狠狠撸

康軒國中數學 3下課本ppt 1-2 二次函數的最大值、最小值

搭配課本第 42 页
在 1-1 中，我們對於像 y＝a(x－h)2
＋k
這樣的二次函數圖形，其對稱軸方程式、開
口方向及頂點坐標都已經能掌握。

那麼，對於像 y＝x2
＋6x、y＝2x2
＋12x＋9
這樣形如 y＝ax2
＋bx＋c (a≠ 0)的二次函數，
如果能以第三冊學過的配方法化成像
y＝a(x－h)2
＋k 這樣的式子，也就能掌握它
的圖形。接下來，我們以一些例題說明如何
利用配方法操作。

例 1利用配方法求二次函數的圖形
求二次函數 y＝x2
＋4x 圖形的對稱軸方程
式、頂點坐標及開口方向，並描繪其圖形。

(1)y＝x2
＋4x 將 x2
＋4x 加(
4
2 )2
配成
完全平方式，再減(
4
2
)2
＝x2
＋4x＋22
－22
＝(x2
＋4x＋22
)－22
＝(x＋2)2
－4
Hint
x2
± px＋(
p
2 )2
＝(x ±
p
2 )2

其圖形是以直線 x＋2＝0 為對稱軸，
(－2 , －4)為頂點，開口向上的拋物線。
二次函數 y＝x2
＋4x 利用配方法
可化成 y＝(x＋2)2
－4，

(2)找一些點列表如下：
x … － 4 － 3 － 2 － 1 0 …
y … 0 － 3 － 4 － 3 0 …

描點後以平滑曲線依序把各點連接起來，
如下圖所示：
O
x
y
( 1 , 3)
( 2 , 4)
x 2 0
( 3 , 3)
(0 , 0)( 4 , 0)

－10x 圖形的對稱軸方程
式、頂點坐標及開口方向。

y＝x2
－10x
＝x2
－10x＋52
－52
＝(x2
－10x＋52
)－52
＝(x－5)2
－25
其圖形是以 x－5＝0 為對稱軸，
(5 , －25)為頂點，開口向上的拋物線

求二次函數 y＝2x2
＋12x＋10 圖形的對稱軸
方程式、頂點坐標及開口方向，並描繪其圖
形。

(1)y＝2x2
＋12x＋10
＝(2x2
＋12x)＋10
＝2(x2
＋6x)＋10
＝2(x2
＋6x＋32
－32
)＋10
＝2[(x2
＋6x＋9)－9]＋10
＝2(x＋3)2
－18＋10
＝2(x＋3)2
－8
先考慮 x2
項和 x 項
提出 x2
項的係數 2
將 x2
＋6x 加(
6
2 )2
配成
完全平方式，再減(
6
2 )2

二次函數 y＝2x2
＋12x＋10 利用配方法
可化成 y＝2(x＋3)2
－8，
其圖形是以直線 x＋3＝0 為對稱軸，
(－3 , －8)為頂點，開口向上的拋物線。

(2)找一些點列表如下：
x …
－
5
－
4
－
3
－
2
－
1
…
y … 0
－
6
－
8
－
6
0 …

描點後以平滑曲線依序把各點連接起來，
如下圖：
O
x
y
(－2,－6)
(－3,－8)
x＋3＝0
(－4,－6)
(－1,0)(－5,0)

求下列各二次函數圖形的對稱軸方程式、
頂點坐標及開口方向。
(1)y＝－3x2
＋12x－1
y＝－3x2
＋12x－1＝－3(x2
－4x)－1
＝－3(x2
－4x＋4－4)－1＝－3(x－2)2
＋11
(2 , 11)為頂點，開口向下的拋物線

(2)y＝
1
2
x2
－3x＋
7
2

y＝
1
2 x2
－3x＋
7
2
＝
1
2 (x2
－6x)＋
7
2
＝
1
2
(x2
－6x＋9－9)＋
7
2
＝
1
2 (x－3)2
－1
(3 , －1)為頂點，開口向上的拋物線

一般來說，二次函數 y＝ax2
＋bx＋c
(a≠ 0)都可以利用配方法化成 y＝a(x－h)2
＋k
的形式，圖形皆為拋物線，其中 x－h＝0 為對
稱軸，(h , k)為頂點。

例 3 二次函數圖形的應用
已知二次函數 y＝3x2
＋bx＋c 圖形的頂點坐
標為(2 , －5)，則 b、c 的值各為何？

例 3 二次函數圖形的應用
二次函數 y＝3x2
＋bx＋c 的 x2
項係數為 3，
且頂點坐標為(2 , －5)，
得此函數為 y＝3(x－2)2
－5
＝3(x2
－4x＋4)－5
＝3x2
－12x＋12－5
＝3x2
－12x＋7
與 y＝3x2
＋bx＋c 比較係數，
故 b＝－12、c＝7。

已知二次函數 y＝－x2
＋bx＋c 圖形的頂點坐
標為(－3 , 1)，則 b、c 的值各為何？

二次函數 y＝－x2
＋bx＋c 的 x2
項係數為－1
且頂點坐標為(－3 , 1)
得此函數為 y＝－(x＋3)2
＋1
＝－(x2
＋6x＋9)＋1
＝－x2
－6x－9＋1
＝－x2
－6x－8
與 y＝－x2
＋bx＋c 比較係數
故 b＝－6、c＝－8

我們知道二次函數
y＝2(x＋3)2
－9 的圖形開
口向上，頂點(－3 , －9)
是最低點，如圖 1。
x
O
y
(－3,－9)
y＝2(x＋3)2
－9
圖 1

另外，不論 x 的值是多少，
(x＋3)2
≥ 0
2(x＋3)2
≥ 0
2(x＋3)2
－9 ≥ －9
當 x＋3＝0(或 x＝－3)時，
二次函數 y＝2(x＋3)2
－9 有最小值－9。
由此可知(－3 , －9)就是此函數圖形的最低點。
兩邊同時減 9

而二次函數 y＝－2(x－3)2
＋4 的圖形
開口向下，頂點(3 , 4)是最高點，如圖 2。
y＝－2(x－3)2
＋4
圖 2
x
O
y
(3,4)

另外，不論 x 的值是多少，
(x－3)2
≥ 0
－2(x－3)2
≤ 0
－2(x－3)2
＋4 ≤ 4
當 x－3＝0(或 x＝3)時，
二次函數 y＝－2(x－3)2
＋4 有最大值 4。
由此可知(3 , 4)就是此函數圖形的最高點。
兩邊同時加 4

二次函數 y ＝ a(x － h)2
＋ k 的最大值與
最小值1. 當 a＞0 時，函數 y＝a(x－h)2
＋k 在
x－h＝0(或 x＝h)時有最小值 k，
(h , k)為此函數圖形的最低點。
2. 當 a＜0 時，函數 y＝a(x－h)2
＋k 在
x－h＝0(或 x＝h)時有最大值 k，
(h , k)為此函數圖形的最高點。

例 4二次函數的最大值或最小值
判斷下列二次函數在 x 為多少時，y 有最大值
或最小值，並求其值。
(1)y＝3(x－2)2
＋6

(1)由二次函數 y＝3(x－2)2
＋6，
可知此二次函數圖形開口向上，
當 x＝2 時，
二次函數 y＝3(x－2)2
＋6 有最小值 6。
Hint
∵ 3(x－2)2
≥ 0
∴ y＝3(x－2)2
＋6 ≥ 6

判斷下列二次函數在 x 為多少時，y 有最大值
或最小值，並求其值。
(2)y＝－
3
4(x＋1)2
－5

(2)由二次函數 y＝－
3
4(x＋1)2
－5，
可知此二次函數圖形開口向下，
當 x＝－1 時，
二次函數 y＝－
3
4(x＋1)2
－5 有最大值－5。
Hint ∵ －
3
4 (x＋1)2
≤ 0
∴ y＝－
3
4 (x＋1)2
－5 ≤ －5

判斷下列二次函數在 x 為多少時，y 有最大
值或最小值，並求其值。
(1)y＝
4
5
(x－7)2
－2

由二次函數 y＝
4
5 (x－7)2
－2
可知此二次函數圖形開口向上
當 x＝7 時，
二次函數 y＝
4
5 (x－7)2
－2 有最小值－2

判斷下列二次函數在 x 為多少時，y 有最大
值或最小值，並求其值。
(2)y＝－(x＋4)2
＋7
由二次函數 y＝－(x＋4)2
＋7
可知此二次函數圖形開口向下
當 x＝－4 時，
二次函數 y＝－(x＋4)2
＋7 有最大值 7

對於像 y＝ax2
＋bx＋c(a≠ 0)這樣的
二次函數，我們可以利用配方法把它化成
y＝a(x－h)2
＋k 的形式，再來討論函數的
最大值或最小值。

例 5利用配方法求二次函數的最大值或最小值
判斷下列二次函數是否有最大值或最小值，
並求其值。
(1)y＝x2
－6x＋1

(1)將 y＝x2
－6x＋1 配方，
y＝(x2
－6x＋32
－32
)＋1＝(x－3)2
－9＋1，
得到 y＝(x－3)2
－8，
可知當 x＝3 時，
二次函數 y＝x2
－6x＋1 有最小值－8。

判斷下列二次函數是否有最大值或最小值，
並求其值。
(2)y＝－2x2
＋4x－3

(2)將 y＝－2x2
＋4x－3 配方，
y＝－2(x2
－2x)－3＝－2(x2
－2x＋12
－12
)－3
＝－2(x－1)2
＋2－3＝－2(x－1)2
－1，
得到 y＝－2(x－1)2
－1，
二次函數 y＝－2x2
＋4x－3 有最大值－1。

判斷下列二次函數是否有最大值或最小
值，並求其值。
(1)y＝x2
－4x＋1

將 y＝x2
－4x＋1 配方
y＝(x2
－4x＋22
－22
)＋1＝(x－2)2
－4＋1
得到 y＝(x－2)2
－3
二次函數 y＝x2
－4x＋1 有最小值－3

判斷下列二次函數是否有最大值或最小
值，並求其值。
(2)y＝－2x2
－4x

將 y＝－2x2
－4x 配方
y＝－2(x2
＋2x)＝－2(x2
＋2x＋12
－12
)
＝－2(x＋1)2
＋2
得到 y＝－2(x＋1)2
＋2
可知當 x＝－1 時，
－4x 有最大值 2

接著我們來看二次函數圖形與兩軸之
間的關係。

例 6二次函數圖形與兩軸的交點坐標
－3x＋2 的圖形與兩軸相交
的情形：
(1)與 y 軸的交點坐標。

(1)由於 y 軸上的點，其 x 坐標都為 0，
所以要求二次函數圖形與 y 軸交點坐標，
可以令 x＝0，
代入 y＝x2
－3x＋2 中，得 y＝2，
即二次函數 y＝x2
－3x＋2 的圖形與 y 軸的
交點坐標為(0 , 2)。

－3x＋2 的圖形與兩軸相交
的情形：
(2)與 x 軸的交點坐標。

(2)由於 x 軸上的點，其 y 坐標都為 0，
所以要求二次函數圖形與 x 軸交點坐標，
可以令 y＝0，
得 0＝x2
－3x＋2，(x－2)(x－1)＝0，
故 x＝2 或 x＝1，

即二次函數 y＝x2
－3x＋2 的圖形與 x 軸的
交點坐標為(2 , 0)與(1 , 0)。
xO
y
(2,0)(1,0)
(0,2)

求二次函數 y＝－x2
＋4x－4 的圖形與 y 軸、
x 軸的交點坐標。
令 x＝0，得 y＝－4
即二次函數 y＝－x2
＋4x－4 的圖形與 y 軸
的交點坐標為(0 , －4)

令 y＝0，得 0＝－x2
＋4x－4，x2
－4x＋4＝0
(x－2)2
＝0，得 x＝2(重根)
即二次函數 y＝－x2
＋4x－4 的圖形與 x 軸的
交點坐標為(2 , 0)
xO
y
(0,－4)
(2,0)

由例 6 及隨堂練習，我們知道二次函數
y＝ax2
＋bx＋c 的圖形與兩軸的相交情形：
(1)與 y 軸的交點坐標為(0 , c)，
(2)與 x 軸的相交情形，則要討論
ax2
＋bx＋c＝0 的解。

在第三冊時，我們學過一元二次方程式
ax2
＋bx＋c＝0 的公式解及判別式：

1.當判別式 b2
－4ac＞0 時：
方程式有兩個相異解
x＝
－b＋ b2
－4ac
2a 和 x＝
－b－ b2
－4ac
2a ，
即二次函數 y＝ax2
＋bx＋c 的圖形
與 x 軸有兩個交點，如圖 3，其坐標為
(
－b＋ b2
－4ac
2a , 0)及(
－b－ b2
－4ac
2a , 0)。

O
x
y
O x
y
圖形與 x 軸有兩個交點
圖 3

2.當判別式 b2
－4ac＝0 時：
方程式有重根 x＝
－b
2a ，
＋bx＋c 的圖形
與 x 軸恰有一個交點，也就是頂點，如圖 4，
其坐標為(
－b
2a , 0)。

O x
y
x
O
y
圖形與 x 軸只有一個交點
圖 4

3.當判別式 b2
－4ac＜0 時：
方程式無解，
＋bx＋c 的圖形
與 x 軸沒有交點，如圖 5。

O
x
y
x
O
y
圖形與 x 軸沒有交點
圖 5

例 7二次函數圖形與 x 軸的交點個數
判斷下列二次函數圖形與 x 軸的交點個數。
(1)y＝2x2
－3x＋1
(1)判別式：(－3)2
－4×2×1＝1＞0，
可知二次函數 y＝2x2
－3x＋1 的圖形
與 x 軸有兩個交點。

(2)y＝12x＋9＋4x2
(2)判別式：122
－4×4×9＝0，
可知二次函數 y＝12x＋9＋4x2
的圖形
與 x 軸恰有一個交點。

(3)y＝－x2
＋2x－4
(3)判別式：22
－4×(－1)×(－4)＝－12＜0，
可知二次函數 y＝－x2
＋2x－4 的圖形
與 x 軸沒有交點。

(1)y＝1－6x－x2
判別式：(－6)2
－4×(－1)×1＝40＞0
可知二次函數 y＝1－6x－x2
的圖形
與 x 軸有兩個交點

(2)y＝2x2
＋12x＋18
判別式：122
－4×2×18＝0
可知二次函數 y＝2x2
＋12x＋18 的圖形
與 x 軸恰有一個交點

(3)y＝x2
＋x＋1
判別式：12
－4×1×1＝－3＜0
可知二次函數 y＝x2
＋x＋1 的圖形
與 x 軸沒有交點

當已經知道二次函數圖形的頂點及開口
方向時，也可以利用這些已知條件來判斷二
次函數圖形與 x 軸的交點個數。我們用下面
的例題來說明。

(1)y＝－2(x－3)2
＋5

(1)二次函數 y＝－2(x－3)2
＋5 的圖形開口
向下，
而頂點(3 , 5)在 x 軸的上方，
根據這些資料可以約略畫出此二次函數的
圖形，

O
x
y
(3,5)
如下圖，
故可知此二次函數圖形與 x 軸有兩個交點。

(2)y＝－(x＋1)2

(2)二次函數 y＝－(x＋1)2
的圖形開口向下，
而頂點(－1 , 0)恰在 x 軸上，
根據這些資料可以約略畫出此二次函數
的圖形，

O x
y
(－1,0)
如下圖，
故可知此二次函數圖形與 x 軸恰有一個
交點。

(3)y＝3(x－4)2
＋1

(3)二次函數 y＝3(x－4)2
＋1 的圖形開口向上，
而頂點(4 , 1)在 x 軸的上方，
根據這些資料可以約略畫出此二次函數的
圖形，

O
x
y
(4,1)
如下圖，
故可知此二次函數圖形與 x 軸沒有交點。

(1)y＝(x＋4)2
－
5
2
二次函數 y＝(x＋4)2
－
5
2
的圖形開口向上
而頂點(－4 , －
5
2 )在 x 軸的下方
故可知此二次函數圖形與 x 軸有兩個交點
x
O
y
(－4,－
5
2
)

(2)y＝3(x－4)2
二次函數 y＝3(x－4)2
的圖形開口向上
而頂點(4 , 0)恰在 x 軸上
故可知此二次函數圖形與 x 軸恰有一個交
點
xO
y
(4,0)

(3)y＝－(x＋1)2
－3
二次函數 y＝－(x＋1)2
－3
的圖形開口向下
而頂點(－1 , －3)在 x 軸的下方
故可知此二次函數圖形與 x 軸沒有交點
x
O
y
(－1,－3)

利用配方法求二次函數的圖形1
y＝ax2
＋bx＋c(a≠ 0)的二次函數，可利用
配方法化成 y＝a(x－h)2
＋k 的二次函數，
其圖形為拋物線。

二次函數的最大值與最小值2
(1)形如 y＝a(x－h)2
＋k 的二次函數：
a ＞ 0 a ＜ 0
開口向上開口向下
有最低點 (h , k) 有最高點 (h , k)
x ＝ h 時，有最小值 k x ＝ h 時，有最大值 k

例二次函數 y＝－2(x－3)2
＋4 的圖形，
開口向下，其頂點(3 , 4)是最高點，
當 x＝3 時有最大值 4。

例
(2)形如 y＝ax2
＋bx＋c 的二次函數，可利
用配方法把它化成 y＝a(x－h)2
＋k 的形
式，再來討論函數的最大值或最小值。
二次函數 y＝x2
－6x＋1＝(x－3)2
－8，
其圖形開口向上，
頂點(3 , －8)是最低點，
當 x＝3 時有最小值－8。

二次函數 y ＝ ax2
＋ bx ＋ c 的圖形與兩
軸的交點
3
(1)令 x＝0，可得 y 軸的交點坐標為(0 , c)。
(2)令 y＝0，求與 x 軸的交點坐標，
即求 ax2
＋bx＋c＝0 的解。
(3)與 x 軸的交點個數，
可由判別式 b2
－4ac 來判斷。
(4)與 x 軸的交點個數，可由函數圖形的
頂點及開口方向來判斷。

＋ bx ＋ c 的圖形與兩軸
的交點
3
例二次函數 y＝x2
－6x＋5，
(1)令 x＝0，得 y＝5，
故與 y 軸的交點坐標為(0 , 5)。
(2)令 y＝0，得 x＝5 或 x＝1，
故與 x 軸的交點座標為(5 , 0)與(1 , 0)。

＋ bx ＋ c 的圖形與兩軸
的交點
3
(3)判別式 b2
－4ac＝(－6)2
－4×1×5＝
16＞0，故與 x 軸有兩個交點。
(4)二次函數 y＝x2
－6x＋5＝(x－3)2
－4
的圖形開口向上，
其頂點(3 , －4)在 x 軸的下方，
故與 x 軸有兩個交點。

1
(1)y＝－3x2
＋12x－8

1
(1)y＝－3x2
＋12x－8
y＝－3x2
＋12x－8
＝－3(x2
－4x)－8
＝－3(x2
－4x＋22
)＋12－8
＝－3(x－2)2
＋4
對稱軸方程式：x－2＝0
頂點坐標：(2 , 4)
開口方向：向下

1
(2)y＝2x2
－4x－3

1
(2)y＝2x2
－4x－3
y＝2x2
－4x－3
＝2(x2
－2x)－3
＝2(x2
－2x＋12
)－2－3
＝2(x－1)2
－5
對稱軸方程式：x－1＝0
頂點坐標：(1 , －5)
開口方向：向上

2
求下列各二次函數圖形的頂點坐標及其
(1)y＝x2
－4
頂點坐標為(0 , －4)，
其最小值為－4

2
(2)y＝－x2
＋5
頂點坐標為(0 , 5)，
其最大值為 5

2
(3)y＝3(x＋4)2
＋3
頂點坐標為(－4 , 3)，
其最小值為 3

2
(4)y＝－
1
3
(x－6)2
－3
頂點坐標為(6 , －3)，
其最大值為－3

2
(5)y＝2x2
－8x－1
y＝2x2
－8x－1＝2(x2
－4x)－1
＝2(x2
－4x＋4)－8－1＝2(x－2)2
－9
圖形的頂點坐標為(2 , －9)，
其最小值為－9

2
(6)y＝－3x2
－6x－3
y＝－3x2
－6x－3＝－3(x2
＋2x)－3
＝－3(x2
＋2x＋1)＋3－3＝－3(x＋1)2
圖形的頂點坐標為(－1 , 0)，
其最大值為 0

3
已知二次函數 y＝－2x2
＋bx＋c 圖形的頂點
坐標為(4 , 6)，則 b、c 的值各為何？

3
＋bx＋c 的 x2
項係數為
－2，且頂點坐標為(4 , 6)
故此二次函數為 y＝－2(x－4)2
＋6
＝－2(x2
－8x＋16)＋6
＝－2x2
＋16x－32＋6
＝－2x2
＋16x－26
與 y＝－2x2
＋bx＋c 比較係數
可得 b＝16、c＝－26

4
求二次函數 y＝2x2
－5x－3 的圖形與兩軸
的交點坐標。

4
(1) 令 x＝0，得 y＝－3
其圖形與 y 軸的交點坐標為(0 , －3)
(2) 令 y＝0，得 0＝2x2
－5x－3
(2x＋1)(x－3)＝0，x＝－
1
2 或 x＝3
其圖形與 x 軸的交點坐標為
(－
1
2 , 0)與(3 , 0)

5
若二次函數 y＝－x2
＋bx－c 的圖形頂點為
(1 , －3)，則此二次函數圖形與 x 軸有幾個
交點？
二次函數 y＝－x2
＋bx－c 的圖形開口向下
而頂點(1 , －3)在 x 軸的下方
故可知此二次函數圖形與 x 軸沒有交點

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