�ݺ�ߣ

Geskiedenis
 Bekendgestel in die 1630s
 Franse wiskundige, RENE
DESCARTES (1596-1650) and
PIERRE DE FERMAT (1601-1665),
het onafhanklik van mekaar die
fondasies vir analitiese
meetkunde ontwikkel.
Descartes
De Fermat

Vinnige Feit
 Rudolf Bauer (1889-1953) het
analitiese meetkunde in sy
kunswerke gebruik.

CARTESIESE KOÖRDINAAT
SISTEEM
Meetkundige
figure kan op die
Cartesiese vlak
voorgestel word.

Die Cartesiese koördinaat sisteem bestaan uit:
x-as (horisontale as) waar die x-waardes aangedui
word.
y-as (vertikale as) waar die y-waardes aangedui
word.
oorsprong, voorgestel deur 0, merk die waarde van
nul op albei asse.
koördinate gegee in die vorm (x; y) en word gebruik
om die verskillende punte op die Cartesiese vlak
voor te stel.

Plot die punte A(1; -2), B(-3; -4), C(-2; 1), D(3; 2)
en E op die Cartesiese vlak.
Voorbeeld

Belangrike Konsepte
Afstand tussen
twee punte
Gradiënt/Helling van
die lynsegment wat
twee punte verbind
Koördinate van die
middelpunt van ‘n
lynsegment

Afstand tussen twee punte
Punt :
‘n Geordende paar getalle geskryf soos volg (x; y).
Afstand:
‘n Maatstaf van lengte tussen twee punte.
Definisies:

Bladsy 240
As S(-5;0), T(-3;0), P(1;0) en Q(3;0) vier
punte op die 𝑥 – as in die Cartesiese vlak is:
a) bepaal die lengte van PQ
b) bepaal die lengte van TP
c) bepaal die lengte van ST.
Voorbeeld

Oplossing:
● ● ● ●
P QS T
a) PQ = 𝑥 𝑄 − 𝑥 𝑃 b) TP = 𝑥 𝑃 − 𝑥 𝑇 c) ST = 𝑥 𝑇 − 𝑥 𝑆
PQ = 3 − 1
PQ = 2
TP = 1 - (-3)
TP = 4
ST = -3 - (-5)
ST = 2

Bladsy 240
Voorbeeld
drie
punte in ‘n
Cartesiese vlak is:
a) bepaal die lengte
van AB
b) bepaal die lengte van CA
c) bepaal die lengte van BC
As A(2;2), B(2;-1)
en C(2; -3)
●
●
●
A(2;2)
B(2;-1)
C(2;-3)

Oplossing
a) AB = 𝑦 𝐴 − 𝑦 𝐵
AB = 2 − (−1)
AB = 3
(𝑦 𝐴 > 𝑦 𝐵)
b) CA = 𝑦 𝐴 − 𝑦 𝐶 (𝑦 𝐴 > 𝑦 𝐶)
CA = 2 − (−3)
CA = 5
c) BC = 𝑦 𝐵 − 𝑦 𝐶 (𝑦 𝐵 > 𝑦 𝐶)
BC = −1 − (−3)
BC = 2
●
●
●
A(2;2)
B(2;-1)
C(2;-3)

Voorbeeld
A(7;4)
●
●
B(-3;-1)

Afstand
ONTHOU:
Afstand is
ALTYD
positief
Die formule om die afstand tussen twee
punte, en te bereken is:

A(1;1)
B(-1;-1) C(1;-1)
●
●
●
Stelling van Pythagoras:

Om die algemene formule vir die afstand tussen twee
punte A en B te vind, maak ons gebruik
van die stelling van Pythagoras (ABC is ‘n reghoekige
driehoek):
EN

Oplossing
𝑑 = (𝑥 𝐴 − 𝑥 𝐵)2+(𝑦 𝐴 − 𝑦 𝐵)2
= (7 − −3 )2+(4 − −1 )2
= 102 + 52
= 125
= 5 5 𝑒𝑒𝑛ℎ𝑒𝑑𝑒

Voorbeeld
Gebruik die afstand formule en bepaal die
lengte van TS indien S(-2; -5) en T(7; -2).
Wenk: Teken ‘n skets om jou te help.

Laat die koördinate van S en die koördinate
van T
Oplossing
Dus, die afstand tussen S en T is 9,5 eenhede

Voorbeeld
Oplossing
a) Bereken die omtrek van
∆PQR met hoekpunte
P(-1;3), Q(1;1) en R(6;6).
Bereken die lengte van elke
sy van die driehoek.
𝐏𝐐 = (𝒙 𝑸 − 𝒙 𝑷) 𝟐 + (𝒚 𝑸 − 𝒚 𝑷) 𝟐
PQ = (1 + 1)2+ (1 − 3)2
PQ = 4 + 4
PQ = 8
PQ = 2 2
P(-1;3)
Q(1;1)
R(6;6)

QR
= (𝑥 𝑅 − 𝑥 𝑄)2 + (𝑦 𝑅 − 𝑦 𝑄)2
= (6 − 1)2+ (6 − 1)2
= 25 + 25
= 50 = 5 2
= (𝑥 𝑅 − 𝑥 𝑃)2 + (𝑦 𝑅 − 𝑦 𝑃)2
= (6 + 1)2+ (6 − 3)2
= 49 + 9
∴ 𝑃𝑅 = 58
PR

Omtrek van ∆PQR
= 2 2 + 5 2 + 58
= 7 2 + 58
= PQ + QR + PR

Voorbeeld Bladsy 244
Bereken die waardes van 𝑥 waarvoor die punte
M(-2;1) en N(𝑥; -7) ewe ver van P(1;-4) is.
●
●
● ●
M(-2;1)
P(1;-4)
𝑁1(𝑥1;-7) 𝑁2(𝑥2;-7)

N(𝑥;-7) lê êrens op die
reguitlyn 𝑦 = −7 en
PN = PM, een punt, 𝑁1,
lê in die 3 𝑑𝑒
kwadrant
en een punt, 𝑁2, lê in
die 4 𝑑𝑒
kwadrant.
Dus 𝑥1 < 0 en 𝑥2 > 0.
MP = PN
=
=
0 = 𝑥2
− 2𝑥 − 24
(1 + 2)2 + (−4 − 1)2 (𝑥 − 1)2+ (−7 + 4)2
9 + 25 𝑥2 − 2𝑥 + 1 + 9
(𝑥 𝑃 − 𝑥 𝑀)2 + (𝑦 𝑃 − 𝑦 𝑀)2
= (𝑥 𝑁 − 𝑥 𝑃)2 + (𝑦 𝑁 − 𝑦 𝑃)2

Dus 𝑥 = 6
∴ 𝑥1 = −4
∴ 𝑥2
− 2𝑥 − 24 = 0
∴ 𝑥 − 6 𝑥 + 4 = 0
of 𝑥 = −4
en 𝑥2 = 6

Middelpunt
van ‘n
lynsegment

A(9; 6)
B(1; 1) ●
●
●
M(𝑥; 𝑦)

Voorbeeld
Bereken die koördinate van die middelpunt
F(x; y) van die lynsegment tussen punt
E(2; 1) en punt G(-2; -2).
Teken ‘n skets:

Laat die koördinate van G en die koördinate
van E
Dus, die middelpunt F
Oplossing

Voorbeeld
Die lyn tussen punt C(-2; 4) en punt D(x; y) het
die middelpunt M(1; -3). Vind die koördinate van
punt D.
Teken ‘n skets
D in Kwadrant IV:
+ x-koördinaat &
- y-koördinaat

Laat die koördinate van C en die koördinate
van D
Vervang die waardes van C en M en los op vir die onbekendes
Oplossing
Dus, D(4; -10)

Voorbeeld
ABCD is ‘n parallelogram
met hoekpunte A(2; 3),
B(7; -5), C(3; -11) en
D(𝑥 𝐷; 𝑦 𝐷).
Bereken die koördinate
van D.
Bladsy 250
●
A(2; 3)
●
B(7; -5)
●
●
D(𝑥 𝐷; 𝑦 𝐷)
C(3; -11)
Voltooi die parallelogram en trek die hoeklyne.

ONTHOU: Die hoeklyne van die
parallelogram halveer mekaar
E
F G
H

OplossingDie hoeklyne van ‘n ∥ 𝑚 halveer
mekaar en dus is
AM = MC en DM = MB.
Bepaal die middelpunt van
AC eerste:
M
𝑥 𝐴 + 𝑥 𝐶
2
;
𝑦 𝐴 + 𝑦 𝐶
2
M
2 + 3
2
;
3 − 11
2
M
5
2
; −4
●
A(2; 3)
●
B(7; -5)
●
●
C(3; -11)

=
𝑥 𝐷 + 𝑥 𝐵
2
;
𝑦 𝐷 + 𝑦 𝐵
2
=
𝑥 𝐷 + 7
2
;
𝑦 𝐷 − 5
2
𝑥 𝐷+7
2
=
5
2
𝑥 𝐷 = −2
𝑦 𝐷−5
2
= -4
𝑦 𝐷 − 3
Dus D (-2;-3)
●
A(2; 3)
●
B(7; -5)
●
●
C(3; -11)
M
5
2
; −4

Verryking
Stel jy word verskaf met 2 punte. A(2;7) en B(-4;-2). Wat
is die koordinate van punt C en D onderskeidelik, wat
lynsegment AB in 3 ewe groot dele verdeel?

Gradiënt van ‘n
lynsegment
Definisie:
Gradiënt:
Die gradiënt van ‘n lyn word bepaal deur die skaal
van die vertikale verandering tot die horisontale
verandering.

Die helling of gradiënt, 𝑚, van ‘n lyn is ‘n
meting van sy steilte.
Ons definieer die gradiënt, of helling (inklinasie),
𝑚, van ‘n lyn met:
𝑚 =
𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑘𝑎𝑙𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒𝑟𝑖𝑛𝑔
𝐻𝑜𝑟𝑖𝑠𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒𝑟𝑖𝑛𝑔
=
∆𝑦
∆𝑥
Die notasie
∆𝑦
∆𝑥
word gelees die verandering in y
gedeel deur die ooreenstemmende verandering
in x.
Gradiënt

Gradiënt (m) beskryf die steilte van die lyn
tussen twee punte.
Die lyn OT is
die steilste

Teken ‘n skets.
Stel die punte G(7; -9) en H(x; 0), met = 3.
Vind x.
Voorbeeld

Laat die koordinate van G en die koordinate van H
Dus, H(10; 0)

Ewewydige lyne
Ons definieer enige twee
nie-vertikale lyne as
ewewydige
Lyne as hulle gradiënte
gelyk is.
Die lyne 𝑙1 en 𝑙2 is ewewydig
as hulle gelyke gradiënte:
𝑚1 = 𝑚2.
●
●
●
●
𝑙1
𝑙2
𝑙1 ∥ 𝑙2 slegs as 𝑚1 = 𝑚2

Loodregte lyne
(a) (b) (c)
𝑙1
𝑙2
𝑙1
𝑙2
𝑙1
𝑙2
Gradiënt van 𝑙1
=
2
3
Gradiënt van 𝑙2
=
−3
2
𝑙1 × 𝑙2
=
2
3
×
−3
2 = -1
Gradiënt van 𝑙1
=
−1
2
Gradiënt van 𝑙2
= 2
𝑙1 × 𝑙2
=
−1
2
× 2 = -1
Gradiënt van 𝑙1
= - 1
Gradiënt van 𝑙2
= 1
𝑙1 × 𝑙2
= −1 × 1 = −𝟏

Veronderstelling
●
●
●
O
𝑙1
𝑙2
𝑚1 × 𝑚2 = −1
● As die gradiënt van
𝑙1 =
𝑎
𝑏
𝑎, 𝑏 ≠ 0,
dan is die gradiënt van
𝑙2 loodreg tot 𝑙1 = −
𝑏
𝑎
,
● As 𝑙1 en 𝑙2 loodregte
lyne is met gradiënte 𝑚1
en 𝑚2, onderskeidelik, dan
is 𝑚1 × 𝑚2 = -1

O
𝑙1
𝑙2
As 𝑙1 ‘n horisontale lyn is en 𝑙2 ‘n vertikale lyn is:
● die gradiënt (helling) van 𝑙1 is 𝑚 = 0.
● die gradiënt (helling) van 𝑙2 is ongedefinieer.
Nota

Bladsy 255
Voorbeeld
●
●
●
●
A(3; -1)
B(8; 4)
C(7; 11)
D(2; 6)
O
ABCD is ‘n vierhoek met hoeklyn AC en BD.
Bewys dat: a) 𝐴𝐵 ∥ 𝐷𝐶
𝑏) 𝐴𝐶 ⊥ 𝐷𝐵

Oplossing
a) 𝑚 𝐴𝐵 =
4 −(−1)
8 −3
=
5
5
= 1
𝑚 𝐷𝐶 =
11 − 6
7 − 2
=
5
5
= 1
𝑚 𝐴𝐵 = 𝑚 𝐷𝐶
Dus 𝐴𝐵 ∥ 𝐷𝐶

b) 𝑚 𝐴𝐶 =
11 −(−1)
7 −3
=
12
4
= 3
𝑚 𝐷𝐵 =
4 − 6
8 − 2
=
−2
6
=
−1
3
𝑚 𝐴𝐶 × 𝑚 𝐷𝐵
Dus 𝐴𝐶 ⊥ 𝐷𝐵
= 3 ×
−1
3
= −1

Bladsy 256Voorbeeld
●
●
●
●
A(-1; 3)
B(2; 4)
C(6; 0)
𝐷1
𝑎) 𝐴𝐵 ∥ 𝐶𝐷
Bepaal die punt D in elke geval as die punte A, B, C en
D gegee word as:
A(-1; 3), B(2; 4), C(6; 0) en D(𝑥, 4).

Oplossing In die skets is A, B en C vaste punte.
a) Vir 𝐴𝐵 ∥ 𝐷𝐶
𝑚 𝐴𝐵 = 𝑚 𝐷𝐶
𝑦 𝐵 − 𝑦 𝐴
𝑥 𝐵 − 𝑥 𝐴
=
𝑦 𝐶 − 𝑦 𝐷
𝑥 𝐶 − 𝑥 𝐷
4 − 3
2 + 1
=
0 − 4
6 − 𝑥 𝐷
1 × 6 − 𝑥 𝐷 = −4 × 3
−𝒙 𝑫 = −𝟏𝟐 − 𝟔
𝒙 𝑫 = 𝟏𝟖
∴ 𝑫 𝟏(𝟏𝟖; 𝟒)

●
●
●
●
A(-1; 3)
B(2; 4)
𝐷2
C(6; 0)
𝑏) 𝐴𝐵 ⊥ 𝐷𝐶
Bepaal die punt D in elke geval as die punte A, B, C en
D gegee word as:
A(-1; 3), B(2; 4), C(6; 0) en D(𝑥, 4).

In die skets is A, B en C vaste punte.
b) Vir 𝐴𝐵 ⊥ 𝐷𝐶
𝑚 𝐴𝐵 × 𝑚 𝐷𝐶
𝑦 𝐵 − 𝑦 𝐴
𝑥 𝐵 − 𝑥 𝐴
×
𝑦 𝐶 − 𝑦 𝐷
𝑥 𝐶 − 𝑥 𝐷
4 − 3
2+1
×
0 −4
6 −𝑥
= −1
1
3
×
−4
6 −𝑥
= −1
𝒙 𝑫 = 𝟒
𝟐
𝟑
∴ 𝑫 𝟐(𝟒
𝟐
𝟑
; 𝟒)
= −1
= −1 −4
3(6 − 𝑥)
= −1

Bladsy 256
Voorbeeld
Bewys dat A(-2; 3), B(0; 2)
En C(1; 1
1
2
) kollineêr (op
‘n reguitlyn) is.
𝑚 𝐴𝐵 =
3 − 2
−2 − 0
= −
1
2
𝑚 𝐵𝐶 =
2 − 1
1
2
0 − 1
=
1
2
−1
𝑚 𝐵𝐶 = −
1
2
𝑚 𝐴𝐵 = 𝑚 𝐵𝐶
Dus A, B en C kollineêr.
●
●
●
A(-2; 3) B(0; 2)
C(1; 1
1
2
)

Horisontale lyne
Lyne wat parallel is met die
x-as.

Vertikale lyne
Lyne wat parallel is met die
y-as.
Dus, m = ongedef..

�ݺ�ߣ

Analitiese meetkunde

More Related Content

Analitiese meetkunde