Butusu3 10
- 1. 1/8 平成 23 年 5 月 13 日午後 4 時 11 分 １０ 複素微分：コーシー?リーマンの方程式 【安江正樹＠東海大学理学部物理学科】 １０ 複素微分：コーシー?リーマンの方程式 【９ 複素微分：正則関数】で、正則性は複素数 z の関数 ? ?f z の性質として導き出しまし た。複素数 z は 2 つの実数 ,x y で表され z x iy? ? です。同様に、複素関数 ? ?f z も 2 つの実関 数 ? ? ? ?, , ,u x y x yv で表され ? ? ? ? ? ?, ,f z u x y i x y? ? v と表せます。つまり、 ? 複素数 z と 2 つの実数 ,x y ： ? z ix y? ? ? 複素数 z の複素関数 ? ?f z と 2 つの実数 ,x y の 2 つの実関数 ? ? ? ?, , ,u x y x yv ： ? ? ? ? ? ? ?, ,f z u x y xi y? ? v と同じ様な関係が成り立ちます。複素関数 ? ?f z で導いた正則条件を実関数 ? ? ? ?, , ,u x y x yv の 条件として表してみます。 Ⅰ. コーシー?リーマンの方程式：実関数と正則性 必要条件 まず、 ? ? ?f z が ? ? ? ?, ,iu x y x y? v の形で書かれているとき、正則関数である ? ?f z では ? ? ? ?, , ,u x y x yv にはどんな条件が必要か？ という問題の答えを探すことになります。出発点として、 ? ? ?f z は正則である が成り立ちます。そのときは ? ?f z? が計算できて ? ? ? ? ? ? 0 lim z f z z f z f z z? ? ? ? ? ? ? ? (10.1) です。ここで、 ? ? ? ? ? ?, , z x iy z x i y f z u x y x y ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? v (10.2) と置き換えられるので、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 , , , , lim z u x x y y i x x y y u x y i x y f z x i y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? v v (10.3)
- 2. 2/8 平成 23 年 5 月 13 日午後 4 時 11 分 １０ 複素微分：コーシー?リーマンの方程式 【安江正樹＠東海大学理学部物理学科】 になります。 極限値があるので、計算結果は 0z? ? になる方向によりません。どの方向で計算しても同 じ答えになります。従って、計算が簡単になる方向を選べます。 ? 実軸に平行に 0z? ? になる場合（ 0y? ? ：図 1a） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 , ,, lim , x u x x i ixy u x yy z x x x y f ? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ?? ? ? v v より ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 lim li , , m , , , , x x x i i x x y u x y x y u x x y u x y u x y x xx ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? v v を用いて ? ? ? ? ? ?, ,u x y x i x z y f x?? ? ? ? ? ? v (10.4) を得る。 ? 虚軸に平行に 0z? ? になる場合（ 0x? ? ：図 1b） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ,, , lim , y x yu x y y uy xi i y f z i x y y? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ?? ?v v より ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 0 0 , , , , lim lim , , , , i i i i y y i i y u x y y u x y u x y u x y y y i x x y u x y x y x y y i i i y i y ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? v v v を用いて コーシー オーギュスタン＝ルイ?コーシー（Augustin Louis Cauchy, 1789 年 8 月 21 日 - 1857 年 5 月 23 日）はフラ ンスの数学者。解析学の分野に対する多大な貢献から「フランスのガウス」と呼ばれることもある。これ は両者がともに数学の厳密主義の開始者であった事にも関係する。他に天文学、光学、流体力学などへの 貢献も多い。パリに生まれたが、直前に起こったフランス革命をさけ小さな村で育てられた。混乱した世 相を受けて貧窮した生活を送ったため病身となり、生涯健康に配慮して暮らしたという。十三歳の頃には 一家はパリに戻ったが、父がナポレオン政権下で元老院書記の職を得た関係で、サロンの科学者達と親交 があった。特にラグランジュはコーシーを「未来の大数学者」と呼んで期待をかけたと伝えられる。（出 典：ウィキペディア日本語版） リーマン ゲオルク?フリードリヒ?ベルンハルト?リーマン（Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826 年 9 月 17 日 - 1866 年 7 月 20 日）はドイツの数学者。解析学、幾何学、数論の分野で業績を上げた。アーベル関数に関 する研究によって当時の数学者から高く評価されたが、先駆的な彼の研究は十分に理解されず、20 世紀 になって彼のそれぞれの研究分野で再評価されるようになった。19 世紀を代表する数学者の一人である。 彼の名前が残っている数学用語に、リーマン積分、コーシー＝リーマンの方程式、リーマンのゼータ関数、 リーマン多様体、リーマン球面、リーマン面、リーマン＝ロッホの定理、リーマン予想などがある。（出 典：ウィキペディア日本語版） 実軸 x iy? 虚軸 0 0 x y ? ? ? ? 図 1b 図 1a 実軸 x iy? 虚軸 0 0 x y ? ? ? ?
- 3. 3/8 平成 23 年 5 月 13 日午後 4 時 11 分 １０ 複素微分：コーシー?リーマンの方程式 【安江正樹＠東海大学理学部物理学科】 ? ? ? ? ? ?, ,u x y y y f z i x y ? ? ? ? ? ? ? ? v (10.5) を得る。 計算結果は方向に依らず同じ値なので、(10.4)と(10.5)は同じ値 ? ?f z? になり ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, , , ,u x y x y u x y x y f z i i x x y y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? v v (10.6) が成立します。従って、実部と虚部が等しいので、 ? ? ? ? ? ? ? ?,, ,, x yu x y xu x y x y x yy i i? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? vv (10.7) より ? ? ? ? ? ? ? ?, , , , x y u x u x y y y y y x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? v v (10.8) がわかります。これを、コーシー?リーマン（Cauchy-Riemann）の方程式といいます。この とき ? ? ? ? ? ?, ,u x y x y f z i x x ? ? ? ? ? ? ? v (10.9) もわかります。 ? ?f z が微分可能（正則関数）であることを示しています。 十分条件 出発点は ? ? ? ? ?, , ,u x u x yv が 1 次微分可能である ? ? ? ? ?, , ,u x u x yv はコーシー?リーマンの方程式を満たす です。そのとき、 ? ? ? ? ?, ,u x y i x y? v は ? ?z x iy? ? のみの関数で、且つ、正則関数（微分可能）である 一般に、 ? ? ? ?, ,u x y i x y? v は x,y の関数なので z,z* の関数になり z のみの関数ではない。例として ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 2 , 2 2 2 2 2 , 2 2 2 ,, 2 2 i zz u x y x y i i x iy y i x x iy y i x x y x y x u xx y x iy x i i iy z i y x yy z ? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ??? v v ことが導かれるか？という問題になります。答えとしては、(10.9)が成り立つ事。つまり ? ? ? ?, ,w u x y i x y? ? v (10.10) とするとき、 w の微分が
- 4. 4/8 平成 23 年 5 月 13 日午後 4 時 11 分 １０ 複素微分：コーシー?リーマンの方程式 【安江正樹＠東海大学理学部物理学科】 ? ? ? ?, ,u x y x ydw i dz x x ? ? ? ? ? ? v (10.11) になり、微分可能であることを示せればよい訳です。 複素数 w を ? ? ? ?, ,w u x y i x y? ? v (10.12) と表し、複素数の微小差を w? とすると、 w z ? ? を計算すると、 0 lim z dw w dz z? ? ? ? ? (10.13) で微分が計算できます。 w? は ? ? ? ?, ,w w u x x y y i x x y y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?v (10.14) で与えられるので ? ? ? ? ? ? ? ?, , ,,w w u x x y y i xw w u x y ix y x yy? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?vv (10.15) となります。この w? を用いると w z ? ? が計算できます。 w? を計算すればよいのですが、 w? の実部（Real part：リアルパート）と虚部（Imarginary part：イマージナリィーパート）に分けて計算すると楽になります。そのため、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , , , , , , , , w u x x y y i x x y y u x y i x y u x x y y u x y x x y x yi y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? v v v v (10.16) とすると ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Re Im , , , , x x y y x y u x x y y u x yw w ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? v v (10.17) になります。まず、 ? ?Re w? は ? ? ? ?, , 0u x y y u x y y? ? ? ? ? ? ? を加えて ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ,Re ,, , = , ,u xw u x x y y u x y u x x y y uy y u x y y x y ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ????????????? ? ? ? ? ? ? ? ?= , , , ,u x x y y u x y y u x y y u x y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????????????? ?????????平均値の定理 平均値の定理 (10.18) と変形します。ここで、「平均値の定理」を使います。 【平均値の定理】 図 1c において、直線? に平行な接線がひけ、x と x x? ? の 間の値で表せる。この間の値は ? ?0 1x t x t? ? ? ? で表せ 0 1t t x x t x x x ? ? ? ? ? ? ? ? x x x? ? ? ?0 1 x t x t ? ? ? ? 0t ? 1t ? ? ?f x t x? ? ? ?傾き x? ? ?f x xx x t ? ??? ? ? ?傾き ? 接線 図 1c
- 5. 5/8 平成 23 年 5 月 13 日午後 4 時 11 分 １０ 複素微分：コーシー?リーマンの方程式 【安江正樹＠東海大学理学部物理学科】 となります。従って、接線の傾きは ? ?f x t x? ? ? と表す事ができます。図 1d から、 ? ? ? ? ? ?f x x f x f x t x x?? ? ? ? ? ? ? なので、平均値の定理 ? ? ? ? ? ? ? ?0 1 f x x f x t tf x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? を得ます。 平均値の定理を使いますが x と y の 2 変数なので偏微分になり、 ? ?f x? の代わりに、 ? ? ? ? ? ? ? ? , , , ,y x u y u y u x u y y y x x x x ? ? ? ? ? ? (10.19) という省略記号を用いています。そのとき、平均値の定理は ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , , , 0 1 , , , 0 1 x x y y x y u y y u y y y y y t y y y u y y t u x u x u x x x x t x x x t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (10.20) となります。これを、(10.18)に代入して ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Re 0 , 1 , , , , ,,x y x yx u x y y u x y u x y t y y u x x y y u x y y u x t w t tx y y x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? (10.21) を得ます。従って、 ? ? ? ? ? ? ? ?Re , , 0 , 1x x y x yw u x t x y y x u x y t y y t t? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (10.22) になります。全く同様にして、(10.17)の ? ?Im w? は ? ? ? ? ? ? ? ?Im , , 0 , 1x x y y x yw x s x y y x x y s y y s s? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?v v (10.23) になります。以上から、 ? ? ? ?Re Imw w i w? ? ? ? ? は、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Im , , Re , ,x x y x x y y w u x t x y y x u x y t w x s x y y x xy y y w s i yi y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ?v v (10.24) です。ここで、 , 0, 0x y? ? ? ? をとり、 x x x? ? ? ?0 1 x t x t ? ? ? ? x? ? ?f x ? ?f x ? ?f x t x x? ? ? ? ? ?f x x?? 図 1d
- 6. 6/8 平成 23 年 5 月 13 日午後 4 時 11 分 １０ 複素微分：コーシー?リーマンの方程式 【安江正樹＠東海大学理学部物理学科】 x dx y dy w dw ? ? ? ? ? ? (10.25) にすると , 0 , 0 lim lim x y x x x y dw w u x t x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , y y? ?? ? ,yu x t yx y? ? ? ?? ? x xi x x y s? ? ? ?v , y y? ?? ? ,y yx y s yx? ? ? ?v ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, , , ,x y x ydx y dy du x y u x y i dx y x yx y ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?v v (10.26) になります。「 ? ? ? ?, , ,u x u x yv はコーシー?リーマンの方程式を満たす」ので ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , , , , , , , , , , , , x y x x y y y x u x y x y u x y x y u x yx y x y x u xu x y x y yu x y x y y y x ? ?? ?? ? ?? ?? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ? ? ? ?? v v v v v v (10.27) を用いて、 ,y yu v を ,x xu v に置き換えることができ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,x x x x x x x x x x y x x x x x x x y x dw u x y dx dy i x y dx dy u x y dx dy i x y dx dy u x y dx x y dy i x y dx iu x y dy u x y dx ii x y dy i x y dx iu x y d u x y x y x y u x y i x yu x y i u y dx dy xx di y i ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? v v v v v v v v v v ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, , , , , , , dz d x z x x x x x dy dx idy dx idy u x y dz i x y dz u x y i x y d x x z y u y i x y? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ????? ????? v v v (10.28) なので、 ? ? ? ?, ,x xdw u x y i x y dz? ?? ?? ?v (10.29) と計算できます。両辺をdz で割り ? ? ? ?, ,x x dw u x y i x y dz ? ? v (10.30) が求められます。省略形 ? ? ? ?, , ,x xu x y x yv を(10.19)で戻して ? ? ? ?, ,u x y x ydw i dz x x ? ? ? ? ? ? v (10.31) が導かれます。これが求める式(10.11)になっています。 ? ? ? ?, ,w u x y i x y? ? v なので
- 7. 7/8 平成 23 年 5 月 13 日午後 4 時 11 分 １０ 複素微分：コーシー?リーマンの方程式 【安江正樹＠東海大学理学部物理学科】 ? ? ? ? ?, ,u x y i x y? v は正則関数（ z だけで表され、微分可能） であることが分かりました。 以上から、 ? ? ? ? ? ?, ,f z u x y i x y? ? v において ? ? ?f z が正則関数であると ? コーシー?リーマンの方程式 ? ? ? ? ? ? ? ?, , , , , u x y x y x y u x y x y x y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? v v を満たす ? コーシー?リーマンの方程式 ? ? ? ? ? ? ? ?, , , , , u x y x y x y u x y x y x y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? v v を満たすと ? ? ? ? ?, ,u x y i x y? v は、 ? ?z x iy? ? のみの関数で正則関数になる が証明できました。 Ⅱ.例 【９ 複素微分：正則関数】で扱った 2 つの例、 ? ? 2 f z z? と ? ? 2 f z zz z? ? ? をコーシー?リー マンの方程式を用いて、微分可能かどうかを調べます。結果は【９ 複素微分：正則関数】で 分かっていて ? ? ? 2 f z z? は正則関数である（微分可能である） ? ? ? 2 f z zz z? ? ? は正則関数ではない（微分可能ではない） でした。 ? ? 2 f z z? まず、2 つの実関数 ? ? ? ?, , ,u x y x yv は、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 22 2 2 ,,2f z z x iy x xiy i xyy i i xx u x y yy? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? v (10.32) より、実部と虚部を比較して ? ? ? ? 2 2 2 , ,x u x y y y x y x ? ?? ? ?? ? ?v を得ます。コーシー?リーマンの方程式は ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 2 , 2 , , , 2 , 2 , , , 2 2 2 2 2 u x y x u x y x y x x x x y x y x y y y x y xy y x xy x y x x xx y u x y x y u x y y y y x y y y y x y x y ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 満たす ｙ 満たす v v v v (10.33) となり、両方満たされるので、 ? ? 2 f z z? は
- 8. 8/8 平成 23 年 5 月 13 日午後 4 時 11 分 １０ 複素微分：コーシー?リーマンの方程式 【安江正樹＠東海大学理学部物理学科】 ? コーシー?リーマンの方程式を満たすので ? 微分可能 とわかります。 ? ? ? ?2 f z zz z? ? ? 同様に、2 つの実関数 ? ? ? ?, , ,u x y x yv は、 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?2 2 2 , ,f z z x iy x x iy iy x y u x y i xz x iy iy x iy y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? v (10.34) より、実部と虚部を比較して ? ? ? ? 2 2 , , 0 u x y x y x y ? ? ?? ? ???v を得ます。コーシー?リーマンの方程式は ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 , 2 , , , 0 0 , 0 0 , , , 2 x yu x y x x u x y x y x x x x y x y y y x y x xx y u x y x yx y u x y y y y y y ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? 満たさない 満たさない v v v v (10.35) となり、両方満たさないので、 ? ? ? ?2 f z zz z? ? ? は ? コーシー?リーマンの方程式を満たさないので ? 微分不可能 とわかります。