoritma. 2. Aturan pendiagonalan matriks. 3.2 Aturan Pendiagonalan Matriks Suryana (1971) : 1. Diketahui matriks sembarang A yang berukuran n x n. 2. Akan dicari matriks P dan matriks Q. Matriks P dicari dengan menggunakan operasi elementer baris, sedangkan matriks Q dicari dengan menggunakan operasi elementer kolom. 3. Setelah didapatkan matriks P dan matriks Q, akan ditentukan matriks yaitu = P A Q. 4. Kemudian akan dicari invers dari matriks . 5. Selanjutnya akan ditentukan matriks G yaitu G = Q P. G adalah generalized inverse dari matriks A. 3.3 Menentukan Generalized Inverse pada Matriks Menggunakan Aturan Pendiagonalan Matriks Contoh : Akan ditentukan generalized inverse dari matriks A dengan ordo 3 x 3 dengan menggunakan aturan pendiagonalan matriks, yaitu : = [ 4 1 2 1 1 5 3 1 3 ] Penyelesaian : Sebelum masuk kedalam langkah langkah menentukan generalized inverse, maka dilihat dulu bahwa matriks A memiliki determinan 0 atau tidak, jika tidak nol maka bisa dilakukan pencarian dengan invers biasa namun jika sama dengan nol maka dicari dengan aturan pendiagonalan. Mencari determinan dengan metode sarrus : Det A = (12+15+2) (3+20+6) = 0 Selanjutnya mencari generalized inverse dengan menggunakan aturan pendiagonalan matriks adalah sebagai berikut : 1. Diketahui matriks A ordo 3 x 3. Akan di cari matriks P dan matriks Q dengan melakukan operasi baris elementer dan operasi kolom elementer. Untuk matriks P dicari dengan operasi elementer baris:
- 6. 6 4 1 2 | 1 0 0 1 1 5 | 0 1 0 b1 b2 3 1 3 | 0 0 1 Sehingga diperoleh P: = [ 0 1 0 1 4 0 2/3 1/3 1 ] , untuk mencari matriks Q dicari dengan operasi elementer kolom : 1 1 5 0 3 18 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1 3 51 1 0 0 0 3 18 0 0 0 1 1 5 0 1 0 0 0 1 3 61 1 1 5 | 0 1 0 4 1 2 | 1 0 0 b2 4b1 3 1 3 | 0 0 1 b3 3b1 1 1 5 | 0 1 0 0 3 18 | 1 4 0 0 -2 12 | 0 3 1 b3 2/3 b1 1 1 5 | 0 1 0 0 3 18 | 1 4 0 0 0 0 | 2/3 1/3 1
- 7. 7 1 0 0 0 3 0 0 0 0 1 1 1 0 1 6 0 0 1 Sehingga diperoleh Q: = [ 1 1 1 0 1 6 0 0 1 ] . 2. Setelah didapatkan matriks P dan matriks Q, akan ditentukan matriks yaitu = P A Q . = P A Q = [ 0 1 0 1 4 0 2/3 1/3 1 ] [ 4 1 2 1 1 5 3 1 3 ] [ 1 1 1 0 1 6 0 0 1 ] = [ 1 0 0 0 3 0 0 0 0 ] 3. Kemudian akan dicari invers dari matriks . = [ 1 0 0 0 1 3 0 0 0 0 ] 4. Selanjutnya akan ditentukan matriks G1 yaitu G1 = Q P, yaitu: G1 = Q P = [ 1 1 1 0 1 6 0 0 1 ] [ 1 0 0 0 1 3 0 0 0 0 ] [ 0 1 0 1 4 0 2/3 1/3 1 ] = [ 1 1 0 1 4 0 0 0 0 ] , Sehingga G1 adalah generalized inverse dari matriks A yaitu: G1 = [ 1/3 1/3 0 1/3 4/3 0 0 0 0 ] Selanjutnya akan dibuktikan G1 adalah generalized inverse dari A apabila berlaku 1 = ,yaitu :
- 8. 8 基1 = [ 4 1 2 1 1 5 3 1 3 ] [ 1/3 1/3 0 1/3 4/3 0 0 0 0 ] = [ 1 0 0 0 1 0 2/3 1/3 0 ] 基1 = [ 1 0 0 0 1 0 2/3 1/3 0 ] [ 4 1 2 1 1 5 3 1 3 ] = [ 4 1 2 1 1 5 3 1 3 ] Jadi, terbukti 基1 = A, 1 adalah generalized inverse dari matriks A. Selanjutnya akan dicari G2 dengan langkah langkah yang sama akan dicari matriks P dengan OBE 4 1 2 | 1 0 0 b1 42 1 1 5 | 0 1 0 3 1 3 | 0 0 1 b3 32 Sehingga diperoleh P: = [ 1 1/2 3/2 0 1 0 0 3 1 ] , untuk mencari matriks Q dicari dengan operasi elementer kolom : 0 0 0 1 1 5 0 -2 12 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 51 0 3 18 | 1 4 0 b3 3/2 b3 1 1 5 | 0 1 0 0 2 12 | 0 3 1 0 0 0 | 1 1/2 3/2 1 1 5 | 0 1 0 0 -2 12 | 0 3 1
- 9. 9 0 0 0 1 1 0 0 2 2 1 0 0 0 1 5 0 0 1 2 3 0 0 0 1 1 0 0 0 2 1 0 0 0 6 5 0 1 1 1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 6 6 5 1 1 1 Sehingga diperoleh Q: = [ 1 1 1 6 6 5 1 1 1 ] . Selanjutnya mencari matriks = [ 1 1/2 3/2 0 1 0 0 3 1 ] [ 4 1 2 1 1 5 3 1 3 ] [ 1 1 1 6 6 5 1 1 1 ] = [ 0 0 0 0 1 2 0 0 0 ] Invers matriks = [ 1 0 0 0 1 2 0 0 0 0 ] Mencari G2 dengan G2 = Q P
- 10. 10 G2 = [ 1 1 1 6 6 5 1 1 1 ] [ 1 0 0 0 1 2 0 0 0 0 ] [ 1 1/2 3/2 0 1 0 0 3 1 ] = [ 0 0 0 0 3/2 5/2 0 1/2 1/2 ] Sehingga G2 adalah generalized inverse dari matriks A yaitu: G2 = [ 0 0 0 0 3/2 5/2 0 1/2 1/2 ] Untuk membuktikan G2 adalah generalized inverse dari matriks A apabila berlaku 基2 = A 基2 = [ 4 1 2 1 1 5 3 1 3 ] [ 0 0 0 0 3/2 5/2 0 1/2 1/2 ] = [ 0 1/2 3/2 0 1 0 0 0 0 ] 基2 = [ 0 1/2 3/2 0 1 0 0 0 0 ] [ 4 1 2 1 1 5 3 1 3 ] = [ 4 1 2 1 1 5 3 1 3 ] Jadi terbukti bahwa G2 adalah generalized inverse dari matriks A. Karena matriks G tidak tunggal maka untuk mencari G3 dapat dilakukan dengan langkah langkah yang sama. 4. KESIMPULAN 1. Generalized inverse dari sebuah matriks A adalah sebarang matriks G yang memenuhi persamaan AGA = A. 2. Menentukan generalized inverse dari suatu matriks A dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu : a. Aturan Pendiagonalan Matriks b. Aturan Algoritma 3. Generalized inverse dari sebuah matriks bersifat tidak tunggal
- 11. 11 DAFTAR PUSTAKA Adi, Ben-Israel, N.E. Greville, Thomas. 1973. Generalized Inverse Theory and Application. Second Edition, Canadian Mathematical Society Societe mathematique du canada. Anton, Howard dan Rorres, Chriss. 2004. Aljabar Linear Elementer Versi Aplikasi Edisi Kedelapan. Erlangga. Jakarta. Anton, Howard. 2000. Dasar-dasar Aljabar Linier, Jilid 1. Interaksara. Batam Center. Murnita, Desi. 2012. Penyelesaian Invers Matriks Menggunakan Metode Generalized Inverse. Skripsi. UIN SUSKA RIAU. Pekanbaru. Otero,J. 1998. Generalized Inverse matrices and the Gauss-Markov Theorema, Seccion Departamental de Astronomia y Geodesia Universidad Complutense de Madrid. Publicacion num 192. Munir, Rinaldi. 2005. Matematika Diskrit. Edisi ketiga. Informatika Bandung. Bandung. Suryana. Generalized Inverses Matrices. Disarikan dari Linear Models oleh Searle. S. R, John Wiley & Sons 1971. Inc: New York 1-7.
- 12. 12 LAMPIRAN PERTANYAAN 1. PERTANYAAN NOVI SURYANI Apakah generalized invers lebih mudah dari metode sebelumnya? JAWABAN: Sebenarnya Generalized invers hanya untuk mencari invers dari matriks singgular (determinannya sama dengan nol) dan matriks m n, karena pada matriks tersebut jika dicari dengan metode biasa tidak memiliki invers maka digunakan aturan pendiagonalan dan aturan algorima untuk mencari inversnya, nah inversnya itu dinamakan Generalized invers (dijawab waktu persentasi) 2. PERTANYAAN ROGAYAH Generalized invers untuk matriks bukan bujur sangkar sedangkan di contohnya yang diberikan matriks n n, apakah untuk pendiagonalan matriks ini hanya untuk matriks n n? JAWABAN: Iya di pendiagonalan hanya matriks n n, tetapi matriks n n yang determinannya sama dengan nol (singgular) untuk yang m n, menggunakan aturan algoritma, seperti berikut : ( dijawab waktu persentasi)
- 13. 13 3. PERTANYAAN DR.ELY SUSANTI, S.PD., M.PD. 1. Apa itu Generalized invers? JAWAB : Generalized invers adalah invers dari matriks singgular (determinannya sama dengan nol) dan matriks m n (dijawab waktu persentasi) 2. Saran, coba dibuktikan terlebih dahulu jika mariks tersebut adalah singgular JAWAB : Sudah diperbaiki di penyelesaiannya 3. Apakah Generalized invers itu sama dengan A-1? JAWAB : Iya sama, karena jika matriks A A1 A = A, begitu juga A G A = A, sehingga dapat disimpulkan G = A1 (dijawab waktu persentasi)