�ݺ�ߣ

‫التستاذ‬‫عبد‬ :‫العزيز‬‫بن‬‫مرزوق‬
‫التاتسعة‬‫أتساتسي‬
I‫مقارنة‬ _‫عددين‬‫حقيقيين‬:
)1–‫قاعدة‬:
)2–‫أمثلة‬:
)1‫لنقارن‬ --‫العددين‬:2 3 4−‫و‬3 5−
‫لدينا‬:
( ) ( )2 3 4 3 5 2 2 4 3 5
2 3 3 5 4
3 1
− − − = − − +
= − + −
= +
‫و‬‫بما‬‫أن‬:3 1 0+ ≥‫فإن‬:( ) ( )2 3 4 3 5 0− − − ≥
‫و‬‫منه‬‫فإن‬:2 3 4 3 5− ≥ −
)2‫لنقارن‬ --‫العددين‬:x‫و‬y‫بحيث‬:3x y= −.
‫لدينا‬:3x y− = −
‫و‬‫بما‬‫أن‬:3 0− ≤‫فإن‬:0x y− ≤.
‫و‬‫منه‬‫فإن‬:x y≤
II‫الترتيب‬ _‫و‬‫العمليات‬:
)1–‫الترتيب‬‫و‬‫الجمع‬:
‫و‬. ‫حقيقيان‬ ‫عددان‬
‫كان‬ ‫إذا‬‫فإن‬
‫العداد‬ ‫مجموعة‬ ‫في‬ ‫الحصر‬ ‫و‬ ‫التـرتيــب‬
‫الحقيقية‬

‫خاصية‬ -- )‫أ‬:
‫مثال‬ *:
‫نعتبر‬x‫عددا‬‫حقيقيا‬‫بحيث‬:3x <.
‫لنقارن‬‫العددين‬2−‫و‬5x −.
‫لدينا‬:3x <
‫يعني‬‫أن‬:
( ) ( )5 3 5
5 3 5
x
x
+ − < + −
− < −
‫و‬‫بالتالي‬‫فإن‬:5 2x − < −
‫خاصية‬ -- )‫ب‬:
‫مثال‬ *:
x‫و‬y‫عددان‬‫حقيقيان‬‫بحيث‬:3x <‫و‬2 y>.
‫لنبين‬‫أن‬:5x y+ <.
‫لدينا‬:
3
2
x
y
< 

> 
3
2
x
y
< 

< 
‫إذن‬:2 3x y+ < +
‫و‬‫باتالي‬‫فإن‬:5x y+ <
)2–‫الترتيب‬‫و‬‫الضرب‬:
‫و‬‫و‬. ‫حقيقية‬ ‫أعداد‬
‫و‬‫و‬‫و‬. ‫حقيقية‬ ‫أعداد‬
‫فإن‬ ‫و‬ ‫كان‬ ‫إذا‬

‫خاصية‬ -- )‫أ‬:
‫مثال‬ *:
‫لدينا‬:11 27≤‫يعني‬‫أن‬11 5 27 5× ≤ ×
11 27≤‫يعني‬‫أن‬( ) ( )11 4 27 4× − ≥ × −
‫خاصية‬ -- )‫ب‬:
‫مثال‬ *:
x‫و‬y‫عددان‬‫حقيقيان‬‫موجبان‬‫بحيث‬:3x <‫و‬2 6y <.
‫لنبين‬‫أن‬:6 3xy <.
‫لدينا‬:
3
2 6
x
‫وووووو‬‫و‬
y
< 

< 
‫وبالتالي‬‫فإن‬:
)3–‫الترتيب‬‫و‬‫المقلوب‬:
‫خاصية‬ -- )‫أ‬:
‫و‬‫و‬. ‫حقيقية‬ ‫أعداد‬
‫كان‬ ‫إذا‬‫و‬‫فإن‬
‫و‬‫و‬‫و‬. ‫حقيقية‬ ‫أعداد‬
‫فإن‬ ‫و‬ ‫كان‬ ‫إذا‬
2
3 2 6
2 3 6
2 18
2 9 2
2 3 2
2 3 2
x y
xy
xy
xy
xy
xy
× < ×
< ×
<
< ×
< ×
< ×
6 2xy <

‫مثال‬ -- )‫ب‬:
‫لدينا‬:7 13≤‫يعني‬‫أن‬
1 1
7 13
≥
11 5≥‫يعني‬‫أن‬
1 1
11 5
≤
)4–‫الترتيب‬‫و‬‫المربع‬:
‫خاصية‬ -- )‫أ‬:
‫مثال‬ *:
5 11≤‫يعني‬‫أن‬
2 2
5 11≤‫أي‬25 121≤.
‫خاصية‬ -- )‫ب‬:
‫مثال‬ *:
7 2− ≤ −‫يعني‬‫أن‬( ) ( )2 2
7 4− ≥ −‫أي‬49 16≥
)5–‫الترتيب‬‫و‬‫الجذر‬‫المربع‬:
‫خاصية‬ -- )‫أ‬:
‫و‬. ‫قطعا‬ ‫موجبان‬ ‫حقيقيان‬ ‫عدادن‬
‫و‬. ‫موجبان‬ ‫حقيقيان‬ ‫عددان‬
‫و‬. ‫سالبان‬ ‫حقيقيان‬ ‫عددان‬
‫و‬. ‫موجبان‬ ‫حقيقيان‬ ‫عددان‬

‫أمثلة‬ *:
)1–‫لنقارن‬‫العددين‬:10‫و‬3 3.
‫لدينا‬:
( )
2
2
10 10
3 3 27
= 

= 

‫إذن‬( )
22
10 3 3≤‫و‬‫منه‬‫فإن‬10 3 3≤
)2–‫لنقارن‬‫العددين‬:6−‫و‬3 2−.
‫لدينا‬:
( )
2
2
6 6
3 2 18
= 

= 

‫إذن‬( )
22
6 3 2≤‫و‬‫منه‬‫فإن‬6 3 2≤‫و‬ .‫بالتالي‬‫فإن‬:
6 3 2− ≥ −
III‫الحصر‬ _:
)1–‫حصر‬‫مجموع‬‫عددين‬:
‫مثال‬ *:
x‫و‬y‫عددان‬‫حقيقيان‬‫بحيث‬:3 8x≤ ≤‫و‬4 2y− ≤ ≤
‫أوجد‬‫حصرا‬‫لوو‬x y+.
‫لدينا‬:
( )3 4 8 2x y+ − ≤ + ≤ +
‫إذن‬:1 10x y− ≤ + ≤
)2–‫حصر‬‫مقابل‬‫عدد‬‫حقيقي‬:
‫و‬‫و‬‫و‬‫و‬‫و‬: ‫بحيث‬ ‫حقيقية‬ ‫أعداد‬
‫و‬
: ‫بحيث‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬
: ‫لدينا‬ ‫سيكون‬

)3–‫حصر‬‫فرق‬‫عددين‬:
‫ملحظة‬ *‫هامة‬:‫لحصر‬a b−،‫نضع‬:( )a b a b− = + −‫ثم‬‫نطبق‬‫القاعدتين‬
‫أعل ه‬
‫مثال‬ *:
x‫و‬y‫عددان‬‫حقيقيان‬‫بحيث‬:3 8x≤ ≤‫و‬4 2y− ≤ ≤
‫لحصر‬x y−.
‫لدينا‬:
2 4y− ≤ − ≤‫و‬3 8x≤ ≤
‫إذن‬:( )3 2 8 4x y− ≤ + − ≤ +
‫و‬‫منه‬‫فإن‬:1 12x y≤ − ≤
)4–‫حصر‬‫جوذاء‬‫عددين‬:
‫مثال‬ *1:
x‫و‬y‫عددان‬‫حقيقيان‬‫بحيث‬:3 7x≤ ≤‫و‬1 3y≤ ≤
‫لحصر‬x y×.
‫لدينا‬:
3 1 7 3x y× ≤ × ≤ ×
‫إذن‬:3 21x y≤ × ≤
‫مثال‬ *2:
x‫و‬y‫عددان‬‫حقيقيان‬‫بحيث‬:5 2x− ≤ ≤ −‫و‬3 6y≤ ≤
‫و‬‫و‬‫و‬‫و‬‫و‬: ‫بحيث‬ ‫حقيقية‬ ‫أعداد‬
‫و‬
‫و‬‫و‬‫و‬‫و‬‫و‬: ‫بحيث‬ ‫موجبة‬ ‫حقيقية‬ ‫أعداد‬
‫و‬

‫لحصر‬x y×.
‫لدينا‬:
2 5x≤ − ≤
‫إذن‬:
( )2 3 5 6x y× ≤ − × ≤ ×‫أي‬6 30xy≤ − ≤
‫و‬‫منه‬‫فإن‬:30 6xy− ≤ ≤ −.
)5–‫حصـــر‬‫مقلوب‬‫عدد‬‫حقيقي‬‫غير‬‫منعدم‬:
)6–‫حصــــر‬‫خارج‬‫عددين‬:
‫ملحظة‬ *‫هامة‬:‫لحصـــر‬
a
b،‫نضع‬:
1a
a
b b
= ×‫ثم‬‫نطبق‬‫القاعدتين‬‫أعل ه‬.
‫مثال‬ *:
x‫و‬y‫عددان‬‫حقيقيان‬‫بحيث‬:3 7x≤ ≤‫و‬5 9y≤ ≤
‫لحصر‬
x
y.
‫لدينا‬:
1 1 1
9 5y
≤ ≤
‫إذن‬:
1 1 1
3 7
9 5
x
y
× ≤ × ≤ ×‫أي‬
3 7
9 5
x
y
≤ ≤
‫و‬‫بالتالي‬‫فإن‬:
1 7
3 5
x
y
≤ ≤
‫و‬‫و‬: ‫بحيث‬ ‫منعدمة‬ ‫غير‬ ‫حقيقية‬ ‫أعداد‬
: ‫لدينا‬ ‫سيكون‬
‫و‬‫و‬‫و‬‫و‬‫و‬: ‫بحيث‬ ‫حقيقية‬ ‫أعداد‬‫و‬‫و‬
‫و‬‫و‬
‫لدينا‬ ‫سيكون‬

‫تمرين‬ *‫تطبيقي‬:
a‫و‬b‫و‬c‫أعداد‬‫حقيقية‬‫بحيث‬:
6 8a≤ ≤‫و‬4 2b− ≤ ≤ −‫و‬3 5c− ≤ ≤
‫أوجد‬‫حصرا‬‫لـــ‬:
2
a‫و‬
2
b‫و‬2 4a b c+ −‫و‬2
a b
b
+
‫الحــل‬:
)1–‫حصر‬
2
a.
‫لدينا‬:
2 2 2
6 8a≤ ≤‫و‬‫منه‬‫فإن‬:
2
36 64a≤ ≤
)2–‫حصر‬
2
b.
‫لدينا‬:( ) ( )2 22
2 4b− ≤ ≤ −‫و‬‫منه‬‫فإن‬:
2
4 16b≤ ≤
)3–‫حصر‬2 4a b c+ −.
‫لدينا‬:8 2 4b− ≤ ≤ −
‫و‬( )4 3 4 4 5c− × − ≤ − ≤ − ×‫أي‬12 4 20c≤ − ≤
‫إذن‬:( ) ( )6 8 12 2 4 8 4 20a b c+ − + ≤ + − ≤ + − +
‫و‬‫منه‬‫فإن‬:10 2 4 24a b c≤ + − ≤
)4–‫حصر‬2
a b
b
+
.
‫لدينا‬:( ) ( )6 4 8 2a b+ − ≤ + ≤ + −‫أي‬2 6a b≤ + ≤
‫و‬2
1 1 1
16 4b
≤ ≤
‫إذن‬:( ) 2
1 1 1
2 6
16 4
a b
b
× ≤ + × ≤ ×‫أي‬2
2 6
16 4
a b
b
+
≤ ≤
‫و‬‫بالتالي‬‫فإن‬:2
1 3
8 2
a b
b
+
≤ ≤

�ݺ�ߣ

الـتــرتيب و-الـعـمــليــــات

More Related Content

What's hot (20)

Similar to الـتــرتيب و-الـعـمــليــــات (20)

Recently uploaded (10)

الـتــرتيب و-الـعـمــليــــات