2022年度秋学期 応用数学（解析） 第11回 振動と微分方程式 (2022. 12. 8)
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関西大学総合情報学部?応用数学（解析）（担当?浅野晃） http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2022a/AMA/ 【第11回資料】 テキスト http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2022a/AMA/2022a_ama11.pdf ハンドアウト http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2022a/AMA/2022a_ama11_slide_hor.pdf 動画 https://youtu.be/WjfVKRtkZq4
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2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
単振動の運動方程式
8
位置 x は実数だから，C1, C2 とも実数でなければならない
x = C1 cos(ω0t) + C2 sin(ω0t)
より
三角関数を合成すると
x = A cos(ω0t + φ)
A =
C2
1 + C2
2 ， φ = ? tan?1(C2/C1)
x 軸上で [–A, A] の範囲を往復する振動 単振動の式
x′′+ ω2
0 x = 0](https://image.slidesharecdn.com/2022aama11slide-221126115000-72edf6d3/85/2022-11-2022-12-8-34-320.jpg)
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2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
単振動の式
9
x = A cos(ω0t + φ)
x 軸上で [–A, A] の範囲を往復する振動
［振幅］
［角振動数（角周波数）］
時間が１秒進むと，(ω0t + φ)が何ラジアン進むか](https://image.slidesharecdn.com/2022aama11slide-221126115000-72edf6d3/85/2022-11-2022-12-8-35-320.jpg)
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2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
単振動の式
9
x = A cos(ω0t + φ)
x 軸上で [–A, A] の範囲を往復する振動
［振幅］
［角振動数（角周波数）］
時間が１秒進むと，(ω0t + φ)が何ラジアン進むか
１往復とは， 2π ラジアン進むこと それに必要な時間は 2π/ω0 ［周期］](https://image.slidesharecdn.com/2022aama11slide-221126115000-72edf6d3/85/2022-11-2022-12-8-36-320.jpg)
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2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
単振動の式
9
x = A cos(ω0t + φ)
x 軸上で [–A, A] の範囲を往復する振動
［振幅］
［角振動数（角周波数）］
時間が１秒進むと，(ω0t + φ)が何ラジアン進むか
１往復とは， 2π ラジアン進むこと それに必要な時間は 2π/ω0 ［周期］
［振動数（周波数）］
１秒間に何往復するか？ その回数は，周期の逆数 ω0/2π](https://image.slidesharecdn.com/2022aama11slide-221126115000-72edf6d3/85/2022-11-2022-12-8-37-320.jpg)
2022年度秋学期 応用数学（解析） 第11回 振動と微分方程式 (2022. 12. 8)
- 1. 浅野 晃 関西大学総合情報学部 2022年度秋学期 応用数学（解析） 第３部?微分方程式に関する話題 振動と微分方程式 第１１回
- 2. 2
- 4. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 振動とは 3 ある方向に進めば進むほど， 逆向きに進もうとする力が働く ときにおきる運動
- 5. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 振動とは 3 ある方向に進めば進むほど， 逆向きに進もうとする力が働く ときにおきる運動 釣り合い位置から両方に往復を繰り返す
- 6. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 F = mx′′ = m d2 x dt2 質点の運動方程式 4 質点＝質量はあるが大きさはない点 大きさがないので，物体自身の回転などは考えなくてよい ニュートンの運動方程式
- 7. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 F = mx′′ = m d2 x dt2 質点の運動方程式 4 質点＝質量はあるが大きさはない点 大きさがないので，物体自身の回転などは考えなくてよい 質点に働く力 ニュートンの運動方程式
- 8. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 F = mx′′ = m d2 x dt2 質点の運動方程式 4 質点＝質量はあるが大きさはない点 大きさがないので，物体自身の回転などは考えなくてよい 質点に働く力 ニュートンの運動方程式 質点の位置
- 9. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 F = mx′′ = m d2 x dt2 質点の運動方程式 4 質点＝質量はあるが大きさはない点 大きさがないので，物体自身の回転などは考えなくてよい 時刻 質点に働く力 ニュートンの運動方程式 質点の位置
- 10. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 F = mx′′ = m d2 x dt2 質点の運動方程式 4 質点＝質量はあるが大きさはない点 大きさがないので，物体自身の回転などは考えなくてよい 時刻 質点に働く力 ニュートンの運動方程式 質点の位置 質点の加速度
- 11. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 F = mx′′ = m d2 x dt2 質点の運動方程式 4 質点＝質量はあるが大きさはない点 大きさがないので，物体自身の回転などは考えなくてよい 時刻 質点に働く力 ニュートンの運動方程式 質点の位置 質点の加速度 質点の質量
- 12. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 F = mx′′ = m d2 x dt2 質点の運動方程式 4 質点＝質量はあるが大きさはない点 大きさがないので，物体自身の回転などは考えなくてよい 時刻 質点に働く力 ニュートンの運動方程式 質点の位置 質点の加速度 質点の質量 さまざまな振動について 力がどう表されるかを考える
- 13. 5
- 14. 5 単振動?
- 15. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 単振動 6 釣り合い位置にもどろうとする力［復元力］ もっとも単純な振動，復元力（下記）のみが働く
- 16. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 単振動 6 原点を釣り合い位置とし，そこからの距離に比例する復元力が働くとすると 釣り合い位置にもどろうとする力［復元力］ もっとも単純な振動，復元力（下記）のみが働く
- 17. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 単振動 6 原点を釣り合い位置とし，そこからの距離に比例する復元力が働くとすると 釣り合い位置にもどろうとする力［復元力］ もっとも単純な振動，復元力（下記）のみが働く F = ?kx
- 18. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 単振動 6 原点を釣り合い位置とし，そこからの距離に比例する復元力が働くとすると 釣り合い位置にもどろうとする力［復元力］ もっとも単純な振動，復元力（下記）のみが働く F = ?kx 位置
- 19. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 単振動 6 原点を釣り合い位置とし，そこからの距離に比例する復元力が働くとすると 釣り合い位置にもどろうとする力［復元力］ もっとも単純な振動，復元力（下記）のみが働く F = ?kx 位置 正の定数
- 20. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 単振動 6 原点を釣り合い位置とし，そこからの距離に比例する復元力が働くとすると 釣り合い位置にもどろうとする力［復元力］ もっとも単純な振動，復元力（下記）のみが働く F = ?kx 位置 正の定数 釣り合い位置からの方向の逆向きの力なのでマイナス
- 21. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 単振動の運動方程式 7 F = mx′′
- 22. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 単振動の運動方程式 7 F = ?kx F = mx′′
- 23. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 単振動の運動方程式 7 F = ?kx より F = mx′′ mx′′ = ? kx
- 24. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 単振動の運動方程式 7 F = ?kx より ω0 = k m とおくと F = mx′′ mx′′ = ? kx
- 25. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 単振動の運動方程式 7 F = ?kx より ω0 = k m とおくと F = mx′′ mx′′ = ? kx x′′+ ω2 0 x = 0
- 26. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 単振動の運動方程式 7 F = ?kx より ω0 = k m とおくと 斉次形の２階線形微分方程式 F = mx′′ mx′′ = ? kx x′′+ ω2 0 x = 0
- 27. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 単振動の運動方程式 7 F = ?kx より ω0 = k m とおくと 斉次形の２階線形微分方程式 特性方程式は λ2 + ω2 0 = 0 F = mx′′ mx′′ = ? kx x′′+ ω2 0 x = 0
- 28. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 単振動の運動方程式 7 F = ?kx より ω0 = k m とおくと 斉次形の２階線形微分方程式 特性方程式は λ2 + ω2 0 = 0 虚数解 λ = ±iω0 F = mx′′ mx′′ = ? kx x′′+ ω2 0 x = 0
- 29. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 単振動の運動方程式 7 F = ?kx より ω0 = k m とおくと 斉次形の２階線形微分方程式 特性方程式は λ2 + ω2 0 = 0 虚数解 λ = ±iω0 x = C1 cos(ω0t) + C2 sin(ω0t) 一般解は F = mx′′ mx′′ = ? kx x′′+ ω2 0 x = 0
- 30. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 単振動の運動方程式 8 位置 x は実数だから，C1, C2 とも実数でなければならない x = C1 cos(ω0t) + C2 sin(ω0t) より x′′+ ω2 0 x = 0
- 31. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 単振動の運動方程式 8 位置 x は実数だから，C1, C2 とも実数でなければならない x = C1 cos(ω0t) + C2 sin(ω0t) より 三角関数を合成すると x = A cos(ω0t + φ) x′′+ ω2 0 x = 0
- 32. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 単振動の運動方程式 8 位置 x は実数だから，C1, C2 とも実数でなければならない x = C1 cos(ω0t) + C2 sin(ω0t) より 三角関数を合成すると x = A cos(ω0t + φ) A = C2 1 + C2 2 ， x′′+ ω2 0 x = 0
- 33. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 単振動の運動方程式 8 位置 x は実数だから，C1, C2 とも実数でなければならない x = C1 cos(ω0t) + C2 sin(ω0t) より 三角関数を合成すると x = A cos(ω0t + φ) A = C2 1 + C2 2 ， φ = ? tan?1(C2/C1) x′′+ ω2 0 x = 0
- 34. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 単振動の運動方程式 8 位置 x は実数だから，C1, C2 とも実数でなければならない x = C1 cos(ω0t) + C2 sin(ω0t) より 三角関数を合成すると x = A cos(ω0t + φ) A = C2 1 + C2 2 ， φ = ? tan?1(C2/C1) x 軸上で [–A, A] の範囲を往復する振動 単振動の式 x′′+ ω2 0 x = 0
- 35. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 単振動の式 9 x = A cos(ω0t + φ) x 軸上で [–A, A] の範囲を往復する振動 ［振幅］ ［角振動数（角周波数）］ 時間が１秒進むと，(ω0t + φ)が何ラジアン進むか
- 36. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 単振動の式 9 x = A cos(ω0t + φ) x 軸上で [–A, A] の範囲を往復する振動 ［振幅］ ［角振動数（角周波数）］ 時間が１秒進むと，(ω0t + φ)が何ラジアン進むか １往復とは， 2π ラジアン進むこと それに必要な時間は 2π/ω0 ［周期］
- 37. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 単振動の式 9 x = A cos(ω0t + φ) x 軸上で [–A, A] の範囲を往復する振動 ［振幅］ ［角振動数（角周波数）］ 時間が１秒進むと，(ω0t + φ)が何ラジアン進むか １往復とは， 2π ラジアン進むこと それに必要な時間は 2π/ω0 ［周期］ ［振動数（周波数）］ １秒間に何往復するか？ その回数は，周期の逆数 ω0/2π
- 38. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 単振り子は単振動か？ 10 復元力は θ が小さいとき sinθ は θ で近似できる θ = x / L （ラジアン）なので， 復元力は – (mg / L) x これを k とみれば 単振動 θ 重力 mg おもりの動く 円弧を x 軸とする θ x 軸方向に作用する 復元力 mgsinθ 糸の長さ L おもりの 位置 x 原点 O ?mg sin θ
- 39. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 単振り子は単振動か？ 10 復元力は θ が小さいとき sinθ は θ で近似できる θ = x / L （ラジアン）なので， 復元力は – (mg / L) x これを k とみれば 単振動 周期 2π ω0 = 2π m k = 2π m L mg = 2π L g L と g だけで決まる （振り子の等時性） θ 重力 mg おもりの動く 円弧を x 軸とする θ x 軸方向に作用する 復元力 mgsinθ 糸の長さ L おもりの 位置 x 原点 O ?mg sin θ
- 40. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 単振り子は単振動か？ 10 復元力は θ が小さいとき sinθ は θ で近似できる θ = x / L （ラジアン）なので， 復元力は – (mg / L) x これを k とみれば 単振動 周期 2π ω0 = 2π m k = 2π m L mg = 2π L g L と g だけで決まる （振り子の等時性） θ が小さい，つまり振れ幅が小さいときのみ成り立つ θ 重力 mg おもりの動く 円弧を x 軸とする θ x 軸方向に作用する 復元力 mgsinθ 糸の長さ L おもりの 位置 x 原点 O ?mg sin θ
- 41. 11
- 42. 11 減衰振動??
- 43. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 減衰振動 12 空気抵抗など 復元力以外に，［抵抗力］がはたらく場合 運動が速いほど，それを妨げる力が働く
- 44. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 減衰振動 12 空気抵抗など 復元力以外に，［抵抗力］がはたらく場合 運動が速いほど，それを妨げる力が働く 質点の速度は x′
- 45. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 減衰振動 12 空気抵抗など 復元力以外に，［抵抗力］がはたらく場合 運動が速いほど，それを妨げる力が働く 質点の速度は 抵抗力は x′ ?ax′
- 46. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 減衰振動 12 空気抵抗など 復元力以外に，［抵抗力］がはたらく場合 運動が速いほど，それを妨げる力が働く 質点の速度は 抵抗力は 正の定数 x′ ?ax′
- 47. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 減衰振動 12 空気抵抗など 復元力以外に，［抵抗力］がはたらく場合 運動が速いほど，それを妨げる力が働く 質点の速度は 抵抗力は 正の定数 逆向きでマイナス x′ ?ax′
- 48. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 減衰振動 12 空気抵抗など 復元力以外に，［抵抗力］がはたらく場合 運動が速いほど，それを妨げる力が働く 質点の速度は 抵抗力は 正の定数 逆向きでマイナス 運動方程式は x′ ?ax′ mx′′ = ? kx ? ax′
- 49. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 減衰振動 12 空気抵抗など 復元力以外に，［抵抗力］がはたらく場合 運動が速いほど，それを妨げる力が働く 質点の速度は 抵抗力は 正の定数 逆向きでマイナス 運動方程式は x′ ?ax′ mx′′ = ? kx ? ax′
- 50. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 減衰振動 12 空気抵抗など 復元力以外に，［抵抗力］がはたらく場合 運動が速いほど，それを妨げる力が働く 質点の速度は 抵抗力は 正の定数 逆向きでマイナス 運動方程式は ω0 = k m ? = a 2m とおく ［抵抗係数］ x′ ?ax′ mx′′ = ? kx ? ax′
- 51. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 減衰振動 12 空気抵抗など 復元力以外に，［抵抗力］がはたらく場合 運動が速いほど，それを妨げる力が働く 質点の速度は 抵抗力は 正の定数 逆向きでマイナス 運動方程式は ω0 = k m ? = a 2m とおく ［抵抗係数］ x′ ?ax′ mx′′ = ? kx ? ax′ x′′+ 2μx′+ ω2 0 x = 0
- 52. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 減衰振動の運動方程式 13 これも斉次形の２階線形微分方程式 特性方程式は 解 λ2 + 2?λ + ω2 0 = 0 λ = ?? ± ?2 ? ω2 0 x′′+ 2μx′+ ω2 0 x = 0
- 53. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 減衰振動の運動方程式 13 これも斉次形の２階線形微分方程式 特性方程式は 解 λ2 + 2?λ + ω2 0 = 0 の場合を考える ?2 ω2 0 λ = ?? ± ?2 ? ω2 0 x′′+ 2μx′+ ω2 0 x = 0
- 54. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 減衰振動の運動方程式 13 これも斉次形の２階線形微分方程式 特性方程式は 解 λ2 + 2?λ + ω2 0 = 0 の場合を考える ?2 ω2 0 抵抗力が比較的小さい場合 λ = ?? ± ?2 ? ω2 0 x′′+ 2μx′+ ω2 0 x = 0
- 55. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 減衰振動の運動方程式 13 これも斉次形の２階線形微分方程式 特性方程式は 解 λ2 + 2?λ + ω2 0 = 0 の場合を考える ?2 ω2 0 抵抗力が比較的小さい場合 は虚数解 λ = ?? ± ?2 ? ω2 0 λ = ?? ± ?2 ? ω2 0 x′′+ 2μx′+ ω2 0 x = 0
- 56. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 減衰振動の運動方程式 13 これも斉次形の２階線形微分方程式 特性方程式は 解 λ2 + 2?λ + ω2 0 = 0 の場合を考える ?2 ω2 0 抵抗力が比較的小さい場合 0 は虚数解 λ = ?? ± ?2 ? ω2 0 λ = ?? ± ?2 ? ω2 0 x′′+ 2μx′+ ω2 0 x = 0
- 57. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 減衰振動の運動方程式 13 これも斉次形の２階線形微分方程式 特性方程式は 解 λ2 + 2?λ + ω2 0 = 0 の場合を考える ?2 ω2 0 抵抗力が比較的小さい場合 0 は虚数解 λ = ?? ± ?2 ? ω2 0 λ = ?? ± ?2 ? ω2 0 x = e??t (C1 cos( ω2 0 ? ?2 t) + C2 sin( ω2 0 ? ?2 t)) 微分方程式の解 x′′+ 2μx′+ ω2 0 x = 0
- 58. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 減衰振動の運動方程式 13 これも斉次形の２階線形微分方程式 特性方程式は 解 λ2 + 2?λ + ω2 0 = 0 の場合を考える ?2 ω2 0 抵抗力が比較的小さい場合 0 は虚数解 λ = ?? ± ?2 ? ω2 0 λ = ?? ± ?2 ? ω2 0 x = e??t (C1 cos( ω2 0 ? ?2 t) + C2 sin( ω2 0 ? ?2 t)) 微分方程式の解 三角関数を合成 x = Ae??t cos( ω2 0 ? ?2 t + φ) x′′+ 2μx′+ ω2 0 x = 0
- 59. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 減衰振動の運動方程式 13 これも斉次形の２階線形微分方程式 特性方程式は 解 λ2 + 2?λ + ω2 0 = 0 の場合を考える ?2 ω2 0 抵抗力が比較的小さい場合 0 は虚数解 λ = ?? ± ?2 ? ω2 0 λ = ?? ± ?2 ? ω2 0 x = e??t (C1 cos( ω2 0 ? ?2 t) + C2 sin( ω2 0 ? ?2 t)) 微分方程式の解 振幅が時間とともに小さくなる ［減衰振動］ 三角関数を合成 x = Ae??t cos( ω2 0 ? ?2 t + φ) x′′+ 2μx′+ ω2 0 x = 0
- 60. 14
- 61. 14 強制振動と共鳴??
- 62. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 強制振動 15 復元力に加えて，外部から［強制力］がはたらく場合 質点を，角振動数 ω で強制的に振動させる
- 63. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 強制振動 15 復元力に加えて，外部から［強制力］がはたらく場合 質点を，角振動数 ω で強制的に振動させる 復元力は ?kx
- 64. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 強制振動 15 復元力に加えて，外部から［強制力］がはたらく場合 質点を，角振動数 ω で強制的に振動させる 強制力は F cos ωt 復元力は ?kx
- 65. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 強制振動 15 復元力に加えて，外部から［強制力］がはたらく場合 質点を，角振動数 ω で強制的に振動させる 強制力は F cos ωt 復元力は ?kx 運動方程式は mx′′ = ? kx + F cos ωt
- 66. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 強制振動 15 復元力に加えて，外部から［強制力］がはたらく場合 質点を，角振動数 ω で強制的に振動させる ω0 = k m 強制力は F cos ωt 復元力は ?kx 運動方程式は f = F m mx′′ = ? kx + F cos ωt x′′+ ω2 0 x = f cos ωt
- 67. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 強制振動 15 復元力に加えて，外部から［強制力］がはたらく場合 質点を，角振動数 ω で強制的に振動させる ω0 = k m 強制力は F cos ωt 復元力は ?kx 運動方程式は f = F m mx′′ = ? kx + F cos ωt x′′+ ω2 0 x = f cos ωt
- 68. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 強制振動 15 復元力に加えて，外部から［強制力］がはたらく場合 質点を，角振動数 ω で強制的に振動させる ω0 = k m 強制力は F cos ωt 復元力は ?kx 運動方程式は f = F m これは非斉次形の２階線形微分方程式 mx′′ = ? kx + F cos ωt x′′+ ω2 0 x = f cos ωt
- 69. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 強制振動の運動方程式 16 単振動の式と同じ 対応する斉次形の微分方程式は 一般解は x = A cos(ω0t + φ) x′′+ ω2 0 x = f cos ωt x′′+ ω2 0 x = 0
- 70. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 強制振動の運動方程式 16 単振動の式と同じ 対応する斉次形の微分方程式は 一般解は x = A cos(ω0t + φ) 特殊解をひとつ見つける x′′+ ω2 0 x = f cos ωt x′′+ ω2 0 x = 0
- 71. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 強制振動の運動方程式 16 単振動の式と同じ 対応する斉次形の微分方程式は 一般解は x = A cos(ω0t + φ) 特殊解をひとつ見つける x = C cos ωt を入れてみると x′′+ ω2 0 x = f cos ωt x′′+ ω2 0 x = 0
- 72. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 強制振動の運動方程式 16 単振動の式と同じ 対応する斉次形の微分方程式は 一般解は x = A cos(ω0t + φ) 特殊解をひとつ見つける x = C cos ωt を入れてみると C(ω2 0 ? ω2 ) cos ωt = f cos ωt x′′+ ω2 0 x = f cos ωt x′′+ ω2 0 x = 0
- 73. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 強制振動の運動方程式 16 単振動の式と同じ 対応する斉次形の微分方程式は 一般解は x = A cos(ω0t + φ) 特殊解をひとつ見つける x = C cos ωt を入れてみると C(ω2 0 ? ω2 ) cos ωt = f cos ωt よって， C = f ω2 0 ? ω2 のとき ω = ω0 x′′+ ω2 0 x = f cos ωt x′′+ ω2 0 x = 0
- 74. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 強制振動の運動方程式 16 単振動の式と同じ 対応する斉次形の微分方程式は 一般解は x = A cos(ω0t + φ) 特殊解をひとつ見つける x = C cos ωt を入れてみると C(ω2 0 ? ω2 ) cos ωt = f cos ωt よって， C = f ω2 0 ? ω2 のとき ω = ω0 非斉次形の一般解は x′′+ ω2 0 x = f cos ωt x′′+ ω2 0 x = 0
- 75. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 強制振動の運動方程式 16 単振動の式と同じ 対応する斉次形の微分方程式は 一般解は x = A cos(ω0t + φ) 特殊解をひとつ見つける x = C cos ωt を入れてみると C(ω2 0 ? ω2 ) cos ωt = f cos ωt よって， C = f ω2 0 ? ω2 のとき ω = ω0 非斉次形の一般解は x = A cos(ω0t + φ) + f ω2 0 ? ω2 cos ωt x′′+ ω2 0 x = f cos ωt x′′+ ω2 0 x = 0
- 76. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 強制振動 17 ［強制振動］の式 x = A cos(ω0t + φ) + f ω2 0 ? ω2 cos ωt
- 77. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 強制振動 17 強制力のないときの振動 ［固有振動］ ［強制振動］の式 x = A cos(ω0t + φ) + f ω2 0 ? ω2 cos ωt
- 78. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 強制振動 17 強制力のないときの振動 ［固有振動］ ［強制振動］の式 x = A cos(ω0t + φ) + f ω2 0 ? ω2 cos ωt ω0 ［固有角振動数］
- 79. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 強制振動 17 強制力のないときの振動 ［固有振動］ ［強制振動］の式 x = A cos(ω0t + φ) + f ω2 0 ? ω2 cos ωt ω0/2π ［固有振動数］ ω0 ［固有角振動数］
- 80. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 強制振動 17 強制力のないときの振動 ［固有振動］ ［強制振動］の式 x = A cos(ω0t + φ) + f ω2 0 ? ω2 cos ωt 強制振動 ω0/2π ［固有振動数］ ω0 ［固有角振動数］
- 81. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 強制振動 17 強制力のないときの振動 ［固有振動］ ［強制振動］の式 x = A cos(ω0t + φ) + f ω2 0 ? ω2 cos ωt 強制振動 ω0/2π ［固有振動数］ 強制振動の角振動数 ω が固有角振動数 ω0 に近づくと 強制振動の項が大きくなる ω0 ［固有角振動数］
- 82. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 強制振動 17 強制力のないときの振動 ［固有振動］ ω = ω0 のときは発散する ?? ［強制振動］の式 x = A cos(ω0t + φ) + f ω2 0 ? ω2 cos ωt 強制振動 ω0/2π ［固有振動数］ 強制振動の角振動数 ω が固有角振動数 ω0 に近づくと 強制振動の項が大きくなる ω0 ［固有角振動数］
- 83. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 共鳴 ω = ω0 のときは強制振動の項が発散する もう一度もとの方程式に戻る x′′+ ω2 0 x = f cos ωt
- 84. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 共鳴 ω = ω0 のときは強制振動の項が発散する もう一度もとの方程式に戻る x = t(C1 cos ω0t + C2 sin ω0t) と見当をつけて， x′′+ ω2 0 x = f cos ωt
- 85. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 共鳴 ω = ω0 のときは強制振動の項が発散する もう一度もとの方程式に戻る x = t(C1 cos ω0t + C2 sin ω0t) と見当をつけて， x′′+ ω2 0 x = f cos ωt
- 86. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 共鳴 ω = ω0 のときは強制振動の項が発散する もう一度もとの方程式に戻る x = t(C1 cos ω0t + C2 sin ω0t) と見当をつけて， また右辺も ω = ω0 としてそれぞれ代入すると x′′+ ω2 0 x = f cos ωt
- 87. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 共鳴 ω = ω0 のときは強制振動の項が発散する もう一度もとの方程式に戻る ?2C1ω0 sin ω0t + 2C2ω0 cos ω0t = f cos ω0t x = t(C1 cos ω0t + C2 sin ω0t) と見当をつけて， また右辺も ω = ω0 としてそれぞれ代入すると x′′+ ω2 0 x = f cos ωt
- 88. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 共鳴 ω = ω0 のときは強制振動の項が発散する もう一度もとの方程式に戻る ?2C1ω0 sin ω0t + 2C2ω0 cos ω0t = f cos ω0t よって C1 = 0, C2 = f 2ω0 x = t(C1 cos ω0t + C2 sin ω0t) と見当をつけて， また右辺も ω = ω0 としてそれぞれ代入すると x′′+ ω2 0 x = f cos ωt
- 89. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 共鳴 ω = ω0 のときは強制振動の項が発散する もう一度もとの方程式に戻る ?2C1ω0 sin ω0t + 2C2ω0 cos ω0t = f cos ω0t よって C1 = 0, C2 = f 2ω0 x = A cos(ω0t + φ) + ft 2ω0 sin ω0t 解は x = t(C1 cos ω0t + C2 sin ω0t) と見当をつけて， また右辺も ω = ω0 としてそれぞれ代入すると x′′+ ω2 0 x = f cos ωt
- 90. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 共鳴 ω = ω0 のときは強制振動の項が発散する もう一度もとの方程式に戻る ?2C1ω0 sin ω0t + 2C2ω0 cos ω0t = f cos ω0t よって C1 = 0, C2 = f 2ω0 x = A cos(ω0t + φ) + ft 2ω0 sin ω0t 解は x = t(C1 cos ω0t + C2 sin ω0t) と見当をつけて， また右辺も ω = ω0 としてそれぞれ代入すると x′′+ ω2 0 x = f cos ωt
- 91. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 共鳴 ω = ω0 のときは強制振動の項が発散する もう一度もとの方程式に戻る ?2C1ω0 sin ω0t + 2C2ω0 cos ω0t = f cos ω0t よって C1 = 0, C2 = f 2ω0 x = A cos(ω0t + φ) + ft 2ω0 sin ω0t 解は 時間がたつと振動しながら発散する x = t(C1 cos ω0t + C2 sin ω0t) と見当をつけて， また右辺も ω = ω0 としてそれぞれ代入すると x′′+ ω2 0 x = f cos ωt
- 92. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 共鳴 ω = ω0 のときは強制振動の項が発散する もう一度もとの方程式に戻る ?2C1ω0 sin ω0t + 2C2ω0 cos ω0t = f cos ω0t よって C1 = 0, C2 = f 2ω0 x = A cos(ω0t + φ) + ft 2ω0 sin ω0t 解は 時間がたつと振動しながら発散する［共鳴］ x = t(C1 cos ω0t + C2 sin ω0t) と見当をつけて， また右辺も ω = ω0 としてそれぞれ代入すると x′′+ ω2 0 x = f cos ωt
- 93. 19
- 94. 19 問題??
- 95. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 問題 20 単振動の運動方程式の一般解は 単振動において， のとき となるとき，運動方程式の特殊解を求めよ。 t = 0 x = 0, x′ = ν x = A cos(ω0t + ?) 両辺を t で微分すると x′ = ? Aω0 sin(ω0t + ?)
- 96. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 問題 20 単振動の運動方程式の一般解は 単振動において， のとき となるとき，運動方程式の特殊解を求めよ。 t = 0 x = 0, x′ = ν x = A cos(ω0t + ?) 両辺を t で微分すると x′ = ? Aω0 sin(ω0t + ?) x = 0, x′ = v のとき となるので t = 0
- 97. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 問題 20 単振動の運動方程式の一般解は 単振動において， のとき となるとき，運動方程式の特殊解を求めよ。 t = 0 x = 0, x′ = ν x = A cos(ω0t + ?) 両辺を t で微分すると x′ = ? Aω0 sin(ω0t + ?) x = 0, x′ = v のとき となるので t = 0 x(0) = A cos ? = 0 x′(0) = ? Aω0 sin ? = v
- 98. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 問題 20 単振動の運動方程式の一般解は 単振動において， のとき となるとき，運動方程式の特殊解を求めよ。 t = 0 x = 0, x′ = ν x = A cos(ω0t + ?) 両辺を t で微分すると x′ = ? Aω0 sin(ω0t + ?) x = 0, x′ = v のとき となるので t = 0 x(0) = A cos ? = 0 x′(0) = ? Aω0 sin ? = v A = 0 だと x ≡ 0 振動にならない
- 99. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 問題 20 単振動の運動方程式の一般解は 単振動において， のとき となるとき，運動方程式の特殊解を求めよ。 t = 0 x = 0, x′ = ν x = A cos(ω0t + ?) 両辺を t で微分すると x′ = ? Aω0 sin(ω0t + ?) x = 0, x′ = v のとき となるので t = 0 x(0) = A cos ? = 0 x′(0) = ? Aω0 sin ? = v A = 0 だと x ≡ 0 振動にならない よって cos ? = 0
- 100. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 問題 21 x = A cos(ω0t + ?) x′ = ? Aω0 sin(ω0t + ?) x(0) = A cos ? = 0 x′(0) = ? Aω0 sin ? = v 一般解 問題に示された初期値によると より cos ? = 0
- 101. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 問題 21 x = A cos(ω0t + ?) x′ = ? Aω0 sin(ω0t + ?) x(0) = A cos ? = 0 x′(0) = ? Aω0 sin ? = v 一般解 問題に示された初期値によると より cos ? = 0 ? = π 2 にできる
- 102. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 問題 21 x = A cos(ω0t + ?) x′ = ? Aω0 sin(ω0t + ?) x(0) = A cos ? = 0 x′(0) = ? Aω0 sin ? = v 一般解 問題に示された初期値によると より cos ? = 0 ? = π 2 にできる sin ? = 1 このとき
- 103. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 問題 21 x = A cos(ω0t + ?) x′ = ? Aω0 sin(ω0t + ?) x(0) = A cos ? = 0 x′(0) = ? Aω0 sin ? = v 一般解 問題に示された初期値によると より cos ? = 0 ? = π 2 にできる sin ? = 1 このとき つまり
- 104. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 問題 21 x = A cos(ω0t + ?) x′ = ? Aω0 sin(ω0t + ?) x(0) = A cos ? = 0 x′(0) = ? Aω0 sin ? = v 一般解 問題に示された初期値によると より cos ? = 0 ? = π 2 にできる sin ? = 1 このとき ?Aω0 = v つまり
- 105. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 問題 21 x = A cos(ω0t + ?) x′ = ? Aω0 sin(ω0t + ?) x(0) = A cos ? = 0 x′(0) = ? Aω0 sin ? = v 一般解 問題に示された初期値によると より cos ? = 0 ? = π 2 にできる sin ? = 1 このとき ?Aω0 = v つまり A = ? v ω0
- 106. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 問題 21 x = A cos(ω0t + ?) x′ = ? Aω0 sin(ω0t + ?) x(0) = A cos ? = 0 x′(0) = ? Aω0 sin ? = v 一般解 問題に示された初期値によると より cos ? = 0 ? = π 2 にできる sin ? = 1 このとき ?Aω0 = v つまり A = ? v ω0 以上から，求める特殊解は
- 107. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 問題 21 x = A cos(ω0t + ?) x′ = ? Aω0 sin(ω0t + ?) x(0) = A cos ? = 0 x′(0) = ? Aω0 sin ? = v 一般解 問題に示された初期値によると より cos ? = 0 ? = π 2 にできる sin ? = 1 このとき ?Aω0 = v つまり A = ? v ω0 以上から，求める特殊解は x = ? v ω0 cos(ω0t + π 2 )
- 108. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 問題 21 x = A cos(ω0t + ?) x′ = ? Aω0 sin(ω0t + ?) x(0) = A cos ? = 0 x′(0) = ? Aω0 sin ? = v 一般解 問題に示された初期値によると より cos ? = 0 ? = π 2 にできる sin ? = 1 このとき ?Aω0 = v つまり A = ? v ω0 以上から，求める特殊解は x = ? v ω0 cos(ω0t + π 2 ) すなわち
- 109. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 問題 21 x = A cos(ω0t + ?) x′ = ? Aω0 sin(ω0t + ?) x(0) = A cos ? = 0 x′(0) = ? Aω0 sin ? = v 一般解 問題に示された初期値によると より cos ? = 0 ? = π 2 にできる sin ? = 1 このとき ?Aω0 = v つまり A = ? v ω0 以上から，求める特殊解は x = ? v ω0 cos(ω0t + π 2 ) すなわち x = v ω0 sin ω0t
- 110. 22 2022年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 今日のまとめ 22 振動を表す微分方程式 単振動 減衰振動 強制振動 ２階線形微分方程式で表され， それを解くと振動を表す式が得られる